Derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite.
Derivat në mënyrë parametrike funksioni i dhënë

Në këtë artikull do të shikojmë dy detyra më tipike që gjenden shpesh në testet në matematikë e lartë. Për të zotëruar me sukses materialin, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Ju mund të mësoni të gjeni derivate praktikisht nga e para në dy mësime bazë dhe Derivat i një funksioni kompleks. Nëse aftësitë tuaja të diferencimit janë në rregull, atëherë le të shkojmë.

Derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite

Ose shkurt - derivat funksioni i nënkuptuar. Çfarë është një funksion i nënkuptuar? Le të kujtojmë fillimisht vetë përkufizimin e një funksioni të një ndryshoreje:

Funksioni i një ndryshorejeështë një rregull sipas të cilit çdo vlerë e ndryshores së pavarur i përgjigjet një dhe vetëm një vlere të funksionit.

Ndryshorja quhet ndryshore e pavarur ose argument.
Ndryshorja quhet ndryshore e varur ose funksionin .

Deri më tani kemi parë funksionet e përcaktuara në eksplicite formë. Çfarë do të thotë? Le të bëjmë një përmbledhje duke përdorur shembuj specifikë.

Merrni parasysh funksionin

Ne shohim që në të majtë kemi një "lojtar" të vetëm dhe në të djathtë - vetëm "X". Kjo është, funksioni në mënyrë eksplicite shprehur përmes ndryshores së pavarur.

Le të shohim një funksion tjetër:

Këtu janë të përziera variablat. Për më tepër e pamundur në asnjë mënyrë shprehni "Y" vetëm përmes "X". Cilat janë këto metoda? Transferimi i termave nga një pjesë në pjesë me ndryshim të shenjës, zhvendosja e tyre jashtë kllapave, hedhja e faktorëve sipas rregullit të përpjestimit etj. Rishkruaj barazinë dhe përpiqu të shprehësh “y”-në në mënyrë eksplicite: . Ju mund ta ktheni dhe ktheni ekuacionin për orë të tëra, por nuk do të keni sukses.

Më lejoni t'ju prezantoj: - shembull funksioni i nënkuptuar.

Gjatë analizës matematikore u vërtetua se funksioni i nënkuptuar ekziston(megjithatë, jo gjithmonë), ai ka një grafik (ashtu si një funksion "normal"). Funksioni i nënkuptuar është saktësisht i njëjtë ekziston derivati i parë, derivati i dytë etj. Siç thonë ata, të gjitha të drejtat e pakicave seksuale respektohen.

Dhe në këtë mësim do të mësojmë se si të gjejmë derivatin e një funksioni të përcaktuar në mënyrë implicite. Nuk është aq e vështirë! Të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare mbeten në fuqi. Dallimi është në një moment të veçantë, të cilin do ta shohim tani.

Po, dhe unë do t'ju them lajmin e mirë - detyrat e diskutuara më poshtë kryhen sipas një algoritmi mjaft të rreptë dhe të qartë pa një gur përpara tre pistave.

Shembulli 1

1) Në fazën e parë, ne bashkojmë goditje në të dy pjesët:

2) Përdorim rregullat e linearitetit të derivatit (dy rregullat e para të mësimit Si të gjeni derivatin? Shembuj zgjidhjesh):

3) Diferencimi i drejtpërdrejtë.
Si të dalloni është plotësisht e qartë. Çfarë duhet të bëni aty ku ka "lojëra" nën goditje?

- deri në pikën e turpit, derivati i një funksioni është i barabartë me derivatin e tij: .

