Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите - 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 2 в степень - 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 - 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Возведите 1 , 43 в степень - 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) - 2 = 10000 20449

Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8 - 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

После этого извлечем корень 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и результат возведем в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367....

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .

Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Когда число умножается само на себя , произведение называется степенью .

Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель . Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами . Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква . В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень . Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель , и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели, если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножать на a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3 .

Тот же самый план записи может применяться к многочленам . Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx..... n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.

Квадрат a - b, есть a 2 - 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h есть a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 - b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a - h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 также, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a 2 + 4ab + b 2 .

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Пример 3. Квадрат 3d - h, есть 9d 2 + 6dh + h 2 .

Пример 4. Квадрат a - 1 есть a 2 - 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b) 2 .
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x) n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей , скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго - произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть 3 , или a 3 .(b + d) 3 .

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a 2
Третья степень (-a) есть -a 3
Четвёртая степень (-a) есть +a 4
Пятая степень (-a) есть -a 5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a 2 есть a 2.3 = a 6 .

Для a 2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a 2 .

Четвертая степень a 3 b 2 есть a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третья степень 4a 2 x есть 64a 6 x 3 .

Пятая степень (a + b) 2 есть (a + b) 10 .

N-ая степень a 3 есть a 3n

N-ая степень (x - y) m есть (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a -2 есть a -3.3 =a -6 .

Для a -2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертая степень a 2 b -3 есть a 8 b -12 или a 8 /b 12 .

Квадрат b 3 x -1 , есть b 6 x -2 .

N-ая cтепень ax -m есть x -mn или 1/x .

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть "-", то он должен быть изменен на "+" всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a 3 есть +a 6 . Квадрат -a 3 есть -a 3 .-a 3 , которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a 6 .

2. Но куб -a 3 есть -a 9 . Для -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-ая степень -a 3 есть a 3n .

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n - чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a 2 /b 2 . Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .

Примеры двочленов , в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадрат x - b/m есть x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени .

Так, в дроби ax -2 /y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дроби a/by 3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax 3 /b = a/bx -3 . Для x 3 обратным есть x -3 , что есть x 3 = 1/x -3 .

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Так, a/b = 1/ba -1 , or ab -1 .

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Калькулятор степеней

Возвести в степень

Возведений в степень: 94722

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·...·a
n - называется показателем степени , а число a - основанием степени .

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 . Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение : как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Ответ : 3 4 = 81 .

Пример 2 . Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5
Решение : аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 .
Ответ : 5 5 = 3125 .

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a - это единица, поделённая на a в степени n: a -n = .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1 . Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4

Решение : как было сказано выше, 2 -4 = = = 0.0625 .

Ответ : 2 -4 = 0.0625 .

Похожие статьи