Nodarbības mērķi:

• iemācīt studentiem atrisināt augstākas pakāpes vienādojumus, izmantojot Hornera shēmu;
• attīstīt spēju strādāt pāros;
• kopā ar galvenajām kursa sadaļām radīt pamatu studentu spēju attīstībai;
• palīdzēt skolēnam novērtēt viņa potenciālu, attīstīt interesi par matemātiku, spēju domāt un runāt par tēmu.

Aprīkojums: kartītes grupu darbam, plakāts ar Hornera diagrammu.

Mācību metode: lekcija, stāsts, skaidrojums, treniņu vingrinājumu izpilde.

Kontroles forma: patstāvīgu problēmu risināšanas pārbaude, patstāvīgais darbs.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments

2. Studentu zināšanu papildināšana

Kura teorēma ļauj noteikt, vai skaitlis ir sakne? dots vienādojums(noformulēt teorēmu)?

Bezout teorēma. Polinoma P(x) dalījuma atlikums ar binomu x-c ir vienāds P(c), skaitli c sauc par polinoma P(x) sakni, ja P(c)=0. Teorēma ļauj, neveicot dalīšanas darbību, noteikt, vai dotais skaitlis ir polinoma sakne.

Kādi apgalvojumi atvieglo sakņu atrašanu?

a) Ja polinoma vadošais koeficients ir vienāds ar vienu, tad polinoma saknes jāmeklē starp brīvā vārda dalītājiem.

b) Ja polinoma koeficientu summa ir 0, tad viena no saknēm ir 1.

c) Ja koeficientu summa pāra vietās ir vienāda ar koeficientu summu nepāra vietās, tad viena no saknēm ir vienāda ar -1.

d) Ja visi koeficienti ir pozitīvi, tad polinoma saknes ir negatīvi skaitļi.

e) Nepāra pakāpes polinomam ir vismaz viena reāla sakne.

3. Jauna materiāla apgūšana

Atrisinot veselus algebriskos vienādojumus, jāatrod polinomu sakņu vērtības. Šo darbību var ievērojami vienkāršot, ja aprēķinus veic, izmantojot īpašu algoritmu, ko sauc par Hornera shēmu. Šī ķēde ir nosaukta angļu zinātnieka Viljama Džordža Hornera vārdā. Hornera shēma ir algoritms polinoma P(x) dalījuma ar x-c koeficienta un atlikuma aprēķināšanai. Īsumā, kā tas darbojas.

Dots patvaļīgs polinoms P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Dalot šo polinomu ar x-c, tas tiek attēlots formā P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Daļējs g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, kur in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Atlikums r(x)= st n-1 +a n. Šo aprēķina metodi sauc par Hornera shēmu. Vārds “shēma” algoritma nosaukumā ir saistīts ar to, ka tā ieviešana parasti tiek formatēta šādi. Vispirms uzzīmē 2. tabulu(n+2). Apakšējā kreisajā šūnā ierakstiet skaitli c, bet augšējā rindā - polinoma P(x) koeficientus. Šajā gadījumā augšējā kreisā šūna ir tukša.

	0 = a 0	in 1 =st 1 +a 1	in 2 = sv 1 + A 2		in n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Skaitlis, kas pēc algoritma izpildes izrādās ierakstīts apakšējā labajā šūnā, ir polinoma P(x) dalījuma ar x-c atlikums. Pārējie skaitļi 0, 1, 2,... apakšējā rindā ir koeficienta koeficienti.

Piemēram: sadaliet polinomu P(x)= x 3 -2x+3 ar x-2.

Mēs iegūstam, ka x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Izpētītā materiāla konsolidācija

1. piemērs: Pareizināt polinomu P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 faktoros ar veselu skaitļu koeficientiem.

Mēs meklējam veselas saknes starp brīvā termiņa dalītājiem -1: 1; -1. Izveidosim tabulu:

X = -1 – sakne

P(x)= (x+1) (2x3 -9x2 +6x-1)

Pārbaudīsim 1/2.

					X=1/2 — sakne

Tāpēc polinomu P(x) var attēlot formā

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2. piemērs: Atrisiniet vienādojumu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Tā kā vienādojuma kreisajā pusē uzrakstītā polinoma koeficientu summa ir vienāda ar nulli, tad viena no saknēm ir 1. Izmantosim Hornera shēmu:

						X=1 — sakne

Mēs iegūstam P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Saknes meklēsim starp brīvā termiņa 2 dalītājiem.