Si të dalloni
Këtu kemi funksion kompleks . Pse? Duket se nën sinus ka vetëm një shkronjë "Y". Por fakti është se ekziston vetëm një shkronjë "y" - ËSHTË VETË NJË FUNKSION(shih përkufizimin në fillim të mësimit). Kështu, sinusi është një funksion i jashtëm dhe është një funksion i brendshëm. Ne përdorim rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks :

Ne e diferencojmë produktin sipas rregullit të zakonshëm :

Ju lutemi vini re se - është gjithashtu një funksion kompleks, çdo "lojë me këmbanat dhe bilbilat" është një funksion kompleks:

Vetë zgjidhja duhet të duket diçka si kjo:

Nëse ka kllapa, atëherë zgjeroni ato:

4) Në anën e majtë mbledhim termat që përmbajnë një "Y" me një kryeministër. Lëvizni gjithçka tjetër në anën e djathtë:

5) Në anën e majtë nxjerrim derivatin nga kllapat:

6) Dhe sipas rregullit të proporcionit, ne i hedhim këto kllapa në emëruesin e anës së djathtë:

Derivati është gjetur. Gati.

Është interesante të theksohet se çdo funksion mund të rishkruhet në mënyrë implicite. Për shembull, funksioni mund të rishkruhet kështu: . Dhe dalloni atë duke përdorur algoritmin e sapo diskutuar. Në fakt, frazat "funksion i nënkuptuar" dhe "funksion i nënkuptuar" ndryshojnë në një nuancë semantike. Fraza "funksion i specifikuar në mënyrë implicite" është më i përgjithshëm dhe i saktë, – ky funksion specifikohet në mënyrë implicite, por këtu mund të shprehni “lojën” dhe ta paraqisni funksionin në mënyrë eksplicite. Fjalët "funksion i nënkuptuar" më shpesh nënkuptojnë funksionin e nënkuptuar "klasik", kur "loja" nuk mund të shprehet.

Duhet gjithashtu të theksohet se "ekuacioni i nënkuptuar" mund të specifikojë në mënyrë implicite dy ose madje sasi e madhe funksionet, pra, për shembull, ekuacioni i një rrethi specifikon në mënyrë implicite funksionet , , që përcaktojnë gjysmërrethët Por, në kuadër të këtij neni, ne nuk do të bëjmë një dallim të veçantë midis termave dhe nuancave, ky ishte vetëm informacion për zhvillim të përgjithshëm. .

Zgjidhja e dytë

Kujdes! Ju mund të njiheni me metodën e dytë vetëm nëse dini të gjeni me besim derivatet e pjesshme. Fillestarët për të studiuar analiza matematikore dhe çajnik ju lutem mos e lexoni dhe anashkaloni këtë pikë, përndryshe koka juaj do të jetë një rrëmujë e plotë.

Le të gjejmë derivatin e funksionit të nënkuptuar duke përdorur metodën e dytë.

Ne i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë:

Dhe merrni parasysh një funksion të dy variablave:

Pastaj derivati ynë mund të gjendet duke përdorur formulën
Le të gjejmë derivatet e pjesshme:

Kështu:

Zgjidhja e dytë ju lejon të kryeni një kontroll. Por nuk këshillohet që ata të shkruajnë versionin përfundimtar të detyrës, pasi derivatet e pjesshme zotërohen më vonë, dhe një student që studion temën "Derivati i një funksioni të një ndryshoreje" nuk duhet të dijë ende derivatet e pjesshme.

Le të shohim disa shembuj të tjerë.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Shtoni goditje në të dy pjesët:

Ne përdorim rregullat e linearitetit:

Gjetja e derivateve:

Hapja e të gjitha kllapave:

Ne i lëvizim të gjitha termat në anën e majtë, pjesën tjetër në anën e djathtë:

Përgjigja përfundimtare:

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Zgjidhje e plotë dhe një model modeli në fund të mësimit.

Nuk është e pazakontë që thyesat të lindin pas diferencimit. Në raste të tilla, ju duhet të hiqni qafe fraksionet. Le të shohim dy shembuj të tjerë.

