Вероятностное пространство

Первые теоретические результаты по теории вероятностей относятся

к середине 17 века и принадлежат Б.Паскалю, П.Ферма, Х.Гюйгенсу, Я.Бернулли. Своим успехам в 18 веке и начале 19 века эта теория обязана А.Муавру, П.Лапласу, К.Гауссу, С.Пуассону, А.Лежандру. Значительные успехи в теории вероятностей были достигнуты в конце 19 и начале 20 века в работах Л.Больцмана, П.Чебышева, А.Ляпунова, А.Маркова, Э.Бореля и др. Однако, даже к началу 20 века еще не бы­ло создано строгой и непротиворечивой теории. Только аксиоматический подход позволил достичь этого. Впервые аксиоматическое построение теории было сделано С.Н.Бернштейном в 1917г., который в основу сво­их построений положил сравнение случайных событий по степени их вероятности. Однако этот подход не получил дальнейшего развития. Более плодотворным оказался аксиоматический подход, основанный на теории множеств и теории меры, развитый А.Н.Колмогоровым в 20-х годах 20-го века. j аксиоматике Колмогорова понятие случайного события, в отличие от классического подхода, не является исходным, а является следст­вием более элементарных понятий. Исходным у Колмогорова является множество (пространство) W элементарных событий (пространство ис­ходов, выборочное пространство). Природа элементов этого простран­ства не играет роли.

Если А,В,С Î W , то очевидны следующие отношения, установленные в теории множеств:

А+А = А, АА = А, АÆ =Æ , А +Æ = A, A +W =W, AW = А, W = Æ, Æ = W, А=А,

где чертой сверху обозначено дополнение в W; А+В = А B, AB = А + В, АВ=ВА, А+В = В+А, (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС), А(В+С) = АВ+АС, А+ВС = (А+В)(А+С);

здесь Æ обозначает пустое множество, т.е. невозможное событие.

В аксиоматике Колмогорова рассматривается некоторая система U подмножеств множества W, элементы которой называются случайными событиями. Система U удовлетворяет следующим требованиям: если под­множества А и В множества W входят в систему U, то эта система содержит также и множества А È В, А Ç В, А и В; само множество W. также является элементом системы U. Подобная система множеств на­зывается (булевой) алгеброй множеств.

Очевидно, из определения алгебры множеств следует, что семейству U принадлежит также и пустое множество Æ. Таким образом, алгебра множеств (т.е. множество случайных событий) замкнута относительно операций сложения, пересечения и образования дополнений, а следова­тельно, элементарные операции над случайными событиями не выводят за пределы множества случайных событий U.

Для большинства приложений необходимо требовать, чтобы семейство множеств U включало в себя не только конечные суммы и пересечения подмножеств множества W, но и счетные суммы и пересечения. Это приводит нас к определению понятия s-алгебры.

Определение 1.1. s-алгеброй называется семейство подмножеств (U) множества W, замкнутое относительно операций образования допол­нений, счетных сумм и счетных пересечений.

Понятно, что любая s-алгебра содержит само множество W и пустое множество. Если задано произвольное семейство U подмножеств множества W то наименьшая s-алгебра, содержащая все мно­жества семейства U, называется s-алгеброй, порожденной семейст­вом U.

Наибольшая s-алгебра содержит все подмножества s; она полезна в дискретных пространствах W, в которых вероятность обычно определяют для всех подмножеств множества W. Однако в более общих про­странствах определить вероятность (определение вероятности будет дано ниже) для всех подмножеств или невозможно, или нежелательно. Другим крайним определением s-алгебры может служить s-алгебра, состоящая только из множества W. и пустого множества Æ.

В качестве примера выбора W и s-алгебры подмножеств U рас­смотрим игру, в которой участники бросают игральную кость, на каждой из шести граней которой нанесены цифры от 1 до 6. При любых броса­ниях кости реализуется только шесть состояний: w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 и w 6 , i-ое из которых означает выпадение i очков. Семейство U случайных событий состоит из 2 6 = 64 элементов, состав­ленных из всевозможных комбинаций w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Случайные события, т.е. элементы s-алгебры U мы будем часто обозначать буквами А, В,… Если два случайных события А и В не имеют в своем составе одних и тех же элементов w i ÎW, то будем на­зывать их несовместимыми. События А и A называются противоположными (в других обозначениях, вместо A можно положить СА). Теперь можно перейти к определению понятия вероятности.

