Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).

Пример. Найти и , если (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х,y) найдем частные производные

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Отсюда, применяя формулу (1), получим:

.

Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:

.

2°. Случай нескольких независимых переменных . Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0 , где F(х, у, z ) - дифференцируемая функция переменных х, у и z , определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠ 0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам

.

Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0 , получим:

.

Отсюда можно определить dz, а следовательно, и .

Пример. Найти и , если x ² - 2 y ²+3 z ² - yz + y =0.

1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z) , найдем частные производные F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y .

Применив формулы (2), получим:

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:

2х dx -4 y dy +6 z dz - y dz - z dy + dy =0

Отсюда определяем dz , т. е. полный дифференциал неявной функции:

.

Сравнивая с формулой , видим, что

.

3°. Система неявных функций . Если система двух уравнений

определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан

,

то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений

Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у ; найти .

Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:

.

Аналогичным образом найдем:

.

2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du + dv = dx + dy , x du + u dx + y dv + v dy =0.

Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv , получим:

4°. Параметрическое задание функции . Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и

,

то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений

Зная дифференциал dz=p dx+q dy , находим частные производные и .

Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v ).

Найти и .

Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:

Из первых двух уравнений определим du и dv :

.

Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv :

.

2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:

Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у :

Из первой системы найдем: .

Из второй системы найдем: .

Подставляя выражения и в формулу (5), получим:

Замена переменных

При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.

1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.

,

полагая .

у по х через производные от у по t . Имеем:

,

.

Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:

Пример. Преобразовать уравнение

,

приняв за аргумент у , а за функцию х.

Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.

.

Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:

,

или, окончательно,

.

Пример . Преобразовать уравнение

перейдя к полярным координатам

x=r cos φ, y=r cos φ.

Решение. Рассматривая r как функцию φ , из формул (1) получим:

dх = соsφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F (x , y ) = 0, где F (x , y ), F " x (x , y ), F " y (x , y ) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х , у ), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x , y ) = 0, F " y (x , y ) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную

Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F " y (x , y ) > 0. Так как производная F " y (x , y ) непрерывна, то можно построить квадрат [х 0 - δ" , х 0 + δ" , у 0 - δ" , у 0 + δ" ], чтобы для всех его точек было F " y (x , y ) > 0, то есть F (x , y ) является монотонной по у при фиксированном х . Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у = f (x ), такой, что F (x , f (x )) º 0.
Зададим приращение Δ х . Новому значению х + Δ х будет соответствовать у + Δ у = f (x + Δ x ), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F (x + Δ x , y + Δ y ) = 0. Очевидно, что

Δ F = F (x + Δ x , y + Δ y ) − F (x , y ) = 0

и в этом случае

.

Из (7) имеем

.

Так как неявная функция у = f (x ) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем

.

Что и требовалось доказать.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть частные производные функции z = f (x , y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у , определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М ) в этой точке и обозначаются следующими символами

Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

Дифференциалы высших порядков

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y ) = δ [f " (x ) d x ] = [f " (x ) d x ] " δ x = f "" (x ) d (x ) δx .

Дифференциал δ (d y ) от дифференциала dy в точке x , взятый при δx = dx , называется дифференциалом второго порядка функции f (x ) в точке x и обозначается d 2 y , т.е.

d 2 y = f ""(x )·(dx ) 2 .

В свою очередь, дифференциал δ(d 2 y ) от дифференциала d 2 y , взятый при δx = dx , называется дифференциалом третьего порядка функции f (x ) и обозначается d 3 y и т.д. Дифференциал δ(d n-1 y) от дифференциала d n -1 f , взятый при δx = dx , называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f (x ) и обозначается d n y .
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

d n y = y (n ) ·(dx ) n , n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1

d n −1 y = y (n −1) ·(dx ) n −1 ,

и функция y (n -1) (x ) дифференцируема в некоторой точке x . Тогда

Полагая δx = dx , получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f (x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

Производная по направлению функций нескольких переменных.

Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М 0 с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u (x , y , z ) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y:

Пример 1.11.

Уравнение

неявно задаёт две функции:

А уравнение

не задаёт никакой функции.

Теорема 1.2 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f"x и f"y определены и непрерывны в некоторой окрестности UM0 точки M0(x0y0). Кроме того, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности UM0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x0, причем y(x0)=y0.

Без доказательства.

Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:

то- есть имеет место тождество по

где "полная" производная находится согласно (1.31)

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:

то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:

Пример 1.12. Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z"x, z"y.

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

11.Использование частных производных в геометрии.

12.Экстремумы функции двух переменных.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).

На рисунке 210: N1 - точка максимума, а N2 - точка минимума функции z=ƒ(x;у).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0)=0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ"(х0) = 0, т. е. ƒ"x(х0;y0)=0.

Аналогично можно показать, что ƒ"y(х0;у0) = 0.