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Ne i mbyllim të dy pjesët nën goditje dhe përdorim rregullin e linearitetit:

Diferenconi duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks dhe rregulla e diferencimit të herësve :

Zgjerimi i kllapave:

Tani duhet të heqim qafe fraksionin. Kjo mund të bëhet më vonë, por është më racionale ta bëni atë menjëherë. Emëruesi i thyesës përmban . shumohen në . Në detaje, do të duket kështu:

Ndonjëherë pas diferencimit shfaqen 2-3 fraksione. Nëse do të kishim një fraksion tjetër, për shembull, atëherë operacioni do të duhej të përsëritej - shumëzoje çdo term të secilës pjesë në

Në anën e majtë e vendosim jashtë kllapave:

Përgjigja përfundimtare:

Shembulli 5

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. E vetmja gjë është që para se të heqësh qafe fraksionin, së pari do të duhet të heqësh qafe strukturën trekatëshe të vetë fraksionit. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht

Le të mos stresohemi, gjithçka në këtë paragraf është gjithashtu mjaft e thjeshtë. Ju mund të shkruani formulën e përgjithshme për një funksion të përcaktuar parametrikisht, por për ta bërë të qartë, unë do të shkruaj menjëherë një shembull specifik. NË forma parametrike funksioni jepet me dy ekuacione: . Shpesh ekuacionet shkruhen jo nën kllapa kaçurrela, por në mënyrë sekuenciale: , .

Ndryshorja quhet parametër dhe mund të marrë vlera nga "minus pafundësi" në "plus pafundësi". Merrni, për shembull, vlerën dhe zëvendësojeni atë në të dy ekuacionet: . Ose në terma njerëzorë: "nëse x është e barabartë me katër, atëherë y është e barabartë me një." Ju mund të shënoni një pikë në planin koordinativ dhe kjo pikë do të korrespondojë me vlerën e parametrit. Në mënyrë të ngjashme, mund të gjeni një pikë për çdo vlerë të parametrit "te". Sa i përket një funksioni "të rregullt", për indianët amerikanë të një funksioni të përcaktuar parametrikisht, të gjitha të drejtat respektohen gjithashtu: mund të ndërtoni një grafik, të gjeni derivate, etj. Nga rruga, nëse keni nevojë të vizatoni një grafik të një funksioni të përcaktuar parametrikisht, mund të përdorni programin tim.

Në rastet më të thjeshta, është e mundur të përfaqësohet funksioni në mënyrë eksplicite. Le të shprehim parametrin: – nga ekuacioni i parë dhe ta zëvendësojmë me ekuacionin e dytë: . Rezultati është një funksion i zakonshëm kub.

Në raste më "të rënda", ky mashtrim nuk funksionon. Por nuk ka rëndësi, sepse ekziston një formulë për gjetjen e derivatit të një funksioni parametrik:

Gjejmë derivatin e "lojës në lidhje me ndryshoren te":

Të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve janë të vlefshme, natyrisht, për shkronjën, pra, nuk ka asnjë risi në procesin e gjetjes së derivateve. Thjesht zëvendësoni mendërisht të gjitha "X"-të në tabelë me shkronjën "Te".

Gjejmë derivatin e "x në lidhje me ndryshoren te":

Tani gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë derivatet e gjetura në formulën tonë:

Gati. Derivati, si vetë funksioni, varet gjithashtu nga parametri.

Sa i përket shënimit, në vend që ta shkruani atë në formulë, mund ta shkruani thjesht pa një nënshkrim, pasi ky është një derivat "i rregullt" "në lidhje me X". Por në letërsi ka gjithmonë një opsion, kështu që nuk do të devijoj nga standardi.

Shembulli 6

Ne përdorim formulën

Në këtë rast:

Kështu:

Një tipar i veçantë i gjetjes së derivatit të një funksioni parametrik është fakti se në çdo hap është e dobishme për të thjeshtuar rezultatin sa më shumë që të jetë e mundur. Kështu, në shembullin e konsideruar, kur e gjeta, hapa kllapat nën rrënjë (edhe pse mund të mos e kisha bërë këtë). Ka një shans të mirë që kur zëvendësohet në formulë, shumë gjëra do të reduktohen mirë. Edhe pse, sigurisht, ka shembuj me përgjigje të ngathët.

