A është marrëdhënia një lidhje ekuivalente? Marrëdhëniet binare - MT1102: Algjebra lineare (Hyrje në matematikë) - Informatikë biznesi

Shënim: Përshkruhen shumë koncepte të reja, të tilla si lidhja e ekuivalencës, marrëdhënia e rendit të pjesshëm dhe grupet e pjesshme izomorfe. Disa teorema mbi këtë temë vërtetohen me shpjegime të hollësishme, grafikë dhe shembuj. Jepen një numër i madh shembujsh të porosive të pjesshme. Përshkruhen disa ndërtime që lejojnë një të ndërtojë grupe të porositura nga të tjerët. Ligjërata karakterizohet nga shumë detyra për zgjidhje të pavarur

Marrëdhëniet e ekuivalencës dhe renditjes

Le të kujtojmë atë lidhje binare në një grup quhet një nënbashkësi; në vend të shkruaj shpesh.

Një lidhje binare në një grup quhet marrëdhënie ekuivalence, nëse plotësohen karakteristikat e mëposhtme:

Deklarata e mëposhtme e qartë por e përdorur shpesh është e vërtetë:

Teorema 11. (a) Nëse një bashkësi ndahet në një bashkim nënbashkësish të shkëputura, atëherë relacioni "të shtrihet në të njëjtën nëngrup" është një lidhje ekuivalente.

(b) Çdo gjë marrëdhënie ekuivalenceështë marrë në mënyrën e përshkruar nga disa ndarje.

Dëshmi. Deklarata e parë është mjaft e qartë; Do të japim një vërtetim të së dytës në mënyrë që të shihet se ku janë përdorur të gjitha pikat e përkufizimit të ekuivalencës. Pra, le të jetë një lidhje ekuivalente. Për çdo element, merrni parasysh atë klasa ekuivalente- grupi i të gjithave për të cilat është e vërtetë.

Le të vërtetojmë se për dy të ndryshëm grupe të tilla ose nuk kryqëzohen ose përkojnë. Lërini të kryqëzohen, domethënë të kenë një element të përbashkët. Pastaj dhe , prej nga (simetria) dhe (kalueshmëria), si dhe (simetria). Prandaj, për ndonjë prej tyre vijon (kalimtaria) dhe anasjelltas.

Mbetet të theksohet se, për shkak të refleksivitetit, çdo element i përket klasës që përcakton, domethënë, i gjithë grupi është me të vërtetë i ndarë në klasa të shkëputura.

78. Tregoni se kërkesat e simetrisë dhe kalueshmërisë mund të zëvendësohen me një: (duke ruajtur kërkesën e refleksivitetit).

79. Sa marrëdhënie të ndryshme ekuivalente ekzistojnë në grup ?

80. Në bashkësinë jepen dy relacione ekuivalente, të cilat shënohen përkatësisht me dhe , duke pasur dhe klasa ekuivalente. A do të jetë kryqëzimi i tyre një lidhje ekuivalente? Sa klasa mund të ketë ai? Çfarë mund të thoni për unifikimi i marrëdhënieve?

81. (Teorema e Ramsit) Bashkësia e të gjitha - nënbashkësive elementare të një bashkësie të pafundme ndahet në klasa (, - numra natyrorë). Vërtetoni se ekziston grup i pafund, të gjitha nëngrupet elementare të të cilave i përkasin të njëjtës klasë.

(Kjo është e qartë: nëse grup i pafund ndahet në një numër të kufizuar klasash, atëherë njëra prej klasave është e pafundme. Kur dhe deklarata mund të formulohet si më poshtë: nga një grup i pafund njerëzish mund të zgjidhen ose pafundësisht shumë të njohur në çift ose pafundësisht shumë të panjohur në çift. Versioni përfundimtar i kësaj deklarate - që midis çdo gjashtë personash ka ose tre të njohur në çift ose tre të panjohur - është një problem i njohur për nxënësit e shkollës.)

Bashkësia e klasave të ekuivalencës quhet faktor - shumë grupe sipas relacionit të njëvlershmërisë. (Nëse lidhja është në përputhje me strukturat shtesë në , ne marrim grupet e faktorëve, unazat e faktorëve, etj.)

Marrëdhëniet ekuivalente do të hasim më shumë se një herë, por tani për tani tema jonë kryesore janë marrëdhëniet e rendit.

Një lidhje binare në një grup quhet lidhje e pjesshme e rendit, nëse plotësohen karakteristikat e mëposhtme:

(Duke ndjekur traditën, ne përdorim një simbol (në vend se një shkronjë) si një shenjë të një relacioni të rendit.) Një grup me një lidhje të pjesshme të rendit të dhënë në të quhet pjesërisht i porositur.