Noskaidrojām, ka veselu sakņu vairs nav. Pārbaudīsim 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - sakne

Atbilde: 1; -1/2.

3. piemērs: Atrisiniet vienādojumu 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Šī vienādojuma saknes meklēsim starp brīvā termina 5 dalītājiem: 1;-1;5;-5. x=1 ir vienādojuma sakne, jo koeficientu summa ir nulle. Izmantosim Hornera shēmu:

Iesniegsim vienādojumu kā trīs faktoru reizinājumu: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Atrisinot kvadrātvienādojumu 5x 2 -7x+5=0, saņēmām D=49-100=-51, sakņu nav.

1. karte

1. Polinoma koeficients: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Atrisiniet vienādojumu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. karte

1. Polinoma koeficients: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Atrisiniet vienādojumu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3. karte

1. Koeficients: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Atrisiniet vienādojumu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4. karte

1. Koeficients: 5x3 -46x2 +79x-14
2. Atrisiniet vienādojumu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Rezumējot

Zināšanu pārbaude, risinot pāros, tiek veikta klasē, atpazīstot darbības metodi un atbildes nosaukumu.

Mājasdarbs:

Atrisiniet vienādojumus:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatūra

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra un analīzes sākums, 10. klase (padziļināta matemātikas studija): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Saharčuks, L.S. Sagatelova, Augstāku pakāpju vienādojumu risinājums: Volgograda, 2007.
3. S.B. Gaškovs, Skaitļu sistēmas un to pielietojums.

2 Hornera shēma

3 Brīvas formas funkcijas

4 Polinomu sakņu atrašana

Izmantoto informācijas avotu saraksts

1 Vienādojumu sakņu atrašana (vienādojuma 1. sadaļa)

Viena no visizplatītākajām metodēm vienādojumu sakņu atrašanai ir Ņūtona metode un tās modifikācijas. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums

. Mēs pieņemsim, ka x ir vienādojuma risinājums. Izvērsīsim funkciju f(x) virknē punktā x0, kas atrodas tuvu punktam x, un aprobežosimies tikai ar pirmajiem diviem paplašināšanas locekļiem.

Tā kā x ir vienādojuma sakne, tad

. Tāpēc

Tādējādi, ja mēs zinām aptuveno vienādojuma saknes vērtību, tad iegūtais vienādojums ļauj to precizēt. Ir skaidrs, ka precizēšanas procesu var atkārtot daudzas reizes, līdz funkcijas vērtība atšķiras no nulles par summu, kas ir mazāka par norādīto meklēšanas precizitāti. Nākamais kth tuvinājums tiek atrasts pēc formulas

Ierobežojot paplašināšanu tikai uz pirmajiem diviem terminiem, mēs faktiski aizstājām funkciju f(x) ar taisnes pieskari punktā x0, tāpēc Ņūtona metodi sauc arī par pieskares metodi. Funkcijas atvasinājumam ne vienmēr ir ērti atrast analītisko izteiksmi. Tomēr tas nav īpaši nepieciešams: tā kā katrā solī mēs iegūstam aptuvenu saknes vērtību, mēs varam izmantot aptuveno atvasinājuma vērtību, lai to aprēķinātu.

Kā mazs daudzums

varat ņemt, piemēram, doto aprēķina precizitāti, tad aprēķina formula iegūs formu (1.1)

No otras puses, lai aprēķinātu atvasinājumu, varat izmantot funkciju vērtības, kas iegūtas divās iepriekšējās darbībās,

(1.2)

Šajā formā metodi sauc par sekanta metodi. Tomēr šajā gadījumā rodas problēmas ar pirmās tuvinājuma aprēķināšanu. Parasti tiek uzskatīts, ka

, tas ir, pirmais aprēķinu posms tiek veikts, izmantojot formulu (1.1), un visas turpmākās darbības tiek veiktas, izmantojot formulu (1.2). Tieši šī skaitļošanas shēma ir ieviesta Mathcad pakotnē. Izmantojot sekanta metodi, mēs nevaram garantēt, ka sakne atrodas starp pēdējiem diviem tuvinājumiem. Tomēr ir iespējams aprēķināt nākamo aproksimāciju, izmantojot tā intervāla robežas, kurā funkcija maina zīmi. Šo metodi sauc par akordu metodi (falsepositionmethod).

