5. Problemet kryesore të statistikave të aplikuara - përshkrimi i të dhënave, vlerësimi dhe testimi i hipotezave
Konsistenca, paanshmëria dhe efektiviteti i vlerësimeve
Si të krahasohen metodat e vlerësimit me njëra-tjetrën? Krahasimi kryhet në bazë të treguesve të tillë cilësorë të metodave të vlerësimit si qëndrueshmëria, paanshmëria, efikasiteti, etj.
Merrni parasysh vlerësimin θ n parametri numerik θ, i përcaktuar në n= 1, 2, … Vlerësimi θ n thirrur i pasur, nëse konvergjon sipas probabilitetit në vlerën e parametrit të vlerësuar θ me një rritje të pakufizuar në madhësinë e kampionit. Le të shprehim atë që u tha më në detaje. statistika θ nështë një vlerësim konsistent i parametrit θ nëse dhe vetëm nëse për ndonjë numër pozitiv ε lidhja kufi vlen
Shembulli 3. Nga ligji i numrave të mëdhenj del se θ n= është një vlerësim konsistent θ = M(X)(Teorema e Chebyshev më sipër supozoi ekzistencën e dispersionit D(X); megjithatë, siç vërtetohet nga A.Ya. Khinchin, mjafton të përmbushësh një kusht më të dobët - ekzistencën e një pritshmërie matematikore M(X)).
Shembulli 4. Të gjitha vlerësimet e mësipërme të parametrave të shpërndarjes normale janë të qëndrueshme.
Në përgjithësi, të gjitha (me përjashtime të rralla) vlerësimet e parametrave të përdorura në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes janë të qëndrueshme.
Shembulli 5. Pra, sipas teoremës së V.I. Glivenko, funksioni empirik i shpërndarjes Fn(x) është një vlerësim konsistent i funksionit të shpërndarjes së rezultateve të vëzhgimit F(x).
Kur zhvillohen metoda të reja vlerësimi, së pari duhet të kontrollohet vlefshmëria e metodave të propozuara.
Vetia e dytë e rëndësishme e vlerësimeve është i pazhvendosur. Vlerësimi i paanshëm i θ nështë një vlerësim i parametrit θ, pritshmëria matematikore e të cilit është e barabartë me vlerën e parametrit të vlerësuar: M(θ n) = θ.
Shembulli 6. Nga rezultatet e mësipërme rezulton se dhe janë vlerësime të paanshme të parametrave m Dhe σ 2 shpërndarje normale. Meqenëse M() = M( m** ) = m, pastaj mesatarja e mostrës dhe gjysma e shumës së termave ekstreme të serisë së variacionit m** - gjithashtu vlerësime të paanshme të pritjeve matematikore m shpërndarje normale. Megjithatë
prandaj vlerësimet s 2 dhe ( σ 2)** nuk janë vlerësime konsistente të variancës σ 2 shpërndarje normale.
Vlerësimet për të cilat raporti M(θ n) = θ është e pasaktë, quhet e njëanshme. Në këtë rast, diferenca midis pritshmërisë matematikore të vlerësimit θ n dhe parametri i vlerësuar θ, d.m.th. M(θ n) – θ, quhet paragjykim i vlerësimit.
Shembulli 7. Për normën s 2, siç vijon nga sa më sipër, zhvendosja është e barabartë me
M(s 2) - σ 2 = - σ 2/n.
Paragjykimi i vlerësimit s 2 tenton në 0 kur n → ∞.
Një vlerësim për të cilin paragjykimi i afrohet 0 ndërsa madhësia e kampionit i afrohet pafundësisë quhet asimptotikisht i paanshëm. Shembulli 7 tregon se vlerësimi s 2 është asimptotikisht i paanshëm.
Pothuajse të gjitha vlerësimet e parametrave të përdorura në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore janë ose të paanshme ose asimptotike të paanshme. Për vlerësimet e paanshme, një tregues i saktësisë së vlerësimit është shpërndarja - sa më i vogël të jetë shpërndarja, aq më i mirë është vlerësimi. Për vlerësimet e njëanshme, treguesi i saktësisë është pritshmëria matematikore e katrorit të vlerësimit M(θ n– θ) 2 . Siç vijon nga vetitë themelore të pritjes dhe shpërndarjes matematikore,
ato. pritshmëria matematikore e gabimit në katror është shuma e variancës së vlerësimit dhe katrorit të paragjykimit të tij.
