Hapësira e probabilitetit

Së pari rezultatet teorike sipas teorisë së probabilitetit ato përfshijnë

deri në mesin e shekullit të 17-të dhe i përket B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli. Sukseset e saj në shekullin e 18-të dhe në fillim të shekullit të 19-të, kjo teori ia detyron A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Përparime të rëndësishme në teorinë e probabilitetit u arritën në fund të shekullit të 19-të dhe fillimit të shekullit të 20-të në veprat e L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel dhe të tjerë fillimi i shekullit të 20-të, një teori strikte dhe konsistente. Vetëm qasja aksiomatike bëri të mundur arritjen e kësaj. Së pari ndërtim aksiomatik teoria u bë nga S.N. Bernstein në vitin 1917, i cili bazoi ndërtimet e tij në një krahasim të ngjarjeve të rastësishme sipas shkallës së tyre të probabilitetit. Megjithatë, kjo qasje nuk u zhvillua më tej. Qasja aksiomatike, e bazuar në teorinë e grupeve dhe teorinë e masës, e zhvilluar nga A.N. Kolmogorov në vitet 20 të shekullit të 20-të, doli të jetë më e frytshme. Në aksiomatikën e Kolmogorov, koncepti i një ngjarjeje të rastësishme, ndryshe nga qasja klasike, nuk është fillestar, por është pasojë e koncepteve më elementare. Burimi i Kolmogorov është grupi (hapësira) W i ngjarjeve elementare (hapësira e rezultateve, hapësira e mostrës). Natyra e elementeve të kësaj hapësire nuk ka rëndësi.

Nëse A, B, C О W , atëherë është e qartë marrëdhëniet e mëposhtme, i vendosur në teorinë e grupeve:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

ku shiriti i sipërm tregon komplementin në W; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

këtu Æ tregon grupin bosh, d.m.th. ngjarje e pamundur.

Në aksiomatikën e Kolmogorov-it merret parasysh një sistem i caktuar U i nëngrupeve të bashkësisë W, elementët e të cilit quhen ngjarje të rastësishme. Sistemi U plotëson kërkesat e mëposhtme: nëse në sistemin U përfshihen nënbashkësitë A dhe B të grupit W, atëherë ky sistem përmban edhe bashkësitë A È B, A Ç B, A dhe B; vetë bashkësia W është gjithashtu një element i sistemit U. Një sistem i tillë bashkësive quhet algjebër (Boolean) e bashkësive.

Natyrisht, nga përkufizimi i algjebrës së grupit rezulton se familja U përmban gjithashtu bashkësinë boshe Æ. Kështu, algjebra e grupeve (d.m.th., grupi i ngjarjeve të rastit) është i mbyllur në lidhje me operacionet e mbledhjes, kryqëzimit dhe formimit të shtesave, dhe për këtë arsye, operacionet elementare në ngjarje të rastësishme nuk çojnë përtej grupit të ngjarjeve të rastit. U.

Për shumicën e aplikacioneve, është e nevojshme të kërkohet që familja e bashkësive U të përfshijë jo vetëm shuma të fundme dhe kryqëzime të nëngrupeve të W, por edhe shuma dhe kryqëzime të numërueshme. Kjo na çon në përkufizimin e konceptit të s-algjebrës.

Përkufizimi 1.1. Një s-algjebër është një familje nënbashkësish (U) të një bashkësie W që është e mbyllur nën operacionet e formimit të komplementeve, shumave të numërueshme dhe kryqëzimeve të numërueshme.

Është e qartë se çdo s-algjebër përmban vetë bashkësinë W dhe bashkësinë boshe. Nëse jepet një familje arbitrare U e nëngrupeve të një bashkësie W, atëherë algjebra s më e vogël që përmban të gjitha bashkësitë e familjes U quhet s-algjebra e krijuar nga familja U.

S-algjebra më e madhe përmban të gjitha nëngrupet e s; është i dobishëm në hapësirat diskrete W, në të cilat probabiliteti zakonisht përcaktohet për të gjitha nëngrupet e grupit W. Megjithatë, në hapësira më të përgjithshme, përcaktimi i probabilitetit (përkufizimi i probabilitetit do të jepet më poshtë) për të gjitha nëngrupet është ose i pamundur ose i padëshirueshëm. Një tjetër përkufizim ekstrem i një s-algjebër mund të jetë një s-algjebër që përbëhet vetëm nga bashkësia W. dhe bashkësia boshe Æ.

Si shembull i zgjedhjes së W dhe s-algjebrës së nëngrupeve U, merrni në konsideratë një lojë në të cilën pjesëmarrësit hedhin një bisht, në secilën nga gjashtë faqet e së cilës janë shtypur numrat nga 1 deri në 6 , janë realizuar vetëm gjashtë gjendje: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 dhe w 6, i-ta e të cilave do të thotë pika i janë rrotulluar. Familja U e ngjarjeve të rastësishme përbëhet nga 2 6 = 64 elementë të përbërë nga të gjitha kombinimet e mundshme w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1,f 6),...,(w 5 ,f 6);(f 1,f 2,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Ngjarjet e rastësishme, d.m.th. Elementet e s-algjebrës U shpesh do t'i shënojmë me shkronjat A, B,... Nëse dy ngjarje të rastësishme A dhe B nuk përmbajnë të njëjtat elemente w i ОW, atëherë do t'i quajmë të papajtueshme. Ngjarjet A dhe A quhen të kundërta (në shënime të tjera, në vend të A mund të vendosim CA). Tani mund të kalojmë në përcaktimin e konceptit të probabilitetit.

Përkufizimi 1.2. Një masë probabiliteti P në s-algjebrën U të nëngrupeve të një bashkësie W është një funksion i grupit P që plotëson kërkesat e mëposhtme:

1) P(A) ³ 0; AÎU;

, d.m.th. që zotërojnë vetinë e aditivitetit të numërueshëm, ku A k janë bashkësi reciproke të shkëputura nga U.

Kështu, cilado qoftë hapësira e mostrës W, ne caktojmë probabilitete vetëm për grupet e disa s-algjebër U, dhe këto probabilitete përcaktohen nga vlera e masës P në këto grupe.

