Fonctions infinitésimales et leurs propriétés de base. Définition d'une suite infiniment grande Est-ce une fonction infiniment grande en x

Fonction y=f(x) appelé infinitésimalà x→a ou lorsque X→∞, si ou , c'est-à-dire une fonction infinitésimale est une fonction dont la limite en un point donné est nulle.

Exemples.

1. Fonction f(x)=(X-1) 2 est infinitésimal à X→1, puisque (voir figure).

2. Fonction f(x)= tg X– infinitésimal à X→0.

3. f(x)= journal(1+ X) – infinitésimal à X→0.

4. f(x) = 1/X– infinitésimal à X→∞.

Établissons la relation importante suivante :

Théorème. Si la fonction y=f(x) représentable avec x→a comme somme d'un nombre constant b et une ampleur infinitésimale α(x) : f (x)=b+ α(x) Que .

Inversement, si , alors f (x) = b + α (x), Où hache)– infinitésimal à X → une.

Preuve.

1. Démontrons la première partie de l’énoncé. De l'égalité f(x)=b+α(x) devrait |f(x) – b|=| α|. Mais depuis hache) est infinitésimal, alors pour ε arbitraire il y a δ – un voisinage du point un, Devant tout le monde X d'où, les valeurs hache) satisfaire la relation |α(x)|< ε. Alors |f(x) – b|< ε. Et cela signifie que.

2. Si , alors pour tout ε >0 pour tous Xà partir d'un δ – voisinage d'un point un volonté |f(x) – b|< ε. Mais si on note f(x) – b= α, Que |α(x)|< ε, ce qui signifie que un– infinitésimal.

Considérons les propriétés de base des fonctions infinitésimales.

Théorème 1. La somme algébrique de deux, trois et en général de tout nombre fini d'infinitésimaux est une fonction infinitésimale.

Preuve. Donnons une preuve pour deux termes. Laisser f(x)=α(x)+β(x), où et . Nous devons prouver que pour tout petit ε arbitraire > 0 trouvé δ> 0, tel que pour X, satisfaisant l'inégalité |x – une|<δ , exécuté |f(x)|< ε.

Prenons δ=min(δ 1 , δ2 } .Puis à proximité du point un rayon δ chacune des inégalités sera satisfaite |α(x)|< ε / 2 et | β(x)|< ε / 2. Il y aura donc dans ce quartier

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

ceux. |f(x)|< ε, c’est ce qu’il fallait prouver.

Théorème 2. Produit d'une fonction infinitésimale hache) pour une fonction limitée f(x)à x→a(ou lorsque x→∞) est une fonction infinitésimale.

Preuve. Puisque la fonction f(x) est limité, alors il y a un certain nombre M tel que pour toutes les valeurs X d'un certain quartier d'un point une|f(x)|≤M. De plus, puisque hache) est une fonction infinitésimale à x→a, alors pour un ε arbitraire > 0 il y a un voisinage du point un, dans lequel l'inégalité sera maintenue |α(x)|< ε /M. Ensuite, dans le plus petit de ces quartiers, nous avons | αf|< ε /M= ε. Et cela signifie que un F– infinitésimal. Pour l'occasion x→∞ la preuve s'effectue de la même manière.

Du théorème prouvé il résulte :

Corollaire 1. Si et, alors.

Corollaire 2. Si c= const, alors.

Théorème 3. Rapport d'une fonction infinitésimale α(x) par fonction f(x), dont la limite est différente de zéro, est une fonction infinitésimale.

Preuve. Laisser . Puis 1 /f(x) il y a une fonction limitée. Une fraction est donc le produit d’une fonction infinitésimale et d’une fonction limitée, c’est-à-dire : la fonction est infinitésimale.

INFINITESPETITES FONCTIONS ET LEURS PROPRIÉTÉS DE BASE

Fonction y=f(x) appelé infinitésimalà x→a ou lorsque X→∞, si ou , c'est-à-dire une fonction infinitésimale est une fonction dont la limite en un point donné est nulle.

Exemples.

Établissons la relation importante suivante :

Théorème. Si la fonction y=f(x) représentable avec x→a comme somme d'un nombre constant b et une ampleur infinitésimale α(x) : f (x)=b+ α(x) Que .

Inversement, si , alors f (x) = b + α (x), Où hache)– infinitésimal à X → une.

Preuve.

Considérons les propriétés de base des fonctions infinitésimales.