Thonë se dy elementë pjesërisht i porositur grupe të krahasueshme, une per . Vini re se përkufizimi i një rendi të pjesshëm nuk kërkon që dy elementë të grupit të jenë të krahasueshëm. Duke shtuar këtë kërkesë, marrim përkufizimin rendi linear (grup i renditur në mënyrë lineare).

Këtu janë disa shembuj të porosive të pjesshme:

  • Bashkësitë numerike me relacionin e zakonshëm të rendit (këtu rendi do të jetë linear).
  • Në grupin e të gjithë çifteve të numrave realë mund të prezantojmë urdhër i pjesshëm, duke pasur parasysh se , nëse dhe . Ky renditje nuk do të jetë më linear: çiftet nuk janë të krahasueshme.
  • Në një grup funksionesh me argumente dhe vlera reale, mund të futni urdhër i pjesshëm, duke pasur parasysh se nëse para të gjithëve. Ky renditje nuk do të jetë linear.
  • Në grupin e numrave të plotë pozitivë, ne mund të përcaktojmë rendin duke marrë parasysh se , nëse ndan . Ky renditje gjithashtu nuk do të jetë linear.
  • Marrëdhënia "çdo pjesëtues kryesor i një numri është gjithashtu një pjesëtues i një numri" nuk do të jetë një lidhje e rendit në bashkësinë e numrave të plotë pozitivë (është refleksiv dhe kalimtar, por jo antisimetrik).
  • Le të jetë një grup arbitrar. Pastaj, në bashkësinë e të gjitha nëngrupeve të grupit, relacioni i përfshirjes do të jetë një rend i pjesshëm.
  • Në shkronjat e alfabetit rus, tradita përcakton një rend të caktuar (). Ky renditje është linear - për çdo dy shkronja mund të dalloni se cila vjen e para (nëse është e nevojshme, duke parë në fjalor).
  • Përcaktuar me fjalët e alfabetit rus leksikografike rendit (si në një fjalor). Mund të përkufizohet zyrtarisht si më poshtë: nëse një fjalë është fillimi i fjalës , atëherë (për shembull, ). Nëse asnjëra nga fjalët nuk është fillimi i një tjetra, shikoni shkronjën e parë sipas radhës në të cilën ndryshojnë fjalët: atëherë fjala ku kjo shkronjë është më e vogël sipas rendit alfabetik do të jetë më e vogël. Ky renditje është gjithashtu linear (përndryshe çfarë do të bënin përpiluesit e fjalorëve?).
  • Marrëdhënia e barazisë () është gjithashtu lidhje e pjesshme e rendit, për të cilin nuk ka dy elementë të ndryshëm të krahasueshëm.
  • Tani le të japim një shembull të përditshëm. Le të ketë shumë kuti kartoni. Le të vendosim rendin në të, duke pasur parasysh se nëse kutia përshtatet tërësisht brenda kutisë (ose nëse dhe është e njëjta kuti). Në varësi të grupit të kutive, ky renditje mund të jetë ose jo linear.

I. Ndarja në klasa. Marrëdhënia e ekuivalencës

Përkufizimi 2.1. Le t'i quajmë të këmbyeshëm ato dhe vetëm ato objekte të një grupi të caktuar M që kanë të njëjtin grup tiparesh formale që janë thelbësore në një situatë të caktuar.

Le të shënojmë me M x bashkësinë e të gjithë objekteve të këmbyeshëm me objektin x. Është e qartë se x M x dhe bashkimi i të gjithë M x (për të gjitha x të mundshme nga M) përkon me grupin e plotë M:

Le të pretendojmë se. Kjo do të thotë se ekziston një element z i tillë që ai njëkohësisht i përket dhe dhe. Pra x është i këmbyeshëm me z dhe z është i këmbyeshëm me y. Prandaj, x është i këmbyeshëm me y, dhe për rrjedhojë me çdo element të. Kështu. Ndërrimi i kundërt tregohet në të njëjtën mënyrë. Kështu, grupet që ndodhin në bashkimin (2.1) ose nuk kryqëzohen ose përkojnë plotësisht.

Përkufizimi 2.2. Ne do ta quajmë një sistem nënbashkësish jo boshe (M 1, M 2,….) të një bashkësie M një ndarje të këtij grupi nëse

Vetë grupet quhen klasa ndarëse.

Përkufizimi 2.3. Një lidhje c në një bashkësi M quhet një ekuivalencë (ose relacion ekuivalent) nëse ekziston një ndarje (M 1, M 2,...) e bashkësisë M e tillë që (x, y) vlen nëse dhe vetëm nëse x dhe y i përkasin një klase të përgjithshme M i të një ndarjeje të caktuar.