Kështu, në çdo problem të studimit të ngjarjeve të rastësishme, koncepti fillestar është hapësira e mostrës s, në të cilën zgjidhet s-algjebra në një mënyrë ose në një tjetër, mbi të cilën është përcaktuar tashmë masa e probabilitetit P, për rrjedhojë, mund të japim si më poshtë përkufizim

Përkufizimi 1.3. Një hapësirë ​​probabiliteti është një trefish (W,U,P) që përbëhet nga një hapësirë ​​mostër W,s-algjebër U e nëngrupeve të saj dhe një masë probabiliteti P e përcaktuar në U.

Në praktikë, mund të ketë probleme në të cilat probabilitete të ndryshme u caktohen të njëjtave ngjarje të rastësishme nga U. Për shembull, në rastin e një zari simetrik, është e natyrshme të vendosni:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

dhe nëse kocka është asimetrike, atëherë probabilitetet e mëposhtme mund të jenë më në përputhje me realitetin: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5 ) = P (w 6) = 1/12.

Kryesisht do të merremi me bashkësitë W që janë nënbashkësi të hapësirës Euklidiane me dimensione të fundme Rn. Objekti kryesor i teorisë së probabilitetit janë variablat e rastësishëm, d.m.th. disa funksione të përcaktuara në hapësirën e mostrës W. Detyra jonë e parë është të kufizojmë klasën e Funksioneve me të cilat do të operojmë. Është e këshillueshme që të zgjidhni një klasë funksionesh të tilla që operacionet standarde në të cilat nuk do të rrjedhin nga kjo klasë, në veçanti, në mënyrë që, për shembull, operacionet për marrjen e kufijve në pikë, përbërjen e funksioneve, etj., të mos rrjedhin nga kjo. klasës.

Përkufizimi 1.4. Klasa më e vogël e funksioneve B që mbyllet nën kalimet e kufirit në drejtim të pikës (d.m.th., nëse ¦ 1 , ¦ 2,... i përkasin klasës B dhe për të gjitha x ka një kufi ¦(x) = lim¦ n (x), atëherë ¦( x) i përket B), që përmban gjithçka funksionet e vazhdueshme, quhet klasa Baer.

Nga ky përkufizim del se shuma, diferenca, produkti, projeksioni, përbërja e dy funksioneve Baire janë përsëri funksione Baire, d.m.th. çdo funksion i funksionit Baire është përsëri një funksion Baire. Rezulton se nëse kufizohemi në klasa më të ngushta funksionesh, atëherë nuk mund të arrihet asnjë forcim ose thjeshtim i teorisë.

NË rast i përgjithshëm variablat e rastësishëm, d.m.th. funksionet X = U(x), ku XÎWÌR n , duhet të definohen në mënyrë që ngjarjet (X £ t) për çdo t të kenë një probabilitet të caktuar, d.m.th. ashtu që bashkësitë (X £ t) i përkasin familjes U, për elementet e së cilës përcaktohen probabilitetet P, d.m.th. në mënyrë që të përcaktohen vlerat e P(X £ t). Kjo na çon në përkufizimin e mëposhtëm të matshmërisë së një funksioni në lidhje me familjen U.

Përkufizimi 1.5. Funksion real U(x), xОW, quhet U-i matshëm nëse për çdo t real bashkësia e atyre pikave xОW për të cilat U(x) £ t i përket familjes U.

Meqenëse s-algjebra U mbyllet nën veprimin e marrjes së komplementeve, atëherë në përkufizimin e matshmërisë pabarazia £ mund të zëvendësohet me cilindo nga pabarazitë ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Siç është treguar tashmë, algjebra s mund të zgjidhet mjaft arbitrarisht, dhe, në veçanti, si më poshtë: së pari, intervalet n-dimensionale përcaktohen në hapësirën WÎR n, pastaj, duke përdorur operacionet e grupit të algjebrës, grupe të një grupi më kompleks. struktura mund të ndërtohet nga këto intervale dhe formohen familjet e grupeve. Ndër të gjitha familjet e mundshme, mund të zgjidhet një që përmban të gjitha nëngrupet e hapura në W. Ky konstruksion çon në përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 1.6. S-algjebra më e vogël U b që përmban të gjitha nëngrupet e hapura (dhe për rrjedhojë të gjitha të mbyllura) të bashkësive WÌ R n quhet s-algjebër Borel dhe grupet e saj quhen Borel.

Rezulton se klasa e funksioneve të Birrës B është identike me klasën e funksioneve të matshme në lidhje me s-algjebër U b të grupeve Borel.

Tani mund të përcaktojmë qartë konceptin e një ndryshoreje të rastësishme dhe funksionin e shpërndarjes së probabilitetit të saj.

Përkufizimi 1.7. Një ndryshore e rastësishme X është një funksion real X =U(x), xОW, i matshëm në lidhje me s-algjebrën U të përfshirë në përkufizimin e hapësirës së probabilitetit.

Përkufizimi 1.8. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X është funksioni F(t) = P(X £ t), i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të mos e kalojë vlerën t.

Për një funksion të caktuar të shpërndarjes F, një masë probabiliteti mund të ndërtohet pa mëdyshje, dhe anasjelltas.

