Mēs sapratām, kas patiesībā ir skaitļa pakāpe. Tagad mums ir jāsaprot, kā to pareizi aprēķināt, t.i. palielināt skaitļus līdz pakāpēm. Šajā materiālā mēs analizēsim pakāpju aprēķināšanas pamatnoteikumus veselu skaitļu, naturālo, daļskaitļu, racionālo un iracionālo eksponentu gadījumā. Visas definīcijas tiks ilustrētas ar piemēriem.

Paaugstināšanas jēdziens

Sāksim ar pamata definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Paaugstināšana- tas ir noteikta skaitļa jaudas vērtības aprēķins.

Tas ir, vārdi “varas vērtības aprēķināšana” un “varas palielināšana” nozīmē vienu un to pašu. Tātad, ja uzdevums saka: “Palieliniet skaitli 0, 5 līdz piektajai pakāpei”, tas ir jāsaprot kā “aprēķiniet jaudas (0, 5) vērtību 5.

Tagad mēs iepazīstinām ar pamatnoteikumiem, kas jāievēro, veicot šādus aprēķinus.

Atcerēsimies, kas ir skaitļa pakāpe ar naturālo eksponentu. Pakāpei ar bāzi a un eksponentu n tas būs n-tā faktoru skaita reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. To var uzrakstīt šādi:

Lai aprēķinātu pakāpes vērtību, jums ir jāveic reizināšanas darbība, tas ir, jāreizina pakāpes bāzes norādīto reižu skaitu. Pati jēdziens par grādu ar dabisku eksponentu ir balstīts uz spēju ātri reizināt. Sniegsim piemērus.

1. piemērs

Stāvoklis: paceliet - 2 uz jaudu 4.

Risinājums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Tālāk mums vienkārši jāveic šīs darbības un jāsaņem 16.

Ņemsim sarežģītāku piemēru.

2. piemērs

Aprēķiniet vērtību 3 2 7 2

Risinājums

Šo ierakstu var pārrakstīt kā 3 2 ​​7 · 3 2 7 . Iepriekš mēs apskatījām, kā pareizi reizināt nosacījumā minētos jauktos skaitļus.

Veiksim šīs darbības un saņemsim atbildi: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ja problēma norāda uz nepieciešamību palielināt iracionālos skaitļus līdz dabiskajam pakāpēm, mums vispirms būs jānoapaļo to bāzes līdz ciparam, kas ļaus iegūt atbildi ar nepieciešamo precizitāti. Apskatīsim piemēru.

3. piemērs

Izpildiet π kvadrātu.

Risinājums

Pirmkārt, noapaļosim to līdz simtdaļām. Tad π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ja π ≈ 3. 14159, tad iegūstam precīzāku rezultātu: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Ņemiet vērā, ka nepieciešamība aprēķināt iracionālo skaitļu pakāpumus praksē rodas salīdzinoši reti. Pēc tam mēs varam uzrakstīt atbildi kā pašu jaudu (ln 6) 3 vai konvertēt, ja iespējams: 5 7 = 125 5 .

Atsevišķi jānorāda, kāda ir skaitļa pirmā pakāpe. Šeit jūs varat vienkārši atcerēties, ka jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliks pats:

Tas ir skaidrs no ieraksta .

Tas nav atkarīgs no grāda pamata.

4. piemērs

Tātad (− 9) 1 = − 9, un 7 3, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliks vienāds ar 7 3.

Ērtības labad mēs atsevišķi izskatīsim trīs gadījumus: ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis, ja tas ir nulle un ja tas ir negatīvs vesels skaitlis.

Pirmajā gadījumā tas ir tas pats, kas paaugstināšana līdz naturālajam pakāpēm: galu galā pozitīvi veseli skaitļi pieder naturālo skaitļu kopai. Mēs jau runājām iepriekš par to, kā strādāt ar šādiem grādiem.

Tagad redzēsim, kā pareizi paaugstināt līdz nulles jaudai. Bāzei, kas nav nulle, šis aprēķins vienmēr izvada 1. Iepriekš mēs paskaidrojām, ka a 0. pakāpi var definēt jebkuram reālam skaitlim, kas nav vienāds ar 0, un a 0 = 1.

