"Vëllimi i një topi" - Vëllimi i një segmenti parabolik. Gjeni vëllimin e një topi të gdhendur në një katërkëndor të rregullt me ​​buzë 1. Një top është i gdhendur në një kon, rrezja bazë e të cilit është 1 dhe gjenerata është 2. Një pjesë e një topi nga një rrafsh i vendosur në një distancë prej 8 cm nga qendra e topit ka një rreze prej 6 cm Vëllimi i një segmenti sferik me lartësi h të prerë nga një top me rreze R shprehet me formulën .

"Topi i sferës së rrethit të rrethit" - Rrota. Djema, ju të gjithë tani po bëheni anëtarë të qendrës kompjuterike. Për analogji me një rreth, shpjegoni se çfarë është: a) rreze; b) akord; c) diametri i sferës. Gjeni sipërfaqen e një sfere me rreze 3 m. Diametri. Qendra e topit (sferës). Topi dhe sfera. Topi. Mos harroni se si përcaktohet një rreth. Mundohuni të përcaktoni një sferë duke përdorur konceptet e distancës midis pikave.

"Poliedra të rregullta" - Shuma e këndeve të rrafshët të ikozaedrit në secilën kulm është 300?. Polyedrat e rregullta janë figurat më "fitimprurëse". Shuma e këndeve të rrafshët të kubit në çdo kulm është 270?. Tetëkëndësh i rregullt. Struktura ikozaedron-dodekaedron e Tokës. Kubi është figura më e qëndrueshme. Dodekahedron i rregullt. Polyedra të rregullta konvekse.

“Ball” - Aktivitete kërkimore jashtë orarit të shkollës. Detyra nr. 1. Koni. Përsëritja e parimeve teorike. Një top është i gdhendur në një piramidë të rregullt katërkëndore. Sipërfaqja e një topi quhet sferë. Piramida. Në punën tonë ne: Praktika kërkimore, procesi i punës në temë. Puna në klube dhe zgjedhje.

"Rrethi i brendashkruar dhe i rrethuar" - ARKIMEDI (287-212 pes) - matematikan dhe mekanik i lashtë grek. Rrathë të rrethuar dhe të brendashkruar. Ne mund t'u përgjigjemi pyetjeve problematike. Rretho. Ndërsa numri i brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt rritet, këndi i shumëkëndëshit rritet. Matematikanët e lashtë nuk zotëronin konceptet e analizës matematikore.

"Sfera dhe topi" - Seksioni që kalon në qendër të topit është një rreth i madh. (seksioni diametrik). Vëzhgimet astronomike të kupës qiellore ngjallnin pa ndryshim imazhin e një sfere. Sfera ka qenë gjithmonë e përdorur gjerësisht në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë. Plani tangjent ndaj një sfere. Konceptet e përgjithshme. Tre pikë jepen në sipërfaqen e topit.

Një shumëfaqësh thuhet se është i gdhendur në një sferë nëse të gjitha kulmet e tij i përkasin kësaj sfere. Thuhet se vetë sfera është e rrethuar rreth poliedrit.

Teorema. Një sferë mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së kësaj piramide.

Polyedra e gdhendur në një sferë

Teorema. Një sferë mund të përshkruhet pranë një prizmi nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet pranë bazës së këtij prizmi. Qendra e saj do të jetë një pikë O, e cila është mesi i segmentit që lidh qendrat e rrathëve të përshkruar rreth bazave të prizmit. Rrezja e sferës R llogaritur me formulë

Ku h- lartësia e prizmit, r– rrezja e rrethit të përshkruar rreth bazës së prizmit.

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi 1

A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një paralelipipedi drejtkëndor?

Përgjigje: Po. Qendra e saj është pika e kryqëzimit të diagonaleve, dhe rrezja është e barabartë me gjysmën e diagonales së paralelopipedit

Ushtrimi 2

A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një paralelipipedi të prirur, të gjitha fytyrat e të cilit janë rombe?

Përgjigje: Jo.

Ushtrimi 3

A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një prizmi të prirur?

Përgjigje: Jo.