Определение 1.2. Вероятностной мерой Р на s-алгебре U подмноже­ств множества W называется функция множества P, удовлетворяющая следующим требованиям:

1) Р(А) ³ 0; AÎU;

, т.е. обладающая свойством счетной аддитивности, где А k - взаимно непересекающиеся множества из U.

Таким образом, каково бы ни было выборочное пространство W , вероятности мы приписываем только множествам некоторой s-алгебры U и эти вероятности определяются величиной меры Р на этих множествах.

Таким образом, в любой задаче на исследование случайных событий исходным понятием служит выборочное пространство s, в котором тем или иным образом выбирается s-алгебра, на которой уже определяется вероятностная мера Р. Следовательно, можно дать следующее определение

Определение 1.3. Вероятностным пространством называется тройка (W,U,Р), состоящая из выборочного пространства W,s-ал­гебры U его подмножеств и вероятностной меры Р, определенной на U.

На практике могут встречаться задачи, в которых одним и тем же случайным событиям из U приписываются разные вероятности. Например, в случае симметричной игральной кости естественно положить:

Р(w 1) = Р(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

а если кость несимметрична, то более соответствующими реальности.могут оказаться следующие вероятности: P(w 1) = Р(w 2) = Р(w 3) = Р(w 4) = 1/4, Р(w 5) = Р(w 6) = 1/12.

В основном мы будем иметь дело с множествами W, являющимися подмножествами конечномерного евклидова пространства R n . Главным объектом теории вероятностей являются случайные величины, т.е. неко­торые функции, определенные на выборочном пространстве W. Наша первая задача - ограничить класс Функций, которыми мы будем опериро­вать. Желательно выбрать такой класс функций, стандартные операции над которыми не выводили бы из этого класса, в частности, чтобы из этого класса не выводили, например, операции взятия поточечных пре­делов, композиции функций и т.п.

Определение 1.4. Наименьший класс функций B, замкнутый относительно поточечных предельных переходов (т.е. если ¦ 1 ,¦ 2 ,... принадлежат классу B и при всех x существует предел ¦(x) = lim¦ n (x), то и ¦(x) принадлежит B), содержащий все непрерывные функции, назы­вается классом Бэра.

Из этого определения следует, что сумма, разность, произведение, проекция, композиция двух бэровских функций снова являются бэровскими функциями, т.е. всякая функция от бэровской функции снова есть бэровская функция. Оказывается, что если ограничиться более узкими классами функций, то никакого усиления или упрощения теории получить не удается.

В общем случае случайные величины, т.е. функции Х = U(х), где XÎWÌR n , следует определить так, чтобы события {X £ t} при лю­бом t имели определенную вероятность, т.е. чтобы множества {X £ t} принадлежали семейству U , для элементов которого определены веро­ятности Р, т.е. чтобы величины Р{X £ t} были определены. Это при­водит нас к следующему определению измеримости функции относительно семейства U.

Определение 1.5. Действительная функция U(х), xÎW, назы­вается U-измеримой, если для всякого действительного t множество тех точек xÎW, при которых U(х)£t, принадлежит семейству U.

Поскольку s-алгебра U замкнута относительно операции взятия до­полнений, то в определении измеримости можно неравенство £ заме­нить на любое из неравенств ³, >, <. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Как уже было указано,s-алгебра может быть выбрана весьма произ­вольно, и, в частности, следующим образом: сначала на пространстве WÎR n определяются n-мерные интервалы, затем с помощью операций алгебры множеств из этих интервалов могут быть построены множества более сложной структуры и сформированы семейства множеств. Среди все возможных семейств, можно отобрать такое, которое содержит все открытые подмножества в W. Подобное построение приводит к следующему определению.

Определение 1.6. Наименьшая s-алгебра U b , содержащая все откры­тые (а следовательно, и все замкнутые) подмножества множествами WÌ R n называется борелевской s-алгеброй, а его множества - борелевскими.

Оказывается, что класс беровских функций B тождествен классу функ­ций, измеримых относительно s-алгебры U b борелевских множеств.

Теперь мы можем четко определить понятие случайной величины и вероятностной функции ее распределения.

Определение 1.7. Случайной величиной Х называется действительная функция Х =U(х), хÎW, измеримая относительно s-алгебры U, входящей в определение вероятностного пространства.