Théorème 1. La somme algébrique de deux, trois et en général de tout nombre fini d'infinitésimaux est une fonction infinitésimale.

Prenons δ=min(δ 1 , δ2 } .Puis à proximité du point un rayon δ chacune des inégalités sera satisfaite |α(x)|< ε / 2 et | β(x)|< ε / 2. Il y aura donc dans ce quartier

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

ceux. |f(x)|< ε, c’est ce qu’il fallait prouver.

Théorème 2. Produit d'une fonction infinitésimale hache) pour une fonction limitée f(x)à x→a(ou lorsque x→∞) est une fonction infinitésimale.

Du théorème prouvé il résulte :

Corollaire 1. Si et, alors.

Corollaire 2. Si c= const, alors.

Théorème 3. Rapport d'une fonction infinitésimale α(x) par fonction f(x), dont la limite est différente de zéro, est une fonction infinitésimale.

Preuve. Laisser . Puis 1 /f(x) il y a une fonction limitée. Donc la fraction est le produit d'une fonction infinitésimale et d'une fonction bornée, c'est-à-dire la fonction est infinitésimale.

RELATION ENTRE FONCTIONS INFINIMENT PETITES ET INFINIMENT GRANDES

Théorème 1. Si la fonction f(x) est infiniment grand à x→a, puis fonction 1 /f(x) est infinitésimal à x→a.

Preuve. Prenons un nombre arbitraire ε >0 et montrez que pour certains δ>0 (en fonction de ε) pour tout X, Pour qui |x – une|<δ , l’inégalité est satisfaite, ce qui signifie que 1/f(x) est une fonction infinitésimale. En effet, depuis f(x) est une fonction infiniment grande à x→a, alors il y aura δ>0 de telle sorte que dès |x – une|<δ , donc | f(x)|> 1/ ε. Mais alors pour la même chose X.

Exemples.

Le théorème inverse peut également être prouvé.

Théorème 2. Si la fonction f(x)- infinitésimal à x→a(ou x→∞) et ne disparaît pas, alors y= 1/f(x) est une fonction infiniment grande.

Effectuez vous-même la preuve du théorème.

Exemples.

Ainsi, les propriétés les plus simples des fonctions infinitésimales et infiniment grandes peuvent être écrites en utilisant les relations conditionnelles suivantes : UN≠ 0

THÉORÈMES DES LIMITES

Théorème 1. La limite de la somme algébrique de deux, trois et généralement d'un certain nombre de fonctions est égale à la somme algébrique des limites de ces fonctions, c'est-à-dire

Preuve. Faisons la preuve pour deux termes, puisque cela peut se faire de la même manière pour n'importe quel nombre de termes. Laisser .Alors f(x)=b+α(x) Et g(x)=c+β(x), Où α Et β – fonctions infinitésimales. Ainsi,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Parce que b+c est une constante, et α(x) + β(x) est une fonction infinitésimale, alors

Exemple. .

Théorème 2. La limite du produit de deux, trois et généralement un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions :

Preuve. Laisser . Ainsi, f(x)=b+α(x) Et g(x)=c+β(x) Et

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Travail avant JC il y a une valeur constante. Fonction bβ + c α + αβ sur la base des propriétés des fonctions infinitésimales, il existe une quantité infinitésimale. C'est pourquoi .

Corollaire 1. Le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite :

Corollaire 2. La limite du degré est égale au degré limite :

Exemple..

Théorème 3. La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces fonctions si la limite du dénominateur est différente de zéro, c'est-à-dire

Preuve. Laisser . Ainsi, f(x)=b+α(x) Et g(x)=c+β(x), Où α, β – infinitésimal. Considérons le quotient

Une fraction est une fonction infinitésimale car le numérateur est une fonction infinitésimale et le dénominateur a une limite c 2 ≠0.

Exemples.

Théorème 4. Soit trois fonctions f(x), u(x) Et v(x), satisfaisant les inégalités u (x)≤f(x)≤v(x). Si les fonctions u(x) Et v(x) ont la même limite à x→a(ou x→∞), alors la fonction f(x) tend vers la même limite, c'est-à-dire Si

, Que .

La signification de ce théorème ressort clairement de la figure.

La preuve du théorème 4 peut être trouvée, par exemple, dans le manuel : Piskunov N. S. Calcul différentiel et intégral, tome 1 - M. : Nauka, 1985.

Théorème 5. Si à x→a(ou x→∞) fonction y=f(x) accepte les valeurs non négatives y≥0 et en même temps tend vers la limite b, alors cette limite ne peut pas être négative : b≥0.