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni të specifikuar në mënyrë parametrike

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Në artikull Problemet tipike më të thjeshta me derivatet shikuam shembuj në të cilët na duhej të gjenim derivatin e dytë të një funksioni. Për një funksion të përcaktuar parametrikisht, mund të gjeni edhe derivatin e dytë, dhe ai gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme: . Është mjaft e qartë se për të gjetur derivatin e dytë, së pari duhet të gjeni derivatin e parë.

Shembulli 8

Gjeni derivatin e parë dhe të dytë të një funksioni të dhënë parametrikisht

Së pari, le të gjejmë derivatin e parë.
Ne përdorim formulën

Në këtë rast:

Ne do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite, domethënë të specifikuara nga ekuacione të caktuara që lidhin variabla x Dhe y. Shembuj të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite:

Derivatet e funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite, ose derivatet e funksioneve të nënkuptuara, gjenden mjaft thjesht. Tani le të shohim rregullin dhe shembullin përkatës, dhe më pas të zbulojmë pse kjo është e nevojshme në përgjithësi.

Për të gjetur derivatin e një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite, duhet të dalloni të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x. Ato terma në të cilët vetëm X është i pranishëm do të kthehen në derivatin e zakonshëm të funksionit nga X. Dhe termat me lojën duhet të diferencohen duke përdorur rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse, pasi loja është një funksion i X. E thënë thjesht, derivati rezultues i termit me x duhet të rezultojë në: derivatin e funksionit nga y i shumëzuar me derivatin nga y. Për shembull, derivati i një termi do të shkruhet si , derivati i një termi do të shkruhet si . Tjetra, nga e gjithë kjo, ju duhet të shprehni këtë "goditje të lojës" dhe do të merret derivati i dëshiruar i funksionit të specifikuar në mënyrë implicite. Le ta shohim këtë me një shembull.

Shembulli 1.

Zgjidhje. Ne i dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x, duke supozuar se i është një funksion i x:

Nga këtu marrim derivatin që kërkohet në detyrë:

Tani diçka rreth vetive të paqarta të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite dhe pse nevojiten rregulla të veçanta për diferencimin e tyre. Në disa raste, mund të verifikoni që zëvendësimi në ekuacioni i dhënë(shih shembujt e mësipërm) në vend të y, shprehja e tij përmes x çon në faktin se ky ekuacion bëhet identitet. Kështu që. Ekuacioni i mësipërm përcakton në mënyrë implicite funksionet e mëposhtme:

Pasi të zëvendësojmë shprehjen për lojën në katror përmes x në ekuacionin origjinal, marrim identitetin:

Shprehjet që kemi zëvendësuar janë marrë duke zgjidhur ekuacionin e lojës.

Nëse do të dallonim funksionin eksplicit përkatës

atëherë do të merrnim përgjigjen si në shembullin 1 - nga një funksion i specifikuar në mënyrë implicite:

Por jo çdo funksion i specifikuar në mënyrë implicite mund të përfaqësohet në formë y = f(x) . Kështu, për shembull, funksionet e specifikuara në mënyrë implicite

nuk shprehen nëpërmjet funksionet elementare, domethënë, këto ekuacione nuk mund të zgjidhen në lidhje me lojtarin. Prandaj, ekziston një rregull për diferencimin e një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite, të cilin e kemi studiuar tashmë dhe do ta zbatojmë më tej vazhdimisht në shembuj të tjerë.

Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Ne shprehim numrin e thjeshtë dhe - në dalje - derivatin e funksionit të specifikuar në mënyrë implicite:

Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Zgjidhje. Ne i dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x:

Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Zgjidhje. Ne i dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x:

Ne shprehim dhe marrim derivatin:

Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Zgjidhje. I zhvendosim termat në anën e djathtë të ekuacionit në anën e majtë dhe lëmë zero në të djathtë. Dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x.

