I samband med införandet av kvantifierare måste följande beaktas:

1. En predikatlogikformel kan inte innehålla samma objektiva variabel, som skulle vara bunden i en del av formeln och fri i en annan.

2. Samma variabel kan inte vara i området för kvantifierare som är dubbla till varandra.

Brott mot dessa villkor kallas variabel kollision.

Hur fastställs sanningsvärdet av ett påstående med en kvantifierare?

För att bevisa ett påstående med en allmän kvantifierare du måste se till att när du ersätter vart och ett av värdena X till ett predikat P(x) det senare förvandlas till ett sant uttalande. Om mängden X är finit, kan detta göras genom att räkna upp alla fall; om mängden X är oändlig, då är det nödvändigt att föra resonemang i en allmän form.

Påstående (x) P(x) falskt om ett sådant värde kan anges AX, vid vilken P(x) förvandlas till ett falskt påstående R(a). Det är därför, att motbevisa ett påstående med en allmän kvantifierare Det räcker med att ge ett exempel.

Påstående (x) P(x) sant om ett sådant värde kan anges AX, vid vilken P(x) förvandlas till ett sant uttalande R(a). Därför i ordning verifiera sanningen av ett påstående med en kvantifierare existens , det räcker med att ge ett exempel och på så sätt bevisa det.

För att verifiera ett påståendes falskhet med kvantifierare existens (x) P(x), det är nödvändigt att verifiera falskheten hos var och en P(x), P(x), …, P(x). Om uppsättningen X Naturligtvis kan detta göras med brutalt våld. Om det är många X oändligt mycket, då är det nödvändigt att föra resonemang i allmän form.

Exempel.

1. Hitta sanningsvärdet "bland siffrorna" 1, 2, 3, 4 det finns ett primtal."

Lösning: Påståendet innehåller en existentiell kvantifierare och kan därför representeras som en disjunktion av påståenden: " 1 - primtal" eller " 2 - primtal" eller " 3 - primtal" eller " 4 - Primtal". För att bevisa sanningen i en disjunktion räcker sanningen i minst ett påstående, till exempel " 3 är ett primtal som är sant. Därför är det ursprungliga uttalandet också sant.

2. Låt oss bevisa att vilken kvadrat som helst är en rektangel.

Lösning: Uttalandet innehåller en allmän kvantifierare. Därför kan det presenteras som en konjunktion: "kvadrat - rektangel" och "kvadrat - rektangel" och "kvadrat - rektangel" etc. Eftersom alla dessa påståenden är sanna, är konjunktionen av dessa påståenden sann, därför är den ursprungliga meningen sann.

3. "Varje triangel är likbent." Detta är ett falskt påstående. För att verifiera detta räcker det att rita en triangel som inte är likbent.a

Att konstruera negationen av ett påstående med kvantifierare nödvändig:

1) ersätt kvantifieraren av generalitet med kvantifierare av existens, och kvantifieraren av existens med kvantifierare av generalitet;

2) ersätt predikatet med dess negation.

Exempel. Låt oss formulera en negation för följande påståenden:

a) alla delar av uppsättningen Zäven; b) några verb svarar på frågan "vad ska man göra?".

Lösning: a) Låt oss ersätta kvantifieraren av generalitet med kvantifieraren av existens, och dess uttalande med dess negation: några element i mängden Z udda.

b) Låt oss ersätta tillvarons kvantifierare med en kvantifierare av generalitet, och dess uttryck med negation: alla verb svarar inte på frågan "vad ska man göra?"

Predikat (lat. praedicatum- angett, nämnt, sagt) - varje matematiskt påstående där det finns minst en variabel. Predikatet är det huvudsakliga studieobjektet i första ordningens logik.

Ett predikat är ett uttryck med logiska variabler som är meningsfulla för alla tillåtna värden för dessa variabler.

Uttryck: x > 5, x > y – predikat.

Predikat ( n-lokal, eller n-ary) är en funktion med en uppsättning värden (0,1) (eller "falskt" och "sant"), definierade på uppsättningen. Således, varje uppsättning av element i uppsättningen M karakteriseras som antingen "sant" eller "falskt".

Ett predikat kan förknippas med en matematisk relation: om n-ka tillhör relationen, då kommer predikatet att returnera 1 på det. Ett enärt predikat definierar i synnerhet förhållandet av medlemskap till en viss mängd.

Ett predikat är ett av logikens element av den första och högre ordningen. Med utgångspunkt från andra ordningens logik kan kvantifierare placeras på predikat i formler.

Predikatet kallas identiskt sant och skriv:

om på någon uppsättning argument tar den värdet 1.

Predikatet kallas identiskt falskt och skriv:

om på någon uppsättning argument tar den värdet 0.

Predikatet kallas möjlig, om det tar värdet 1 på minst en uppsättning argument.

Eftersom predikat bara har två betydelser, är alla operationer av boolesk algebra tillämpliga på dem, till exempel: negation, implikation, konjunktion, disjunktion, etc.

Kvantifierare är ett allmänt namn för logiska operationer som begränsar ett predikats sanningsdomän. Oftast nämns:

Universell kvantifierare(beteckning: lyder: "för alla...", "för alla..." eller "varje...", "alla...", "för alla...").

Existens kvantifierare(beteckning: , lyder: ”finns...” eller ”kommer att hittas...”).