Sekanta metodes ideja ir izstrādāta Mullera metodē. Tomēr šajā metodē trīs iepriekšējie punkti tiek izmantoti, lai atrastu nākamo tuvinājumu. Citiem vārdiem sakot, metode izmanto nevis lineāru, bet kvadrātisku funkcijas interpolāciju. Metodes aprēķina formulas ir šādas:

Zīme saknes priekšā ir izvēlēta tā, lai saucēja absolūtā vērtība būtu maksimālā.

Jo saknes meklēšana beidzas, kad nosacījums ir izpildīts

, tad var parādīties viltus saknes. Piemēram, vienādojumam parādīsies nepatiesa sakne, ja meklēšanas precizitāte ir iestatīta uz mazāku par 0,0001. Palielinot meklēšanas precizitāti, jūs varat atbrīvoties no viltus saknēm. Tomēr šī pieeja nedarbojas visiem vienādojumiem. Piemēram, vienādojumam, kura acīmredzami nav īstas saknes, jebkurai precizitātei, lai cik maza tā būtu, ir vērtība x, kas atbilst meklēšanas beigšanas kritērijam. Iepriekš minētie piemēri parāda, ka datoraprēķinu rezultāti vienmēr ir jāvērtē kritiski un jāanalizē, lai tie būtu ticami. Lai izvairītos no kļūmēm, izmantojot jebkuru standarta pakotni, kas ievieš skaitliskās metodes, jums ir jābūt vismaz minimālai izpratnei par to, kura skaitliskā metode tiek ieviesta, lai atrisinātu konkrētu problēmu.

Gadījumā, ja ir zināms intervāls, kurā atrodas sakne, vienādojuma risinājuma atrašanai varat izmantot citas metodes.

Ridera metode aprēķina funkcijas vērtību intervāla vidū

. Pēc tam meklējiet eksponenciālu funkciju, lai pēc tam izmantotu horda metodi, izmantojot vērtības . Nākamo vērtību aprēķina, izmantojot formulu (1.5)

Brentmethod apvieno Ridder metodes ātrumu un garantēto bisekcijas metodes konverģenci. Metode izmanto apgriezto kvadrātisko interpolāciju, tas ir, tā meklē x kā kvadrātiskā funkcija y. Katrā solī tiek pārbaudīta saknes atrašanās vieta. Metodes formulas ir diezgan apgrūtinošas, un mēs tās neparādīsim.

Lai atrastu polinoma saknes, tiek izmantotas īpašas metodes. Šajā gadījumā var atrast visas saknes. Pēc tam, kad ir atrasta viena no polinoma saknēm, polinoma pakāpi var pazemināt, pēc tam saknes meklēšanu atkārto.

Lobačevska metode, algebrisko vienādojumu aptuvenās (skaitliskās) risināšanas metode, ko neatkarīgi viens no otra atrada beļģu matemātiķis J. Dandelins, krievu matemātiķis N. I. Lobačevskis (1834. gadā vispilnīgākajā formā) un Šveices matemātiķis K. Grefe. Lineārās metodes būtība ir konstruēt vienādojumu f1(x) = 0, kura saknes ir sākotnējā vienādojuma f(x) = 0 kvadrātsaknes. Pēc tam tiek konstruēts vienādojums f2(x) = 0, kura saknes ir vienādojuma f1(x) = 0 kvadrātsaknes. Atkārtojot šo procesu vairākas reizes, tiek iegūts vienādojums, kura saknes ir ļoti atdalītas. Ja visas sākotnējā vienādojuma saknes ir reālas un atšķiras absolūtā vērtība, ir vienkāršas skaitļošanas shēmas lineārām metodēm, lai atrastu aptuvenās sakņu vērtības. Gadījumā, ja saknes ir vienādas absolūtā vērtībā, kā arī sarežģītas saknes, lineāro metru skaitļošanas shēmas ir ļoti sarežģītas.

Lagēra metodes pamatā ir šādas polinomu attiecības

Zīme saknes priekšā ir izvēlēta tā, lai iegūtu augstākā vērtība saucējs.