Derivat i një funksioni kompleks. Derivat total

Le të jetë z=ƒ(x;y) një funksion i dy ndryshoreve x dhe y, secila prej të cilave është funksion i një ndryshoreje të pavarur t: x = x(t), y = y(t). Në këtë rast, funksioni z = f(x(t);y(t)) është një funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur t; variablat x dhe y janë ndryshore të ndërmjetme.

Nëse z = ƒ(x;y) është një funksion i diferencueshëm në pikën M(x;y) є D dhe x = x(t) dhe y = y(t) janë funksione të diferencueshme të ndryshores së pavarur t, atëherë derivati i funksionit kompleks z(t ) = f(x(t);y(t)) llogaritet duke përdorur formulën

Le t'i japim variablës së pavarur t një rritje Δt. Atëherë funksionet x = = x(t) dhe y = y(t) do të marrin përkatësisht rritje Δх dhe Δу. Ata, nga ana tjetër, do të bëjnë që funksioni z të rritet Az.

Meqenëse sipas kushtit funksioni z - ƒ(x;y) është i diferencueshëm në pikën M(x;y), rritja totale e tij mund të përfaqësohet si

ku a→0, β→0 në Δх→0, Δу→0 (shih paragrafin 44.3). Le të ndajmë shprehjen Δz me Δt dhe të shkojmë te kufiri në Δt→0. Pastaj Δх→0 dhe Δу→0 për shkak të vazhdimësisë së funksioneve x = x(t) dhe y = y(t) (sipas kushteve të teoremës janë të diferencueshëm). Ne marrim:

Rast special: z=ƒ(x;y), ku y=y(x), pra z=ƒ(x;y(x)) është një funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur x. Ky rast zvogëlohet në atë të mëparshëm, dhe roli i ndryshores t luhet nga x. Sipas formulës (44.8) kemi:

Formula (44.9) quhet formula e derivatit total.

Rasti i përgjithshëm: z=ƒ(x;y), ku x=x(u;v), y=y(u;v). Atëherë z= f(x(u;v);y(u;v)) është një funksion kompleks i variablave të pavarur u dhe v. Derivatet e tij të pjesshme mund të gjenden duke përdorur formulën (44.8) si më poshtë. Duke fiksuar v, ne e zëvendësojmë atë me derivatet përkatëse të pjesshme

Siç dihet, një funksion i dhënë në mënyrë implicite i një ndryshoreje përcaktohet si më poshtë: funksioni y i ndryshores së pavarur x quhet i nënkuptuar nëse jepet nga një ekuacion që nuk zgjidhet për y:

Shembulli 1.11.

Ekuacioni

në mënyrë implicite specifikon dy funksione:

Dhe ekuacioni

nuk specifikon asnjë funksion.

Teorema 1.2 (ekzistenca e një funksioni të nënkuptuar).

Le të jenë funksioni z =f(x,y) dhe derivatet e tij të pjesshëm f"x dhe f"y të përcaktuar dhe të vazhdueshëm në një lagje UM0 të pikës M0(x0y0). Përveç kësaj, f(x0,y0)=0 dhe f"(x0,y0)≠0, atëherë ekuacioni (1.33) përcakton në afërsinë e UM0 një funksion të nënkuptuar y= y(x), të vazhdueshëm dhe të diferencueshëm në një interval D me qendër në pikën x0, dhe y(x0)=y0.

Asnjë provë.

Nga teorema 1.2 rrjedh se në këtë interval D:

domethënë ka një identitet në

ku derivati "total" gjendet sipas (1.31)

Kjo do të thotë, (1.35) jep një formulë për gjetjen e derivatit të një funksioni të dhënë në mënyrë implicite të një ndryshoreje x.

Një funksion i nënkuptuar i dy ose më shumë variablave përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Për shembull, nëse në një rajon V të hapësirës Oxyz vlen ekuacioni i mëposhtëm:

atëherë në kushte të caktuara në funksionin F ai përcakton në mënyrë implicite funksionin

Për më tepër, në analogji me (1.35), derivatet e tij të pjesshme gjenden si më poshtë:

Shembulli 1.12. Duke supozuar se ekuacioni

përcakton në mënyrë implicite një funksion

gjeni z"x, z"y.

prandaj, sipas (1.37), marrim përgjigjen.

