Определение. Умножение - это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения - произведением.

При умножении натуральных чисел произведение всегда число положительное. Если один из множителей равен 0 (нулю), то произведение равно 0. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен 0.

Если один из двух множителей равен 1 (единице), То произведение равно второму множителю.

• Например:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Законы умножения

Сочетательный закон

Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

• Например:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

Переместительный закон

Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

• Например:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• а * Ь * с = с * Ь * а

Распределительным закон

Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

• Например:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

• Например:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Получить равенства, выражающие распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
2. Научить учащихся применять это свойство слева направо.
3. Показать важное практическое значение этого свойства.
4. Развивать у учащихся логическое мышление. Закрепить навыки работы на компьютере.

Оборудование: компьютеры, плакаты со свойствами умножения, с изображениями машин и яблок, карточки.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одно свойство умножения, которое имеет важное практическое значение, помогает быстро производить умножение многозначных чисел. Повторим ранее изученные свойства умножения. По ходу изучения новой темы проверим домашнее задание.

2. Решение устных упражнений.

I . На доске запись:

1 – понедельник
2 – вторник
3 – среда
4 – четверг
5 – пятница
6 – суббота
7 – воскресенье

Задание. Задумайте день недели. Умножить номер задуманного дня на 2. Прибавить к произведению 5. Умножить сумму на 5. Увеличить произведение в 10 раз. Назвать результат. Вы загадали... день.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II . Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №8. Экспресс-контроль. Заполните пустые клетки в цепочке. Вариант 1.

III . На доске:

• a + b
• (a + b) * c
• m – n
• m * c – n * c

2) Упростить:

• 5 * x * 6 * y
• 3 * 2 * а
• а * 8 * 7
• 3 * а * b

3) При каких значениях x равенство обращается в верное:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Почему?

Какие свойства умножения применялись?

3. Изучение нового материала.

На доске плакат с изображениями машин.

Рисунок 1.

Задание для 1 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Записать выражения.

1. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых?
2. Сколько грузовых машин во 2-ом ряду? Сколько легковых?
3. Сколько машин всего в гараже?
4. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько грузовых машин в двух рядах?
5. Сколько легковых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых машин в двух рядах?
6. Сколько всего машин в гараже?

Найти значения выражений 3 и 6. Сравнить эти значения. Записать выражения в тетрадь. Прочитать равенство.

Задание для 2 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Что означают выражения:

• 4 – 3
• 4 * 2
• 3 * 2
• (4 – 3) * 2
• 4 * 2 – 3 * 2

Найти значения двух последних выражений.

Значит, между этими выражениями можно поставить знак =.

Прочитаем равенство: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

Плакат с изображениями красных и зелёных яблок.

Рисунок 2.

Задание для 3 группы учащихся (девочек).

Составить выражения.

1. Какова масса одного красного и одного зелёного яблока вместе?
2. Какова масса всех яблок вместе?
3. Какова масса всех красных яблок вместе?
4. Какова масса всех зелёных яблок вместе?
5. Какова масса всех яблок?

Найти значения выражений 2 и 5 и сравнить их. Записать это выражение в тетрадь. Прочитать.

Задание для 4 группы учащихся (девочек).

Масса одного красного яблока 100 г, одного зелёного 80 г.

Составить выражения.

1. На сколько г масса одного красного яблока больше, чем зелёного?
2. Какова масса всех красных яблок?
3. Какова масса всех зелёных яблок?
4. На сколько г масса всех красных яблок больше, чем зелёных?

Найти значения выражений 2 и 5.Сравнить их. Прочитать равенство. Только ли для этих чисел верны равенства?

4. Проверка домашнего задания.

Задание. По краткой записи условия задачи поставить главный вопрос, составить выражение и найти его значение при данных значениях переменных.

1 группа

Найти значение выражения при а = 82,b = 21, c = 2.

2 группа

Найти значение выражения при а = 82, b = 21, с= 2.

3 группа

Найти значение выражения при а = 60, b = 40, с = 3.

4 группа

Найти значение выражения при а = 60, b =40, с = 3.

Работа в классе.

Сравнить значения выражений.

Для 1 и 2 групп:(а + b) * с и а * с + b * с

Для 3 и 4 групп:(а – b) * с и а * с – b * с

(а + b) * с = а * с + b * с
(а – b) * с = а * с – b * с

Итак, для любых чисел а, b, с верно:

• При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.
• При умножении разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
• При умножении суммы или разности на число умножение распределяется на каждое число, заключённое в скобках. Поэтому это свойство умножения называется распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.

Прочитаем формулировку свойства по учебнику.

5. Закрепление нового материала.

Выполнить №548. Примените распределительное свойство умножения.

• (68 + а) * 2
• 17 * (14 – x)
• (b – 7) * 5
• 13 * (2 + y)

1) Выбирай задания на оценку.