Preuve. Nous effectuerons la preuve par contradiction. Faisons comme si b<0 , Alors |y – b|≥|b| et, par conséquent, le module de différence ne tend pas vers zéro lorsque x→a. Mais alors oui n'atteint pas la limite bà x→a, ce qui contredit les conditions du théorème.

Théorème 6. Si deux fonctions f(x) Et g(x) pour toutes les valeurs de l'argument X satisfaire l'inégalité f(x)≥g(x) et ont des limites, alors l'inégalité est vraie b≥c.

Preuve. D'après les conditions du théorème f(x)-g(x) ≥0, donc d'après le théorème 5 , ou .

LIMITES UNILATÉRALES

Jusqu'à présent, nous avons envisagé de déterminer la limite d'une fonction lorsque x→a de manière arbitraire, c'est-à-dire la limite de la fonction ne dépendait pas de la façon dont elle était localisée X vers un, à gauche ou à droite de un. Cependant, il est assez courant de trouver des fonctions qui n'ont pas de limite dans cette condition, mais elles ont une limite si x→a, restant d'un côté de UN, à gauche ou à droite (voir figure). Par conséquent, les concepts de limites unilatérales sont introduits.

Si f(x) tend vers la limite bà X tendant vers un certain nombre un Donc X n'accepte que les valeurs inférieures à un, puis ils écrivent et appellent blimite de la fonction f(x) au point a à gauche.

Définition d'une fonction numérique. Méthodes de spécification des fonctions.

Soit D un ensemble sur la droite numérique R. Si chaque x appartenant à D est associé à un seul nombre y=f(x), alors on dit qu'une fonction f est donnée.

Méthodes de spécification des fonctions :

1) tabulaire – pour les fonctions définies sur un ensemble fini.

2) analytique

3) graphique

2 et 3 – pour les fonctions définies sur un ensemble infini.

Le concept de fonction inverse.

Si la fonction y=f(x) est telle que différentes valeurs de l'argument x correspondent à différentes valeurs de la fonction, alors la variable x peut être exprimée en fonction de la variable y : x=g(y ). La fonction g est appelée l'inverse de f et est notée f^(-1).

Le concept de fonction complexe.

Une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction.

Soit les fonctions f(x) et g(x). Faisons-en deux fonctions complexes. En considérant la fonction f comme externe (principale) et la fonction g comme interne, on obtient une fonction complexe u(x)=f(g(x)).

Détermination de la limite de séquence.

Un nombre a est appelé la limite d'une suite (xn) si pour tout positif il existe un nombre n0, à partir duquel tous les termes de la suite diffèrent de a en module de moins de ε (c'est-à-dire qu'ils tombent dans le voisinage ε du point a) :

Règles de calcul des limites des séquences convergentes.

1. Toute suite convergente n’a qu’une seule limite. 2. Si tous les éléments de la séquence (x n) sont égaux à C (constant), alors la limite de la séquence (x n) est également égale à C. 3. ; 4. ; 5. .

Définition d'une séquence limitée.

La suite (x n) est dite bornée si l'ensemble des nombres X=(x n) est borné : .

Définition d'une séquence infinitésimale.

La séquence (x n) est dite infinitésimale si pour tout (aussi petit soit-il) >0 il existe un nombre n 0 tel que pour tout n>n 0 l'inégalité |x n |< .

Définition d'une séquence infiniment grande.

Une séquence est dite infiniment grande si pour tout nombre A>0 (quelle que soit sa taille) il existe un nombre n 0 tel que pour tout nombre n>n 0 l'inégalité |x n |>A est vraie.

Définition de séquences monotones.

Séquences monotones : 1) augmenter ifx n x n +1 pour tout n, 4) non croissant si x n x n +1 pour tout n.

Détermination de la limite d'une fonction en un point.

La limite de la fonction y=f(x) au point x 0 (ou à x x 0) est le nombre a si pour toute séquence (x n) valeurs de l'argument convergeant vers x 0 (tous x n x 0), Le séquence de (f(x n)) valeurs de la fonction converge vers la limite a.

Définition d'une fonction infinitésimale.

F-iya f(x) est dit infinitésimal comme x→A si .

Définition d'une fonction infiniment grande.

F-iya f(x) est dit infiniment grand pour x→A si .