Për shumicën dërrmuese të vlerësimeve të parametrave të përdorur në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore, varianca është e rendit 1/ n, dhe zhvendosja nuk është më shumë se 1/ n, Ku n- Madhësia e mostrës. Për vlerësime të tilla në përgjithësi n termi i dytë në anën e djathtë të (3) është i papërfillshëm në krahasim me të parin, dhe barazia e përafërt vlen për ta
Ku Me– numri i përcaktuar me metodën e llogaritjes së vlerësimeve θ n dhe vlerën e vërtetë të parametrit të vlerësuar θ.
Vetia e tretë e rëndësishme e metodës së vlerësimit shoqërohet me variancën e vlerësimit: efikasiteti. Një vlerësues efikas është një vlerësues i paanshëm që ka variancën më të vogël nga të gjithë vlerësuesit e mundshëm të paanshëm të një parametri të caktuar.
Është vërtetuar se dhe janë vlerësime efektive të parametrave m Dhe σ 2 shpërndarje normale. Në të njëjtën kohë, lidhja kufizuese vlen për mesataren e mostrës
Me fjalë të tjera, efikasiteti i mesatares së mostrës, d.m.th. raporti i variancës së vlerësimit të parametrave efektivë m varianca e vlerësimit të paanshëm të këtij parametri për n të madh është afër 0.637. Është pikërisht për shkak të efikasitetit relativisht të ulët të mesatares së mostrës që mesatarja aritmetike e mostrës zakonisht përdoret si një vlerësim i pritshmërisë matematikore të një shpërndarjeje normale.
Koncepti i efikasitetit është futur për vlerësime të paanshme, për të cilat M(θ n) = θ për të gjitha vlerat e mundshme të parametrit θ. Nëse nuk kërkojmë paanshmëri, atëherë mund të tregojmë vlerësime që, për disa θ, kanë një variancë më të vogël dhe gabim mesatar në katror se sa ato efektive.
Shembulli 8. Merrni parasysh "vlerësimin" e pritshmërisë matematikore m 1 ≡ 0. Pastaj D(m 1 ) = 0, d.m.th. gjithmonë më pak variancë D() vlerësim efektiv. Pritja e gabimit mesatar në katror d n(m 1 ) = m 2 , d.m.th. kur kemi d n(m 1 ) < d n(). Është e qartë, megjithatë, se statistikat m Nuk ka kuptim të konsiderohet 1 ≡ 0 si një vlerësim i pritjes matematikore m.
Shembulli 9. Një shembull më interesant u konsiderua nga matematikani amerikan J. Hodges:
Është e qartë se Tn– vlerësim konsistent, asimptotikisht i paanshëm i pritshmërisë matematikore m, ndërsa, siç është e lehtë për t'u llogaritur,
Formula e fundit tregon se kur m≠ 0 vlerësim Tn jo më keq (kur krahasohet me gabimin mesatar katror d n), dhe kur m= 0 - katër herë më mirë.
Shumica dërrmuese e vlerësimeve të θ n, të përdorura në metodat probabilistiko-statistikore, janë asimptotike normale, d.m.th. marrëdhëniet e mëposhtme kufi janë të vlefshme për ta:
për këdo X, Ku F(x)– një funksion i shpërndarjes normale standarde me një pritshmëri matematikore prej 0 dhe një variancë prej 1. Kjo do të thotë se për madhësi të mëdha mostrash (praktikisht disa dhjetëra ose qindra vëzhgime), shpërndarjet e vlerësimeve përshkruhen plotësisht nga pritshmëritë dhe variancat e tyre matematikore , dhe cilësia e vlerësimeve është nga vlerat e gabimeve mesatare në katror d n(θ n).
| E mëparshme |
Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme (shpërndarja e popullsisë) zakonisht karakterizohet nga një numër karakteristikash numerike:
- për një shpërndarje normale N(a, σ) është pritshmëria matematikore a dhe devijimi standard σ;
- për një shpërndarje uniforme, R(a,b) janë kufijtë e intervalit në të cilin vërehen vlerat e kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Kur një rezultat përcaktohet nga një numër i vetëm, ai quhet vlerësim pikë. Vlerësimi i pikës, si funksion i kampionit, është një variabël i rastësishëm dhe ndryshon nga kampioni në kampion me eksperimente të përsëritura.