Ushtrimi 4

A mund të jetë qendra e një sfere të rrethuar rreth një prizmi jashtë prizmit?

Përgjigje: Po, nëse baza e prizmit është një trekëndësh i mpirë.

Ushtrimi 5

A mund të jetë qendra e një sfere të përshkruar pranë një piramide jashtë kësaj piramide?

Përgjigje: Po.

Sferë e rrethuar rreth një kubi

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi 1

Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth kubit njësi.

Ushtrimi 2

Gjeni skajin e një kubi të gdhendur në sferën e njësisë.

Ushtrimi 3

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një paralelepipedi drejtkëndor, skajet e të cilit që shtrihen nga një kulm janë të barabarta me 1, 2, 3.

Ushtrimi 4

Dy skajet e një kuboidi që shtrihet nga e njëjta kulm janë 1 dhe 2. Rrezja e sferës së rrethuar është 1,5. Gjeni skajin e tretë që del nga e njëjta kulm i paralelopipedit.

Sfera e rrethuar rreth një katërkëndëshi

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi 1

Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth njësisë katërkëndëshe.

Zgjidhje. Në një katërkëndësh SABC ne kemi:

BE=SE=

Në një trekëndësh kënddrejtë OBE ne kemi:

R, ne gjejme

Ushtrimi 2

Gjeni skajin e një tetraedri të rregullt të gdhendur në sferën e njësisë.

Ushtrimi 3

Baza e piramidës është një trekëndësh i rregullt, brinja e të cilit është e barabartë me 3. Njëra nga skajet anësore është e barabartë me 2 dhe është pingul me rrafshin e bazës. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.

Zgjidhje. Le O- qendra e sferës së përshkruar, P- qendra e një rrethi të përshkruar rreth bazës, E– mes S.C.. Katërkëndësh CEOQ- një drejtkëndësh në të cilin CE= 1, CQ= Prandaj, R=OC= 2.

Përgjigje: R = 2.

Ushtrimi 4

Fotografia tregon një piramidë SABC, për të cilën buzë S.C. e barabartë me 2 dhe pingul me rrafshin e bazës ABC, qoshe ACB e barabartë me 90 o, AC = BC = 1 . Ndërtoni qendrën e një sfere të rrethuar rreth kësaj piramide dhe gjeni rrezen e saj.

Zgjidhje. Përmes mesit D brinjët AB le të vizatojmë një vijë të drejtë paralele S.C.. Përmes mesit E brinjët S.C. le të vizatojmë një vijë të drejtë paralele CD. Pika e tyre e kryqëzimit O do të jetë qendra e dëshiruar e sferës së përshkruar. Në një trekëndësh kënddrejtë OCD ne kemi:

OD=CD= Nga teorema

Pitagora, ne gjejmë

Ushtrimi 5

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një piramide të rregullt trekëndore, skajet anësore të së cilës janë të barabarta me 1 dhe këndet e rrafshët në kulm janë të barabartë me 90°.

Zgjidhje. Në një katërkëndësh SABC ne kemi:

AB=AE= SE =

Në një trekëndësh kënddrejtë OAE ne kemi:

Zgjidhja e këtij ekuacioni për R, ne gjejme

Sfera e rrethuar rreth një prizmi trekëndor

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi 1

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një prizmi të rregullt, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1.

Zgjidhje. Ne kemi:

A.A. 1 = 1, AD=OD=

Prandaj, R=AO=

Ushtrimi 2

Një sferë me rreze 2 është e rrethuar rreth një prizmi të rregullt trekëndor, brinja e të cilit është e barabartë me 1. Gjeni lartësinë e prizmit.

Zgjidhje. Ne kemi: A.O. = 2, OD=

Prandaj, h = AA 1 = 2 AO=

Ushtrimi 3

Një sferë me rreze 1 është e rrethuar rreth një prizmi të rregullt trekëndor, lartësia e të cilit është 1. Gjeni anën e bazës së prizmit.