5. piemērs

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nav definēts.

Mums paliek tikai pakāpes gadījums ar veselu negatīvu eksponentu. Mēs jau apspriedām, ka šādas pakāpes var uzrakstīt kā daļskaitli 1 a z, kur a ir jebkurš skaitlis, bet z ir negatīvs vesels skaitlis. Mēs redzam, ka šīs daļdaļas saucējs ir nekas cits kā parasta pakāpe ar pozitīvu veselu eksponentu, un mēs jau esam iemācījušies to aprēķināt. Sniegsim uzdevumu piemērus.

6. piemērs

Paceliet 2 līdz jaudai - 3.

Risinājums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: 2 - 3 = 1 2 3

Aprēķināsim šīs daļas saucēju un iegūsim 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Tad atbilde ir: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. piemērs

Palieliniet 1,43 līdz -2.

Risinājums

Pārformulēsim: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Aprēķinām kvadrātu saucējā: 1,43·1,43. Decimālskaitļus var reizināt šādi:

Rezultātā mēs saņēmām (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Viss, kas mums jādara, ir jāuzraksta šis rezultāts parastas daļskaitļa formā, kuram tas jāreizina ar 10 tūkstošiem (skat. materiālu par daļskaitļu pārvēršanu).

Atbilde: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Īpašs gadījums ir skaitļa paaugstināšana līdz mīnus pirmajai pakāpei. Šīs pakāpes vērtība ir vienāda ar bāzes sākotnējās vērtības apgriezto vērtību: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

8. piemērs

Piemērs: 3–1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kā palielināt skaitli līdz daļskaitlim

Lai veiktu šādu darbību, jāatceras pakāpes pamatdefinīcija ar daļskaitļa eksponentu: a m n = a m n jebkuram pozitīvam a, veselam skaitlim m un dabiskajam n.

2. definīcija

Tādējādi daļējas pakāpes aprēķins jāveic divos posmos: jāpalielina līdz veselam skaitļam un jāatrod n-tā pakāpes sakne.

Mums ir vienādība a m n = a m n , kuru, ņemot vērā sakņu īpašības, parasti izmanto uzdevumu risināšanai formā a m n = a n m . Tas nozīmē, ka, ja mēs paaugstinām skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, tad vispirms ņemam a n-to sakni, pēc tam paaugstinām rezultātu līdz pakāpei ar veselu eksponentu m.

Ilustrēsim ar piemēru.

9. piemērs

Aprēķināt 8 - 2 3 .

Risinājums

1. metode: saskaņā ar pamata definīciju mēs to varam attēlot šādi: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Tagad aprēķināsim pakāpi zem saknes un no rezultāta atdalīsim trešo sakni: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. metode. Pārveidojiet pamata vienādību: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pēc tam mēs izņemam sakni 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 un izvelkam rezultātu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Mēs redzam, ka risinājumi ir identiski. Jūs varat to izmantot jebkurā veidā, kas jums patīk.

Ir gadījumi, kad grādam ir rādītājs, kas izteikts kā jaukts skaitlis vai decimālzīme. Lai vienkāršotu aprēķinus, labāk to aizstāt ar parasto daļu un aprēķināt, kā norādīts iepriekš.

10. piemērs

Palieliniet 44, 89 līdz 2, 5.

Risinājums

Pārveidosim rādītāja vērtību par kopējā frakcija: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Tagad mēs veicam visas iepriekš norādītās darbības secībā: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 130501 = 2010501 13 501, 25107

Atbilde: 13 501, 25107.

Ja daļskaitļa eksponenta skaitītājs un saucējs satur lielus skaitļus, tad šādu eksponentu aprēķināšana ar racionālajiem eksponentiem ir diezgan grūts darbs. Parasti tas prasa datortehnoloģiju.