Le të jetë (M 1 , M 2 ,….) një ndarje e bashkësisë M. Bazuar në këtë ndarje, përcaktojmë relacionin nga c në M: (x, y), nëse x dhe y i përkasin ndonjë klase të përgjithshme M i. të kësaj ndarjeje. Natyrisht, lidhja me është një ekuivalencë. Le të thërrasim me relacionin ekuivalent që korrespondon me ndarjen e dhënë.

Përkufizimi 2.4. Nëse në secilën nënbashkësi M i zgjedhim elementin x i që përmban, atëherë ky element do të quhet standard për çdo element y të përfshirë në të njëjtin bashkësi M i. Sipas përkufizimit, le të supozojmë se relacioni c* “të jesh standard” (x i, y) është përmbushur

Është e lehtë të shihet se ekuivalenca c që korrespondon me një ndarje të caktuar mund të përcaktohet si më poshtë: (z, y) nëse z dhe y kanë një standard të përbashkët (x i, z) dhe (x i, y).

Shembulli 2.1: Konsideroni si M bashkësinë e numrave të plotë jonegativë dhe merrni ndarjen e tij në bashkësinë M 0 të numrave çift dhe bashkësinë M 1 të numrave tek. Lidhja korresponduese e ekuivalencës në bashkësinë e numrave të plotë shënohet si më poshtë:

dhe lexon: n është i krahasueshëm me m modulin 2. Është e natyrshme të zgjedhësh 0 për numrat çift dhe 1 për numrat tek si standarde. Në mënyrë të ngjashme, duke e ndarë të njëjtën bashkësi M në k nënbashkësi M 0, M 1,... M k-1, ku M j përbëhet nga të gjithë numrat që kur pjesëtohen me k japin mbetjen j, arrijmë në relacionin ekuivalent:

që vlen nëse n dhe m kanë të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me k.

Është e natyrshme të zgjedhësh mbetjen përkatëse j si standard në çdo M j.

II. Seti i faktorëve

Le të jetë një lidhje ekuivalente. Pastaj, sipas teoremës, ekziston një ndarje (M 1, M 2, ....) e grupit M në klasa të elementeve ekuivalente me njëra-tjetrën - të ashtuquajturat klasa ekuivalente.

Përkufizimi 2.5. Bashkësia e klasave të ekuivalencës në lidhje me një relacion shënohet me M/ dhe lexohet si bashkësi herësore e bashkësisë M në lidhje me një relacion.

Le të jetë μ: M > S një hartë surjektive e grupit M në një grup S.

Për çdo μ: M > S - hartëzimi surjektiv ekziston një lidhje ekuivalente në bashkësinë M e tillë që M/ dhe S mund të vendosen në korrespondencë një-me-një.

III. Vetitë ekuivalente

Përkufizimi 2.6. Një lidhje c në një bashkësi M quhet një lidhje ekuivalente nëse është refleksive, simetrike dhe kalimtare.

Teorema 2.1: Nëse një lidhje c në një bashkësi M është refleksive, simetrike dhe kalimtare, ekziston një ndarje (M 1 , M 2 ,….) e bashkësisë M e tillë që (x, y) vlen nëse dhe vetëm nëse x dhe y i përkasin një klase të përgjithshme M i të një ndarjeje të caktuar.

Anasjelltas: Nëse jepet një ndarje (M 1, M 2,....) dhe marrëdhënia binare c jepet si "i përkasin klasës së përgjithshme të ndarjes", atëherë c është refleksive, simetrike dhe kalimtare.

Dëshmi:

Konsideroni një lidhje refleksive, simetrike dhe kalimtare c me M. Le të kudo që të përbëhet nga të gjitha z për të cilat (x, z) c

Lema 2.1: Për çdo x dhe y, ose ose

Nga lema dhe refleksiviteti i relacionit c rezulton se bashkësitë e formës formojnë një ndarje të bashkësisë M. (Kjo ndarje natyrshëm mund të quhet ndarje që i përgjigjet relacionit origjinal). Le tash (x, y) c. Kjo do të thotë se y. Por edhe x për shkak të (x, x) c. Prandaj, të dy elementët përfshihen në. Pra, nëse (x, y) c, atëherë x dhe y përfshihen në klasën e përgjithshme të ndarjes. Anasjelltas, le të u dhe v. Le të tregojmë se (u, v) c Në të vërtetë, kemi (x, u) c dhe (x, v) c. Prandaj, me simetri (u, x) c. Sipas kalueshmërisë, nga (u, x) c dhe (x, v) c pason (u, v) c. Pjesa e parë e teoremës është vërtetuar.