Zgjidhje. Ne kemi: A.O. = 1 , OD=

Prandaj, AD=

Do të thotë, AB =

Ushtrimi 4

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një prizmi trekëndor kënddrejtë, baza e të cilit është një trekëndësh kënddrejtë me këmbë të barabarta me 1 dhe lartësinë e prizmit të barabartë me 2.

Zgjidhje. Rrezja e sferës është e barabartë me gjysmën e diagonales A 1 C drejtkëndësh ACC 1 A 1 .

Ne kemi: A.A. 1 = 2, AC =

Prandaj, R=

Një sferë e rrethuar rreth një prizmi të rregullt gjashtëkëndor

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1.

Zgjidhje. Ne kemi AG = 1, OG=

Prandaj, R=AO=

Një sferë e rrethuar rreth një piramide të rregullt katërkëndore

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një piramide të rregullt katërkëndore, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1.

Një sferë e rrethuar rreth një piramide të rregullt gjashtëkëndore

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një piramide të rregullt 6-gonale, skajet bazë të së cilës janë të barabarta me 1 dhe skajet anësore të së cilës janë të barabarta me 2.

Zgjidhje. Trekëndëshi S.A.D.– barabrinjës me brinjë 2. Rrezja R sfera e rrethuar është e barabartë me rrezen e rrethit të rrethuar të trekëndëshit S.A.D.. Prandaj,

Sfera e rrethuar rreth një tetëedri

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi

Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth njësisë tetëedron.

Zgjidhje. Rrezja R sfera e rrethuar është e barabartë me gjysmën e diagonales së katrorit ABCD me anën 1. Prandaj,

Sfera e rrethuar rreth ikozaedrit

Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun

Ushtrimi

Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth njësisë ikozaedron.

Zgjidhje. Në një drejtkëndësh ABCD AB = CD = 1, B.C. Dhe pas Krishtit – diagonalet e pesëkëndëshave të rregullt me ​​brinjë 1. Prandaj,

BC=AD=

Sipas teoremës së Pitagorës AC =

Rrezja e kërkuar është e barabartë me gjysmën e kësaj diagonale, d.m.th.

Ushtrimi

Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth njësisë dodekaedron.

Zgjidhje. ABCDE- pesëkëndësh i rregullt me ​​anë

Në një drejtkëndësh ACGF AF=CG= 1, A.C. Dhe FG – diagonalet e pesëkëndëshit ABCDE dhe për këtë arsye AC=FG=

Sipas teoremës së Pitagorës

FC= Rrezja e kërkuar

e barabartë me gjysmën e kësaj diagonale, d.m.th.

Ushtrimi

Figura tregon një katërkëndësh të cunguar të marrë duke prerë qoshet e një katërkëndëshi të rregullt të piramidave trekëndore, faqet e të cilave janë gjashtëkëndësha dhe trekëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një katërkëndëshi të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.

Ushtrimi

Figura tregon një kub të cunguar të marrë duke prerë piramidat trekëndore nga qoshet e kubit, faqet e të cilave janë tetëkëndësha dhe trekëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar me një kub të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.

Ushtrimi

Figura tregon një tetëkëndësh të cunguar të marrë duke prerë piramidat trekëndore nga qoshet e tetëkëndëshit, faqet e të cilave janë gjashtëkëndësha dhe trekëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një tetëedri të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.

Ushtrimi

Figura tregon një ikozaedron të cunguar të marrë duke prerë qoshet e ikozaedronit të piramidave pesëkëndëshe, faqet e të cilave janë gjashtëkëndësha dhe pesëkëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një ikozaedri të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.

Ushtrimi

Figura tregon një dodekaedron të cunguar të marrë duke prerë piramidat trekëndore nga qoshet e dodekaedrit, faqet e të cilave janë dhjetëkëndësha dhe trekëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një dodekaedri të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.

Ushtrimi

Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth njësisë kuboktaedron

Zgjidhje. Kujtoni që një kuboktaedron përftohet nga një kub duke prerë piramidat e rregullta trekëndore me kulme në kulmet e kubit dhe skajet anësore të barabarta me gjysmën e skajit të kubit. Nëse skaji i oktaedrit është i barabartë me 1, atëherë skaji i kubit përkatës është i barabartë me Rrezja e sferës së rrethuar është e barabartë me distancën nga qendra e kubit deri në mes të skajit të tij, d.m.th. është e barabartë me 1.