11.Përdorimi i derivateve të pjesshme në gjeometri.

12.Ekstrema e një funksioni të dy ndryshoreve.

Konceptet maksimale, minimale dhe ekstreme të një funksioni të dy ndryshoreve janë të ngjashme me konceptet përkatëse të një funksioni të një ndryshoreje të pavarur (shih seksionin 25.4).

Le të jetë i përcaktuar funksioni z = ƒ(x;y) në një fushë D, pika N(x0;y0) О D.

Një pikë (x0;y0) quhet pikë maksimale e funksionit z=ƒ(x;y) nëse ka një fqinjësi d të pikës (x0;y0) të tillë që për secilën pikë (x;y) të ndryshme nga (xo;yo), nga kjo lagje vlen pabarazia ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Pika minimale e funksionit përcaktohet në mënyrë të ngjashme: për të gjitha pikat (x; y) përveç (x0; y0), nga fqinjësia d e pikës (xo; y0) vlen pabarazia e mëposhtme: ƒ(x y)>ƒ(x0; y0).

Në figurën 210: N1 është pika maksimale, dhe N2 është pika minimale e funksionit z=ƒ(x;y).

Vlera e funksionit në pikën e maksimumit (minimum) quhet maksimumi (minimumi) i funksionit. Maksimumi dhe minimumi i një funksioni quhen ekstreme të tij.

Vini re se, sipas përkufizimit, pika ekstreme e funksionit ndodhet brenda fushës së përkufizimit të funksionit; maksimumi dhe minimumi kanë karakter lokal (lokal): vlera e funksionit në pikën (x0; y0) krahasohet me vlerat e tij në pika mjaft afër (x0; y0). Në rajonin D, një funksion mund të ketë disa ekstreme ose asnjë.

46.2. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem

Le të shqyrtojmë kushtet për ekzistencën e një ekstremi të një funksioni.

Teorema 46.1 (kushtet e nevojshme për një ekstrem). Nëse në pikën N(x0;y0) funksioni i diferencueshëm z=ƒ(x;y) ka një ekstrem, atëherë derivatet e tij të pjesshëm në këtë pikë janë të barabartë me zero: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

Le të rregullojmë një nga variablat. Le të vendosim, për shembull, y=y0. Pastaj marrim një funksion ƒ(x;y0)=φ(x) të një ndryshoreje, e cila ka një ekstrem në x = x0. Prandaj, sipas kushtit të nevojshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje (shih seksionin 25.4), φ"(x0) = 0, d.m.th. ƒ"x(x0;y0)=0.

Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se ƒ"y(x0;y0) = 0.

Gjeometrikisht, barazitë ƒ"x(x0;y0)=0 dhe ƒ"y(x0;y0)=0 nënkuptojnë se në pikën ekstreme të funksionit z=ƒ(x;y) rrafshi tangjent me sipërfaqen që përfaqëson funksioni ƒ(x;y) ), është paralel me rrafshin Oxy, pasi ekuacioni i rrafshit tangjent është z=z0 (shih formulën (45.2)).

Z shënim. Një funksion mund të ketë një ekstrem në pikat ku të paktën një nga derivatet e pjesshme nuk ekziston. Për shembull, funksioni ka një maksimum në pikën O(0;0) (shih Fig. 211), por nuk ka derivate të pjesshëm në këtë pikë.

Pika në të cilën derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksionit z ≈ ƒ(x; y) janë të barabarta me zero, pra f"x=0, f"y=0, quhet pikë e palëvizshme e funksionit z.

Pikat stacionare dhe pikat në të cilat nuk ekziston të paktën një derivat i pjesshëm quhen pika kritike.