Le të jepet një ndarje (M 1, M 2,….) e bashkësisë M. bashkimi i të gjitha klasave të ndarjes përkon me M, atëherë çdo x përfshihet në një klasë. Nga kjo rrjedh se (x, x) c, d.m.th. s - në mënyrë refleksive. Nëse x dhe y janë në një klasë, atëherë y dhe x janë në të njëjtën klasë. Kjo do të thotë se (x, y) c nënkupton (y, x) c, d.m.th. marrëdhënia është simetrike. Le të qëndrojnë tani (x, y) c dhe (y, z) c. Kjo do të thotë se x dhe y janë në një klasë, dhe y dhe z janë në një klasë. Klasat kanë një element të përbashkët y, dhe për këtë arsye përkojnë. Kjo do të thotë se x dhe z përfshihen në klasë, d.m.th. (x, z) vlen dhe relacioni është kalimtar. Teorema është vërtetuar.

IV. Operacionet mbi ekuivalencat.

Këtu përcaktojmë disa operacione teorike të grupeve mbi ekuivalencat dhe paraqesim vetitë e tyre të rëndësishme pa prova.

Kujtojmë se një relacion është një çift (), ku M është bashkësia e elementeve që hyjnë në relacion dhe është bashkësia e çifteve për të cilat relacioni është i kënaqur.

Përkufizimi 2.7. Prerja e marrëdhënieve (c 1, M) dhe (c 2, M) është relacioni i përcaktuar nga kryqëzimi i nëngrupeve përkatëse. (x, y) me 1 me 2 nëse dhe vetëm nëse (x, y) me 1 dhe (x, y) me 2 në të njëjtën kohë.

Teorema 2.2: Prerja e ekuivalencave me 1 me 2 me 1 me 2 është në vetvete një lidhje ekuivalente.

Përkufizimi 2.8. Bashkimi i marrëdhënieve (me 1, M) dhe (me 2, M) është një relacion i përcaktuar nga bashkimi i nëngrupeve përkatëse. (x, y) me 1 me 2 nëse dhe vetëm nëse (x, y) me 1 ose (x, y) me 2.

Teorema 2.3: Që bashkimi i ekuivalencave me 1 me 2 të jetë një relacion ekuivalent në vetvete, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që

nga 1 nga 2 = nga 1 nga 2

Përkufizimi 2.9. Shuma e drejtpërdrejtë e marrëdhënieve (c 1, M 1) dhe (c 2, M 2) quhet raport). Shuma e drejtpërdrejtë shënohet (c 1, M 1) (c 2, M 2).

Kështu, nëse (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), atëherë M =.

Teorema 2.4: Nëse dhe relacionet janë ekuivalente, atëherë shuma e drejtpërdrejtë e marrëdhënieve (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), është gjithashtu një ekuivalencë.

V. Llojet e marrëdhënieve

Le të prezantojmë disa lloje më të rëndësishme të marrëdhënieve. Shembujt do të jepen në kapitullin e tretë.

Përkufizimi 2.10. Një lidhje c në një bashkësi M quhet tolerancë nëse është refleksive dhe simetrike.

Përkufizimi 2.11. Një lidhje c në një bashkësi M quhet një relacion i rendit të rreptë nëse është antirefleksiv dhe kalimtar.

Përkufizimi 2.12. Një lidhje e rendit të rreptë c quhet një rend i përsosur i rreptë nëse për çdo çift elementësh x dhe y nga M është e vërtetë ose (x, y) ose (y, x).

Përkufizimi 2.13. Një lidhje c në një grup M quhet një relacion i rendit jo të rreptë nëse mund të përfaqësohet në formën:

ku ka një rend të rreptë në M, dhe E është një lidhje diagonale.

MARRËDHËNIE

Marrëdhëniet janë korrespondenca midis elementeve të të njëjtit grup, domethënë korrespondenca, grupet themelore të të cilave përkojnë:

x A, y A qëndrim Г = ((x,y)| P(x,y)), P(x,y) disa pohime (kallëzues).

Nëse (x,y) Г, atëherë ata thonë se X janë në një lidhje G te në.

Për shembull, të kesh të njëjtën mbetje (për numrat), të jesh në të njëjtën distancë nga një vijë (për pikat), marrëdhëniet familjare ose marrëdhëniet fqinjësore (për shumë njerëz).

Përkufizim më i rreptë:

Një lidhje binare është dy grupe:

1) grupi mbështetës A,

2) një grup çiftesh Г=((x,y)| x A, y A), që është një nëngrup i katrorit të grupit mbështetës.