Pakavēsimies atsevišķi pie pakāpēm ar nulles bāzi un daļskaitli. Formas 0 m n izteiksmei var piešķirt šādu nozīmi: ja m n > 0, tad 0 m n = 0 m n = 0; ja m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kā palielināt skaitli līdz iracionālam pakāpēm

Nepieciešamība aprēķināt jaudas vērtību, kuras eksponents ir neracionāls skaitlis, nenotiek ļoti bieži. Praksē uzdevums parasti aprobežojas ar aptuvenas vērtības aprēķināšanu (līdz noteiktam zīmju skaitam aiz komata). To parasti aprēķina datorā šādu aprēķinu sarežģītības dēļ, tāpēc mēs par to sīkāk nekavēsimies, norādīsim tikai galvenos noteikumus.

Ja mums ir jāaprēķina pakāpes a vērtība ar iracionālu eksponentu a, tad mēs ņemam eksponenta decimālo tuvinājumu un skaitām no tā. Rezultāts būs aptuvena atbilde. Jo precīzāka ir decimālā tuvināšana, jo precīzāka ir atbilde. Parādīsim ar piemēru:

11. piemērs

Aprēķiniet 2 tuvinājumu pakāpei 1,174367....

Risinājums

Aprobežosimies ar decimālo tuvinājumu a n = 1, 17. Veiksim aprēķinus, izmantojot šo skaitli: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ja ņemam, piemēram, aproksimāciju a n = 1, 1743, tad atbilde būs nedaudz precīzāka: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Pakāpju formulas izmanto sarežģītu izteiksmju samazināšanas un vienkāršošanas procesā, vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a Kad:

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, tiek pievienoti to rādītāji:

a m·a n = a m + n .

2. Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti:

3. 2 vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Daļas pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:

(a/b) n = a n/b n .

5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:

(a m) n = a m n .

Katra iepriekš minētā formula ir patiesa virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.

Piemēram. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Darbības ar saknēm.

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:

2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un sakņu dalītāja attiecību:

3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar radikālo skaitli palielināt līdz šai pakāpei:

4. Ja palielināsit saknes pakāpi n vienreiz un tajā pašā laikā iekļauties n th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja samazina saknes pakāpi n vienlaikus izvelciet sakni n-radikāla skaitļa pakāpe, tad saknes vērtība nemainīsies:

Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa jaudu ar nepozitīvu (veselu) eksponentu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar absolūtā vērtība nepozitīvs indikators:

Formula a m:a n =a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī ar m< n.

Piemēram. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Uz formulu a m:a n =a m - n kļuva godīgi, kad m=n, ir nepieciešama nulles grādu klātbūtne.

Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa spēks, nevis vienāds ar nulli, ar nulles eksponentu ir vienāds ar vienu.

Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli A līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n th pakāpe m- šī skaitļa pakāpe A.

Kad skaitlis reizina pats sevi sev, strādāt sauca grāds.

Tātad 2,2 = 4, 2 kvadrāts vai otrā pakāpe
2.2.2 = 8, kubs vai trešā pakāpe.
2.2.2.2 = 16, ceturtā pakāpe.

Arī 10,10 = 100, 10 otrā pakāpe.
10.10.10 = 1000, trešā pakāpe.
10.10.10.10 = 10000 ceturtā pakāpe.

Un a.a = aa, a otrais pakāpe
a.a.a = aaa, a trešā pakāpe
a.a.a.a = aaaa, a ceturtais pakāpe

Tiek izsaukts sākotnējais numurs saknešī skaitļa pakāpes, jo tas ir skaitlis, no kura tika izveidoti pilnvari.

Tomēr tas nav gluži ērti, it īpaši gadījumā augstas pakāpes, pierakstiet visus faktorus, kas veido grādus. Tāpēc tiek izmantota saīsinātā apzīmējuma metode. Pakāpes sakne ir rakstīta tikai vienu reizi, un labajā pusē un nedaudz augstāk pie tās, bet nedaudz mazākā fontā ir rakstīts, cik reizes sakne darbojas kā faktors. Šo numuru vai burtu sauc eksponents vai grāds cipariem. Tātad 2 ir vienāds ar a.a vai aa, jo sakne a ir jāreizina ar sevi divas reizes, lai iegūtu jaudu aa. Arī 3 nozīmē aaa, tas ir, šeit atkārtojas a trīs reizes kā reizinātājs.

