Рис. 4.2. График

Рис. 4.3. График

Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции в точке бесконечен или не существует), либо на концах ее области определения
, если
– конечные числа.

Если функция
определена на всей числовой оси и существует конечный предел
, либо
, то прямая, задаваемая уравнением
, является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая
- левосторонней горизонтальной асимптотой.

Если существуют конечные пределы

и
,

то прямая
является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней (
) или левосторонней (
).

Функция
называется возрастающей на множестве
, если для любых
, таких, что>, выполняется неравенство:
>
(убывающей,если при этом:
<
). Множество
в этом случае называют интервалом монотонности функции.

Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества
положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.

Пример 4.5. Дана функция
. Найти ее интервалы возрастания и убывания.

Решение. Найдем ее производную
. Очевидно, что>0 при>3 и<0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) и возрастает на (3;
).

Точка называется точкойлокального максимума (минимума) функции
, если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство
(
) . Значение функции в точке называетсямаксимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Для того чтобы функция
имела экстремум в точкенеобходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (
) или не существовала.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.

Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.

Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если
<0, тоявляется точкой максимума, а если
>0, то- точка минимума. При
=0 вопрос о типе экстремума остается открытым.

Функция
называетсявыпуклой (вогнутой ) на множестве
, если для любых двух значений
выполняется неравенство:

.

Рис.4.4. График выпуклой функции

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции
положительна (отрицательна) внутри множества
, то функция вогнута (выпукла) на множестве
.

Точкой перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Вторая производная
дважды дифференцируемой функции в точке перегибаравна нулю, то есть
= 0.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, тоявляется точка перегиба ее графика.

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

Абсолютная погрешность

Определение

Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают $\Delta $u:

$\Delta u = |u - u0| $

Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность $\Delta $u неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.

Граница погрешности приближенной величины

Определение

Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:

\[|u-u_{0} |=\Delta _{u} \le \overline{\Delta _{u} }\]

Значит, точное значение величины содержится между $u_{0} -\overline{\Delta _{u} }$ и $u_{0} +\overline{\Delta _{u} }$

Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна $\overline{\Delta _{u} }$, то говорят, что величина u найдена с точностью $\overline{\Delta _{u} }$.

Относительная погрешность и ее граница

Определение

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности $\Delta $u к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.

Обозначая относительную погрешность символом $\delta $u, получим

\[\delta _{u} =\frac{\Delta _{u} }{\left|u_{0} \right|} \]

Определение

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:

\[\overline{\delta _{u} }=\frac{\overline{\Delta _{u} }}{\left|u_{0} \right|} \]

$\delta _{u} $ и $\overline{\delta _{u} }$ часто выражают в процентах.

Дифференциал функции

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

dy = f "(x) $\Delta $х

В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

\[\Delta y\approx dy\]

Поскольку

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \

Наращенное значение функции имеет вид:

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке $x + \Delta х$, близкой к х по известному значению функции.

Для приближенных вычислений используется формула:

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Например:

1. Приближенно вычислить $(1,02)^3$

Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

\[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]

Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

\[(1,02)^{3} \approx 1,06\]

2. Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $

Где $\Delta $х = 0,005, n =0,5

\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]

Пример 1

Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.

Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:

Запишем приращение функции:

\ \[\Delta V\approx 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Заменим известные величины

\[\Delta V\approx 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \approx 3770 см^{3} \]

Пример 2

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]

Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

\ \

Таким образом,

\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]

Заменим х и dx числовыми значениями

\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\]

(что составляет погрешность 4%)

23. Понятие дифференциала функции. Свойства. Применение дифференциала в приближенн ых вычислениях .

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ"(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Дифференциал обладает следующими основными свойствами.

1. d(с )=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(с u)= с d(u).

4. .

5. y = f (z ), , ,

Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

24. Первообразная функция и неопределенн ый интеграл .

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Функция F (х ) называется первообразной функцией для данной функции f (х ) (или, короче, первообразной данной функции f (х )) на данном промежутке, если на этом промежутке . Пример . Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как при любом х . Отметим, что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида , где С - произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.

Теорема 1 . Если и - две первообразные для функции f (х ) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х ) данной функции f (х ), то все множество первообразных для f (х ) исчерпывается функциями F (х ) + С . Выражение F (х ) + С , где F (х ) - первообразная функции f (х ) и С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х ) и обозначается символом , причем f (х ) называется подынтегральной функцией ; - подынтегральным выражением , х - переменной интегрирования ; ∫ - знак неопределенного интеграла . Таким образом, по определению если . Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х ) существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл? Теорема 2 . Если функция f (х ) непрерывна на [a ; b ], то на этом отрезке для функции f (х ) существует первообразная . Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому рассматриваемые нами далее в этом параграфе интегралы существуют.

25. Свойства неопределенного и нтеграла. Интеграл ы от основных элементарных функций .

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x , F - первообразная функции f , а, k, C - постоянные величины.







Интегралы элементарных функций

Список интегралов от рациональных функций

(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

Список интегралов от логарифмических функций

Список интегралов от экспоненциальных функций

Список интегралов от иррациональных функций

(«длинный логарифм»)

список интегралов от тригонометрических функций , список интегралов от обратных тригонометрических функций

26. Метод замен ы переменной , метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле .

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где - функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл

где - многочлен -й степени.

30. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Основные свойства определенного інтеграла

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция f (x ) непрерывна на замкнутом интервале [a, b ]. Если F (x ) - первообразная функции f (x ) на[a, b ], то

Похожие статьи

Образец заявления на возврат имущественного налогового вычета

Красные в гражданской войне

Суточные сверх нормы: страховые взносы и налогообложение Командировочные налогообложение

Характеристика и совместимость женщины рак-бык Когда рак ведает река быка понимает быка