Vēl viena metode, ko izmanto polinomu sakņu atrašanai, ir pavadošās matricas metode. Var pierādīt, ka matrica

sauc par polinoma pavadošo matricu

, īpašvērtības ir vienādas ar polinoma saknēm. Atgādinām, ka matricas īpašvērtības ir tie skaitļi , kuriem vienādība vai . Ir ļoti efektīvas meklēšanas metodes īpašvērtības, mēs par dažiem no tiem runāsim tālāk. Tādējādi polinoma sakņu atrašanas problēmu var reducēt līdz pavadošās matricas īpašvērtību atrašanas problēmai.

2 Hornera shēma

Aprēķins, izmantojot Hornera shēmu, izrādās efektīvāks, un tas nav īpaši sarežģīts. Šīs shēmas pamatā ir šāds polinoma attēlojums:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Ņemsim vispārīgu formas polinomu:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Mēs pieņemsim, ka visi koeficienti an, ..., a0 ir zināmi, nemainīgi un saglabāti masīvā. Tas nozīmē, ka vienīgā ievade polinoma novērtēšanai ir x vērtība, un programmas izvadei jābūt polinoma vērtībai punktā x.

Īpašības

kur iekšā vispārējs gadījums komplekss) polinoma saknes, iespējams, ar atkārtojumiem, un, ja starp polinoma saknēm ir vienādas, tad to kopējo vērtību sauc vairākas saknes.

Sakņu atrašana

Lineāro un kvadrātisko polinomu sakņu atrašanas metode, tas ir, lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanas metode, bija zināma antīkajā pasaulē. Trešās pakāpes vispārīgā vienādojuma precīza atrisinājuma formulas meklējumi turpinājās ilgu laiku (jāpiemin Omara Khayyam piedāvātā metode), līdz 16. gadsimta pirmajā pusē darbos vainagojās panākumiem. Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia un Gerolamo Cardano. Kvadrātisko un kubisko vienādojumu sakņu formulas ļāva salīdzinoši viegli iegūt formulas ceturtās pakāpes vienādojumu saknēm.

Kādas saknes vispārējais vienādojums piektās un augstākās pakāpes nevar izteikt, izmantojot racionālas funkcijas un koeficientu radikāļus, to pierādīja norvēģu matemātiķis Nīls Ābels 1826. gadā. Tas nebūt nenozīmē, ka šāda vienādojuma saknes nevar atrast. Pirmkārt, īpašos gadījumos noteiktām koeficientu kombinācijām vienādojuma saknes var noteikt ar zināmu atjautību. Otrkārt, ir formulas 5. un augstākas pakāpes vienādojumu saknēm, kurās tomēr tiek izmantotas īpašas funkcijas - eliptiskas vai hiperģeometriskas (skatiet, piemēram, Bring sakni).

Ja visi polinoma koeficienti ir racionāli, tad, meklējot tā saknes, tiek atrastas polinoma saknes ar veseliem skaitļiem. Priekš racionālās saknes Ir algoritmi šādu polinomu atrašanai, meklējot kandidātus, izmantojot Hornera shēmu, un, atrodot veselas saknes, meklēšanu var ievērojami samazināt, iztīrot saknes. Arī šajā gadījumā varat izmantot polinoma LLL algoritmu.

Lai aptuveni atrastu (ar jebkuru nepieciešamo precizitāti) polinoma reālās saknes ar reālie koeficienti Tiek izmantotas iteratīvās metodes, piemēram, sekanta metode, bisekcijas metode, Ņūtona metode. Polinoma reālo sakņu skaitu intervālā var novērtēt, izmantojot Šturma teorēmu.

Skatīt arī

Piezīmes

Wikimedia fonds. 2010. gads.

• Kanalizācija
• Veksiloloģijas terminu vārdnīca

Skatiet, kas ir “polinoma sakne” citās vārdnīcās:

Algebriskā vienādojuma sakne

Vienādojuma sakne- Polinoma sakne virs lauka k ir elements, kas pēc tā aizstāšanas ar x pārvērš vienādojumu par identitāti. Īpašības Ja c ir polinoma p(x ... Wikipedia) sakne

Atnes sakni- Pārbaudiet informāciju. Ir nepieciešams pārbaudīt faktu precizitāti un šajā rakstā sniegtās informācijas ticamību. Sarunu lapā jābūt paskaidrojumam. Algebrā Bring sakne jeb ultraradikāls ir analītiska funkcija, kas... ... Wikipedia

Sakne (nozīmējums)- Sakne: Vikivārdnīcā ir raksts “sakne” Sakne (botānikā) ir veģetatīvs aksiāls pazemes orgāns augam, kuram ir sp ... Wikipedia

Sakne (matemātikā)- Sakne matemātikā, 1) K. skaitļa a ≈ skaitļa x pakāpe n (apzīmēta), kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a (tas ir, xn = a). K. atrašanas darbību sauc par sakņu ekstrakciju. Attiecībā uz ¹ 0 ir n dažādas nozīmes K. (vispārīgi runājot, ......