Определение 1.8. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(t) = Р{X £ t}, определяющая вероятность того, что случайная величина Х не превосходит значения t.

По заданной функции распределения F однозначным образом может быть построена вероятностная мера, и наоборот.

Рассмотрим основные вероятностные закономерности на примере ко­нечного множества W. Пусть A,BÌ W. Если А и В содержат общие эле­менты, т.е. АВ¹0, то можно записать: А+В=А+(В-АВ) и В = АВ+(В-АВ), где в правых частях стоят непересекающиеся множества (т.е. несовме­стимые события), а следовательно, по свойству аддитивности вероятно­стной меры: Р(А+В) = Р(В-АВ)+Р(А), Р(В) = Р(АВ)+Р(В-АВ); отсюда сле­дует Формула для суммы вероятностей произвольных собы­тий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Если при вычислении вероятности события А никаких условий не на­лагается, то вероятность Р(А) называется безусловной. Если событие А реализуется, например, при условии, что реализовалось событие В, то говорят об условной вероятности, обозначая ее символом Р(А/В). В аксиоматической теории вероятностей по определению полагается:

Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).

Чтобы интуитивно это определение стало понятным, рассмотрим, нап­ример, следующую ситуацию. Пусть в коробке лежат k бумажек, помеченных буквой А,r бумажек, помеченных буквой В, m бумажек, поме­ченных буквами А·В и n пустых бумажек. Всего имеется р = k + r + n + m бумажек. И пусть из коробки по очереди вытаскиваются одна бумажка за другой, причем после каждого вытаскивания отмечается тип вытащенной бумажки и она снова кладется в коробку. Результаты очень большого числа подобных испытаний записываются. Условная веро­ятность Р(А/В) означает, что событие А рассмат­ривается только в связи с реализацией события В. В данном примере это означает, что необходимо подсчитать число вытащенных бумажек с буквами А·В и буквой В и первое число разделить на сумму первого и второго чисел. При достаточно большом числе испытаний это отношение будет стремиться к числу , определяющему условную вероят­ность Р(А/В). Аналогичный подсчет других бумажек покажет, что

Вычисляя отношение

убеждаемся, что оно как раз совпадает с ранее вычисленным нами зна­чением для вероятности Р(А/В). Таким образом, получаем

Р(А·В) = Р(A/В)·Р(В).

Проводя аналогичные рассуждения, поменяв местами А и В, получим

Р(А·В) = Р(В/А)·Р(А)

Равенства

Р(А·B) = Р(А/В)·Р(В) = Р(В/А)·Р(А)

называют теоремой умножения вероятностей.

Рассмотренный пример позволяет также наглядно убедиться в спра­ведливости следующего равенства при A·B¹Æ :

Р(A + В) == Р(А) + Р(В) - Р(А·В).

Пример 1.1. Пусть дважды бросается рсается игральная кость и требуется определить вероятность P(A/B) выпадения в сумме 10 очков, если в первом бросании выпало 4.

Выпадение во втором бросании 6 имеет вероятность 1/6. Следовательно,

Пример1.2. Пусть имеется 6 урн:

в урне типа А 1 - два белых и один черный шар, в урне типа А 2 - два белых и два черных шара, в урне типа А 3 - два черных и один белый шар. Имеется 1 урна типа А 1 , 2 урны типа А 2 и 3 урны типа А 3 . Случайно выбирается урна и из нее шар. Какова ве­роятность, что этот шар белый? Обозначим через В событие вытаски­вания белого шара.

Чтобы решить задачу, предположим, что некоторое событие В реали­зуется только вместе с одним из n несовместимых событий А 1 ,..., А n , т.е. В = , где события ВА i и ВА j с разными индексами i и j несовместимы. Из свойства аддитивности вероятности Р следует:

Подставляя сюда зависимость (1.1), получаем

эта формула носит название формулы полной вероятности. Для решения последнего примера воспользуемся формулой полной вероятности. Так как белый шар (событие В) может быть взят из одной из трех урн (события А 1 , А 2 , А 3), то можно записать

В = А 1 В + А 2 В + А 3 В.