Përgjigje: R = 1.

Polyedra e gdhendur në një sferë Një shumëfaqësh konveks quhet i brendashkruar nëse të gjitha kulmet e tij shtrihen në një sferë. Kjo sferë quhet e përshkruar për një shumëkëndësh të caktuar. Qendra e kësaj sfere është një pikë e barabartë nga kulmet e poliedrit. Është pika e kryqëzimit të planeve, secila prej të cilave kalon nga mesi i skajit të poliedrit pingul me të.

Formula për gjetjen e rrezes së një sfere të rrethuar Le të jetë SABC një piramidë me skaje anësore të barabarta, h është lartësia e saj, R është rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës. Le të gjejmë rrezen e sferës së kufizuar. Le të vërejmë ngjashmërinë trekëndëshat kënddrejtë SKO1 dhe SAO. Pastaj SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Por KS = SA/2. Pastaj R 1 = SA 2 / (2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R 1 = b 2 / (2h), ku b është një skaj anësor.

Një paralelipiped i gdhendur në një sferë Teorema: Një sferë mund të përshkruhet rreth një paralelipipedi nëse dhe vetëm nëse paralelopipedi është drejtkëndor, pasi në këtë rast ai është i drejtë dhe një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së tij - një paralelogram (pasi baza është një drejtkëndësh) .

Problemi 1 Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një katërkëndëshi të rregullt me ​​buzë a. Zgjidhje: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Përgjigje: SO 1 = a /4. Le të ndërtojmë fillimisht një imazh të qendrës së një topi të rrethuar duke përdorur imazhin e një tetraedri të rregullt SABC. Le të vizatojmë apotemat SD dhe AD (SD = AD). Në trekëndëshin izoscelular ASD, secila pikë e DN mesatare është e barabartë nga skajet e segmentit AS. Prandaj, pika O 1 është kryqëzimi i lartësisë SO dhe segmentit DN. Duke përdorur formulën nga R 1 = b 2 / (2h), marrim:

Problemi 2 Zgjidhja: Duke përdorur formulën R 1 =b 2 /(2h) për të gjetur rrezen e topit të rrethuar, gjejmë SC dhe SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 - (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) - 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Në një piramidë të rregullt katërkëndore, ana e bazës është a, a kënd i sheshtë në kulm është i barabartë me α. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2)). Përgjigje: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Polyedra e rrethuar rreth një sfere Një shumëfaqësh konveks quhet i rrethuar nëse të gjitha fytyrat e tij prekin një sferë. Kjo sferë quhet e brendashkruar për një shumëkëndësh të caktuar. Qendra e një sfere të gdhendur është një pikë e barabartë nga të gjitha faqet e poliedrit.

Pozicioni i qendrës së një sfere të brendashkruar Koncepti i një rrafshi përgjysmues të një këndi dihedral. Një rrafsh përgjysmues është një rrafsh që ndan një kënd dykëndor në dy kënde dykëndëshe të barabarta. Secila pikë e këtij rrafshi është në distancë të barabartë nga faqet e këndit dihedral. NË rast i përgjithshëm qendra e një sfere të gdhendur në një shumëfaqësh është pika e kryqëzimit të rrafsheve përgjysmuese të të gjitha këndeve dykëndore të shumëfaqëshit. Gjithmonë shtrihet brenda poliedrit.

Një piramidë e rrethuar rreth një topi Një top thuhet se është i gdhendur në një piramidë (arbitrare) nëse prek të gjitha faqet e piramidës (si anësore ashtu edhe në bazë). Teorema: Nëse faqet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën, atëherë një top mund të futet në një piramidë të tillë. Meqenëse këndet dihedrale në bazë janë të barabarta, gjysmat e tyre janë gjithashtu të barabarta dhe përgjysmorët kryqëzohen në një pikë në lartësinë e piramidës. Kjo pikë i përket të gjitha rrafsheve përgjysmuese në bazën e piramidës dhe është e barabartë nga të gjitha faqet e piramidës - qendra e topit të brendashkruar.