Sakne- I sakne (radix) ir viens no galvenajiem lapu augu (izņemot sūnas) veģetatīvajiem orgāniem, kas kalpo piestiprināšanai pie substrāta, ūdens un barības vielu uzsūkšanai no tā, vairāku absorbētu vielu primārai transformācijai,.. . Lielā padomju enciklopēdija

SAKNE- 1) K. pakāpe n no skaitļa a skaitļa n un i pakāpes x n līdz skaitlim ir vienāda ar a. 2) Algebriskā vienādojuma vienādojums virs lauka K, elements, kas pēc tā aizvietošanas vietā pārvērš vienādojumu par identitāti. K. šī vienādojuma sauc. arī K. polinoms Ja parādās... ... Matemātiskā enciklopēdija

Vairākas saknes- polinoms f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, skaitlis c, lai f (x) dalītos ar sekundi vai vairāk bez atlikuma augsta pakāpe binomiāls (x c). Šajā gadījumā c tiek saukts par reizinājuma sakni, ja f (x) dalās ar (x c) k, bet ne... ... Lielā padomju enciklopēdija

Konjugētā sakne- Ja daži nereducējams polinoms virs gredzena un dažas no tā saknēm paplašinājumā tiek izvēlēti, tad konjugētā sakne konkrētai polinoma saknei tiek saukta par jebkuru polinoma sakni ... Wikipedia

Kvadrātsakne no 2- vienāds ar hipotenūzas garumu collā taisnleņķa trīsstūris ar kājas garumu 1. Kvadrātsakne no skaitļa 2 ir pozitīva ... Wikipedia

Ja funkcija f(x) ir polinoms, tad visas tās saknes var noteikt, izmantojot iebūvēto funkciju

kur v ir vektors, kas sastāv no polinoma koeficientiem.

Tā kā n-tās pakāpes polinomam ir tieši n saknes (dažas no tām var būt daudzkārtējas), vektoram v jāsastāv no n+1 elementiem. Funkcijas polyroots() rezultāts ir vektors, kas sastāv no attiecīgā polinoma n saknēm. Šajā gadījumā nav jāievieš nekāda sākotnējā tuvināšana, tāpat kā funkcijai root (). Ceturtās pakāpes polinoma sakņu meklēšanas piemērs ir parādīts attēlā. 4.6:

Rīsi. 4.6. Polinoma saknes atrašana

Piemērā aplūkotā polinoma koeficienti ir uzrakstīti kā kolonnas vektors, sākot ar brīvo terminu un beidzot ar koeficientu pie lielākās pakāpes x n.

Funkcijai polyroots() varat izvēlēties vienu no divām skaitliskām metodēm - Lagger polinomu metodi (tā ir instalēta pēc noklusējuma) vai pāru matricas metodi. Lai mainītu metodi, jums ir jāizsauc konteksta izvēlne, ar peles labo pogu noklikšķinot uz vārda polyroots un konteksta izvēlnes augšdaļā atlasiet LaGuerre vai Companion Matrix. Pēc tam jums jānoklikšķina ārpus funkcijas polyroots - un, ja ir ieslēgts automātiskais aprēķina režīms, polinoma saknes tiks pārrēķinātas saskaņā ar jaunizvēlēto metodi.

Lai risinājuma metodes izvēli atstātu Mathcad ziņā, jāatzīmē izvēles rūtiņa AutoSelect, tajā pašā konteksta izvēlnē atlasot vienumu ar tādu pašu nosaukumu.

Nelineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana

Aplūkosim sistēmas n risinājumu nelineārie vienādojumi ar m nezināmajiem

f 1 (x 1,..., x m) = 0,

f n (x 1,..., x m) = 0,

Šeit f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) ir dažas skalāro mainīgo x 1 ,... ,х m un, iespējams, skalārās funkcijas. , no jebkuriem citiem mainīgajiem. Vienādojumos var būt vairāk vai mazāk mainīgo. Ņemiet vērā, ka iepriekš minēto sistēmu var formāli pārrakstīt kā

kur x ir vektors, kas sastāv no mainīgajiem x 1,...,x m, un f (x) ir atbilstošā vektora funkcija.