Calcul des infinitésimaux et des grands

Calcul infinitésimal- des calculs effectués avec des quantités infinitésimales, dans lesquels le résultat dérivé est considéré comme une somme infinie d'infinitésimales. Le calcul des infinitésimaux est un concept général de calcul différentiel et intégral, qui constitue la base des mathématiques supérieures modernes. La notion de quantité infinitésimale est étroitement liée à la notion de limite.

Infinitésimal

Sous-séquence un n appelé infinitésimal, Si . Par exemple, une séquence de nombres est infinitésimale.

La fonction s'appelle infinitésimal au voisinage d'un point X 0 si .

La fonction s'appelle infinitésimal à l'infini, Si ou .

Infinitésimal est également une fonction qui est la différence entre une fonction et sa limite, c'est-à-dire si , Que F(X) − un = α( X) , .

Une quantité infiniment grande

Dans toutes les formules ci-dessous, l'infini à droite de l'égalité est sous-entendu avoir un certain signe (soit « plus » soit « moins »). C'est par exemple la fonction X péché X, illimité des deux côtés, n’est pas infiniment grand à .

Sous-séquence un n appelé infiniment grand, Si .

La fonction s'appelle infiniment grand au voisinage d'un point X 0 si .

La fonction s'appelle infiniment grand à l'infini, Si ou .

Propriétés de l'infiniment petit et de l'infiniment grand

Comparaison de quantités infinitésimales

Comment comparer des quantités infinitésimales ?
Le rapport des quantités infinitésimales forme ce qu'on appelle l'incertitude.

Définitions

Supposons que nous ayons des valeurs infinitésimales α( X) et β( X) (ou, ce qui n'est pas important pour la définition, des séquences infinitésimales).

Pour calculer ces limites, il convient d'utiliser la règle de L'Hôpital.

Exemples de comparaison

En utilisant À PROPOS-symbolisme, les résultats obtenus peuvent s'écrire sous la forme suivante X 5 = o(X 3). Dans ce cas, les entrées suivantes sont vraies : 2X 2 + 6X = Ô(X) Et X = Ô(2X 2 + 6X).

Valeurs équivalentes

Définition

Si , alors les quantités infinitésimales α et β sont appelées équivalent ().
Il est évident que les quantités équivalentes sont un cas particulier de quantités infinitésimales du même ordre de petitesse.

Lorsque les relations d'équivalence suivantes sont valides (en tant que conséquences des limites dites remarquables) :

Théorème

La limite du quotient (rapport) de deux quantités infinitésimales ne changera pas si l'une d'elles (ou les deux) est remplacée par une quantité équivalente.

Ce théorème a une signification pratique lors de la recherche de limites (voir exemple).

Exemple d'utilisation

Remplacement sjen 2X valeur équivalente 2 X, on a

Esquisse historique

Le concept d'« infinitésimal » a été discuté dans l'Antiquité en relation avec le concept d'atomes indivisibles, mais n'a pas été inclus dans les mathématiques classiques. Elle a été relancée avec l'avènement de la « méthode des indivisibles » au XVIe siècle, divisant la figure étudiée en sections infinitésimales.

Au XVIIe siècle, l'algébraisation du calcul infinitésimal a eu lieu. Ils ont commencé à être définis comme des quantités numériques inférieures à toute quantité finie (non nulle) et pourtant non égales à zéro. L'art de l'analyse consistait à élaborer une relation contenant des infinitésimaux (différentiels) puis à l'intégrer.

Les mathématiciens de la vieille école mettent le concept à l’épreuve infinitésimal critiques sévères. Michel Rolle a écrit que le nouveau calcul est « ensemble d'erreurs ingénieuses" ; Voltaire a fait remarquer de manière caustique que le calcul est l'art de calculer et de mesurer avec précision des choses dont l'existence ne peut être prouvée. Même Huygens a admis qu’il ne comprenait pas la signification des différentiels d’ordres supérieurs.

Par ironie du sort, on peut considérer l'émergence au milieu du siècle d'une analyse non standard, qui a prouvé que le point de vue original - les infinitésimaux réels - était également cohérent et pouvait servir de base à l'analyse.

voir également

Fondation Wikimédia. 2010.

Voyez ce qu'est « quantité infinitésimale » dans d'autres dictionnaires :

QUANTITÉ INFINIMENT PETITE- une quantité variable dans un certain processus, si dans ce processus elle s'approche (tend) infiniment vers zéro... Grande encyclopédie polytechnique

Infinitésimal- ■ Quelque chose d'inconnu, mais lié à l'homéopathie... Lexique des vérités communes

La fonction s'appelle infinitésimal à
ou lorsque
, Si
ou
.