Формула полной вероятности дает

Подсчитаем вероятности, входящие в эту формулу. Вероятность, что шар взят из урны типа А 1 , очевидно равна Р(А 1) = 1/6, из урны типа А 2: Р(А 2) = 2/6 == 1/3 и из урны типа А 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Если шар взят из урны типа А 1 , то Р(В/А 1) = 2/3 , если из урны типа А 2 , то Р(В/А 2)=1/2, а если из урны типа А 3 , то Р(В/А 3)= 1/3. Таким образом,

Р(В) =(1/6)(2/З)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Условная вероятность Р(В/А) обладает всеми свойствами вероятности Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 и P(В/А) аддитивна.

Поскольку

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

то отсюда следует, что если А не зависит от В, то есть если

Р(А/В) = Р(А),

то и В не зависит от А, т.е. Р(В/А) = Р(В).

Таким образом, в случае независимых событий теорема умножения принимает наиболее простой вид:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Если события А и В независимыми, то независимы также и каждое из следующих пар событий: (A,В), (А,B), (A,В). Убедимся, например, что если А и В независимы, то независимы и А и Б. Поскольку Р(В/А) + Р(B/А) = I, то отсюда с учетом условия независимости собы­тий А и В, т.е. условия Р(В/А) = Р(В), следует: Р(В/А) = 1 - Р(В) = Р(В).

События могут быть попарно независимыми, но оказаться зависим-ыми в совокупности. В связи с этим вводится также понятие взаимной неза­висимости: события А 1 ,..., А n называются взаимно независимыми, если для всякого подмножества Е индексов 1,2,...,n выполняется равен­ство

На практике нередко приходится оценивать вероятности гипотез после того, как проведено некоторое испытание. Пусть, например, со­бытие В может реализоваться лишь с одним из несовместимых событий А 1 ,...,А n , т.е. и пусть событие В реализовалось.Требуется найти вероятность гипотезы (события) А i при условии,

что В произошло. Из теоремы умножения

Р(А i В) = Р(В) Р(А i /В) = Р(А i) Р(В/А i)

С учетом формулы полной вероятности для Р(В) отсюда следует

Эти формулы носят название формул Байеса.

Пример 1.3. Пусть в примере 1.2 вытащен белый шар и требуется оп­ределить, какова вероятность, что он взят из урны типа 3.

Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.

Полная группа событий

Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят, что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.

Конечно-аддитивная функция

Пусть A – алгебра. Функция  , отображающая алгебру в множество действительных чисел

называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий

Счетно-аддитивная функция

Пусть F – алгебра или сигма-алгебра. Функция

называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий

Мера - это неотрицательная счетно-аддитивная функция, определенная на сигма-алгебре, удовлетворяющая условию

Конечная мера

Мера называется конечной, если

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) P это мера такая, что

С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.

называют вероятностью события A

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство это совокупность трех объектов – пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятности.

Это и есть математическая модель случайного явления или объекта.

Парадокс определения вероятностного пространства

Вернемся к исходной постановке задачи теории вероятностей. Нашей целью было построение математической модели случайного явления, которая помогла бы количественно оценить вероятности случайных событий. В то же время для построения вероятностного пространства необходимо задать вероятность, т.е. вроде бы именно то, что мы ищем (?).

Разрешение этого парадокса в том, что для полного определения вероятности как функции на всех элементах F , обычно достаточно задать ее на лишь на некоторых событиях из F , вероятность которых нам легко определить, а затем, пользуясь ее счетной аддитивностью, вычислить на любом элементе F .

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость.

События A и B называются независимыми, если

т.е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей.

События в счетном или конечном наборе называются независимыми попарно, если любая пара из них является парой независимых событий

В совокупности

События в счетном или конечном наборе называются независимыми в совокупности, если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

Ясно, что независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B называется величина

Условную вероятность пока определим лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Если события A и B независимы, то

Свойства и теоремы

Простейшие свойства вероятности

Следует из того, что А и не-А противоположны и свойства конечной аддитивности вероятности	Вероятность противоположного события
Следует из того, что невозможное и достоверное события противоположны	Вероятность невозможного события
Следует из того, что	Монотонность вероятности и в этом случае
Следует из того, что любое событие содержится в пространстве элементарных исходов	Ограниченность вероятности
Следует из представления	Вероятность объединения событий
Следует из предыдущего	Полуаддитивность вероятности
Следует из счетной аддитивности вероятности и определения полной группы событий	Вероятности полной группы событий Сумма вероятностей полной группы событий равна 1.
Следует из счетной аддитивности вероятности, определения полной группы событий и определения условной вероятности	Формула полной вероятности Если … - полная группа событий, то для любого события A Если вероятности всех событий полной группы больше нуля, то также
Следует из предудущей формулы и определения условной вероятности	Формула Байеса Если … - полная группа событий ненулевой вероятности, то для любого события A с ненулевой вероятностью