Vlerësimet me pikë kanë kërkesa që ato duhet të plotësojnë në mënyrë që të jenë "të mirë" në çdo kuptim. Kjo i pazhvendosur, efikasiteti Dhe pasurinë.
Vlerësimet e intervalit përcaktohen nga dy numra - skajet e intervalit që mbulon parametrin e vlerësuar. Ndryshe nga vlerësimet e pikës, të cilat nuk japin një ide se sa larg mund të jetë parametri i vlerësuar prej tyre, vlerësimet e intervalit na lejojnë të përcaktojmë saktësinë dhe besueshmërinë e vlerësimeve.
Si vlerësime pikësore të pritjes matematikore, dispersionit dhe devijimit standard, përdoren karakteristikat e mostrës, përkatësisht mesatarja e mostrës, shpërndarja e mostrës dhe devijimi standard i mostrës.
Vetia e vlerësimit të paanshëm.
Një kërkesë e dëshirueshme për vlerësim është mungesa e gabimit sistematik, d.m.th. kur përdorni në mënyrë të përsëritur në vend të parametrit θ vlerësimin e tij, vlera mesatare e gabimit të përafrimit është zero - kjo është pronë e vlerësimit të paanshëm.
Përkufizimi. Një vlerësim quhet i paanshëm nëse pritshmëria e tij matematikore është e barabartë me vlerën e vërtetë të parametrit të vlerësuar:
Mesatarja aritmetike e mostrës është një vlerësim i paanshëm i pritshmërisë matematikore dhe variancës së mostrës 
- vlerësim i njëanshëm i variancës së përgjithshme D. Një vlerësim i paanshëm i variancës së përgjithshme është vlerësimi
Vetia e konsistencës së vlerësimit.
Kërkesa e dytë për një vlerësim - konsistenca e tij - do të thotë që vlerësimi përmirësohet me rritjen e madhësisë së mostrës.
Përkufizimi. Gradë 
quhet konsistent nëse konvergjon sipas probabilitetit me parametrin e vlerësuar θ si n→∞.
Konvergjenca në probabilitet do të thotë që me një madhësi të madhe kampioni, probabiliteti i devijimeve të mëdha të vlerësimit nga vlera e vërtetë është i vogël.
Vetia e vlerësimit efektiv.
Kërkesa e tretë ju lejon të zgjidhni vlerësimin më të mirë nga disa vlerësime të të njëjtit parametër.
Përkufizimi. Një vlerësues i paanshëm është efikas nëse ka variancën më të vogël midis të gjithë vlerësuesve të paanshëm.
Kjo do të thotë që vlerësimi efektiv ka shpërndarje minimale në lidhje me vlerën e vërtetë të parametrit. Vini re se një vlerësim efektiv nuk ekziston gjithmonë, por nga dy vlerësime zakonisht është e mundur të zgjidhet ai më efektiv, d.m.th. me më pak variancë. Për shembull, për një parametër të panjohur a të një popullate normale N(a,σ), si mesatarja aritmetike e mostrës ashtu edhe mediana e mostrës mund të merren si një vlerësim i paanshëm. Por varianca e mesatares së mostrës është afërsisht 1.6 herë më e madhe se varianca e mesatares aritmetike. Prandaj, një vlerësim më efektiv është mesatarja aritmetike e mostrës.
Shembulli nr. 1. Gjeni një vlerësim të paanshëm të variancës së matjeve të disa ndryshoreve të rastësishme duke përdorur një pajisje (pa gabime sistematike), rezultatet e matjes së së cilës (në mm): 13,15,17.