Një relacion n-ar, ose një lidhje n-ar (treshe, kuaternare, ...) është një grup mbështetës A dhe grupe të dimensioneve të dyfishta n, e cila është një nëngrup i grupit Një n.

Një shembull i një marrëdhënieje treshe: të jesh pjesë e "tre lojtarëve".

Nëse një relacion kuptohet thjesht si një grup tuplesh (pa një grup mbështetës), atëherë mund të përdoren të gjitha ligjet e teorisë së grupeve. Kompleti universal do të jetë katrori i grupit mbështetës, domethënë grupi i të gjithë tupleve të mundshëm (kur secili element është në raport me çdo element tjetër).

Një relacion mund të përkufizohet gjithashtu si një kallëzues me dy vende të ndryshoreve të objektit x, y, e cila merr vlerën "e vërtetë" nëse (x, y) G dhe false nëse nuk i takon.

Emërtimet: (x, y) Г, у = Г(x), у = Гx ose thjesht xGu, për shembull, relacioni i barazisë (x = y), lidhje porosie (X< у) .

Nëse (x, y) G, Kjo xGu merr vlerën "e vërtetë", përndryshe - "false".

Nëse relacionet janë të specifikuara në një grup diskrete, ato mund të shkruhen në formën e një matrice

A i, j =

Një relacion është një rast i veçantë i korrespondencës; për të mund të futni marrëdhënie të anasjellta, një përbërje marrëdhëniesh:

Г -1 =((y,x)| (x,y) Г), Г ◦ Δ = ((x,z) | y ((x,y) Г &(y,z Δ))).

Ata prezantojnë konceptin e një "elementi njësi" Δ 0 = ((x,x)) - "të jesh në raport me veten". Në paraqitjen e matricës kjo do të jetë diagonalja kryesore).

Vetitë e marrëdhënieve binare

1 Refleksiviteti – "të jesh në raport me veten"

xGx - e vërtetë(për shembull, marrëdhëniet x=x, x≤x, x≥x).

2 Anti-refleksiviteti - "të mos jesh në lidhje me veten"

xGx - gënjeshtër(për shembull, marrëdhëniet x≠x, x X).

Nëse një grup nuk është "refleksiv", kjo nuk do të thotë se është "anti-refleksiv".

3 Simetria "Pavarësia se cili element është i pari dhe cili është i dyti"

хгу – e vërteta → уГх – e vërteta(për shembull, marrëdhëniet x=y, x≠y).

4 Antisimetria "të mos tejkalohet"

(xGy – e vërtetë) & (yGx – e vërtetë) → (x=y) (për shembull, marrëdhëniet x≤y, x≥y).

5 Asimetri (jo simetri) "tejkaloj"

xGy – e vërtetë → yGx – e gabuar (për shembull, marrëdhëniet X<у, х>në).

6. Transitiviteti "transmetim"

(xГу – e vërtetë) & (yГz – e vërtetë) → (хГz – e vërtetë)(për shembull, marrëdhëniet x=y, x<у, х>y, x≤y, x≥y, qëndrim x≠y nuk ka transitivitet).

MARRËDHËNIET BINARE TË VEÇANTA

Le të shqyrtojmë "relacionin e ekuivalencës", "marrëdhënien e rendit jo të rreptë", "marrëdhënien e rendit të rreptë" dhe "marrëdhënien mbizotëruese".

Marrëdhënia e ekuivalencës

Një lidhje ekuivalente është një refleksiv(x~x), simetrike ((x~y)=(y~x)), kalimtare ((x~y)&(y~z)→(x~z)) qëndrim.

Shembuj: barazia, identiteti, ekuivalenca e bashkësive, ekuivalenca e pohimeve logjike, ngjashmëria e figurave gjeometrike, paralelizmi i drejtëzave, por pinguliteti i drejtëzave nuk është një lidhje ekuivalente.

Një nëngrup elementësh që janë ekuivalent me një element quhet klasa ekuivalente ose klasë të ngjashme.

Çdo element nga një klasë quhet përfaqësues i klasës.

Vetitë.

Të gjithë elementët në klasë janë ekuivalente me njëri-tjetrin.

Elementet nga klasa të ndryshme nuk janë ekuivalente.

Një element mund t'i përkasë vetëm klasës së tij.

I gjithë grupi mund të përfaqësohet si një bashkim klasash.

Kështu, një grup klasash ekuivalente ose një sistem i plotë klasash formojnë një ndarje të grupit mbështetës. Kujtesë: ndarja e një grupi do ta përfaqësojë atë si nënbashkësi të shkëputura.

Indeksi i ndarjes– numri i klasave ekuivalente.