В настоящей главе в сжатом виде представлена эволюция теории вероятностей от классической схемы с конечным числом равновозможных исходов до аксиоматического построения. Вводятся важнейшие понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, случайные события и действия над ними, поле событий, вероятность, вероятностное пространство.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0° С замерзает. Соответственно, невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Случайным естественно назвать такое событие, которое при заданном комплексе условий может как произойти, так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий.

Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, .......Достоверное событие обозначим буквой?2, невозможное - символом 0. Введем теперь некоторые отношения между событиями.

Два события А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Сумма событий А, В - это такое третье событие С = А + В, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо они оба одновременно. Произведение событий А, В - это такое событие С = АВ, которое наступает тогда, когда происходят и событие А, и событие В. Событие А противоположно событию А, если оно несовместно с событием А и вместе с ним образует достоверное событие А + А = Q..

Покажем, как могут быть построены математические модели явлений с конечным числом исходов. Одной из таких моделей является модель, известная под названием «классическая вероятностная схема». В этой схеме определение вероятности основывается на равновозмож- ности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх.

Так, в случае с игральной костью при однократном бросании равновозможно выпадение любой из шести граней, на которые нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти равновозможные исходы, или элементарные события, через С0|, (% (% а> 4 , СО5, (% Естественно, что шанс осуществиться не одному исходу, а одному из двух, например или С0[, или (рг, в два раза больше. Рассуждая таким образом, можно определить шансы осуществления любого составного события А, состоящего из нескольких элементарных, так называемого составного события.

В общем случае, когда имеется п равновозможных элементарных событий (Oi, ..., сц, вероятность любого составного события А, состоящего из т элементарных событий,...,со, определяется как

отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е.

Например, в случае с игральной костью вероятность события А, состоящего в выпадении четного числа очков (т.е. А = {со^, (% оу}), равна Р(А) = 3 / б = V 2 , так как в событие А входят три элементарных события, а общее число элементарных событий равно 6.

Из классического определения вероятности, в частности, вытекает, что вероятность полного события?2, включающего все п элементарных событий, равна единице:

Но ведь тогда полное событие?2, состоящее в появлении любого из всего набора элементарных событий?2 = {со, ..., щ,}, и является достоверным событием, так как оно обязательно происходит. Поэтому вероятность достоверного события равна единице.

Если события рассматривать как подмножества множества элементарных событий, то отношения между событиями, введенными выше, можно интерпретировать как соотношения между множествами. Несовместные события - это такие события, которые не содержат общих элементов. Сумма (А + В) и произведение событий А В - это соответственно их объединение A U В и пересечение А П В , противоположное событие А - дополнение А. Запись А с В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если AczBnBcz А, то А = В.

В случае классического определения вероятности справедлива следующая теорема сложения вероятностей:

Теорема 1.1. Если два составных события Л = {со,.со, } и В = {со у,..., соj } являются несовместными, то вероятность объединенного события С = A U В равна сумме вероятностей этих двух событий.

Действительно, вероятности событий А и В равны соответственно т/п и к/п, а событие С = A U В = {со,.,..., со,- ,со,-,...,со, } содержат

т + к элементарных событий, так как по условию теоремы среди элементарных событий {со,.,...,со, } нет ни одного, которое бы входило

в набор {С0у,..., С0д}, поэтому, согласно классическому определению, его вероятность

Из теоремы сложения вытекает, что поэтому

Отсюда, в частности, следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным по отношению к достоверному событию, равна нулю:

Урновая схема

Классическая схема, несмотря на всю свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач.

Рассмотрим, например, некоторую совокупность элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным; или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет; или избиратели, которые могут проголосовать за или против кандидата, и т.д. Подобного рода ситуации описываются урновой схемой: в урне имеется N шаров, из них М белых и (N - М) черных.

Представим себе, что имеются только разрушающие средства контроля каждого изделия на годность. Например, электролампа считается годной, если до перегорания нити накаливания пройдет не менее чем определенное число часов, а это можно определить только непосредственным испытанием. В таком случае можно обследовать только часть изделий, а не всю партию.