Zgjidhje. Tabela për llogaritjen e treguesve.
| x | |x - x av | | (x - x mesatarisht) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Mesatarja e thjeshtë aritmetike(vlerësimi i paanshëm i pritshmërisë matematikore)
Dispersion- karakterizon masën e shpërndarjes rreth vlerës së saj mesatare (një masë e dispersionit, d.m.th. devijimi nga vlerësimi mesatar - i njëanshëm).
Vlerësues i paanshëm i variancës- vlerësimi konsistent i variancës (varianca e korrigjuar).
Shembulli nr. 2. Gjeni një vlerësim të paanshëm të pritjes matematikore të matjeve të një ndryshoreje të caktuar të rastësishme nga një pajisje (pa gabime sistematike), rezultatet e matjes së së cilës (në mm): 4,5,8,9,11.
Zgjidhje. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Shembulli nr. 3. Gjeni variancën e korrigjuar S2 për një madhësi kampion prej n=10 nëse varianca e mostrës është D = 180.
Zgjidhje. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
) problema të statistikave matematikore.
Le të supozojmë se ekziston një familje parametrike e shpërndarjeve të probabilitetit (për thjeshtësi, do të shqyrtojmë shpërndarjen e ndryshoreve të rastësishme dhe rastin e një parametri). Këtu është një parametër numerik, vlera e të cilit nuk dihet. Kërkohet të vlerësohet bazuar në mostrën e disponueshme të vlerave të krijuara nga kjo shpërndarje.
Ekzistojnë dy lloje kryesore të vlerësimeve: vlerësime pikësh Dhe intervalet e besimit.
Vlerësimi me pikë
Vlerësimi i pikës është një lloj vlerësimi statistikor në të cilin vlera e një parametri të panjohur përafrohet me një numër të veçantë. Kjo do të thotë, është e nevojshme të specifikohet funksioni i kampionit (statistikat)
,vlera e të cilit do të konsiderohet si një përafrim me vlerën e vërtetë të panjohur.
Metodat e zakonshme për ndërtimin e vlerësimeve pikësore të parametrave përfshijnë: metodën e gjasave maksimale, metodën e momenteve, metodën kuantile.
Më poshtë janë disa veti që vlerësimet e pikës mund ose nuk mund të kenë.
Pasuria
Një nga kërkesat më të dukshme për një vlerësim pikësh është se mund të pritet një përafrim mjaft i mirë me vlerën e vërtetë të parametrit për madhësi mjaft të mëdha të mostrës. Kjo do të thotë që vlerësimi duhet të konvergojë në vlerën e vërtetë në . Kjo veti e vlerësimit quhet pasurinë. Meqenëse po flasim për ndryshore të rastësishme për të cilat ekzistojnë lloje të ndryshme konvergjence, kjo veti mund të formulohet saktësisht në mënyra të ndryshme:
Kur përdorni vetëm një term pasurinë, atëherë zakonisht nënkuptojmë konsistencë të dobët, d.m.th. konvergjenca në probabilitet.
Kushti i konsistencës është praktikisht i detyrueshëm për të gjitha vlerësimet e përdorura në praktikë. Vlerësimet e dështimit përdoren jashtëzakonisht rrallë.
Paanshmëria dhe paanshmëria asimptotike
Vleresimi i parametrave quhet i paanshëm, nëse pritshmëria e tij matematikore është e barabartë me vlerën e vërtetë të parametrit të vlerësuar:
.Një gjendje më e dobët është asimptotik i paanshëm, që do të thotë se pritshmëria matematikore e vlerësimit konvergjon në vlerën e vërtetë të parametrit ndërsa madhësia e kampionit rritet:
.Paanshmëria është një veti e rekomanduar për vlerësime. Sidoqoftë, rëndësia e tij nuk duhet të mbivlerësohet. Më shpesh, ekzistojnë vlerësime të paanshme të parametrave dhe më pas ata përpiqen t'i marrin parasysh vetëm ato. Megjithatë, mund të ketë probleme statistikore në të cilat nuk ekzistojnë vlerësime të paanshme. Shembulli më i famshëm është ky: konsideroni shpërndarjen Poisson me një parametër dhe parashtroni problemin e vlerësimit të parametrit . Mund të vërtetohet se nuk ka vlerësues të paanshëm për këtë problem.