Formula për gjetjen e rrezes së një sfere të brendashkruar Le të jetë SABC një piramidë me skaje anësore të barabarta, h është lartësia e saj, r është rrezja e rrethit të brendashkruar. Le të gjejmë rrezen e sferës së kufizuar. Le të jetë SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Pastaj, nga vetia e përgjysmuesit të këndit të brendshëm të një trekëndëshi, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Përgjigje: r 1 = rh/(+ r).

Një paralelipiped dhe një kub i përshkruar rreth një sfere Teorema: Një sferë mund të futet në një paralelipiped nëse dhe vetëm nëse paralelepipedi është i drejtë dhe baza e tij është një romb, dhe lartësia e këtij rombi është diametri i sferës së brendashkruar, e cila, nga ana tjetër, është e barabartë me lartësinë e paralelepipedit. (Nga të gjithë paralelogramet, vetëm një rreth mund të brendashkrohet në një romb) Teorema: Një sferë mund të jetë gjithmonë e brendashkruar në një kub. Qendra e kësaj sfere është pika e kryqëzimit të diagonaleve të kubit, dhe rrezja është e barabartë me gjysmën e gjatësisë së skajit të kubit.

Kombinimet e figurave Prizma të brendashkruara dhe të rrethuara Një prizëm i rrethuar rreth një cilindri është një prizëm, rrafshet e bazës së të cilit janë rrafshet e bazave të cilindrit, dhe faqet anësore prekin cilindrin. Një prizëm i gdhendur në një cilindër është një prizëm, planet bazë të të cilit janë rrafshet e bazave të cilindrit, dhe skajet anësore janë gjeneratorët e cilindrit. Një plan tangjent me një cilindër është një rrafsh që kalon përmes gjeneratorit të cilindrit dhe pingul me rrafshin e seksionit boshtor që përmban këtë gjenerator.

Piramidat e brendashkruara dhe të rrethuara Një piramidë e gdhendur në një kon është një piramidë, baza e së cilës është një shumëkëndësh i gdhendur në rrethin e bazës së konit, dhe kulmi është kulmi i konit. Skajet anësore të një piramide të gdhendura në një kon formojnë konin. Një piramidë e rrethuar rreth një koni është një piramidë baza e së cilës është një shumëkëndësh i rrethuar rreth bazës së konit, dhe kulmi përkon me majën e konit. Rrafshet e faqeve anësore të piramidës së përshkruar janë tangjente me rrafshin e konit. Një rrafsh tangjent me një kon është një rrafsh që kalon përmes gjeneratorit dhe pingul me rrafshin e seksionit boshtor që përmban këtë gjenerator.

Llojet e tjera të konfigurimeve Një cilindër është i gdhendur në një piramidë nëse rrethi i njërës prej bazave të tij prek të gjitha faqet anësore të piramidës dhe baza tjetër e tij shtrihet në bazën e piramidës. Një kon është brendashkruar në një prizëm nëse kulmi i tij shtrihet në bazën e sipërme të prizmit, dhe baza e tij është një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh - baza e poshtme e prizmit. Një prizëm brendashkrohet në një kon nëse të gjitha kulmet e bazës së sipërme të prizmit shtrihen në sipërfaqen anësore të konit, dhe baza e poshtme e prizmit shtrihet në bazën e konit.

Problemi 1 Në një piramidë të rregullt katërkëndore, ana e bazës është e barabartë me a dhe këndi i rrafshët në kulm është i barabartë me α. Gjeni rrezen e topit të gdhendur në piramidë. Zgjidhje: Të shprehim anët e ESK-së në terma a dhe α. OK = a/2. SK = KC cot(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Duke përdorur formulën r 1 = rh/(+ r), gjejmë rrezen e topit të brendashkruar: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Përgjigje: r 1 = (a/2)