Par exemple : fonction
infinitésimal à
; fonction
infinitésimal à
.

Note 1. Sans indiquer le sens de changement de l’argument, aucune fonction ne peut être qualifiée d’infinitésimale. Oui, la fonction
à
est infinitésimal, et quand
ce n'est plus infinitésimal (
).

Note 2. D'après la définition de la limite d'une fonction en un point, pour les fonctions infinitésimales, l'inégalité suivante est vraie :
Nous utiliserons ce fait plus d’une fois dans le futur.

Établissons quelques points importants propriétés des fonctions infinitésimales.

Théorème (sur le lien entre une fonction, sa limite et l'infinitésimal) : Si la fonction
peut être représenté comme la somme d'un nombre constant UN et fonction infinitésimale
à
, puis le numéro

Preuve:

Des conditions du théorème, il s'ensuit que la fonction
.

Exprimons-nous d'ici
:
. Puisque la fonction
infinitésimal, l'inégalité vaut pour lui
, puis pour l'expression (
) l’inégalité est également vraie

Et cela signifie que
.

Théorème (inverse) : si
, alors la fonction
peut être représenté comme la somme d'un nombre UN et infinitésimal à
les fonctions
, c'est à dire.
.

Preuve:

Parce que
, Puis pour
l’inégalité persiste
(*) Considérez la fonction
comme une seule et réécrire l'inégalité (*) sous la forme

De la dernière inégalité il résulte que la valeur (
) est infinitésimal à
. Notons-le
.

Où
. Le théorème a été prouvé.

Théorème 1 . La somme algébrique d'un nombre fini de fonctions infinitésimales est une fonction infinitésimale.

Preuve:

Effectuons la preuve pour deux termes, puisque pour tout nombre fini de termes elle est donnée de la même manière.

Laisser
Et
infinitésimal à
fonctions et
– la somme de ces fonctions. Prouvons que pour
, il existe une telle chose
c'est pour tout le monde X, satisfaisant l'inégalité
, l'inégalité est vraie
.

Puisque la fonction
fonction infinitésimale
c'est pour tout le monde
l’inégalité persiste
.

Puisque la fonction
fonction infinitésimale
, et donc il y a un tel c'est pour tout le monde
l’inégalité persiste
.

Prenons égal au plus petit nombre Et , puis dans –quartier du point UN les inégalités seront satisfaites
,
.

Créons un module fonction
et évaluer sa signification.

C'est
, alors la fonction est infinitésimale, ce qui restait à prouver.

Théorème 2. Produit d'une fonction infinitésimale
à
pour une fonction limitée
est une fonction infinitésimale.

Preuve:

Puisque la fonction
borné, alors il existe un nombre positif
c'est pour tout le monde l’inégalité persiste
.

Puisque la fonction
infinitésimal à
, alors il y a un tel –voisinage d'un point c'est pour tout le monde dans ce quartier l'inégalité
.

Considérez la fonction
et évaluer son module

Donc
, et puis
– infinitésimal.

Le théorème a été prouvé.

Théorèmes limites.

Théorème 1. La limite d'une somme algébrique d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme algébrique des limites de ces fonctions

Preuve:

Pour le prouver, il suffit de considérer deux fonctions ; cela ne violera pas la généralité du raisonnement.

Laisser
,
.

D'après le théorème sur le lien entre une fonction, sa limite et une fonction infinitésimale
Et
peut être représenté sous la forme
Où
Et
– infinitésimal à
.

Trouvons la somme des fonctions
Et

Ordre de grandeur
il y a une valeur constante
– la quantité est infinitésimale. Donc la fonction
présenté comme la somme d’une valeur constante et d’une fonction infinitésimale.

Puis le numéro
est la limite de la fonction
, c'est à dire.

Le théorème a été prouvé.

Théorème 2 . La limite du produit d'un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions

Preuve:

Sans perdre la généralité du raisonnement, nous effectuerons la preuve pour deux fonctions
Et
.

Qu'il en soit alors
,

Trouvons le produit des fonctions
Et

Ordre de grandeur
est une quantité constante, une fonction infinitésimale. Par conséquent, le nombre
est la limite de la fonction
, c'est-à-dire que l'égalité est vraie

Conséquence:
.

Théorème 3. La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces fonctions si la limite du dénominateur est non nulle

Preuve : Soit
,

Alors
,
.