Krahasimi i vlerësimeve dhe efektivitetit
Për të krahasuar vlerësime të ndryshme të të njëjtit parametër, përdoret metoda e mëposhtme: zgjidhni disa funksioni i rrezikut, i cili mat devijimin e vlerësimit nga vlera e vërtetë e parametrit, dhe më i miri konsiderohet ai për të cilin ky funksion merr një vlerë më të vogël.
Më shpesh, pritshmëria matematikore e devijimit në katror të vlerësimit nga vlera e vërtetë konsiderohet si një funksion rreziku
Për vlerësime të paanshme, kjo është thjesht varianca.
Ekziston një kufi më i ulët për këtë funksion rreziku të quajtur Pabarazia Cramer-Rao.
Vlerësuesit (të paanshëm) për të cilët arrihet ky kufi i poshtëm (d.m.th. kanë variancën më të vogël të mundshme) quhen efektive. Megjithatë, ekzistenca e një vlerësimi efektiv është një kërkesë mjaft e fortë për detyrën, gjë që nuk është gjithmonë rasti.
Një gjendje më e dobët është efikasiteti asimptotik, që do të thotë se raporti i variancës së vlerësimit të paanshëm ndaj kufirit të poshtëm Cramer-Rao tenton të unitetit në .
Vini re se sipas supozimeve mjaft të gjera rreth shpërndarjes në studim, metoda e gjasave maksimale jep një vlerësim asimptotikisht efikas të parametrit dhe nëse ekziston një vlerësim efektiv, atëherë jep një vlerësim efektiv.
Statistikat e mjaftueshme
Statistikat quhen mjaftueshëm për parametrin , nëse shpërndarja e kampionit të kushtëzuar me kusht që , nuk varet nga parametri për të gjithë .
Rëndësia e konceptit të statistikave të mjaftueshme përcaktohet nga sa vijon miratimi. Nëse është një statistikë e mjaftueshme dhe është një vlerësim i paanshëm i parametrit, atëherë pritshmëria e kushtëzuar është gjithashtu një vlerësim i paanshëm i parametrit, dhe varianca e tij është më e vogël ose e barabartë me variancën e vlerësimit origjinal.
Kujtoni se pritshmëria e kushtëzuar është një ndryshore e rastësishme që është një funksion i . Kështu, në klasën e vlerësimeve të paanshme, mjafton të merren parasysh vetëm ato që janë funksione të statistikave të mjaftueshme (me kusht që të ekzistojnë statistika të tilla për një problem të caktuar).
Vlerësimi i parametrave efektiv (të paanshëm) është gjithmonë një statistikë e mjaftueshme.
Mund të themi se statistikat e mjaftueshme përmbajnë të gjithë informacionin rreth parametrit që vlerësohet që gjendet në kampion.
Karakteristikat e zgjedhura. I pasur,
Në fillim të kursit u morën parasysh koncepte të tilla si probabiliteti klasik dhe statistikor.
Nëse probabiliteti klasik është një karakteristikë teorike që mund të përcaktohet pa përdorur përvojën, atëherë probabiliteti statistikor mund të përcaktohet vetëm nga rezultatet e një eksperimenti. Me një numër më të madh eksperimentesh, vlera W(A) mund të shërbejë si një vlerësim për probabilitetin P(A). Mjafton të kujtojmë eksperimentet klasike të Buffon dhe Pearson. Analogji të ngjashme mund të vazhdohen më tej. Për shembull, për një karakteristikë teorike M(x) një analogji e tillë do të ishte - mesatare:
= i f i / n ,
për variancë D(x) analogu empirik do të ishte varianca statistikore:
S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n .
Karakteristikat empirike, S 2 (x) ,W(A) janë vlerësime të parametrave M(x) ,D(x) ,P(A) . Në rastet kur karakteristikat empirike përcaktohen në bazë të një numri të madh eksperimentesh, përdorimi i tyre si parametra teorikë nuk do të çojë në gabime domethënëse në studim, por në rastet kur numri i eksperimenteve është i kufizuar, gabimi në zëvendësim do të jetë i rëndësishëm. . Prandaj, tre kërkesa u imponohen karakteristikave empirike që janë vlerësime të parametrave teorikë:
vlerësimet duhet të jenë të qëndrueshme, të paanshme dhe efikase.