Përfundim Tema “Polyhedra” studiohet nga nxënësit e klasave 10 dhe 11, por në kurrikula ka shumë pak material për temën "Poliedra të gdhendura dhe të kufizuara", megjithëse është me interes të madh për studentët, pasi studimi i vetive të poliedrave kontribuon në zhvillimin e të menduarit abstrakt dhe logjik, i cili më vonë do të jetë i dobishëm për ne në studimi, puna dhe jeta. Gjatë punës për këtë ese, ne studiuam të gjitha material teorik në temën "Poliedra të brendashkruara dhe të kufizuara", shqyrtoi kombinimet e mundshme të figurave dhe mësoi të zbatojë të gjithë materialin e studiuar në praktikë. Problemet që përfshijnë kombinimin e trupave janë pyetja më e vështirë në kursin e stereometrisë në klasën e 11-të. Por tani mund të themi me besim se nuk do të kemi probleme për zgjidhjen e problemeve të tilla, pasi gjatë kohës sonë punë kërkimore vendosëm dhe vërtetuam vetitë e shumëkëndëshave të brendashkruar dhe të rrethuar. Shumë shpesh, nxënësit kanë vështirësi në ndërtimin e një vizatimi për një problem mbi këtë temë. Por, pasi kemi mësuar se për të zgjidhur problemet që përfshijnë kombinimin e një topi me një shumëfaqësh, imazhi i topit ndonjëherë është i panevojshëm dhe mjafton të tregojmë qendrën dhe rrezen e tij, mund të jemi të sigurt se nuk do të kemi këto vështirësi. Falë kësaj eseje, ne arritëm të kuptonim këtë temë të vështirë, por shumë magjepsëse. Shpresojmë që tani nuk do të kemi ndonjë vështirësi në zbatimin e materialit të studiuar në praktikë.

Përshkrimi i prezantimit sipas sllajdeve individuale:

1 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Institucioni arsimor autonom komunal shkolla e mesme nr. 45 Manual metodologjik për nxënësit e klasës së 11-të Përpiluar nga mësuesja e matematikës e kategorisë më të lartë Elena Vyacheslavovna Gavinskaya. Kaliningrad Viti akademik 2016-2017

2 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Polyedra e gdhendur në një sferë. Tema është e ngjashme me atë të kursit të planimetrisë, ku thuhej se rrathët mund të përshkruhen rreth trekëndëshave dhe n-këndëshave të rregullt. Analogu i një rrethi në hapësirë ​​është një sferë, dhe një shumëkëndësh është një shumëkëndësh. Në këtë rast, analogu i një trekëndëshi është një prizëm trekëndësh, dhe analog shumëkëndëshat e rregullt- poliedra të rregullta. Përkufizimi. Një shumëfaqësh thuhet se është i gdhendur në një sferë nëse të gjitha kulmet e tij i përkasin kësaj sfere. Thuhet se sfera në vetvete është e rrethuar rreth poliedrit.

3 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

"Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi të drejtë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së këtij prizmi." Vërtetim: Nëse një sferë është e rrethuar rreth një prizmi të drejtë, atëherë të gjitha kulmet e bazës së prizmit i përkasin sferës dhe, rrjedhimisht, rrethit, i cili është vija e kryqëzimit të sferës dhe rrafshit të bazës. Anasjelltas, le të përshkruhet një rreth me qendër në pikën O1 dhe rreze r pranë bazës së një prizmi të drejtë. Pastaj, rreth bazës së dytë të prizmit, mund të përshkruhet një rreth me qendër në pikën O2 dhe të njëjtën rreze. Le të O1O2=d, O – mesi i O1O2. Atëherë sfera me qendër O dhe rreze R= do të jetë sfera e rrethuar e dëshiruar. Teorema 1.

4 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

"Një sferë mund të përshkruhet rreth çdo piramide trekëndore, dhe vetëm një." Dëshmi. Le t'i drejtohemi një prove të ngjashme me atë nga kursi i planimetrisë. Para së gjithash, ne duhet të gjejmë vendndodhjen e pikave të barabarta nga dy kulmet e trekëndëshit. Për shembull, A dhe B. Një vend i tillë gjeometrik është përgjysmues pingul i tërhequr në segmentin AB. Pastaj gjejmë vendndodhjen e pikave të barabarta nga A dhe C. Kjo është përgjysmues pingul me segmentin AC. Pika e kryqëzimit të këtyre pingulave dysektoriale do të jetë qendra e dëshiruar O e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit ABC. Teorema 2.