Pirmās pakāpes eksponents ir 1, bet to parasti nepieraksta. Tātad 1 tiek rakstīts kā a.

Nevajadzētu jaukt grādus ar koeficienti. Koeficients parāda, cik bieži vērtība tiek pieņemta daļa viss. Jauda parāda, cik bieži tiek ņemts daudzums faktors darbā.
Tātad, 4a = a + a + a + a. Bet a 4 = a.a.a.a

Jaudas apzīmējumu shēmai ir īpaša priekšrocība, jo tā ļauj mums izteikties nezināms grāds. Šim nolūkam skaitļa vietā tiek rakstīts eksponents vēstule. Problēmas risināšanas procesā mēs varam iegūt daudzumu, par kuru mēs zinām, ka tas ir daži cita lieluma pakāpe. Bet līdz šim mēs nezinām, vai tas ir kvadrāts, kubs vai cita, augstāka pakāpe. Tātad izteiksmē a x eksponents nozīmē, ka šai izteiksmei ir daži grāds, kaut arī nenoteikts kāda pakāpe. Tātad b m un d n tiek palielināti līdz m un n pakāpēm. Kad eksponents ir atrasts, numuru tiek aizstāts burta vietā. Tātad, ja m=3, tad b m = b3; bet, ja m = 5, tad b m = b 5.

Liela priekšrocība ir arī vērtību rakstīšanas metode, izmantojot spēkus izteiksmes. Tādējādi (a + b + d) 3 ir (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), tas ir, trinoma (a + b + d) kubs. . Bet, ja mēs rakstīsim šo izteiksmi pēc tā pacelšanas kubā, tas izskatīsies kā
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ja ņemam pakāpju virkni, kuru eksponenti palielinās vai samazinās par 1, mēs atklājam, ka reizinājums palielinās par kopējais reizinātājs vai samazinās par kopīgs dalītājs , un šis koeficients vai dalītājs ir sākotnējais skaitlis, kas tiek palielināts līdz pakāpei.

Tātad, sērijā aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
vai 5, 4, 3, 2, 1;
rādītāji, ja tos skaita no labās puses uz kreiso, ir 1, 2, 3, 4, 5; un atšķirība starp to vērtībām ir 1. Ja mēs sākam pa labi vairoties ar a, mēs veiksmīgi iegūsim vairākas vērtības.

Tātad a.a = a 2 , otrais termins. Un a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , trešais loceklis. a 4 .a = a 5 .

Ja mēs sākam pa kreisi sadalīt uz a,
mēs iegūstam 5:a = a 4 un 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Bet šo sadalīšanas procesu var turpināt, un mēs iegūstam jaunu vērtību kopumu.

Tātad a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Pilnā rinda būtu: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Vai arī 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Šeit ir vērtības pa labi no viena tur ir otrādi vērtības pa kreisi no viena. Tāpēc šos grādus var saukt apgrieztās pilnvaras a. Mēs varam arī teikt, ka kreisās puses pilnvaras ir labās puses spēku apgrieztās vērtības.

Tātad 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Un 1:(1/a 3) = a 3.

Var piemērot to pašu ierakstīšanas plānu polinomi. Tātad, a + b, mēs iegūstam kopu,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Ērtības labad tiek izmantots cits savstarpējo pilnvaru rakstīšanas veids.

Saskaņā ar šo formu 1/a vai 1/a 1 = a -1. Un 1/aaa vai 1/a 3 = a -3 .
1/aa vai 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa vai 1/a 4 = a -4 .

Un, lai izveidotu pilnīgu virkni ar 1 kā kopējo starpību ar eksponentiem, a/a vai 1 tiek uzskatīts par kaut ko tādu, kam nav pakāpes un tiek rakstīts kā 0 .

Tad, ņemot vērā tiešās un apgrieztās pilnvaras
vietā aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
Jūs varat rakstīt 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, a -4.
Vai arī +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, a -4.