Геометрически равенства ƒ"x(х0;у0)=0 и ƒ"y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функцияимеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f"x=0, f"y=0, называется стационарной точкой функ ции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z"x=у и z"y - х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f""xx(x0;y0), В=ƒ""xy(х0;у0), С=ƒ""уy(х0;у0). Обозначим

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

ЗАДАЧИ

1.

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции: Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале. Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов. Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .

2.

Примеры .

Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .

Найдем y "" и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y " = –2x , y "" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x . Так как y "" = e x > 0 при любых x , то кривая всюду вогнута.

y = x 3 . Так как y "" = 6x , то y "" < 0 при x < 0 и y "" > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.

3.

4. Дана функция z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка А(3,2). Найти dz/dl (я так понял производная функции по направлению вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Найдем частные производные: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Найдем значения производных в точке А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откуда, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0^2)=11 Производная функции z по направлению вектора l: dz/dl=z(по х)*cosa+z(по у)*cosb, a,b-углы вектора l с осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.

В этих примерах в левой части равенства находится y , а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x . Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y . Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде ). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.

Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y , причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного .

В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных . В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести или .

Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.

Может неявно определять закон соответствия между величинами x и y , причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .

Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, - не преобразовывается к явному виду, а - преобразовывается.

Теперь к делу.

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x , считая y – функцией от x , и после этого выразить .

Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x) , проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции . Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.

Пример.

Продифференцировать выражения по x , считая y функцией от x .

Решение.

Так как y – это функция от x , то - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x)) , где f – функция возведения в куб, а g(x) = y . Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: .

При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f – функция синуса, g(x) = y ):

Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:

Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:

Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.

Пример.

Найти производную неявной функции .

Решение.

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y : . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:

Разрешим полученное уравнение относительно производной:

Ответ:

.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для закрепления материала решим еще пример.

Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительноZ. Найдем частные производныефункцииZзаданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместоZфункцию f(х;у) получим тождествоF(x,y, f(х,у))=0. Частные производные поxи yфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

F(x,y, f (х, у)) =
=0 (yсчитаем постоянным)

F(x,y, f (х, у)) =
=0 (xсчитаем постоянным)

Откуда
и

Пример : Найти частные производные функцииZзаданной уравнением
.

Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
. По формулам приведенным выше имеем:

и

1. Производная по направлению

Пусть функция двух переменных Z= f(x; у) задана в некоторой окрестности т. М (x,y). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором
, где
(см. рис.).

На прямой, проходящей по этому направлению через т. М возьмем т. М 1 (
) так, что длина
отрезкаMM 1 равна
. Приращение функцииf(M) определяется соотношением, где
связаны соотношениями. Предел отношенияпри
будет называться производной функции
в точке
по направлениюи обозначаться.

=

Если функция Zдифференцируема в точке
, то ее приращение в этой точке с учетом соотношений для
может быть записано в следующей форме.

поделив обе части на

и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции Z= f(х; у) по направлению:

1. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных
дифференцируемой в некоторой точке
.

Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным
в этой точке. Для обозначения градиента используют символ
.
=
.

.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Поскольку единичный вектор имеет координаты (
), то производная по направлению для случая функции трех переменных записывается в виде, т.е.имеет формулу скалярного произведения векторови
. Перепишем последнюю формулу в следующем виде:

, где- угол между вектороми
. Поскольку
, то отсюда следует, что производная функции по направлению принимаетmaxзначение при=0, т.е. когда направление векторови
совпадают. При этом
.Т.е., на самом деле градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

1. Экстремум функции двух переменных

Понятия max,min, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция Z= f(x; у) определена в некоторой областиDи т. М
принадлежит к этой области. Точка М
называется точкойmaxфункции Z= f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки
, что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство
. Аналогичным образом определяется и точкаmin, только знак неравенства при этом изменится
. Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции называются экстремумами.

1. Необходимые и достаточные условия экстремума

Теорема: (Необходимые условия экстремума). Если в точке М
дифференцируемая функция Z= f(x; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
,
.

Доказательство: зафиксировав одну из переменныхxилиy, ревратим Z= f(x; у) в функцию одной переменной, для экстремума которой вышеописанные условия должны выполняться. Геометрически равенства
и
означают, что в точке экстремума функции Z= f(x; у), касательная плоскость к поверхности, изображающую функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY, т.к. уравнение касательной плоскости естьZ=Z 0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z= f(x; у) равны нулю, т.е.
,
, называются стационарной точкой функции. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. НапримерZ=|-
| имеетmaxв точкеO(0,0), но не имеет в этой точке производных.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, приZ=xyточкаO(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функцияZ=xyне имеет. (Т.к. вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема : (Достаточное условие экстремумов). Пусть в стационарной точке
и некоторой окрестности функция f(x; у) имеет непрерывные частные производные до 2 ого порядка включительно. Вычислим в точке
значения
,
и
. Обозначим

В случае если
, экстремум в точке
может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Похожие статьи