Le të shqyrtojmë ligjet bazë probabilistike duke përdorur shembullin e një bashkësie të fundme W. Le të A,BÌ W. Nëse A dhe B përmbajnë elemente të përbashkëta, d.m.th. AB¹0, atëherë mund të shkruajmë: A+B=A+(B-AB) dhe B = AB+(B-AB), ku në anët e djathta ka bashkësi të papajtueshme (d.m.th. ngjarje të papajtueshme), dhe për rrjedhojë, nga vetia e aditivitetit. matja e probabilitetit: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); prandaj ndjek Formula për shumën e probabiliteteve të ngjarjeve arbitrare: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Nëse nuk vendosen kushte gjatë llogaritjes së probabilitetit të ngjarjes A, atëherë probabiliteti P(A) quhet i pakushtëzuar. Nëse ngjarja A realizohet, për shembull, me kusht që ngjarja B të realizohet, atëherë flasim për probabilitet të kushtëzuar, duke e shënuar me simbolin P(A/B). Në teorinë aksiomatike të probabilitetit, sipas përkufizimit, supozohet:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Për ta bërë këtë përkufizim intuitivisht të qartë, merrni parasysh, për shembull, situatën e mëposhtme. Le të përmbajë një kuti k copa letre të etiketuara me shkronjën A, r copa letre të etiketuara me shkronjën B, m copa letre të etiketuara me shkronjat A B dhe n copa letre boshe. Ka p = k + r + n + m copa letre. Dhe lëreni një copë letre pas tjetrës të tërhiqen nga kutia me radhë, dhe pas çdo tërheqjeje, shënohet lloji i letrës së nxjerrë dhe futet përsëri në kuti. Rezultatet e një numri shumë të madh të testeve të tilla regjistrohen. Probabiliteti i kushtëzuar P(A/B) do të thotë që ngjarja A merret parasysh vetëm në lidhje me zbatimin e ngjarjes B. Në këtë shembull, kjo do të thotë se është e nevojshme të numërohet numri i copave të letrës të nxjerra me shkronjat A·B dhe shkronjën B dhe pjesëtojeni numrin e parë me shumën e numrit të parë dhe të dytë. Me një numër mjaft të madh provash, ky raport do të priret në numrin që përcakton probabilitetin e kushtëzuar P(A/B). Një numërim i ngjashëm i copave të tjera letre do ta tregojë këtë

Llogaritja e raportit

Sigurohemi që të përputhet saktësisht me vlerën që kemi llogaritur më parë për probabilitetin P(A/B). Kështu, ne marrim

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

Duke kryer arsyetime të ngjashme, duke shkëmbyer A dhe B, marrim

P(A B) = P(B/A) P(A)

Barazitë

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

quhet teorema e shumëzimit të probabilitetit.

Shembulli i shqyrtuar gjithashtu na lejon të verifikojmë qartë vlefshmërinë e barazisë së mëposhtme për A·B¹Æ:

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Shembulli 1.1. Lëreni të hidhet dy herë një trup dhe ju duhet të përcaktoni probabilitetin P(A/B) për të marrë gjithsej 10 pikë nëse gjuajtja e parë është 4.

Probabiliteti për të marrë një 6 në rrotullën e dytë është 1/6. Prandaj,

Shembulli 1.2. Le të ketë 6 urna:

në një urnë të tipit A 1 ka dy topa të bardhë dhe një të zi, në një urnë të tipit A 2 ka dy topa të bardhë dhe dy të zinj, në një urnë të tipit A 3 ka dy topa të zi dhe një të bardhë. Ka 1 urnë të tipit A 1, 2 urna të tipit A 2 dhe 3 urna të tipit A 3. Një urnë zgjidhet rastësisht dhe prej saj nxirret një top. Sa është probabiliteti që ky top të jetë i bardhë? Le të shënojmë me B ngjarjen e nxjerrjes së topit të bardhë.

Për të zgjidhur problemin, supozojmë se një ngjarje B realizohet vetëm së bashku me një nga n ngjarjet e papajtueshme A 1,..., A n, d.m.th. B = , ku ngjarjet VA i dhe VA j me indekse të ndryshëm i dhe j janë të papajtueshme. Nga vetia e aditivitetit të probabilitetit P rrjedh:

Duke zëvendësuar varësinë (1.1) këtu, marrim

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total. Për të zgjidhur shembullin e fundit, ne do të përdorim formulën e probabilitetit total. Meqenëse topi i bardhë (ngjarja B) mund të merret nga njëra nga tre urnat (ngjarjet A 1, A 2, A 3), ne mund të shkruajmë

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Formula e probabilitetit total jep

Le të llogarisim probabilitetet e përfshira në këtë formulë. Probabiliteti që një top të merret nga një urnë e tipit A 1 është padyshim e barabartë me P(A 1) = 1/6, nga një urnë e tipit A 2: P(A 2) = 2/6 == 1/3 dhe nga një urnë e tipit A 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Nëse topi merret nga një urnë e tipit A 1, atëherë P(B/A 1) = 2/3, nëse nga një urnë e tipit A 2, atëherë P(B/A 2)=1/2, dhe nëse nga një urnë e tipit A 3, pastaj P(B/A 3) = 1/3. Kështu,

P(B) = (1/6) (2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Probabiliteti i kushtëzuar Р(В/А) ka të gjitha vetitë e probabilitetit Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 dhe P(В/А) është aditiv.

Sepse

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

atëherë rrjedh se nëse A nuk varet nga B, pra nëse

P(A/B) = P(A),

atëherë B nuk varet nga A, d.m.th. P(B/A) = P(B).

Kështu, në rastin e ngjarjeve të pavarura, teorema e shumëzimit merr formën më të thjeshtë:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Nëse ngjarjet A dhe B janë të pavarura, atëherë secili nga çiftet e mëposhtme të ngjarjeve është gjithashtu i pavarur: (A,B), (A,B), (A,B). Le të sigurohemi, për shembull, që nëse A dhe B janë të pavarura, atëherë A dhe B janë gjithashtu të pavarura meqenëse P(B/A) + P(B/A) = I, atëherë, duke marrë parasysh kushtin e pavarësisë të ngjarjeve A dhe B, d.m.th. kushtet P(B/A) = P(B), vijon: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Ngjarjet mund të jenë të pavarura në çift, por rezultojnë të jenë të varura në total. Lidhur me këtë, futet edhe koncepti i pavarësisë së ndërsjellë: ngjarjet A 1,..., A n quhen reciprokisht të pavarura nëse për ndonjë nënbashkësi E të indekseve 1,2,...,n barazia

Në praktikë, shpesh është e nevojshme të vlerësohen probabilitetet e hipotezave pasi të jenë kryer disa testime. Le të, për shembull, ngjarja B mund të realizohet vetëm me një nga ngjarjet e papajtueshme A 1,...,A n, d.m.th. dhe le të ndodhë ngjarja B Kërkohet të gjendet probabiliteti i hipotezës (ngjarjes) A ​​i, me kusht

çfarë ndodhi B. Nga teorema e shumëzimit

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Duke marrë parasysh formulën e probabilitetit total për P(B), vijon

Këto formula quhen formula të Bayes.