5 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Tani le të shqyrtojmë situatën hapësinore dhe të bëjmë ndërtime të ngjashme. Le të jepet një piramidë trekëndore DABC dhe pikat A, B dhe C përcaktojnë rrafshin α. Vend gjeometrik pikat e barabarta nga pikat A, B dhe C është një drejtëz a, pingul me rrafshin α dhe që kalon nga qendra O1 e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit ABC. Vendndodhja gjeometrike e pikave të barabarta nga pikat A dhe D është rrafshi β, pingul me segmentin AD dhe kalon nëpër kulmin e tij - pika E. Plani β dhe drejtëza a kryqëzohen në pikën O, e cila do të jetë qendra e dëshiruar e sfera e rrethuar rreth piramidës trekëndore DABC. Në të vërtetë, për shkak të konstruksionit, pika O është po aq e largët nga të gjitha kulmet e piramidës DABC. Për më tepër, një pikë e tillë do të jetë unike, pasi vija e drejtë dhe rrafshi kryqëzues kanë një pikë të vetme të përbashkët.

6 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Një top i rrethuar rreth një piramide të rregullt. Topi mund të përshkruhet rreth çdo piramide të rregullt. Qendra e topit shtrihet në një vijë të drejtë që kalon nëpër lartësinë e piramidës dhe përkon me qendrën e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi dykëndësh, ana e të cilit është buza anësore e piramidës dhe lartësia është lartësia e piramidën. Rrezja e topit është e barabartë me rrezen e këtij rrethi. Rrezja e topit R, lartësia e piramidës H dhe rrezja e rrethit r të përshkruar pranë bazës së piramidës lidhen me relacionin: R2=(H-R)2+r2 Kjo lidhje vlen edhe në rastin kur H< R.

7 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Problemi ka të bëjë me një top të rrethuar rreth një piramide të rregullt. “Një sferë me qendër në pikën O dhe rreze 9√3 m përshkruhet pranë piramidës së rregullt PABC. Vija e drejtë PO, që përmban lartësinë e piramidës, pret bazën e piramidës në pikën H në mënyrë që PH:OH = 2:1. Gjeni vëllimin e piramidës nëse secila nga skajet anësore të saj formon një kënd prej 45 gradë me rrafshin e bazës.

8 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Jepet: PABC – piramidë e rregullt; topi (O;R=9√3 m) përshkruhet pranë piramidës; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Gjeni: Vpir. Zgjidhje: Meqenëse RN:OH=2:1 (sipas kushtit), atëherë RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (si lartësi i piramidës) => => RN _ AN (sipas përkufizimit) => RAS - drejtkëndëshe. 3. Në RAS:

Rrëshqitja 9

Përshkrimi i rrëshqitjes:

4. Meqenëse sipas kushtit RABC është një piramidë e rregullt dhe PH është lartësia e saj, atëherë sipas përkufizimit ABC është e saktë; H është qendra e një rrethi të rrethuar rreth ABC, që do të thotë 5. Përgjigje: 486 m3.

10 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Një sferë e rrethuar rreth një prizmi. Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi nëse është e drejtë dhe bazat e saj janë shumëkëndësha të gdhendur në një rreth. Qendra e topit shtrihet në mes të lartësisë së prizmit që lidh qendrat e rrathëve të përshkruar rreth bazave të prizmit. Rrezja e topit R, lartësia e prizmit H dhe rrezja e rrethit r të përshkruar rreth bazës së prizmit lidhen me relacionin:

11 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Problemi ka të bëjë me një sferë të rrethuar rreth një prizmi. “Një prizëm i rregullt ABCDA1B1C1D1 me lartësi 6 cm është i gdhendur në një sferë (pra; R = 5 cm). Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit nga një plan paralel me rrafshet e bazës dhe që kalon nëpër pikën O - qendra e topit."