Seti i faktorëve në lidhje me relacionin e ekuivalencës, kjo është bashkësia e të gjitha klasave ose përfaqësuesve të një klase.

Kardinaliteti i një grupi faktorësh është i barabartë me indeksin e ndarjes.

Rendit marrëdhëniet

Marrëdhënia e rendit i referohet dy llojeve të marrëdhënieve binare.

Qëndrimi rend i lirshëm quhet refleksiv (x≥x), antisimetrike ((x≤y)&(y≤x)→ (x=y)), kalimtare ((x≥y)&(y≥z)→(x≥z)) qëndrim.

Ata thonë se një grup ka një rend të lirshëm. Konceptet ≤ , ≥ kanë një kuptim më të gjerë: jo më keq - jo më mirë, jo më herët - jo më vonë, e kështu me radhë. Në teorinë e bashkësive, një shembull i rendit jo-strikt është përfshirja jo strikte (duke qenë një nëngrup i një grupi tjetër0.

Qëndrimi urdhër i rreptë quhet antirefleksiv ((X , antisimetrike ((x , kalimtare

((x>y)&(y qëndrim.

Ata thonë se një grup ka një urdhër të rreptë. Në koncepte< , >kanë një kuptim më të gjerë: më keq është më mirë, më herët është më vonë etj. Në teorinë e grupeve, një shembull i rendit të rreptë është përfshirja strikte (të qenit një nëngrup i një grupi tjetër pa qenë i barabartë me të).

Komplete të porositura

Kompleti quhet të renditura në mënyrë lineare, nëse mund të krahasohet ndonjë element (d.m.th.: më i madh se, më i vogël ose i barabartë me).

Bashkësia e numrave realë ose të plotë: shembuj klasikë të një bashkësie të renditur.

Nëse është e mundur të vendoset një lidhje e rendit në një grup, por jo për të gjitha çiftet e elementeve, atëherë një grup i tillë quhet pjesërisht i porositur.

Ky është një grup vektorësh, një grup numrash kompleksë, grupe në teorinë e grupeve. Në disa raste mund të themi "më shumë është më pak" ose "të jetë një superbashkësi dhe një nënbashkësi", por jo në të gjitha rastet.

Klasat e elementeve ekuivalente dhe vetitë e tyre

Le %%R%% — marrëdhënie ekuivalence në grup %%M%% dhe %%a%% - një element nga %%M%%. Konsideroni grupin e të gjithë elementëve nga %%M%% që janë në lidhje %%R%% me elementin %%a%%.

Klasa ekuivalente%%M_a%%

është bashkësia e të gjithë elementëve %%M%% që janë në raport %%R%% me elementin %%a%%, pra bashkësia

$$ M_a = \(x \në M: x~R~a\). $$

Shembull

Le të jetë %%M%% grupi i të gjithë banorëve të Rusisë dhe %%R%% të jetë raporti ekuivalent "për të jetuar në të njëjtin qytet". Gjeni klasa të elementeve ekuivalente %%M_a%% për %%a \në M%%.

Klasa e elementeve ekuivalente me elementin %%a%% ka formën: $$ M_a = \(x \në M: x \text( jeton në të njëjtin qytet me personin ) a\) $$

Në varësi të elementit %%a%% marrim disa klasa ekuivalente. Për shembull, klasa ekuivalente e banorëve të Moskës ose Shën Petersburgut.

Vetitë e klasave të ekuivalencës

Le të jetë %%R%% një lidhje ekuivalence në bashkësinë %%M%% dhe %%M_a, M_b, \dotsc, M_z, \dotsc%% të jenë të gjitha klasat ekuivalente për relacionin %%R%%. Atëherë këto klasa kanë vetitë e mëposhtme.

Prona 1

Për çdo element %%a \in M%% plotësohet kushti $$ a \in M_a $$

Në të vërtetë, sipas përkufizimit, klasa %%M_a = \(x \në M: x~R~a\)%%. Pastaj për elementin %%a%% duhet të plotësohet kushti %%a \në M_a \shigjeta e majta e djathtas a~R~a%%, e cila plotësohet për faktin se relacioni %%R%% është refleksiv nga përkufizimi të një relacioni ekuivalenti. Prandaj, %%a \në M_a%%.

Rrjedhimisht Kjo veçori na lejon të themi se çdo klasë %%M_a%% është një grup jo bosh.