Shembulli 1.3. Në shembullin 1.2, le të themi se vizatohet një top i bardhë dhe ju dëshironi të përcaktoni probabilitetin që ai të ketë ardhur nga një urnë e tipit 3.

Në atë që vijon, ne do ta quajmë një element të algjebrës sigma një ngjarje e rastësishme.

Grupi i plotë i ngjarjeve

Një grup i plotë ngjarjesh është një grup i plotë nënbashkësish, secila prej të cilave është një ngjarje. Ata thonë se ngjarjet e një grupi të plotë janë një ndarje e hapësirës së rezultateve elementare.

Funksioni aditiv i fundëm

Le A – algjebër. Funksioni , duke krahasuar algjebrën me bashkësinë e numrave realë

quhet shtues i fundëm nëse për ndonjë grup të fundëm ngjarjesh të papajtueshme në çift

Funksioni numërues-shtues

Le F– algjebër ose sigma algjebër. Funksioni

quhet aditiv i numërueshëm nëse është shtues i fundëm për çdo grup të numërueshëm të ngjarjeve të papajtueshme në çift

Një masë është një funksion shtesë jo-negativ i numërueshëm i përcaktuar në algjebër sigma që plotëson kushtin

Masa përfundimtare

Masa quhet i fundëm nëse

Probabiliteti

Probabiliteti (masë probabiliteti) P kjo është një masë e tillë që

Tani e tutje, ne do të ndalojmë matjen e probabilitetit në përqindje dhe do të fillojmë ta masim atë në numra realë nga 0 në 1.

quhet probabiliteti i ngjarjes A

Hapësira e probabilitetit

Hapësira e probabilitetit është një koleksion i tre objekteve - hapësira e rezultateve elementare, algjebra sigma e ngjarjeve dhe probabiliteti.

Ky është një model matematikor i një fenomeni ose objekti të rastësishëm.

Paradoksi i përcaktimit të një hapësire probabiliteti

Le të kthehemi te formulimi origjinal i problemit në teorinë e probabilitetit. Qëllimi ynë ishte të ndërtonim një model matematikor të një dukurie të rastësishme që do të ndihmonte në përcaktimin sasior të probabiliteteve të ngjarjeve të rastësishme. Në të njëjtën kohë, për të ndërtuar një hapësirë ​​probabiliteti, është e nevojshme të specifikoni një probabilitet, d.m.th. duket se është pikërisht ajo që ne po kërkojmë (?).

Zgjidhja e këtij paradoksi është që të përcaktojë plotësisht probabilitetin si një funksion në të gjithë elementët F, zakonisht është e mjaftueshme për ta vendosur atë vetëm në disa ngjarje nga F, probabiliteti i të cilit është i lehtë për ne për të përcaktuar , dhe më pas, duke përdorur aditivitetin e tij të numërueshëm, llogarisni në çdo element F.

Ngjarjet e pavarura

Një koncept i rëndësishëm në teorinë e probabilitetit është pavarësia.

Ngjarjet A dhe B quhen të pavarura nëse

ato. probabiliteti që këto ngjarje të ndodhin njëkohësisht është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre.

Ngjarjet në një grup të numërueshëm ose të fundëm thuhet se janë të pavarura në çift nëse ndonjë çift prej tyre është një çift ngjarjesh të pavarura

Në total

Ngjarjet në një bashkësi të numërueshme ose të fundme thuhet se janë kolektivisht të pavarura nëse probabiliteti i një nëngrupi të fundëm të tyre që të ndodhë njëkohësisht është i barabartë me produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të asaj nëngrupi.

Është e qartë se ngjarjet kolektivisht të pavarura janë gjithashtu të pavarura në çifte. E kundërta nuk është e vërtetë.

Probabiliteti i kushtëzuar

Probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes A duke pasur parasysh që ngjarja B ka ndodhur është sasia

Tani për tani, ne do të përcaktojmë probabilitetin e kushtëzuar vetëm për ngjarjet B, probabiliteti i të cilave nuk është i barabartë me zero.

Nëse ngjarjet A dhe B janë të pavarura, atëherë

Vetitë dhe teoremat

Vetitë më të thjeshta të probabilitetit

Nga fakti që A dhe jo-A janë të kundërta dhe vetitë e aditivitetit të fundëm të probabilitetit rrjedhin	Probabiliteti i ngjarjes së kundërt
Nga fakti rrjedh se ngjarjet e pamundura dhe të caktuara janë të kundërta	Probabiliteti i një ngjarje të pamundur
Nga fakti rezulton se	Monotonia e probabilitetit dhe në këtë rast
Nga fakti rrjedh se çdo ngjarje përmbahet në hapësirën e rezultateve elementare	Probabilitet i kufizuar
Pason nga përfaqësimi	Probabiliteti i ngjarjeve të kombinuara
Pason nga e mëparshmja	Gjysmë-aditiviteti i probabilitetit
Rrjedhim nga aditiviteti i numërueshëm i probabilitetit dhe përkufizimi i grupit të plotë të ngjarjeve	Probabilitetet e një grupi të plotë ngjarjesh Shuma e probabiliteteve të një grupi të plotë ngjarjesh është 1.
Rrjedh nga aditiviteti i numërueshëm i probabilitetit, përkufizimi i një grupi të plotë ngjarjesh dhe përkufizimi i probabilitetit të kushtëzuar	Formula e probabilitetit total Nëse … është një grup i plotë ngjarjesh, atëherë për çdo ngjarje A Nëse probabilitetet e të gjitha ngjarjeve në një grup të plotë janë më të mëdha se zero, atëherë gjithashtu
Rrjedhim nga formula e mëparshme dhe përkufizimi i probabilitetit të kushtëzuar	Formula e Bayes Nëse … është një grup i plotë ngjarjesh me probabilitet jo zero, pastaj për çdo ngjarje A me probabilitet jo zero

Ky kapitull paraqet shkurtimisht evolucionin e teorisë së probabilitetit nga skema klasike me një numër të kufizuar rezultatesh po aq të mundshme për ndërtimin aksiomatik. Prezantohen konceptet më të rëndësishme të teorisë së probabilitetit: hapësira e ngjarjeve elementare, ngjarjet e rastësishme dhe veprimet mbi to, fusha e ngjarjeve, probabiliteti, hapësira probabiliste.

