Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, допускающие решение. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы, с подробным описанием методов решения и примерами.

Содержание

См. также: Дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием > > >

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь - функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде > > >

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде

.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде > > >

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...

Для решения этого уравнения, делаем подстановку
,
где - функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков > > >

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка :
(1) ,
где - функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) ,
где - произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка - это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка :
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где - общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3) .
Здесь - действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2) .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение :
(4) .

Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .

Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где - многочлены степеней s1 и s2 ; - постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s - наибольшее из s1 и s2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли .
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где - функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n - 1 - го порядка.

2) Метод линейной подстановки .
Сделаем подстановку
,
где - один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

3) Метод вариации постоянных Лагранжа .
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где - неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

Уравнение Эйлера

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

См. также: Для более глубокого понимания происходящего в этой статье можно ознакомиться с .

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

Здесь x(t), y(t), z(t) - искомые функции на промежутке (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) - вещественные числа.

Запишем исходную систему в матричном виде
,
где

Решение исходной системы будем искать в виде
,
где , C 1 , C 2 , C 3 - произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение

Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:

1. Корни (собственные значения) действительны и различны.

2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть
- действительный корень
=

3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.

Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся:
Теорема 1.
Пусть - попарно различные собственные значения матрица А, а - соответствующие им собственные векторы. Тогда

образуют фундаментальную систему решений исходной системы.

Замечание .
Пусть - действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), - соответствующий ему собственный вектор.
= - комплексные собственные значения матрицы А, - соответствующий - собственный вектор. Тогда

(Re - действительная часть, Im - мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. и = рассматриваются вместе)

Теорема 3.
Пусть - корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида
,
где , - постоянные вектора. Если же кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида
.
Векторы находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.
Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.

Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.

1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система

1) Составляем характеристическое уравнение

- действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим , где

3)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

4)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

5)

составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде
,
здесь C 1 , C 2 , C 3 - произвольные постоянные,
,
или в координатном виде

Расмотрим несколько примеров:
Пример 1.




2) Находим


3)Находим


4)Вектор-функции



или в координатной записи

Пример 2.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим


3)Находим


4)Находим


5)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.


- действительный корень,

2)Строим , где

3) Строим

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. удовлетворяет системе

Здесь Re - действительная часть
Im - мнимая часть
4) составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
, где
С 1 , С 2 ,С 3 произвольные постоянные.

Пример 1.

1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

2)Строим

3) Строим
, где

Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.

Далее

Следовательно,

4) - фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:

Пример 2.

1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение


2)Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.


Следовательно,

3)
Общее решение исходной системы

или

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение

Возможны два случая:

Рассмотрим случай а) 1) , где

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе

2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида
,
где , - постоянные векторы. Их возьмем за .
3) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:

Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида
,
где , , - постоянные векторы. Их возьмем за .
2) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.

Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а)
1) Строим
, где

Из второго уравнения вычитаем первое:

? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:

2) = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых , т.е. решения вида
.
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда - собственный вектор, соответствующий =1, т.е.
, или
, вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.

Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, и . Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения:
.
Следовательно, .
3) - фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы:
. .. Таким образом существует только одно решение вида Подставим X 3 в эту систему: Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.
или

Дифференциальные уравнения высших порядков

Основная терминология дифференциальных уравнений высших порядков (ДУ ВП).

Уравнение вида , где n >1 (2)

называется дифференциальным уравнением высшего порядка, т. е. n -го порядка.

Область определения ДУ, n -го порядка есть область .

В данном курсе будут рассматриваться ДУ ВП следующих видов:

Задача Коши ДУ ВП:

Пусть дано ДУ ,
и начальные условия н/у: числа .

Требуется найти непрерывную и n раз дифференцируемую функцию
:

1)
является решением данного ДУ на , т. е.
;

2) удовлетворяет заданным, начальным условиям: .

Для ДУ второго порядка геометрическая интерпретация решения задачи заключается в следующем: ищется интегральная кривая, проходящая через точку (x 0 , y 0 ) и касающаяся прямой с угловым коэффициентом k = y 0 ́ .

Теорема существования и единственности (решения задачи Коши для ДУ (2)):

Если 1)
непрерывна (по совокупности (n +1) аргументов) в области
; 2)
непрерывны (по совокупности аргументов
) в , то ! решение задачи Коши для ДУ , удовлетворяющее заданным начальным условиям н/у: .

Область называется областью единственности ДУ.

Общее решение ДУ ВП (2) – n -параметрическая функция ,
, где
– произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим требованиям:

1)

– решение ДУ (2) на ;

2) н/у из области единственности !
:
удовлетворяет заданным начальным условиям.

Замечание .

Соотношение вида
, неявно определяющее общее решение ДУ (2) на называется общим интегралом ДУ.

Частное решение ДУ (2) получается из его общего решения при конкретном значении .

Интегрирование ДУ ВП.

Дифференциальные уравнения высших порядков, как правило, не решаются точными аналитическими методами.

Выделим некоторого вида ДУВП, допускающих понижения порядка и сводящихся к квадратурам. Сведем в таблицу эти виды уравнений и способы понижения их порядка.