Një vlerësim quhet konsistent nëse probabiliteti i devijimit të tij nga parametri i vlerësuar me një shumë më të vogël se një numër pozitiv arbitrarisht i vogël tenton të bashkohet me një rritje të pakufizuar të numrit të vëzhgimeve. n, ato.
P(| - | < ) = 1
Ku - disa parametra të popullatës së përgjithshme,
/ - vlerësimi i këtij parametri. Shumica e vlerësimeve të parametrave të ndryshëm numerikë plotësojnë këto kërkesa. Megjithatë, vetëm kjo kërkesë nuk mjafton. Është e nevojshme që edhe ato të jenë të pazhvendosura.
Një vlerësim quhet i paanshëm nëse pritshmëria matematikore e këtij vlerësimi është e barabartë me parametrin e vlerësuar:
M ( / ) = .
Një shembull i një vlerësimi të qëndrueshëm dhe të paanshëm të pritjeve sistematike është mesatarja aritmetike:
M() = .
Një shembull i një vlerësimi të qëndrueshëm dhe të njëanshëm është
dispersion:
M ( S 2 (x)) = [ (n – 1)/ n ] D(x) .
Prandaj, për të marrë një vlerësim të paanshëm të variancës teorike D(x) kanë nevojë për variancë empirike S 2 (x) shumohen me n/(n – 1) , d.m.th.
S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n n/(n – 1) = (x i - ) 2 f i /(n – 1) .
Në praktikë ky korrigjim bëhet gjatë llogaritjes së vlerësimit të variancës në rastet kur n< 30 .
Mund të ketë disa vlerësime të vlefshme të paanshme. Për shembull, për të vlerësuar qendrën e dispersionit të një shpërndarjeje normale, së bashku me mesataren aritmetike, mund të merret mesatarja . Mesatarja është gjithashtu një vlerësim konsistent i paanshëm i qendrës së grupimit. Nga dy vlerësime të qëndrueshme të paanshme për të njëjtin parametër, është e natyrshme t'i jepet përparësi atij me më pak variancë.
Të tillë vlerësimi, varianca e të cilit është më e vogla në raport me parametrin që vlerësohet quhet efektiv. Për shembull, nga dy vlerësime të qendrës së shpërndarjes së një shpërndarjeje normale M(x) një vlerësim efektiv është, jo , meqenëse varianca është më e vogël se varianca . Efektiviteti krahasues i këtyre vlerësimeve me një kampion të madh është afërsisht i barabartë me: D() / D= 2/ = 0,6366.
Në praktikë, kjo do të thotë se qendra e shpërndarjes së popullsisë (le ta quajmë atë 0) përcaktohet nga me të njëjtën saktësi për n vëzhgime si për 0,6366 n vëzhgime duke përdorur mesataren aritmetike.
4.4. Vetitë e mesatareve të mostrës dhe variancat.
1. Nëse madhësia e kampionit është mjaft e madhe, atëherë bazuar në ligjin e numrave të mëdhenj me një probabilitet afër unitetit, mund të argumentohet se mesatarja aritmetike dhe variancë S 2 do të ndryshojnë sa më pak të jetë e mundur nga M(x) Dhe D(x ), d.m.th.
M(x) ,S 2 (x) D(x ), dhe variancë D() , cilado qoftë madhësia e kampionit n, përderisa numri i mostrave është mjaft i madh.
4. Kur varianca D(x ), popullsia është e panjohur, pastaj për vlera të mëdha n Me një probabilitet më të madh të një gabimi të vogël, shpërndarja e mesatareve të mostrës mund të llogaritet afërsisht nga barazia:
D() = S 2 (x)/n,
Ku S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n - varianca e një kampioni të madh.
Përkufizimi.Ndryshorja e rastësishme quhet vlerësimi parametër i panjohur, nëse vlera e kësaj ndryshoreje të rastësishme, e gjetur nga rezultatet e një sërë matjeve, mund të merret si vlerë e përafërt e këtij parametri, d.m.th. nëse barazia është e vërtetë.