PËRKUFIZIM KLASIK I PROBABILITETIT

E besueshme quaj një ngjarje që është e sigurt se do të ndodhë kur plotësohen një grup i caktuar kushtesh. Për shembull, uji ngrin në kushte normale atmosferike dhe 0°C. Përkatësisht, e pamundurështë një ngjarje që, në një grup të caktuar kushtesh, nuk do të ndodhë kurrë. E rastësishmeËshtë e natyrshme të emërtohet një ngjarje që, në një grup të caktuar kushtesh, mund ose nuk mund të ndodhë. Masa e mundësisë së ndodhjes së një ngjarje të tillë është e saj probabiliteti. Ngjarje të caktuara dhe të pamundura mund të konsiderohen si raste ekstreme të veçanta të ngjarjeve të rastësishme.

Në vijim do të tregojmë ngjarje të rastësishme me shkronja të mëdha latine. A, B, C,.......Ngjarje të besueshme e shënojmë me shkronjën?2, një ngjarje të pamundur me simbolin 0. Le të prezantojmë tani disa marrëdhënie midis ngjarjeve.

Dy ngjarje A Dhe NË janë të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e tjetrës. Shuma e ngjarjeveA, B- kjo është ngjarja e tretë C = A + B, e cila ndodh kur ndodh një ngjarje A, ose ngjarje NË, ose të dyja në të njëjtën kohë. Prodhimi i NgjarjeveA, B- kjo është një ngjarje e tillë C = AB, që ndodh kur ndodh ngjarja A, dhe ngjarje NË. Ngjarja Dhe e kundërta ngjarje A, nëse është e papajtueshme me ngjarjen A dhe së bashku me të formon një ngjarje të besueshme A + A = Q..

Le të tregojmë se si mund të ndërtohen modele matematikore të dukurive me një numër të kufizuar rezultatesh. Një model i tillë është një model i njohur si skema probabilistike klasike. Në këtë skemë, përcaktimi i probabilitetit bazohet në barazinë e ndonjë prej një numri të kufizuar rezultatesh, gjë që është tipike për përpjekjet e para për të llogaritur shanset në lojërat e fatit.

Pra, në rastin e një zari, kur hidhet një herë, është po aq e mundur që të shfaqet ndonjë nga gjashtë fytyrat në të cilat janë shënuar numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6 , ose ngjarje elementare, nga C0|, (% (% a> 4, CO5, (% Natyrisht, mundësia që të mos ndodhë me një rezultat, por me një nga dy, për shembull, ose C0[, ose (pr, është Dy herë më i madh, duke arsyetuar në këtë mënyrë, mund të përcaktohen shanset që të ndodhë ndonjë ngjarje e përbërë A, i përbërë nga disa elementare, të ashtuquajturat të përbëra ngjarjet.

Në rastin e përgjithshëm, kur ka P ngjarje elementare po aq të mundshme (Oi, ..., сс, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje të përbërë A, përbërë nga T ngjarje elementare,...,co, përkufizohet si

raporti i numrit të ngjarjeve elementare që favorizojnë një ngjarje A, te numri i përgjithshëm ngjarje elementare, d.m.th.

Për shembull, në rastin e një vdekjeje, probabiliteti i një ngjarjeje A, që përbëhet nga rrotullimi i një numri çift pikash (d.m.th. A= (bashkë^, (% ou)), e barabartë P(A) = 3/b = V 2, pasi në rast A përfshin tre ngjarje elementare, dhe numri i përgjithshëm i ngjarjeve elementare është 6.

Nga përkufizimi klasik i probabilitetit, në veçanti, rrjedh se probabiliteti i një ngjarjeje të plotë?2, duke përfshirë të gjitha P ngjarjet elementare janë të barabarta me unitetin:

Por atëherë ngjarja e plotë?2, që konsiston në shfaqjen e ndonjë prej të gjithë grupit të ngjarjeve elementare?2 = (co, ..., w,), është një ngjarje e besueshme, pasi ndodh domosdoshmërisht. Prandaj, probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një.

Nëse ngjarjet konsiderohen si nënbashkësi të një grupi ngjarjesh elementare, atëherë marrëdhëniet midis ngjarjeve të paraqitura më sipër mund të interpretohen si marrëdhënie midis grupeve. Ngjarje të papajtueshme janë ato ngjarje që nuk përmbajnë elemente të përbashkëta. Shuma (A + B) dhe prodhimi i ngjarjeve A B- ky është përkatësisht bashkimi i tyre A U NË dhe kryqëzim A P NË, ngjarje e kundërt A- shtesë A. Regjistro A Me NË do të thotë se në NË përmban të gjitha ngjarjet elementare nga A dhe mund të përmbajë ngjarje elementare që nuk përfshihen në A. Nëse AczBnBcz A, pastaj A = B.

Në rastin e përkufizimit klasik të probabilitetit, teorema e mëposhtme për mbledhjen e probabiliteteve është e vlefshme:

Teorema 1.1. Nëse dy ngjarje të përbëra L= (bashkë,.co, ) dhe B =(me y,..., me j) janë të papajtueshme, atëherë probabiliteti i një ngjarjeje të kombinuar C = A U NËështë e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre dy ngjarjeve.

Në të vërtetë, gjasat e ngjarjeve A Dhe NË janë përkatësisht të barabarta t/n Dhe c/p, dhe ngjarja C = A U NË= (bashkë,.,..., bashkë,- ,bashkë,-,...,bashkë, ) përmbajnë

t + k ngjarje elementare, pasi sipas kushteve të teoremës, midis ngjarjeve elementare (с,.,...,сo, ) nuk ka asnjë të vetme që do të përfshihej.

në grup (С0у,..., С0д), prandaj, sipas përkufizimit klasik, probabiliteti i tij

Nga teorema e mbledhjes del se prandaj

Nga këtu, në veçanti, rrjedh se probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur, e cila është e kundërta e një ngjarjeje të besueshme, është e barabartë me zero:

Diagrami i urnës

Skema klasike, pavarësisht nga të gjitha kufizimet e saj, është e përshtatshme për zgjidhjen e një numri problemesh thjesht praktike.