Un tikai atsevišķu grādu sērija izskatīsies šādi:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Pakāpes sakni var izteikt ar vairāk nekā vienu burtu.

Tādējādi aa.aa vai (aa) 2 ir aa otrais pakāpe.
Un aa.aa.aa vai (aa) 3 ir aa trešais pakāpe.

Visas skaitļa 1 pakāpes ir vienādas: 1.1 vai 1.1.1. būs vienāds ar 1.

Eksponentēšana ir jebkura skaitļa vērtības atrašana, reizinot šo skaitli ar sevi. Paaugstināšanas noteikums:

Reiziniet daudzumu ar sevi tik reižu, cik norādīts skaitļa pakāpē.

Šis noteikums ir kopīgs visiem piemēriem, kas var rasties eksponēšanas procesa laikā. Bet ir pareizi sniegt skaidrojumu par to, kā tas attiecas uz konkrētiem gadījumiem.

Ja pakāpē tiek paaugstināts tikai viens termins, tas tiek reizināts ar sevi tik reižu, cik norāda eksponents.

Ceturtā pakāpe a ir 4 vai aaaa. (195. pants.)
Y sestais pakāpe ir y 6 vai yyyyyy.
x N pakāpe ir x n vai xxx..... n reizes atkārtojas.

Ja ir nepieciešams izvirzīt vairāku terminu izteiksmi pakāpē, princips, ka vairāku faktoru reizinājuma jauda ir vienāda ar šo faktoru reizinājumu, kas paaugstināts līdz pakāpei.

Tātad (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Bet ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Tātad, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Tāpēc, meklējot produkta jaudu, mēs varam vai nu darboties ar visu produktu uzreiz, vai arī mēs varam darboties ar katru faktoru atsevišķi, un pēc tam reizināt to vērtības ar jaudām.

1. piemērs. Dhy ceturtā pakāpe ir (dhy) 4 vai d 4 h 4 y 4.

2. piemērs. Trešā pakāpe ir 4b, ir (4b) 3 vai 4 3 b 3 vai 64b 3.

3. piemērs. 6ad N. pakāpe ir (6ad) n vai 6 n a n d n.

4. piemērs. 3m.2y trešā pakāpe ir (3m.2y) 3 vai 27m 3 .8y 3.

Binoma pakāpi, kas sastāv no vārdiem, kas savienoti ar + un -, aprēķina, reizinot tā vārdus. Jā,

(a + b) 1 = a + b, pirmā pakāpe.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, otrā jauda (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, trešā pakāpe.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, ceturtā pakāpe.

Kvadrāts a - b ir a 2 - 2ab + b 2.

Kvadrāts a + b + h ir a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1. uzdevums. Atrodiet kubu a + 2d + 3

2. uzdevums. Atrodiet b + 2 ceturto pakāpi.

3. uzdevums. Atrodi x + 1 piekto pakāpju.

4. uzdevums. Atrodi sesto pakāpju 1 - b.

Summa kvadrāti summas Un atšķirības binomi algebrā sastopami tik bieži, ka tie ir ļoti labi jāzina.

Ja mēs reizinām a + h ar sevi vai a - h ar sevi,
mēs iegūstam: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 arī (a - h) (a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Tas parāda, ka katrā gadījumā pirmais un pēdējais termins ir a un h kvadrāti, bet vidējais vārds ir divreiz lielāks par a un h reizinājumu. No šejienes binomiālu summas un starpības kvadrātu var atrast, izmantojot šādu noteikumu.

Binoma kvadrāts, kura abi nosacījumi ir pozitīvi, ir vienāds ar pirmā locekļa kvadrātu + divreiz abu vārdu reizinājumu + pēdējā vārda kvadrātu.

Kvadrāts atšķirības binomiāls ir vienāds ar pirmā vārda kvadrātu mīnus divreiz abu vārdu reizinājums plus otrā locekļa kvadrāts.

1. piemērs. Kvadrāts 2a + b, ir 4a 2 + 4ab + b 2.