ДУ ВП, допускающие понижения порядка

		Способ понижения порядка
	ДУ неполное, в нём отсутствуют . Например,	И т.д. После n кратного интегрирования получится общее решение ДУ.
	Уравнение неполное; в нём явно не содержится искомая функция и её первых производных. Например,	Подстановка понижает порядок уравнения на k единиц.
	Неполное уравнение; в нём явно не содержится аргумента искомой функции . Например,	Подстановка понижается порядок уравнения на единицу.
	Уравнение в точных производных, оно может быть полным и неполным. Такое уравнение можно преобразовать к виду (*) ́= (*)́, где правая и левая части уравнения есть точные производные некоторых функций.	Интегрирование правой и левой части уравнения по аргументу понижает порядок уравнения на единицу.
		Подстановка понижает порядок уравнения на единицу.

Определение однородной функции:

Функция
называется однородной по переменным
, если


в любой точке области определения функции
;

– порядок однородности.

Например, – функция однородная 2-го порядка относительно
, т.е. .

Пример 1 :

Найти общее решение ДУ
.

ДУ 3-го порядка, неполное, не содержит явно
. Последовательно интегрируем уравнение три раза.

,

– общее решение ДУ.

Пример 2 :

Решить задачу Коши для ДУ
при

.

ДУ второго порядка, неполное, не содержит явно .

Подстановка
и ее производная
понизит порядок ДУ на единицу.

. Получили ДУ первого порядка – уравнение Бернулли. Для решения этого уравнения применим подстановку Бернулли:

,

и подставим в уравнение.

На этом этапе решим задачу Коши для уравнения
:
.

– уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

В последнее равенство подставляем начальные условия:

Ответ:
– решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример 3:

Решить ДУ.

– ДУ 2-го порядка, неполное, не содержит явно переменную , и поэтому допускает понижение порядка на единицу с помощью подстановки или
.

Получим уравнение
(пусть
).

– ДУ 1-го порядка с разделяющими переменными. Разделим их.

– общий интеграл ДУ.

Пример 4 :

Решить ДУ.

Уравнение
есть уравнение в точных производных. Действительно,
.

Проинтегрируем левую и правую части по , т. е.
или . Получили ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными т. е.
– общий интеграл ДУ.

Пример5 :

Решить задачу Коши для
при .

ДУ 4-го порядка, неполное, не содержит явно
. Заметив, что это уравнение в точных производных, получим
или
,
. Подставим в это уравнение начальные условия:
. Получим ДУ
3-го порядка первого вида (см. таблицу). Проинтегрируем его три раза, и после каждого интегрирования в уравнение будем подставлять начальные условия:

Ответ:
- решение задачи Коши исходного ДУ.

Пример 6 :

Решить уравнение.

– ДУ 2-го порядка, полное, содержит однородность относительно
. Подстановка
понизит порядок уравнения. Для этого приведем уравнение к виду
, разделив обе части исходного уравнения на . И продифференцируем функцию p :

.

Подставим
и
в ДУ:
. Это уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными .

Учитывая, что
, получим ДУ или
– общее решение исходного ДУ.

Теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка.

Основная терминология.

– НЛДУ -го порядка, где – непрерывные функции на некотором промежутке .

Называется интервалом непрерывности ДУ (3).

Введем (условный) дифференциальный оператор -го порядка

При действии его на функцию , получим

Т. е. левую часть линейного ДУ -го порядка.

Вследствие этого ЛДУ можно записать

Линейные свойства оператора
:

1) – свойство аддитивности

2)
– число – свойство однородности

Свойства легко проверяются, т. к. производные этих функций обладают аналогичными свойствами (конечная сумма производных равна сумме конечного числа производных; постоянный множитель можно вынести за знак производной).

Т. о.
– линейный оператор.

Рассмотрим вопрос существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ
.

Разрешим ЛДУ относительно
: ,
, – интервал непрерывности.

Функция непрерывная в области , производные
непрерывны в области

Следовательно, область единственности , в которой задача Коши ЛДУ (3) имеет единственное решение и зависит только от выбора точки
, все остальные значения аргументов
функции
можно брать произвольными.

Общая теория ОЛДУ .

– интервал непрерывности.

Основные свойства решений ОЛДУ:

1. Свойство аддитивности

(
– решение ОЛДУ (4) на )
(
– решение ОЛДУ (4) на ).

Доказательство:

– решение ОЛДУ (4) на

– решение ОЛДУ (4) на

Тогда

2. Свойство однородности

( – решение ОЛДУ (4) на ) (
( – числовое поле))

– решение ОЛДУ (4) на .

Доказывается аналогично.

Свойства аддитивности и однородности называются линейными свойствами ОЛДУ (4).

Следствие:

(
– решение ОЛДУ (4) на )(

– решение ОЛДУ (4) на ).

3. ( – комплексно-значное решение ОЛДУ (4) на )(
– действительно-значные решения ОЛДУ (4) на ).

Доказательство:

Если – решение ОЛДУ (4) на , то при подстановке в уравнение обращает его в тождество, т. е.
.

В силу линейности оператора , левую часть последнего равенства можно записать так:
.

Это значит, что , т. е. – действительно-значные решения ОЛДУ (4) на .

Последующие свойства решений ОЛДУ связаны с понятием “линейная зависимость ”.

Определение линейной зависимости конечной системы функций

Система функций называется линейно зависимой на , если найдётся нетривиальный набор чисел
такой, что линейная комбинация
функций
с этими числами тождественно равна нулю на , т. е.
.n , что неверно. Теорема доказана.дифференциальные уравнения высших порядков (4 час...

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.

Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

.

В результате мы получили общее решение -

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x , получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Похожие статьи