Задания на оценку «5».

Пример 1. Найдём значение произведения 42 * 50. Представим число 42 в виде суммы чисел 40 и 2.

Получим: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Теперь применим распределительное свойство:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Аналогично решить №546:

а) 91 * 8
в) 6 * 52
д) 202 * 3
ж) 24 * 11
з) 35 * 12
и) 4 * 505

Представить числа 91,52, 202, 11, 12, 505 в виде суммы десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Пример 2. Найдём значение произведения 39 * 80.

Представим число 39 в виде разности 40 и 1.

Получим: 39 * 80 = (40 – 1) = 40 * 80 – 1 * 80 = 3 200 – 80 = 3 120.

Решить из №546:

б) 7 * 59
е) 397 * 5
г) 198 * 4
к) 25 * 399

Представить числа 59, 397, 198, 399 в виде разности десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «4».

Решить из №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить из № 546 (б, г, е, к). Применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «3».

Решить №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить №546 (б, г, е, к).

Для решения задачи №552 составить выражение и выполнить рисунок.

Расстояние между двумя сёлами 18 км. Из них выехали в разные стороны два велосипедиста. Один проезжает в час m км, а другой n км. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

Заполнить квадратики.

При каких значениях x верно равенство:

а) 3 * (x + 5) = 3 * x + 15
б) (3 + 5) * x = 3 * x + 5 * x
в) (7 + x) * 5 = 7 * 5 + 8 * 5
г) (x + 2) * 4 = 2 * 4 + 2 * 4
д) (5 – 3) * x = 5 * x – 3 * x
е) (5 – 3) * x = 5 * x – 3 * 2

Распределительное свойство умножения позволяет нам быстро умножать многозначные числа.

2) Продолжим проверку домашнего задания.

1) Выполнить умножение:

2) Найти ошибку:

А почему умножение этих чисел надо записывать так, как в предпоследнем примере?

Оказывается, умножение «столбиком» многозначных чисел также основано на распределительном свойстве умножения.

Рассмотрим пример:

Поэтому произведение 423 на 50 начинаем записывать под десятками.

(Устно. Примеры записаны на обратной стороне доски.)

Вместо поставьте пропущенные цифры:

Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №7. Экспресс-контроль. Восстановите пропавшие цифры.

6. Подведение итогов урока.

Итак, мы рассмотрели распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Повторим формулировку свойства, прочитаем равенства, выражающие свойство. Применение распределительного свойства умножения слева направо можно выразить условием «раскрыть скобки», т. к. в левой части равенства выражение было заключено в скобки, а в правой скобок нет. При решении устных упражнений на отгадывание дня недели мы тоже использовали распределительное свойство умножения относительно сложения.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * № + 250, а затем решали уравнение вида:
100 * № + 250 = а

Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

Навигация по странице.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число . Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю . Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Основные свойства умножения целых чисел

Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.

Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число . Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .

Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю , то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.

Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю . В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

Свойства вычитания целых чисел

Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a , b и c – произвольные целые числа):

• Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
• Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
• Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
• И все другие свойства вычитания целых чисел.

Свойства деления целых чисел

Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .

Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

• Никакое целое число нельзя делить на нуль.
• Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
• Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
• Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
• В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
• Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
• Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
• Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
• Любые другие свойства деления целых чисел.

Класс: 3

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: учить упрощать выражение, содержащее только действия умножения.

Задачи (Слайд 2):

• Познакомить с сочетательным свойством умножения.
• Формировать представление о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.
• Развивать представления в возможности решения «жизненных» задач средствами предмета «математика».
• Развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.
• Развивать организационные общеучебные умения, в том числе умения самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя, находить и исправлять собственные ошибки.

Тип урока: изучение нового материала.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Устный счёт. Математическая разминка.
Строка чистописания.
3. Сообщение темы и задач урока.
4. Подготовка к изучению нового маериала.
5. Изучение нового материала.
6. Физкультминутка
7. Работа по закреплению н. м. Решение задачи.
8. Повторение пройденного материала.
9. Итог урока.
10. Рефлексия
11. Домашнее задание.

Оборудование: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.

II. Устный счёт

– Посчитаем устно:

1) «Весёлые ромашки» (Слайды 3-7 таблица умножения)

2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее» (Слайд 8)

• 485 45 864 947 670 134 (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 – двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4).
• 9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 – однозначное, 22 не делится на 9)

Строка чистописания. Прописать в тетради числа, чередуя: 45 22 670 9
– Подчеркнуть самую аккуратную запись числа

III. Сообщение темы и задач урока. (Слайд 9)

– Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока

IV. Подготовка к изучению нового материала

а) Верно ли выражение

На доске запись:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)
– Какую возможность даёт сочетательное свойство?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок.

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– Какие свойства сложения мы применяются в данном случае?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок. При этом вычисления можно выполнять в любом порядке.