Sistēmu risināšanai ir īpaša skaitļošanas vienība, kas sastāv no trim daļām, kas nāk secīgi viena pēc otras:

Dots - atslēgas vārds;

Sistēma, kas rakstīta, izmantojot Būla operatorus vienādību un, iespējams, nevienādību veidā;

Find(x 1,...,x m) - iebūvēta funkcija sistēmas risināšanai attiecībā pret mainīgajiem x 1,...,x m.

Blokā Dots/Atrast risinājuma atrašanai tiek izmantotas iteratīvas metodes, tāpēc, tāpat kā root() funkcijai, ir jāiestata sākotnējās vērtības visiem x 1,...,x m. Tas ir jādara pirms Dotā atslēgvārda rakstīšanas. Funkcijas Find vērtība ir vektors, kas sastāv no katra mainīgā risinājuma. Tādējādi vektora elementu skaits ir vienāds ar Find argumentu skaitu.

Apskatīsim piemēru. Atrisiniet divu vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem:

ar precizitāti 0,01. Grafiski atdaliet saknes.

Sistēmas vienādojumus parādīsim viena mainīgā šādu funkciju veidā:

Atlasīsim diskrētās mainīgo vērtības:

Atradīsim vienādojuma saknes, izmantojot bloku Dots – Find():

Attēlā 4.7 parāda vēl vienu piemēru divu vienādojumu sistēmas risināšanai:

Rīsi. 4.7. Vienādojumu sistēmas atrisināšana

Pirmkārt, att. 4.7. ir ieviestas funkcijas, kas definē vienādojumu sistēmu. Tad mainīgajiem x un y, attiecībā pret kuriem tas tiks atrisināts, tiek piešķirtas sākotnējās vērtības. Tam seko atslēgvārds Dotais un divi Būla vienādības operatori, kas izsaka attiecīgo vienādojumu sistēmu. Aprēķinu bloku pabeidz funkcija Atrast, kuras vērtība tiek piešķirta vektoram v. Tad tiek izdrukāts vektora v saturs, t.i., sistēmas risinājums. Vektora pirmais elements ir Atrast funkcijas pirmais arguments, otrais elements ir tā otrais arguments. Beigās tika pārbaudīta vienādojumu atrisinājuma pareizība. Ņemiet vērā, ka vienādojumus var definēt tieši skaitļošanas vienībā.

Aplūkotās sistēmas grafiskā interpretācija ir parādīta attēlā. 4.8. Katrs no vienādojumiem xy plaknē ir parādīts ar grafiku. Pirmais vienādojums ir attēlots ar līkni, otrais ar nepārtrauktu līniju. Divi līkņu krustošanās punkti atbilst abu vienādojumu vienlaicīgai izpildei, t.i., vēlamajām sistēmas reālajām saknēm. Kā tas ir viegli redzams, attēlā. 4.7, tika atrasts tikai viens no diviem risinājumiem - atrodas diagrammas apakšējā labajā daļā. grafikos, piemēram, x = -1, y = -1.

Rīsi. 4.8. Divu vienādojumu sistēmas grafisks risinājums

Tika apskatīts divu vienādojumu un vienāda skaita nezināmo sistēmas piemērs, kas notiek visbiežāk. Tomēr ir gadījumi, kad vienādojumu un nezināmo skaits var nesakrist. Turklāt skaitļošanas vienībai var pievienot papildu nosacījumus nevienādību veidā. Piemēram, ieviešot ierobežojumu meklēt tikai x negatīvās vērtības iepriekš apskatītajā piemērā, tiks atrasts cits risinājums, kā parādīts attēlā. 4.9:

Rīsi. 4.9. Vienādojumu un nevienādību sistēmas atrisināšana

Neskatoties uz tām pašām sākotnējām vērtībām kā attēlā. 4.8, attēlā. 4.9 iegūst vēl vienu sakni. Tas notika tieši papildu nevienlīdzības ieviešanas dēļ, kas definēta Dotajā blokā (x< 0).