Konsideroni, për shembull, një grup të caktuar elementësh vëllimi N. Këto mund të jenë produkte, secila prej të cilave është e përshtatshme ose me defekt; ose fara, secila prej të cilave mund të jetë ose jo e zbatueshme; ose votuesit që mund të votojnë pro ose kundër një kandidati etj. Situatat e këtij lloji përshkruhen nga një diagram urne: urna përmban N topa, nga të cilët M të bardhë dhe (N - M) e zezë.

Le të imagjinojmë se ekzistojnë vetëm mjete shkatërruese për të testuar çdo produkt për përshtatshmërinë. Për shembull, një llambë elektrike konsiderohet e përshtatshme nëse kalojnë të paktën një numër i caktuar orësh përpara se filamenti të digjet, dhe kjo mund të përcaktohet vetëm me testim të drejtpërdrejtë. Në këtë rast, ju mund të ekzaminoni vetëm një pjesë të produkteve, dhe jo të gjithë grupin.

Pra, nga urna që përmban N topa që përmbajnë një numër të panjohur M topa të bardhë, nxirret një mostër vëllimore P.

Kërkohet të përcaktohet probabiliteti që kampioni të gjejë T topa të bardhë. Në veçanti, përcaktoni probabilitetin që t/n afër me M/N ato. A është e vërtetë ideja? popullatë, të marra nga kampioni. E fundit nga këto dy probleme të formuluara, siç do të tregohet më poshtë, është një problem i statistikave matematikore.

Detyra e parë është të zbatohet përkufizimi klasik i probabilitetit. Në fakt, në situatën e përshkruar, çdo mostër nuk ka asnjë preferencë mbi asnjë tjetër, d.m.th. janë të gjitha njësoj të mundshme. Le të numërojmë numrin e të gjitha mostrave të vëllimit të mundshëm P nga N elementet. Siç dihet nga kombinatorika, numri i mënyrave në të cilat mund të zgjidhni P elementet nga numri i përgjithshëm i tyre

N, e barabartë me numrin e kombinimeve të N nga l, d.m.th. me"= ^" ku /V! =

N n(N - Dhe)!'

1 2-N. Kështu, numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme është C“N. Le të zbulojmë se sa rezultate nga numri i përgjithshëm i rezultateve elementare favorizojnë ngjarjen A, ato. prania në vëllimin e mostrës P numri i topave të bardhë T. Numri i mënyrave në të cilat mundeni M hiqni topat e bardhë T copa është e barabartë me, dhe numri i mënyrave për të zgjedhur nga ( N-M) topa të zinj ("- T) copa të barabarta S^~_ t m. Prandaj, numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen A, barazohet S^S^~_ t m, prandaj,

probabiliteti i një ngjarjeje A, e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin e përgjithshëm të tyre është:

Shembulli 1.1. Le të ketë një grumbull të përbërë nga 500 produkte, duke përfshirë dy të dëmtuara. Sa është probabiliteti për të mos gjetur një produkt të vetëm me defekt në një kampion prej 5 produkteve?

Le të përdorim formulën (1.1.3):

Çfarë përfundimi mund të nxirret për popullatën nëse nuk gjendet një produkt i vetëm me defekt në kampion? Duket e natyrshme që ky përfundim të shtrihet në të gjithë popullsinë. Kështu, me një kampion prej 1% të popullsisë, morëm një përgjigje absolutisht të pasaktë me një probabilitet prej 0,98: nuk ka produkte me defekt në popullatë. Ky përfundim nga një problem shumë i thjeshtë nuk duhet të dekurajojë, por, përkundrazi, të ndihmojë në nxjerrjen e saktë të përfundimeve statistikore nga të dhënat e mostrës. Në rastin në shqyrtim, natyrisht, nuk duhet të përpiqemi të vlerësojmë përqindjen e produkteve me defekt ( N - M) / N nga pjesa e tyre në kampion (P - t)/p, dhe, me sa duket, këshillohet të tregohet një interval që, me një besueshmëri të caktuar, duhet të mbulojë një pjesë të panjohur të produkteve me defekt (N-M)/N.Është e natyrshme të vendoset ky interval në formë

--- ± 8, ku gjerësia e intervalit është 8 (p, q)është funksion i vëllimit P

mostrat P dhe niveli i besueshmërisë c.

Për më tepër, është e natyrshme të pritet (siç do të shohim më vonë) që gjerësia e intervalit, duke qenë të njëjtat gjëra të tjera, zvogëlohet me rritjen e madhësisë së mostrës dhe rritet me rritjen e nivelit të besueshmërisë.

Siç u përmend më lart, duke folur për probabilitetin R(L) si masë e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje të rastësishme A ka kuptim vetëm nëse plotësohet një grup i caktuar kushtesh. Ndërsa kushtet ndryshojnë, probabiliteti do të ndryshojë. Pra, nëse për grupin e kushteve në të cilat është studiuar probabiliteti P(A), shtoni një kusht të ri që përbëhet nga ndodhja e një ngjarjeje NË, atëherë marrim një vlerë të ndryshme probabiliteti P(A/B) - kushtëzuar probabiliteti i një ngjarjeje A me kusht që ngjarja të ketë ndodhur NË. Probabiliteti P(A) në ndryshim nga kushtorja që do ta quajmë pa kushte.