2. piemērs. Kvadrāts ab + cd, ir 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

3. piemērs. Kvadrāts 3d - h, ir 9d 2 + 6dh + h 2.

4. piemērs. Kvadrāts a - 1 ir 2 - 2a + 1.

Lai atrastu metodi augstāku binomiālu pakāpju atrašanai, skatiet turpmākās sadaļas.

Daudzos gadījumos ir efektīvi pierakstīt grādiem bez reizināšanas.

Tātad a + b kvadrāts ir (a + b) 2.
Bc + 8 + x N pakāpe ir (bc + 8 + x) n

Šādos gadījumos iekavas aptver Visi biedri saskaņā ar grādu.

Bet, ja pakāpes sakne sastāv no vairākiem reizinātāji, iekavas var aptvert visu izteiksmi vai var tikt piemērotas atsevišķiem faktoriem atkarībā no ērtības.

Tādējādi kvadrāts (a + b)(c + d) ir vai nu [(a + b).(c + d)] 2, vai (a + b) 2 .(c + d) 2.

Pirmajai no šīm izteiksmēm rezultāts ir divu faktoru reizinājuma kvadrāts, bet otrajai izteiksmei rezultāts ir to kvadrātu reizinājums. Bet viņi ir līdzvērtīgi viens otram.

Kubs a.(b + d), ir 3 vai a 3. (b + d) 3.

Jāņem vērā arī zīme iesaistīto biedru priekšā. Ir ļoti svarīgi atcerēties, ka tad, kad grāda sakne ir pozitīva, visas tā pozitīvās spējas ir arī pozitīvas. Bet, ja sakne ir negatīva, vērtības ar nepāra pilnvaras ir negatīvas, savukārt vērtības pat grādi ir pozitīvi.

Otrā pakāpe (-a) ir +a 2
Trešā pakāpe (-a) ir -a 3
Ceturtā pakāpe (-a) ir +a 4
Piektā pakāpe (-a) ir -a 5

Līdz ar to jebkura nepāra grādam ir tāda pati zīme kā skaitlim. Bet pat pakāpe ir pozitīva neatkarīgi no tā, vai skaitlim ir negatīva vai pozitīva zīme.
Tātad +a.+a = +a 2
Un -a.-a = +a 2

Daudzums, kas jau ir palielināts līdz pakāpei, tiek atkal palielināts līdz pakāpei, reizinot eksponentus.

2 trešā pakāpe ir 2,3 = a 6.

Ja a 2 = aa; kubs aa ir aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; kas ir a sestais, bet 2 trešais.

Ceturtā pakāpe a 3 b 2 ir a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

4a 2 x trešā jauda ir 64a 6 x 3.

(a + b) 2 piektā pakāpe ir (a + b) 10.

N-tā pakāpe 3 ir 3n

(x - y) m N pakāpe ir (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Noteikums attiecas vienlīdz uz negatīvs grādiem.

1. piemērs. Trešais a -2 pakāpe ir -3.3 =a -6.

Ja a -2 = 1/aa, un šī trešā pakāpe
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A 2 b -3 ceturtā pakāpe ir 8 b -12 vai 8 / b 12.

Kvadrāts ir b 3 x -1, ir b 6 x -2.

Ax -m N pakāpe ir x -mn vai 1/x.

Tomēr mums šeit jāatceras, ka, ja zīme iepriekšējā grāds ir "-", tad tas ir jāmaina uz "+", ja grāds ir pāra skaitlis.

1. piemērs. Kvadrāts -a 3 ir +a 6. -a 3 kvadrāts ir -a 3 .-a 3, kas saskaņā ar zīmju reizināšanas noteikumiem ir +a 6.

2. Bet kubs -a 3 ir -a 9. Ja -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-tā pakāpe -a 3 ir 3n.

Šeit rezultāts var būt pozitīvs vai negatīvs atkarībā no tā, vai n ir pāra vai nepāra.

Ja frakcija tiek palielināts līdz pakāpei, tad skaitītājs un saucējs tiek palielināts līdz pakāpei.