Ja mēģināt atrisināt nesaderīgu sistēmu, Mathcad parādīs kļūdas ziņojumu, ka risinājums nav atrasts, un jums jāmēģina mainīt sākotnējās vērtības vai kļūdas vērtību.

Aprēķinu vienība izmanto CTOL konstanti, lai novērtētu kļūdu vienādojumu risināšanā, kas ievadīti pēc Dotā atslēgvārda. Piemēram, ja CTOL=0,001, tad vienādojums x=10 tiks uzskatīts par izpildītu gan pie x=10,001, gan pie x=9,999. Cita konstante TOL nosaka nosacījumu iterāciju apturēšanai ar skaitlisko algoritmu. CTOL vērtību lietotājs var norādīt tāpat kā TOL, piemēram, CTOL:=0.01. Pēc noklusējuma tiek pieņemts, ka CTOL=TOL=0,001, taču, ja vēlaties, varat tos ignorēt.

Īpaši uzmanīgiem jābūt, risinot sistēmas, kurās ir vairāk nezināmo nekā vienādojumu skaits. Piemēram, jūs varat noņemt vienu no diviem vienādojumiem no mūsu pārbaudītā attēla. 4.7, mēģinot atrisināt vienīgo vienādojumu g(x,y)=0 ar diviem nezināmajiem x un y. Šajā formulējumā uzdevumam ir bezgalīgs sakņu skaits: jebkuram x un attiecīgi y = -x/2 nosacījums, kas nosaka vienīgo vienādojumu, ir izpildīts. Tomēr pat tad, ja sakņu ir bezgalīgi daudz, skaitliskā metode veiks aprēķinus tikai līdz brīdim, kad skaitļošanas vienībā ir izpildītas loģiskās izteiksmes (kļūdas robežās). Pēc tam iterācijas tiks apturētas un risinājums tiks atgriezts. Rezultātā vispirms tiks atrasts tikai viens vērtību pāris (x, y).

Aprēķinu bloks ar funkciju Atrast var atrast arī vienādojuma sakni ar vienu nezināmu. Darbība Atrast šajā gadījumā ir pilnīgi līdzīga šajā sadaļā jau aplūkotajiem piemēriem. Saknes atrašanas problēma tiek uzskatīta par sistēmas atrisināšanu, kas sastāv no viena vienādojuma. Vienīgā atšķirība ir tā, ka funkcijas Find() atgrieztais skaitlis ir skalārs, nevis vektora veids. Piemērs vienādojuma atrisināšanai no iepriekšējās sadaļas ir parādīts attēlā. 4.10.

Rīsi. 4.10. Vienādojuma saknes atrašana vienā nezināmajā, izmantojot funkciju Find().

Mathcad piedāvā trīs dažādu veidu gradienta metodes nelineāru vienādojumu sistēmas risināšanai, izmantojot bloku Dots – Find(). Lai mainītu skaitlisko metodi, jums ir:

Ar peles labo pogu noklikšķiniet uz Atrast funkcijas nosaukuma;

Parādītajā konteksta izvēlnē atlasiet vienumu Nelineārs;

Izvēlieties vienu no trim metodēm: Konjugāta gradients (noklusējums), kvaziņūtona vai Levenberga-Marquardt.

§ 13. Visas funkcijas (polinomi) un to pamatīpašības. Algebrisko vienādojumu risināšana uz komplekso skaitļu kopas 165

13.1. Pamatdefinīcijas 165

13.2. Veselu skaitļu polinomu pamatīpašības 166

13.3. Algebriskā vienādojuma sakņu pamatīpašības 169

13.4. Algebrisko pamatvienādojumu atrisināšana uz komplekso skaitļu kopas 173

13.5. Vingrinājumi patstāvīgajam darbam 176

Pašpārbaudes jautājumi 178

178. glosārijs

1. Pamatdefinīcijas

Visa algebriskā funkcija vai algebriskais polinoms (polinoms )arguments x sauc par šāda veida funkciju

Šeit n–polinoma pakāpe ( naturāls skaitlis vai 0), x - mainīgs (reāls vai komplekss), a 0 , a 1 , …, a n –polinoma koeficienti (reālie vai kompleksie skaitļi), a 0  0.

Piemēram,

;
;
,
– kvadrātveida trijstūris;

,
;.

Numurs X 0 tāds P n (x 0)0, zvanīja nulles funkcija P n (x) vai vienādojuma sakne
.

Piemēram,

viņa saknes
,
,
.

jo
Un
.