Shembull. Nëse probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje të caktuar konsiderohet si një parametër i panjohur, atëherë vlerësimi i këtij parametri është frekuenca e ndodhjes së ngjarjes në prova të pavarura (shih përkufizimin statistikor të probabilitetit dhe teoremën e Bernulit).
Shembull. Lërini variablat e rastit kanë të njëjtën pritshmëri matematikore, d.m.th. . Atëherë vlerësimi i vlerës së pritshmërisë së përgjithshme matematikore të ndryshoreve të tilla të rastësishme është mesatarja aritmetike këto variabla të rastësishme. Një rast i rëndësishëm i veçantë i situatës së shqyrtuar është si vijon
Shembull. Një vlerësim i një parametri të caktuar është mesatarja aritmetike rezultatet matje të pavarura të këtij parametri (shih teoremën e Chebyshev).
Kur përdoret drejtpërdrejt barazia e përafërt flas rreth vlerësim pikësh parametër i panjohur.
Është gjithashtu e mundur vlerësimi i intervalit parametër i panjohur. Për të shpjeguar se nga çfarë përbëhet, ne prezantojmë konceptet e mëposhtme.
Përkufizimi.Për një interval arbitrar quhet intervali i besimit;Vetë sasia quhet në këtë rast gabim margjinal të kampionimit.
Përkufizimi.Probabiliteti që vlera e panjohur e parametrit të vlerësuar të mbulohet nga një interval besimi quhet probabiliteti i besimit.
Kështu, nëse – vlerësimi i parametrave , Kjo
– probabiliteti i besimit (supozojmë se vlerësimi është një variabël e rastësishme e vazhdueshme).
Vlerësimi i intervalit konsiston, për shembull, në llogaritjen e probabilitetit të besueshmërisë për një gabim maksimal të caktuar të kampionimit.
Zgjidhja e problemit të vlerësimit të intervalit shoqërohet me përcaktimin e natyrës së ligjit të shpërndarjes së vlerësimit të përdorur .
Le të shqyrtojmë tani disa veti të vlerësimeve.
Përkufizimi.Vleresimi i parametrave quhet i paanshëm, nëse pritshmëria matematikore e këtij vlerësimi është e barabartë me parametrin e vlerësuar, d.m.th.
Përkufizimi.Vleresimi i parametrave quhet i pasur, nëse lidhja kufitare e mëposhtme vlen për një lidhje arbitrare
Me fjalë të tjera, një vlerësim i një parametri është konsistent nëse ky vlerësim konvergjon në probabilitet me parametrin e dhënë. (Kujtoni se shembuj të konvergjencës së këtij lloji janë dhënë nga teoremat e Bernoulli dhe Chebyshev, shih § 6.2.)
Përkufizimi.Quhet një vlerësim i paanshëm i disa parametrave efektive, nëse ka variancën më të vogël midis të gjitha vlerësimeve të paanshme të gjetura nga një kampion i një madhësie të caktuar.
Shembull. Frekuenca ndodhja e disa ngjarjeve është një vlerësim i paanshëm, i qëndrueshëm dhe efektiv i probabilitetit këtë ngjarje . Vini re se vetitë e paanshmërisë dhe konsistencës së frekuencës u konsideruan nga ne më parë në një kontekst paksa të ndryshëm. Në të vërtetë, paanshmëria e frekuencës - barazia - është një nga vetitë e një variabli të rastësishëm të shpërndarë binomialisht (shih § 3.3). Konsistenca e frekuencës shprehet nga teorema e Bernulit (shih § 6.2).
Shembull. Mesatarja aritmetike e një numri të caktuar ndryshoresh të rastësishme të pavarura dhe të shpërndara identike është një vlerësim i paanshëm dhe konsistent i pritshmërisë së përgjithshme matematikore të këtyre variablave të rastit. Në të vërtetë, paanshmëria është veti 5 e pritshmërisë matematikore (shih § 3.3). Konsistenca konfirmohet nga teorema e Chebyshev (shih § 6.2).
Artikuj të ngjashëm