A/b kvadrāts ir a 2 /b 2 . Saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas noteikumu,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a otrā, trešā un n-tā pakāpe ir 1/a 2, 1/a 3 un 1/a n.

Piemēri binomiāli, kurā viens no terminiem ir daļskaitlis.

1. Atrodiet kvadrātu x + 1/2 un x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadrāts a + 2/3 ir 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrāts x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 x - b/m kvadrāts ir x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Iepriekš tika parādīts, ka daļskaitļu koeficients var pārvietot no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju. Izmantojot savstarpējo pilnvaru rakstīšanas shēmu, ir skaidrs, ka jebkurš reizinātājs var arī pārvietot, ja tiek mainīta grāda zīme.

Tātad daļā ax -2 /y mēs varam pārvietot x no skaitītāja uz saucēju.
Tad ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Daļā a/ar 3 mēs varam pārvietot y no saucēja uz skaitītāju.
Tad a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Tādā pašā veidā mēs varam pārvietot faktoru, kuram ir pozitīvs eksponents, uz skaitītāju vai faktoru ar negatīvu eksponentu uz saucēju.

Tātad, cirvis 3 /b = a/bx -3. Attiecībā uz x 3 apgrieztā vērtība ir x -3 , kas ir x 3 = 1/x -3 .

Tāpēc jebkuras frakcijas saucēju var noņemt pilnībā vai skaitītāju var samazināt līdz vienam, nemainot izteiksmes nozīmi.

Tātad a/b = 1/ba -1 vai ab -1 .

Kalkulators palīdz ātri palielināt skaitli līdz jaudai tiešsaistē. Pakāpes bāze var būt jebkurš skaitlis (gan veseli skaitļi, gan reāli). Eksponents var būt arī vesels vai reāls skaitlis, kā arī pozitīvs vai negatīvs. Jāatceras, ka priekš negatīvi skaitļi Paaugstināšana līdz pakāpei, kas nav vesels skaitlis, nav definēta, un tāpēc kalkulators ziņos par kļūdu, ja mēģināsit to izdarīt.

Grāda kalkulators

Pacelties pie varas

Pakāpences: 94722

Kāds ir skaitļa dabiskais spēks?

Skaitli p sauc par skaitļa n-to pakāpi, ja p ir vienāds ar skaitli a, kas reizināts ar sevi n reizes: p = a n = a·...·a
n - sauc eksponents, un skaitlis a ir grādu bāze.

Kā palielināt skaitli līdz dabiskajam spēkam?

Lai saprastu, kā būvēt dažādi skaitļi attiecībā uz dabiskajām spējām, apsveriet dažus piemērus:

1. piemērs. Palieliniet skaitli trīs līdz ceturtajai pakāpei. Tas ir, ir jāaprēķina 3 4
Risinājums: kā minēts iepriekš, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Atbilde: 3 4 = 81 .

2. piemērs. Palieliniet skaitli pieci līdz piektajai pakāpei. Tas ir, ir jāaprēķina 5 5
Risinājums: līdzīgi, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Atbilde: 5 5 = 3125 .

Tādējādi, lai palielinātu skaitli līdz dabiskajam pakāpēm, jums tas vienkārši jāreizina ar sevi n reizes.

Kāds ir skaitļa negatīvais spēks?

A negatīvā jauda -n ir dalīta ar a n pakāpē: a -n = .

Šajā gadījumā negatīvs spēks pastāv tikai skaitļiem, kas nav nulle, jo pretējā gadījumā notiktu dalīšana ar nulli.

Kā palielināt skaitli līdz negatīvam veselam skaitlim?

Lai palielinātu skaitli, kas nav nulle, negatīvā pakāpē, jums ir jāaprēķina šī skaitļa vērtība ar tādu pašu pozitīvo jaudu un jādala viens ar rezultātu.

1. piemērs. Palieliniet skaitli divi līdz negatīvajai ceturtajai pakāpei. Tas ir, jums jāaprēķina 2 -4

Risinājums: kā minēts iepriekš, 2 -4 = = = 0,0625.

Atbilde: 2 -4 = 0.0625 .

Līdzīgi raksti