Le të nxjerrim tani formulën e probabilitetit të kushtëzuar. Lërini ngjarjet A Dhe NË favor dru tik rezultatet elementare nga "; atëherë, sipas formulës (1.1.1), probabilitetet e tyre të pakushtëzuara janë të barabarta t/n Dhe c/p përkatësisht. Lëreni ngjarjen A me kusht që ngjarja NË ndodhi, favor G rezultatet elementare, pastaj, sipas formulës (1.1.1), probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes A

Pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit me P, marrim formula e probabilitetit të kushtëzuar:

sepse ngjarja A P NË korrespondon G rezultatet dhe për këtë arsye g/p- probabiliteti i tij i pakushtëzuar. Ngjarja A thirrur të pavarur nga NË, nëse probabiliteti i tij i kushtëzuar është i barabartë me atë të pakushtëzuar, d.m.th. P(A/B) = P(A), Për më tepër, nga formula (1.1.4) marrim

ato. vetia e pavarësisë është reciproke dhe për ngjarjet e pavarura, probabiliteti i kryqëzimit të tyre është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre. Formula (1.1.4), e shkruar në formë

thirrur formula e shumëzimit për ngjarjet e varura, dhe formula (1.1.5) - teorema e shumëzimit për ngjarje të pavarura.

Për shembull, në eksperimentin me koston e lojërave të fatit: lëreni ngjarjen A konsiston në nxjerrjen e një numri pikash të pjesëtueshme me tre, d.m.th. A =(me, s%), dhe ngjarje NË- në humbjen e një numri çift pikësh, d.m.th. NË= (co^, sch, ssts); Pastaj A P NË= с 6 dhe duke përdorur formulën e probabilitetit të kushtëzuar (1.1.4) marrim:

Por P(A) = 2/6 = Ouz, pra P(A/B) = P(A), ato. ngjarjet Aw B të pavarur.

Ata thonë se ekziston një model probabilistik (matematikor) i përvojës së rastësishme nëse ndërtohen sa vijon:

1) hapësira e ngjarjeve elementare E

2) fusha e ngjarjes TE

3) shpërndarja e probabilitetit në fushën e ngjarjeve TE, d.m.th. për çdo ngjarje A nga fusha e ngjarjes K jepet probabiliteti R(A)

tre objekte ( E, TE, R) quhet hapësira (modeli) probabilistik i një eksperimenti të caktuar të rastësishëm.

Nëse E- diskrete, atëherë ( E, TE, R) quhet diskrete.

Nëse E- e vazhdueshme, pastaj ( E, TE, R) quhet e vazhdueshme.

§6. Modeli probabilistik klasik.

Një model probabilistik quhet klasik nëse plotësohen 2 kushtet e mëposhtme:

1) hapësira e ngjarjeve elementare është diskrete e fundme, përbëhet nga n ngjarje elementare E={e 1, e 2, …, e n}

2) - probabilitetet e të gjitha ngjarjeve elementare janë të barabarta

Një hapësirë ​​probabiliteti përcaktohet si më poshtë:

për një hapësirë ​​të caktuar E fusha e ngjarjes TE- ekziston një grup i të gjitha nëngrupeve të E, dhe probabilitetet R(A) për çdo ngjarje A nga TE shprehen nëpërmjet probabiliteteve të ngjarjeve elementare.

Sipas aksiomës 3:

§7. Probabilitete gjeometrike.

Modeli klasik: modeli probabilistik diskret

Modeli gjeometrik: modeli probabilistik i vazhdueshëm

(E, TE, R)

E– hapësirë ​​e vazhdueshme, një grup pikash të një rajoni në një rrafsh

TE={A}

A nga E: A- gjatësia; A- katror; A- vëllimi

Këto hapësira probabiliteti shërbejnë si model për problemet e këtij lloji:

Një pikë hidhet në mënyrë të rastësishme, vërehet një ngjarje: pika godet zonën A. "Random" do të thotë: probabiliteti i një ngjarjeje A varet nga zona A, nuk varet nga forma dhe pozicioni i saj E.

§8. Teorema mbi mbledhjen e probabiliteteve.

(Të mos ngatërrohet me aksiomën për shtimin e probabiliteteve).

Teorema. Duke pasur parasysh një hapësirë ​​probabiliteti ( E,TE, R), ka ngjarje A, NË E.

Sipas aksiomës 3:

Duke zbritur barazinë e dytë nga barazia e parë, marrim etj.

Shënim: Aksioma 3 nënkupton që nëse ngjarjet formojnë një grup të plotë,

I - grupi i plotë

§9. Probabilitetet e kushtëzuara.

Shembull.

Një monedhë hidhet tre herë. Rezultati: numri ose stema.

A– stema i ra njëherë;

Lëreni një ngjarje të ndodhë si rezultat i përvojës NË. Numri i stemave të vizatuara është tek.

Atëherë nëse NË ka ndodhur,.

Le të shqyrtojmë një situatë më të përgjithshme: le të korrespondojë një model probabilistik klasik me një përvojë të rastësishme.

, n ngjarje elementare

r ngjarjet elementare përfshihen gjithashtu në A dhe ne NË.

Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes A me kusht që të ketë ndodhur NË. Nëse NË ka ndodhur, atëherë probabiliteti i tij është 1, atëherë .

Ngjarja A ndodh nëse ndodh një ngjarje elementare që i përket kryqëzimit, ka vetëm r.

Përkufizimi: le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti ( E, TE, R); A, NË- ngjarjet. Nëse , atëherë probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes A me kusht që ngjarja NË ndodhi, quhet marrëdhënie

Teorema e shumëzimit të probabilitetit.

Probabiliteti i ndodhjes së dy ngjarjeveështë e barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej ngjarjeve dhe probabilitetit të kushtëzuar të tjetrës, e llogaritur me kushtin që të ketë ndodhur ngjarja e parë.

Probabiliteti i prodhimit të n ngjarjeve.

Shembull.

Në urnë ka 12 topa: 5 të bardhë, 7 të zinj. 2 fytyra nxjerrin një top njëra pas tjetrës. Gjeni probabilitetin që të dy topat të jenë të bardhë.

A– Petya ka një top të bardhë

NË– Masha ka një top të bardhë

Shembull.

Probabiliteti për të goditur objektivin gjatë gjuajtjes nga arma e parë dhe e dytë është e barabartë:

Gjeni mundësinë e një goditjeje me një salvo nga të paktën një prej armëve.