Në pikat kritike, funksioni mund ose nuk mund të ketë një ekstrem. Barazia e derivateve të pjesshme me zero është e nevojshme, por jo gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një ekstremi. Konsideroni, për shembull, funksionin z = xy. Për të, pika O(0; 0) është kritike (në të z"x=y dhe z"y - x zhduken). Sidoqoftë, funksioni z=xy nuk ka një ekstrem në të, pasi në një fqinjësi mjaft të vogël të pikës O(0; 0) ka pika për të cilat z>0 (pikat e tremujorit të parë dhe të tretë) dhe z.< 0 (точки II и IV четвертей).

Kështu, për të gjetur ekstremin e një funksioni në një zonë të caktuar, është e nevojshme që çdo pikë kritike e funksionit t'i nënshtrohet kërkimeve shtesë.

Teorema 46.2 (kusht i mjaftueshëm për një ekstrem). Lëreni funksionin ƒ(x;y) në një pikë stacionare (xo; y) dhe disa nga fqinjësia e tij të kenë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm deri në renditjen e dytë përfshirëse. Le të llogarisim në pikën (x0;y0) vlerat A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Le të shënojmë

1. nëse Δ > 0, atëherë funksioni ƒ(x;y) në pikën (x0;y0) ka një ekstrem: maksimumi nëse A< 0; минимум, если А > 0;

2. nëse Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Në rastin e Δ = 0, mund të ketë ose jo një ekstrem në pikën (x0;y0). Nevojiten më shumë kërkime.

DETYRAT

Shembull. Gjeni intervalet e funksioneve zmadhuese dhe zvogëluese. Zgjidhje. Hapi i parë është gjetja e fushës së përkufizimit të një funksioni. Në shembullin tonë, shprehja në emërues nuk duhet të shkojë në zero, prandaj, . Le të kalojmë te funksioni derivat: Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe zvogëlimit të një funksioni bazuar në një kriter të mjaftueshëm, ne zgjidhim pabarazitë në fushën e përkufizimit. Le të përdorim një përgjithësim të metodës së intervalit. Rrënja e vetme reale e numëruesit është x = 2, dhe emëruesi shkon në zero në x = 0. Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit në intervale në të cilat derivati i funksionit ruan shenjën e tij. Le t'i shënojmë këto pika në vijën numerike. Në mënyrë konvencionale shënojmë me pluse dhe minuse intervalet në të cilat derivati është pozitiv ose negativ. Shigjetat e mëposhtme tregojnë në mënyrë skematike rritjen ose uljen e funksionit në intervalin përkatës. Kështu, Dhe . Në pikën x = 2 funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm, kështu që duhet t'i shtohet intervalit në rritje dhe në zvogëlim. Në pikën x = 0 funksioni nuk është i përcaktuar, kështu që ne nuk e përfshijmë këtë pikë në intervalet e kërkuara. Ne paraqesim një grafik të funksionit për të krahasuar rezultatet e marra me të. Përgjigje: funksioni rritet me , zvogëlohet në interval (0; 2] .

Shembuj.

Vendosni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të një kurbë y = 2 – x 2 .

Ne do të gjejmë y"" dhe përcaktoni se ku derivati i dytë është pozitiv dhe ku negativ. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Sepse y"" = e x > 0 për çdo x, atëherë kurba është kudo konkave.

y = x 3 . Sepse y"" = 6x, Kjo y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 në x> 0. Prandaj, kur x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 është konkave.

4. Jepet funksioni z=x^2-y^2+5x+4y, vektori l=3i-4j dhe pika A(3,2). Gjeni dz/dl (siç e kuptoj unë, derivatin e funksionit në lidhje me drejtimin e vektorit), gradz(A), |gradz(A)|. Të gjejmë derivatet e pjesshme: z(në lidhje me x)=2x+5 z(në lidhje me y)=-2y+4 Të gjejmë vlerat e derivateve në pikën A(3,2): z(me në lidhje me x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(nga y)(3,2)=-2*2+4=0 Ku, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivati i funksionit z në drejtim të vektorit l: dz/dl=z(në x)*cosa+z(në y)*cosb, a, b-këndet e vektorit l me akset koordinative. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.