– В таком случае как называется ещё одно свойство сложения? (Переместительное)

– Вызывает ли это выражение затруднение? Почему?(Мы не умеем умножать двузначное число на однозначное)

V. Изучениенового материала

1) Если мы будем выполнять умножение в том порядке, в каком записаны выражения, то возникнут трудности. Что же поможет нам снять эти трудности?

(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6

2) Работа по учебнику с. 70, № 305 (Выскажи своё предположение о результатах, которые получат Волк и Заяц. Проверь себя, выполнив вычисления).

3) № 305. Проверь, равны ли значения выражений. Устно.

Запись на доске:

(5 2) 3 и 5 (2 3)
(4 7) 5 и 4 (7 5)

4) Сделай вывод. Правило.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на примерах

5) Коллективная работа

На доске: (8 3) 2, (6 3) 3, 2 (4 7)

VI. Физминутка

1) Игра «Зеркало». (Слайд 10)

Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.

2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».

– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов против часовой стрелки.

VII. Закрепление изученного

1)Работа по учебнику. решение задачи. (Слайд 11)

(с. 71, № 308) Прочитайте текст. Докажите, что это задача. (Есть условие, вопрос)
– Выделите условие, вопрос.
– Назовите числовые данные. (Три, 6, трёхлитровые)
– Что они обозначают? (Три ящика. 6 банок, в каждой банке по 3 литра сока)
– Какая это задача по структуре? (Составная задача, т. к. нельзя сразу ответить на вопрос задачи или для решения требуется составление выражения)
– Тип задачи? (Составная задача на последовательные действия))
– Решите задачу без краткой записи составлением выражения. Для этого используйте следующую карточку:

Карточка-помощница

– В тетради решение задачи можно оформить следующим образом: (3 6) 3

– Можем ли мы решить задачу в таком порядке?

(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л).
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л)

Ответ: 54 литра сока во всех ящиках.

2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд 12)

– Поставь знаки, не вычисляя:

(15 * 2) *4 15 * (2 * 4) (–Какое свойство?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3

Проверка: (Слайд 13)

(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 < 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3

3) Самостоятельная работа (по учебнику)

(с. 71, № 307 – по вариантам)

1 в. (8 2) 2 = (6 2) 3 = (19 1) 0 =
2 в. (7 3) 3 = (9 2) 4 = (12 9) 0 =

Проверка:

1 в. (8 2) 2 = 32 (6 2) 3 = 36 (19 1) 0 = 0.
2 в. (7 3) 3 = 63 (9 2) 4 = 72 (12 9) 0 = 0

Свойства умножения: (Слайд 14).

• Переместительное свойство
• Сочетательное свойство

– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд 15).

• Чтобы быстро считать
• Выбирать рациональный способ счета
• Решать задачи

VIII. Повторение пройденного материала. «Ветряные мельницы». (Слайд 16, 17)

• Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три числовых выражения (1 вариант)
• Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три числовых выражения (2 вариант)

485 + 38 523		583 + 38 621		681 + 38 719
583 – 38 545		545 – 38 507		507 – 38 469

Учащиеся выполняют задания по вариантам (двое учащихся решают задания на дополнительных досках).

Взаимопроверка.

IХ. Итог урока

– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного свойства умножения?

Х. Рефлексия

– Кто считает, что понял смысл сочетательного свойства умножения? Кто доволен своей работой на уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы довольны своей работой, то поставьте руки на локти и покажите мне ладошки. А если вы были чем-то расстроены, то покажите мне обратную сторону ладошки.

XI. Информация о домашнем задании

– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?

По выбору:

1. Выучить правило с. 70
2. Придумать и записать выражение на новую тему с решением

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a · b = b · a

a и b - любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2 · 6 . По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 . Теперь поменяем множители местами. 6 · 2 = 6 + 6 = 12 . Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Второе название для сочетательного свойства умножения - ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c .

Приведем формулировку в буквенном виде:

a · b · c = a · b · c

Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 12 + 12 = 24

4 · 3 · 2 = 4 · 3 · 2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c .

a · b + c = a · b + a · c

a , b , c - любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4 · 3 + 2 .

4 · 3 + 2 = 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20

С другой стороны 4 · 3 + 2 = 4 · 5 = 20 . Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c .

Запишем в форме буквенного выражения:

a · b - c = a · b - a · c

a , b , c - любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим "плюс" на "минус" и запишем:

4 · 3 - 2 = 4 · 3 - 4 · 2 = 12 - 8 = 4

С другой стороны 4 · 3 - 2 = 4 · 1 = 4 . Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1 · a = ∑ i = 1 a 1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a . Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1 · a = a · 1 = a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0 .

По определению, произведение 0 · a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0 · 498 = 0 ; 0 · 9638854785885 = 0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a · 0 = 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Похожие статьи