Prona 2

Le të jenë %%M_a%% dhe %%M_b%% klasa ekuivalente për relacionin %%R%%. Klasat %%M_a%% dhe %%M_b%% janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse elementi %%a%% është në relacionin %%R%% me elementin %%b%%. $$ M_a = M_b \shigjeta majtas djathtas a~R~b. $$

Prona 3

Le të jenë %%M_a%% dhe %%M_b%% klasa ekuivalente për relacionin %%R%%. Pastaj klasat %%M_a%% dhe %%M_b%% nuk ​​kanë elemente të përbashkëta. $$ M_a \neq M_b \djathtas shigjetë M_a \capa M_b = \varasgjë $$

Prona 4

Bashkimi i të gjitha klasave ekuivalente të grupit %%M%% është i barabartë me bashkësinë %%M%%. $$ \bigcup_(a\në M)(M_a) = M. $$

Ndarja e një grupi

Mbledhja e nëngrupeve %%M_i%%, ku %%i \në I%% (tek grupi i indekseve), i grupit %%M%% quhet ndarja vendosni %%M%% nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

  1. Secila prej nëngrupeve %%M_i%% është jo bosh.
  2. Bashkimi i të gjitha nënbashkësive %%M_i%% është i barabartë me bashkësinë %%M%%.
  3. Dy nënbashkësi të ndryshme %%M_i%% dhe %%M_j%%, ku %%i \neq j%%, nuk kanë elementë të përbashkët.

Teorema. Le të jetë %%R%% një lidhje ekuivalente në bashkësinë %%M%%. Pastaj grupi i klasave të ekuivalencës së grupit %%M%% formon ndarjen e tij.

Në të vërtetë, nëse marrim klasat e ekuivalencës %%M_a%% si nëngrupe të %%M_i%%, atëherë të tre kushtet janë të kënaqur:

  1. Çdo klasë ekuivalente është një grup jo bosh, sipas pronë 1.
  2. Bashkimi i të gjitha klasave ekuivalente është bashkësia %%M%%, sipas pronë 4.
  3. Dy klasa të ndryshme të ekuivalencës nuk kanë elemente të përbashkëta, sipas pronë 3.

Të gjitha kushtet për përcaktimin e një ndarjeje janë plotësuar. Prandaj, klasat ekuivalente janë një ndarje e grupit %%M%%.

Shembuj

Le të jepet bashkësia %%M = \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \)%%, atëherë koleksionet e mëposhtme të grupeve mund të jenë një ndarje e këtij grupi:

  1. %%A_1 = \(1, 2, 3\), A_2 = \(4, 5, 6, 7\), A_3 = \(8, 9, 0\)%%.
  2. %%B_1 = \(0, 7, 2\), B_2 = \(1, 3, 5\), B_3 = \(4, 6, 8, 9\)%%.

Por agregatët e mëposhtëm nuk janë ndarje:

  1. %%C_1 = \(1, 2, 3\), C_2 = \(4, 5, 6, 7\), C_3 = \(8, 9, 0, 3\)%%.
  2. %%D_1 = \(0, 7, 2\), D_2 = \(1, 3, 5\), D_3 = \(4, 6, 8, 9\), D_4 = \varnothing%%.
  3. %%E_1 = \(0, 1, 2\), E_2 = \(3, 4, 5\), E_3 = \(6, 7, 8\)%%.

Kompleti %%C_i%% nuk ​​është një ndarje, sepse nuk e plotëson kushtin 3 të grupeve të ndarjes: grupet %%C_1%% dhe %%C_3%% kanë një element të përbashkët %%3%%.

Kompleti %%D_i%% nuk ​​është një ndarje, sepse nuk e plotëson kushtin 1 të grupeve të ndarjes: grupi %%D_4%% është bosh.

Kompleti %%E_i%% nuk ​​është një ndarje, sepse nuk e plotëson kushtin 2 të grupeve ndarëse: bashkimi i bashkësive %%E_1, E_2%% dhe %%E_3%% nuk ​​formon bashkësinë %%M%%.

Marrëdhënia e ekuivalencës është një relacion që ka vetitë e refleksivitetit, simetrisë dhe kalueshmërisë. Tregohet nga shenja ~, rekord A ~ V do të thotë se A ekuivalente V .

Sipas përkufizimit, relacioni i ekuivalencës ka këto veti:

Shembuj të marrëdhënieve të ekuivalencës - barazia, ngjashmëria e trekëndëshave.

Duke përdorur relacionin e ekuivalencës, është e mundur të ndahet një grup në klasa ekuivalente.

Klasa ekuivalente , i krijuar nga elementi – grupi i të gjithë elementëve nga , duke filluar nga në lidhje me ekuivalencën. Klasa e ekuivalencës përcaktohet si më poshtë:

, Për
zgjidhen elementet
, të cilat janë në përputhje me elementin X .