Итак, из урны, содержащей N шаров, в которой находится неизвестное число М белых шаров, извлекается выборка объема п.

Требуется определить вероятность того, что в выборке будет обнаружено т белых шаров. В частности, определить вероятность того, что т/п близко к M/N, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. Последняя из этих двух сформулированных задач, как будет показано далее, является задачей математической статистики.

Первая же задача - на применение классического определения вероятности. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны. Подсчитаем число всех возможных выборок объема п из N элементов. Как известно из комбинаторики, число способов, с помощью которых можно выбрать п элементов из общего их числа

N, равно числу сочетаний из N по л, т.е. с" = ^" где /V! =

N n(N - и)!’

1 2-N. Таким образом, общее число равновозможных исходов равно C " N . Выясним, сколько исходов из общего числа элементарных исходов благоприятствуют событию А, т.е. наличию в выборке объема п белых шаров в количестве т. Число способов, которыми можно из М белых шаров извлечь т штук, равно, а число способов выбрать из (N-М) черных шаров (« - т) штук равно С^~_ т м. Поэтому число исходов, благоприятных событию А, равно С^С^~_ т м, следовательно,

вероятность события А, равная отношению числа благоприятных исходов к их общему числу, такова:

Пример 1.1. Пусть имеется партия, состоящая из 500 изделий, среди которых два бракованных. Какова вероятность в выборке из 5 изделий нс обнаружить ни одного бракованного?

Воспользуемся формулой (1.1.3):

Какой вывод можно сделать о генеральной совокупности, не обнаружив в выборке ни одного бракованного изделия? Кажется естественным перенести этот вывод на всю генеральную совокупность. Таким образом, при выборке, составляющей 1% от генеральной совокупности, мы получили с вероятностью 0,98 абсолютно неправильный ответ: в генеральной совокупности нет бракованных изделий. Этот вывод из очень простой задачи должен не обескуражить, а, напротив, помочь правильно построить статистические выводы по выборочным данным. В рассматриваемом случае, очевидно, не следует пытаться оценивать долю бракованных изделий (N - M)/N по их доле в выборке (п - т)/п, а, по-видимому, целесообразно указывать интервал, который с определенной надежностью должен накрыть неизвестную долю бракованных изделий (N- M)/N. Этот интервал естественно задать в виде

--- ± 8, где ширина интервала 8(п, q) является функцией от объема п

выборки п и уровня надежности ц.

Причем естественно ожидать (в чем мы и убедимся в дальнейшем), что ширина интервала при прочих равных условиях уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается при возрастании уровня надежности.

Как отмечалось выше, говорить о вероятности Р(Л) как о мере возможности осуществления случайного события А имеет смысл, только если выполняется определенный комплекс условий. При изменении условий изменится и вероятность. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности Р(А/В) - условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Вероятность Р(А) в отличие от условной будем называть безусловной.

Выведем теперь формулу условной вероятности. Пусть событиям А и В благоприятствуют тик элементарных исходов из «; тогда, согласно формуле (1.1.1), их безусловные вероятности равны т/п и к/п соответственно. Пусть событию А при условии, что событие В произошло, благоприятствуют г элементарных исходов, тогда, согласно формуле (1.1.1), условная вероятность события А

Разделив числитель и знаменатель на п, получим формулу условной вероятности:

поскольку событию А П В соответствует г исходов и, следовательно, г/п - его безусловная вероятность. Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. Р(А/В) = Р(А), при этом из формулы (1.1.4) получаем

т.е. свойство независимости взаимно и для независимых событий, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Формула (1.1.4), записанная в виде

называется формулой умножения для зависимых событий, а формула (1.1.5) - теоремой умножения для независимых событий.

Например, в опыте с игральной костыо: пусть событие А состоит в выпадении числа очков, делящегося на три, т.е. А = {со, с%}, а событие В - в выпадении четного числа очков, т.е. В = {со^, щ, ссц}; тогда А П В = со 6 и по формуле условной вероятности (1.1.4) получаем:

но Р(А) = 2 / 6 = Уз, поэтому Р(А/В) = Р(А), т.е. события Aw В независимы.

Говорят, что имеется вероятностная (математическая) модель случайного опыта, если построены:

1) пространство элементарных событий Е

2) поле событий К

3) распределение вероятностей на поле событий К , т.е. для каждого события А из поля событий К задана вероятность Р (А )

Тройка объектов (Е , К , Р ) называется вероятностным пространством (моделью) данного случайного опыта.