A- goditja nga arma e parë

NË– goditja nga arma e dytë

A+NË– goditet nga të paktën një

Ngjarjet e varura dhe të pavarura.

Dy ngjarje A Dhe NË quhen të pavarur nëse probabiliteti i produktit të tyre është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre.

Karakteristikat e ngjarjeve të pavarura:

1. Nëse P(A)>0, pastaj pavarësia A Dhe NËështë e barabartë me barazinë P(A/B)=P(A). Probabiliteti A nuk ndryshon nëse NË ndodhi.

2 ̊. Nëse A Dhe NË janë ngjarje të pavarura, atëherë janë të pavarura.

Nga barazia e fundit marrim:

Shembull.

Përvoja: Një monedhë hidhet 2 herë.

A– stema në gjuajtjen e parë

NË– humbja e një numri në gjuajtjen e dytë

A Dhe NË- i pavarur?

§10. Formula e probabilitetit total. Formulat e Bayes.

Formula e probabilitetit total.

le ( E, TE, R) është një model i një përvoje të rastësishme.

H 1, H 2, …, N n- grupi i plotë.

H i- hipoteza

Dëshmi:

sepse H i- jokonsistente në çift, , sipas aksiomës 3.

Shembull.

Ka 3 urna identike. Përbërja: 1 – 2 të bardha, 1 të zeza; 2 - 3 të bardha, 1 të zeza; 3 - 2 të bardha, 2 të zeza. Një urnë zgjidhet rastësisht; prej tij nxirret një top. Gjeni probabilitetin që topi të jetë i bardhë.

Hipotezat:

H i– e përzgjedhur i- Unë jam një urnë, i=1,2,3.

A– top i bardhë

Formulat e Bayes.

Nëse probabilitetet e hipotezave janë të njohura para eksperimentit, atëherë ato quhen probabilitete a priori të hipotezave. Le të dihet se ngjarja A ndodhi. Probabiliteti i të gjitha hipotezave ndryshon.

Probabilitetet e hipotezave pas ngjarjes A ka ndodhur - probabilitete të pasme.

Le të supozojmë në kushtet e shembullit të mëparshëm se është tërhequr një top i bardhë. Gjeni probabilitetin që topi të tërhiqet nga urna e dytë.

Hapësira e probabilitetit është modeli matematik eksperiment (përvojë) i rastësishëm në aksiomatikën e A. N. Kolmogorov. Hapësira e probabilitetit përmban të gjithë informacionin në lidhje me vetitë e një eksperimenti të rastësishëm të nevojshëm për të analiza matematikore me anë të teorisë së probabilitetit. Çdo problem në teorinë e probabilitetit zgjidhet brenda kornizës së një hapësire të caktuar probabiliteti, plotësisht të specifikuar fillimisht. Problemet në të cilat hapësira e probabilitetit nuk është plotësisht e specifikuar dhe informacioni që mungon duhet të merret nga rezultatet e vëzhgimit, i përkasin fushës së statistikave matematikore.

Përkufizimi

Hapësira e probabilitetitështë një treshe, ku:

Vini re se vetia e fundit e sigma-aditivitetit të një mase është ekuivalente (në varësi të përmbushjes së të gjitha vetive të tjera, duke përfshirë shtesën e fundme) me ndonjë nga vetitë e mëposhtme vazhdimësia e masës:

Shembuj të hapësirave të probabilitetit më të përdorura

Hapësirat diskrete të probabilitetit

Nëse grupi i rezultateve elementare është i fundëm ose i numërueshëm: , atëherë hapësira përkatëse e probabilitetit quhet diskrete. Në rastin e hapësirave diskrete të probabilitetit, ngjarjet zakonisht konsiderohen të jenë të gjitha nënbashkësitë e mundshme. Në këtë rast, për të vendosur probabilitetin, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që çdo rezultati elementar t'i caktohet një numër në mënyrë që shuma e tyre të jetë e barabartë me 1. Atëherë probabiliteti i çdo ngjarjeje përcaktohet si më poshtë:

Një rast i rëndësishëm i veçantë i një hapësire të tillë është mënyra klasike e specifikimit të probabiliteteve, kur numri i rezultateve elementare është i fundëm dhe të gjitha kanë të njëjtën probabilitet. Atëherë probabiliteti i çdo ngjarjeje përcaktohet si raporti i fuqisë së tij (d.m.th. numri i rezultateve elementare, i favorshëm ngjarje e dhënë) në numrin total të rezultateve elementare:

.

Megjithatë, duhet mbajtur mend gjithmonë se për t'u përdorur këtë metodë, është e nevojshme të sigurohemi që rezultatet elementare janë vërtet po aq të mundshme. Kjo ose duhet të formulohet si kusht fillestar, ose ky fakt duhet të nxirret rreptësisht nga kushtet fillestare ekzistuese.

Hapësirat e probabilitetit në linjë

Hapësirat e probabilitetit në vijën () lindin natyrshëm në studimin e ndryshoreve të rastit. Në këtë rast, në rastin e përgjithshëm, nuk është më e mundur të konsiderohen ndonjë nënbashkësi të linjës si ngjarje, pasi në një klasë kaq të gjerë zakonisht është e pamundur të specifikohet një masë probabiliteti që plotëson aksiomat e nevojshme. Një algjebër sigma universale e ngjarjeve të mjaftueshme për të funksionuar është algjebra sigma e grupeve Borel: algjebra sigma më e vogël që përmban të gjitha grupet e hapura. Përkufizimi ekuivalent është algjebra më e vogël sigma që përmban të gjitha intervalet. Një mënyrë universale për të specifikuar një masë probabiliteti në një algjebër të caktuar sigma është përmes funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

Hapësirat e probabilitetit në hapësirën me dimensione të fundme

Hapësirat e probabilitetit me shumë rezultate elementare lindin natyrshëm nga studimi i vektorëve të rastit. Algjebra universale sigma e ngjarjeve është gjithashtu algjebra sigma Borel e krijuar nga të gjithë grupe të hapura. Në thelb, ky rast nuk është shumë i ndryshëm nga rasti i një vije të drejtë.

Artikuj të ngjashëm