Marrëdhënia e ekuivalencës ka zbatim të madh praktik, duke lejuar që grupet të ndahen në klasa ekuivalente. Klasa e ekuivalencës mund të merret nëse për elementin e zgjedhur X nga shumë X ju mund të zgjidhni elemente
, ndodhet me X në një klasë ekuivalente

Kompletet e faktorëve grupe nga relacioni i ekuivalencësφ – grupi i të gjitha klasave të ndryshme të ekuivalencës, të shënuaraA/φ .

Indeksi i ndarjes , i krijuar nga relacioniφ është fuqia e grupit të faktorëve A/φ .

Shembull2 .11.

A) Marrëdhënia e barazisë
në çdo grup është një lidhje ekuivalente.

Barazia është një lidhje minimale ekuivalence në kuptimin që kur hiqet ndonjë çift nga
(d.m.th., çdo njësi në diagonalen e matricës
) ai pushon së qeni refleksiv dhe, për rrjedhojë, nuk është më një ekuivalencë.

b) Deklaratat e formularit
ose
, i përbërë nga formula të lidhura me një shenjë të barabartë, përcaktojnë një lidhje binare në një grup formulash që përshkruajnë mbivendosjet e funksioneve elementare. Kjo lidhje zakonisht quhet relacion i ekuivalencës dhe përkufizohet si më poshtë: formulat janë ekuivalente nëse përcaktojnë të njëjtin funksion. Ekuivalenca, edhe pse shënohet me shenjën =, është e ndryshme nga raporti i barazisë
, pasi mund të kryhet për formula të ndryshme. Qëndrimi
për formulat, kjo është rastësia e formulave në drejtshkrim. Quhet barazi grafike .

V) Le të shqyrtojmë një grup trekëndëshash në një rrafsh, duke supozuar se një trekëndësh është dhënë nëse jepen koordinatat e kulmeve të tij. Quhen dy trekëndëshakongruente (të barabartë ) , nëse ato përkojnë kur mbivendosen, domethënë, ato mund të shndërrohen në njëra-tjetrën nga ndonjë lëvizje. Kongruenca është një lidhje ekuivalente në një grup trekëndëshash.

G) qëndrim " kanë të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me 9" është e barabartë me
. Kjo lidhje vlen për çiftet (12, 21), (17, 36) dhe nuk vlen për çiftet (11, 13), (19, 29).

Lëreni në set relacioni i dhënë ekuivalencës . Le të bëjmë ndërtimin e mëposhtëm. Le të zgjedhim një element
dhe formoni një klasë (nëngrup ), përbërë nga ; pastaj zgjidhni elementin
dhe formojnë një klasë , përbërë nga dhe të gjithë elementët ekuivalent , etj. Rezultati është një sistem klasash
(ndoshta e pafundme) e tillë që çdo element nga përfshihet në të paktën një klasë, d.m.th
. Ky sistem klase ka karakteristikat e mëposhtme:

    ajo formon ndarje, pra klasa në çifte mos kryqëzohen;

    çdo dy elementë nga e njëjta klasë ekuivalente;

    çdo dy elementë nga klasa të ndryshme nuk janë ekuivalente.

Të gjitha këto veti rrjedhin nga refleksiviteti, simetria dhe kalueshmëria . Në të vërtetë, nëse klasat, për shembull Dhe , të kryqëzuara, atëherë do të kishin një element të përbashkët , ekuivalente Dhe , por më pas për shkak të kalueshmërisë do
, që bie ndesh me ndërtimin . Dy vetitë e tjera janë vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

Ndarja e ndërtuar, pra sistemi i klasës, quhet sistem klasa ekuivalente ne lidhje me . Kardinaliteti i këtij sistemi quhet indeksi i ndarjes. Nga ana tjetër, çdo ndarje klasa përcakton një relacion të caktuar ekuivalence, përkatësisht relacionin " i përkasin të njëjtës klasë të një ndarjeje të caktuar».

Shembull. 2.12.

A) Të gjitha klasat e ekuivalencës në lidhje me relacionin e barazisë
përbëhet nga një element.

b) Formulat që përshkruajnë të njëjtin funksion elementar janë në të njëjtën klasë ekuivalence në lidhje me relacionin e ekuivalencës. Në këtë shembull, vetë grupi i formulave, grupi i klasave të ekuivalencës (d.m.th., indeksi i ndarjes) dhe çdo klasë ekuivalente janë të numërueshme.

c) Ndarje
ne lidhje me " kanë një mbetje totale kur pjesëtohet me 7" ka një indeks përfundimtar prej 7 dhe përbëhet nga 7 klasa të numërueshme: 0, 7, 14, ...; 2, 9, 16, ...; ...; 6, 13, 20,…



Artikuj të ngjashëm