Если Е – дискретное, то (Е , К , Р ) называется дискретным.

Если Е – непрерывное, то (Е , К , Р ) называется непрерывным.

§6. Классическая вероятностная модель.

Вероятностная модель называется классической, если выполнены следующие 2 условия:

1) пространство элементарных событий – дискретное конечное, состоит из n элементарных событий Е ={e 1 , e 2 , …, e n }

2) - вероятности всех элементарных событий равны

Вероятностное пространство определяется так:

для заданного пространства Е поле событий К - есть множество всех подмножеств из Е , а вероятности Р (А ) для любого события А из К выражаются через вероятности элементарных событий.

По аксиоме 3:

§7. Геометрические вероятности.

Классическая модель: дискретная вероятностная модель

Геометрическая модель: непрерывная вероятностная модель

(Е , К , Р )

Е – непрерывное пространство, множество точек области на плоскости

К ={A }

А из Е : А – длина; А – площадь; А – объём

Эти вероятностные пространства служат моделью задач такого типа:

Наудачу бросается точка, наблюдается событие: попадание точки в область А . «Наудачу» означает: вероятность события А зависит от площади А , не зависит от её формы и положения Е .

§8. Теорема о сложении вероятностей.

(Не путать с аксиомой о сложении вероятностей).

Теорема. Задано вероятностное пространство (Е ,К , Р ), есть события А , В Е.

По аксиоме 3:

Вычитая из 1-го равенства 2-е получим ч.т.д.

Замечание: из аксиомы 3 следует, что если события составляют полную группу,

И - полная группа

§9. Условные вероятности.

Пример.

Три раза бросается монета. Результат: цифра или герб.

A – герб выпал один раз;

Пусть в результате опыта произошло событие В . Число выпавших гербов – нечётно.

Тогда, если В произошло, .

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть некоторому случайному опыту соответствует классическая вероятностная модель.

, n элементарных событий

r элементарных событий входит и в А и в В .

Найдём вероятность события А при условии, что произошло В . Если В произошло, то его вероятность равна 1, то .

Событие А происходит, если происходит элементарное событие, принадлежащее пересечению, их всего r .

Определение: пусть задано вероятностное пространство (Е , К , Р ); А , В – события. Если , то условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятностью другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место.

Вероятность произведения n событий.

Пример.

В урне 12 шаров: 5 белых, 7 чёрных. 2 лица один за другим вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

А – белый шар у Пети

В – белый шар у Маши

Пример.

Вероятность попадания в цель при стрельбе из 1-го и 2-го орудия равны:

Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.

А – попадание из 1-го орудия

В – попадание из 2-го орудия

А +В – попадание хотя бы из одного

Зависимые и независимые события.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Свойства независимых событий:

1 ̊. Если P (A )>0, то независимость А и В эквивалентна равенству P (A /B )=P (A ). Вероятность А не меняется, если В произошло.

2 ̊. Если А и В – независимые события, то и - независимые.

Из последнего равенства получаем:

Пример.

Опыт: 2 раза бросается монета.

А – герб при 1-м бросании

В – выпадение цифры при 2-м бросании

А и В – независимые?

§10. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Формула полной вероятности.

Пусть (Е , К , Р ) – модель некоторого случайного опыта.

Н 1 , Н 2 , …, Н n – полная группа.

H i – гипотеза

Доказательство:

т.к. H i – попарно несовместные, , по аксиоме 3 .

Пример.

Имеются 3 одинаковых урны. Состав: 1-я – 2 белых, 1 чёрный; 2-я – 3 белых, 1 чёрный; 3-я – 2 белых, 2 чёрных. Наудачу выбирается урна; из неё вынимается шар. Найти вероятность того, что шар – белый.

Гипотезы:

H i – выбрана i -я урна, i =1,2,3.

А – шар белый

Формулы Байеса.

Если вероятности гипотез до опыта известны, то их называют априорные вероятности гипотез. Пусть известно, что событие А произошло. Вероятность всех гипотез изменяется.

Вероятности гипотез после того, как событие А произошло – апостериорные вероятности.

Пусть в условиях предыдущего примера известно, что вытащен белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащен из второй урны.

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка , где:

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

.

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

Похожие статьи