Piezīme (par visas algebriskās funkcijas nulles definīciju)

Literatūrā funkcijas nulles bieži ir
sauc par tās saknēm. Piemēram, skaitļi
Un
sauc par kvadrātiskās funkcijas saknēm
.

1. Veselu skaitļu polinomu pamatīpašības

 Identitāte (3) ir derīga  x 
(vai x  ), tāpēc tas ir derīgs
; aizstājot
, saņemam A n = b n. Ļaujiet mums savstarpēji atcelt noteikumus (3) A n Un b n un sadaliet abas daļas ar x:

Šī identitāte attiecas arī uz  x, tostarp kad x= 0, pieņemot x= 0, mēs iegūstam A n – 1 = b n – 1 .

Ļaujiet mums savstarpēji atcelt noteikumus (3") A n– 1 un b n– 1 un sadaliet abas puses ar x, kā rezultātā mēs iegūstam

Līdzīgi turpinot argumentu, mēs iegūstam to A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Tādējādi ir pierādīts, ka divu veselu skaitļu polinomu identiska vienlīdzība nozīmē to koeficientu sakritību vienādām pakāpēm x.

Apgrieztais apgalvojums ir diezgan acīmredzams, tas ir, ja diviem polinomiem ir vienādi visi koeficienti, tad tās ir identiskas funkcijas, kas definētas kopā
tāpēc to vērtības sakrīt ar visām argumenta vērtībām
, kas nozīmē to identisku vienlīdzību. Īpašums 1 ir pilnībā pierādīts.

Piemērs (identiska polinomu vienādība)

.

 Uzrakstīsim dalīšanas formulu ar atlikumu: P n (x) = (x – X 0)∙J n – 1 (x) + A,

Kur J n – 1 (x) — pakāpes polinoms ( n – 1), A- atlikums, kas ir skaitlis, kas saistīts ar labi zināmo algoritmu polinoma dalīšanai ar binomiju “kolonnā”.

Šī vienlīdzība attiecas uz  x, tostarp kad x = X 0 ; ticot
, saņemam

P n (x 0) = (x 0 – x 0)J n – 1 (x 0) + A  A = P n (X 0) 

Pierādītās īpašības sekas ir apgalvojums par polinoma dalīšanu bez atlikuma ar binoma, kas pazīstams kā Bezout teorēma.

Bezout teorēma (par vesela skaitļa polinoma dalīšanu ar binoma bez atlikuma)

Ja numurs ir polinoma nulle , tad šis polinoms bez atlikuma dalās ar starpību , tas ir, vienlīdzība ir patiesa  (5)

 Bezout teorēmas pierādīšanu var veikt, neizmantojot iepriekš pierādīto vesela skaitļa polinoma dalīšanas īpašību
pēc binomiāla
. Patiešām, uzrakstīsim formulu polinoma dalīšanai
pēc binomiāla
ar atlikumu A=0:

Tagad ņemsim to vērā ir polinoma nulle
, un ierakstiet pēdējo vienādību
:

Piemēri (polinoma faktorēšana, izmantojot Bezouta tā saukto)

1) jo P 3 (1)0;

2) jo P 4 (–2)0;

3) jo P 2 (–1/2)0.

Šīs teorēmas pierādījums ir ārpus mūsu kursa darbības jomas. Tāpēc mēs pieņemam teorēmu bez pierādījumiem.

Apstrādāsim šo teorēmu un Bezout teorēmu ar polinomu P n (x):

pēc n- šo teorēmu vairākkārtēji pielietojot, mēs iegūstam, ka

Kur a 0 ir koeficients pie x n polinoma apzīmējumā P n (x).

Ja vienlīdzībā (6) k cipari no komplekta X 1 ,X 2 , …X n sakrīt viens ar otru un ar skaitli , tad labajā pusē esošajā reizinājumā iegūstam reizinātāju ( x–) k. Tad numurs x= sauc polinoma k-kārtīga sakne P n (x ) , vai daudzkārtības k sakne . Ja k= 1, tad skaitlis
sauca polinoma vienkāršā sakne P n (x ) .

Piemēri (polinoma lineārā faktorizācija)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - vienkārša sakne, x 2 = 4 - trīskāršā sakne;

2) P 4 (x) = (x – i) 4  x = i- reizinājuma sakne 4.

Līdzīgi raksti