12 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Jepet: ABCDA1B1C1D1 – prizëm i rregullt; një top (O;R=5 cm) përshkruhet rreth një prizmi; lartësia e prizmit h është 6 cm; α║(ABC); O me α. Gjeni: Ssec α, Zgjidhja: Meqenëse, sipas kushtit, prizmi është i brendashkruar në një top, atëherë (r është rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës së prizmit) Por sipas kushtit, jepet një prizëm i rregullt, që do të thotë

Rrëshqitja 13

Përshkrimi i rrëshqitjes:

a) (АВВ1) ║(СС1D1) (nga vetia e prizmit të drejtë) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (nga vetia e planeve paralele) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (nga vetia e prizmit të drejtë) => KM=NR (nga vetia e rrafsheve paralele). Kjo do të thotë se KMNR është një paralelogram (sipas atributit) => MN=KR dhe MN ║ KR b) α ║ (ABC) (nga ndërtimi) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (sipas vetive të rrafsheve paralele) 2. 3. Meqenëse sipas kushtit ABCDA1B1C1D1 është prizëm i rregullt, dhe seksioni për plan α është paralel me bazat, atëherë figura e formuar nga seksioni është katror. Le ta vërtetojmë: => => =>

14 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

KMH= ABC=90o (si kënde me brinjë të rreshtuara përkatësisht) Kjo do të thotë se rombi KMNR është një katror (sipas përkufizimit), që është ajo që duhej vërtetuar. Për më tepër, katrorët KMNR dhe ABCD janë të barabartë. Prandaj, sipas vetisë sipërfaqet e tyre janë të barabarta, dhe, rrjedhimisht, Seksioni α.=SABCD=32 (cm2) Përgjigje: 32 cm2. c) KM ║ AB (vërtetuar) (BCC1) ║(ADD1) (nga vetia e prizmit të drejtë) => KM=AB=4√2 cm (nga vetia e rrafsheve paralele). d) Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se MN ║ BC dhe MN = BC = 4√2 cm Kjo do të thotë se MN = KM => paralelogrami MNRK është një romb (sipas përkufizimit). e) MN ║ BC (vërtetuar) KM ║ AB (vërtetuar) => =>

15 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Një cilindër i rrethuar rreth një prizmi. Një cilindër mund të përshkruhet rreth një prizmi të drejtë nëse baza e tij është një shumëkëndësh i gdhendur në një rreth. Rrezja e cilindrit R është e barabartë me rrezen e këtij rrethi. Boshti i cilindrit shtrihet në të njëjtën vijë të drejtë me lartësinë H të prizmit, duke lidhur qendrat e rrathëve të përshkruar pranë bazave të prizmit. Në rastin e një prizmi katërkëndor (nëse baza është një drejtkëndësh), boshti i cilindrit kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të bazave të prizmit.

16 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Problemi ka të bëjë me një cilindër të rrethuar rreth një prizmi. Prizma e drejtë ABCDA1B1C1D1, baza e të cilit është një drejtkëndësh, është gdhendur në një cilindër, gjenerata e të cilit është 7 cm dhe rrezja është 3 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të prizmit nëse është këndi midis diagonaleve ABCD është 60 gradë. ОО1 – boshti i cilindrit.

Rrëshqitja 17

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Jepet: ABCDA1B1C1D1 – prizëm i drejtë; cilindri përshkruhet pranë prizmit; gjeneratori i cilindrit AA1=7 cm; rrezja e bazës së cilindrit është 3 cm; këndi ndërmjet diagonaleve ABCD është 60°; ОО1 – boshti i cilindrit. Gjeni: Prizmin anësor. Zgjidhje: Meqenëse, sipas kushtit, një prizëm katërkëndësh, në bazën e të cilit është një drejtkëndësh, është i brendashkruar në një top, atëherë sipas vetive AC∩ВD=O. Kjo do të thotë AOB=60o dhe AO=OB=3cm. 2. Në AOB duke përdorur teoremën e kosinusit.

Artikuj të ngjashëm