Trouvons le quotient et effectuez des transformations identiques dessus

Ordre de grandeur constante, fraction
infiniment petit. Par conséquent, la fonction représenté comme la somme d’un nombre constant et d’une fonction infinitésimale.

Alors
.

Commentaire. Les théorèmes 1 à 3 ont été prouvés pour le cas
. Toutefois, ils peuvent être applicables lorsque
, puisque la preuve des théorèmes dans ce cas est effectuée de la même manière.

Par exemple. Trouver des limites :

La première et la seconde sont de merveilleuses limites.

Fonction non défini à
. Cependant, ses valeurs au voisinage du point zéro existent. On peut donc considérer la limite de cette fonction à
. Cette limite est appelée d'abord merveilleux limite .

On dirait:
.

Par exemple . Trouver des limites : 1.
. Désigner
, Si
, Que
.
; 2.
. Transformons cette expression pour que la limite se réduise à la première limite remarquable.
; 3..

Considérons une variable de la forme
, dans lequel prend les valeurs des nombres naturels par ordre croissant. Donne moi différentes significations : si

Donnant les valeurs suivantes de l'ensemble
, il est facile de voir que l'expression
à
volonté
. De plus, il est prouvé que
a une limite. Cette limite est indiquée par la lettre :
.

Nombre irrationnel:
.

Considérons maintenant la limite de la fonction
à
. Cette limite est appelée deuxième limite remarquable

On dirait
.

Par exemple.

UN)
. Expression
remplacez-le par le produit facteurs identiques
, nous appliquons le théorème du produit limite et la deuxième limite remarquable ; b)
. Mettons
, Alors
,
.

La deuxième limite remarquable est utilisée dans problème de composition continue

Lors du calcul des revenus en espèces sur les dépôts, ils utilisent souvent la formule des intérêts composés, qui ressemble à :

Où - dépôt initial,

- les intérêts bancaires annuels,

- nombre d'intérêts courus par an,

- le temps, en années.

Cependant, dans les études théoriques, pour justifier les décisions d'investissement, ils utilisent souvent la formule de la loi de croissance exponentielle (exponentielle).

La formule de la loi de croissance exponentielle est obtenue en appliquant la deuxième limite remarquable à la formule des intérêts composés

Continuité des fonctions.

Considérez la fonction
défini à un moment donné et un certain quartier du point . Laissez la fonction avoir la valeur au point indiqué
.

Définition 1. Fonction
appelé continu en un point , s'il est défini au voisinage d'un point, y compris le point lui-même et
.

La définition de la continuité peut être formulée différemment.

Laissez la fonction
défini à une certaine valeur ,
. Si l'argument donner un incrément
, alors la fonction recevra un incrément

Laissez la fonction au point continu (par la première définition de continuité d'une fonction en un point),

Autrement dit, si la fonction est continue au point , puis un incrément infinitésimal de l'argument
à ce stade correspond un incrément infinitésimal de la fonction.

L’inverse est également vrai : si un incrément infinitésimal dans l’argument correspond à un incrément infinitésimal dans la fonction, alors la fonction est continue.

Définition 2. Fonction
est appelé continu à
(au point ), s'il est défini en ce point et certains de ses environs et si
.

En tenant compte des première et deuxième définitions de la continuité d'une fonction en un point, on peut obtenir l'énoncé suivant :

ou
, Mais
, Alors
.

Par conséquent, afin de trouver la limite d’une fonction continue à
il suffit d'utiliser une expression de fonction analytique au lieu d'un argument substituer sa valeur .

Définition 3. Une fonction continue en tout point d'une certaine région est appelée continu dans cette zone.

Par exemple:

Exemple 1. Prouver que la fonction
est continue en tous points du domaine de définition.

Utilisons la deuxième définition de continuité d'une fonction en un point. Pour ce faire, prenez n'importe quelle valeur de l'argument et donne-lui un incrément
. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction

Exemple 2. Prouver que la fonction
continue en tout point depuis
.

Donnons l'argument incrément
, alors la fonction sera incrémentée

Trouvons depuis la fonction
, c'est-à-dire limité.

De même, on peut prouver que toutes les fonctions élémentaires de base sont continues en tous points de leur domaine de définition, c'est-à-dire que le domaine de définition d'une fonction élémentaire coïncide avec son domaine de continuité.

Définition 4. Si la fonction
continu en tout point d'un certain intervalle
, alors on dit que la fonction est continue sur cet intervalle.