Exempel

Låt oss beteckna P(x) predikat " x delbart med 5." Med den allmänna kvantifieraren kan vi formellt skriva följande påståenden (falskt, naturligtvis):

alla naturliga tal är delbart med 5;

varje naturligt tal är en multipel av 5;

alla naturliga tal är multiplar av 5;

på följande sätt:

.

Följande (redan sanna) påståenden använder den existentiella kvantifieraren:

det finns naturliga tal som är multiplar av 5;

det finns ett naturligt tal som är en multipel av 5;

minst ett naturligt tal är delbart med 5.

Deras formella notation:

.Introduktion till konceptet

Låt predikatet P(x) ges på mängden X av primtal: "Primtalet x är udda." Låt oss ersätta ordet "vilken som helst" framför detta predikat. Vi får det falska påståendet "vilket som helst primtal x är udda" (detta påstående är falskt, eftersom 2 är ett jämnt primtal).

Genom att ersätta ordet "finns" framför det givna predikatet P(x), får vi det sanna påståendet "Det finns ett primtal x som är udda" (exempelvis x = 3).

Således kan du förvandla ett predikat till ett påstående genom att framför predikatet placera orden "allt", "finns" etc., kallade kvantifierare i logiken.

Kvantifierare i matematisk logik

Uttalandet betyder att intervallet för variabeln x ingår i predikatets sanningsdomän P(x).

("För alla värden av (x) är påståendet sant.")

Uttalandet innebär att predikatets sanningsdomän P(x) är inte tom.

("Det finns ett (x) för vilket påståendet är sant").

Fråga 31 Diagram och dess element. Grundläggande koncept. Förekomst, mångfald, loop, angränsning. Typer av grafer. Rutten i grafen och dess längd. Klassificering av rutter. Närliggande matriser av riktade och oriktade grafer.

Inom matematisk grafteori och datavetenskap är en graf en samling av en icke-tom uppsättning av hörn och en uppsättning av par av hörn.

Objekt representeras som hörn, eller noder, i en graf, och anslutningar representeras som bågar eller kanter. För olika applikationsområden kan typer av grafer skilja sig åt i riktning, begränsningar av antalet anslutningar och ytterligare data om hörn eller kanter.

En bana (eller kedja) i en graf är en ändlig sekvens av hörn där varje hörn (förutom den sista) är ansluten till nästa i sekvensen av hörn med en kant.

En riktad bana i en digraf är en ändlig sekvens av hörn v i, för vilken alla par ( v i,v i+ 1) är (orienterade) kanter.

En cykel är en väg där de första och sista hörnen sammanfaller. I det här fallet är längden på en väg (eller cykel) antalet komponenter revben. Observera att om hörnen u Och vär ändarna på någon kant, då enligt denna definition, sekvensen ( u,v,u) är en cykel. För att undvika sådana "degenererade" fall introduceras följande begrepp.

En stig (eller cykel) kallas enkel om dess kanter inte upprepas; elementärt om det är enkelt och dess hörn inte upprepas. Det är lätt att se att:

Varje bana som förbinder två hörn innehåller en elementär bana som förbinder samma två hörn.

Hur enkelt som helst icke-elementärt sökväg innehåller elementär cykel.

Några enkel en cykel som går genom någon vertex (eller kant) innehåller elementärt(del-)cykel som passerar genom samma vertex (eller kant).

En slinga är en elementär cykel.

Graf eller oriktad graf Gär ett beställt par G: = (V,E

V

E detta är en uppsättning par (i fallet med en oriktad graf, oordnad) av hörn, kallade kanter.

V(och därför E, annars skulle det vara en multiset) anses vanligtvis vara ändliga mängder. Många bra resultat som erhållits för finita grafer är inte sanna (eller skiljer sig på något sätt) för oändliga grafer. Detta beror på att ett antal överväganden blir falska i fallet med oändliga mängder.

Topparna och kanterna på en graf kallas även grafelement, antalet hörn i grafen | V| - ordning, antal kanter | E| - storleken på grafen.

Toppar u Och v kallas de terminala hörnen (eller helt enkelt ändar) av en kant e = {u,v). En kant förbinder i sin tur dessa hörn. Två ändhörningar av samma kant kallas angränsande.

Två kanter sägs ligga angränsande om de har en gemensam ändpunkt.

Två kanter kallas multipla om uppsättningarna av deras ändhörn sammanfaller.

En kant kallas en slinga om dess ändar sammanfaller, det vill säga e = {v,v}.

grad deg V toppar V ring antalet kanter som faller på det (i detta fall räknas slingorna två gånger).

En vertex sägs vara isolerad om den inte är slutet av någon kant; hängande (eller blad) om det är slutet på exakt en kant.

Riktad graf (förkortad digraph) Gär ett beställt par G: = (V,A), för vilka följande villkor är uppfyllda:

Vär en icke-tom uppsättning av hörn eller noder,

A det är en uppsättning (ordnade) par av distinkta hörn, kallade bågar eller riktade kanter.

Bågeär ett ordnat par av hörn (v, w), var är spetsen v kallas början, och w- slutet av bågen. Vi kan säga att bågen leder från toppen v till toppen w.

Blandad graf

Blandad graf Gär en graf där vissa kanter kan riktas och vissa kan vara oriktade. Skrivet som en beställd trippel G: = (V,E,A), Var V, E Och A definieras på samma sätt som ovan.

Riktade och oriktade grafer är specialfall av blandade grafer.

Isomorfa grafer(?)

Graf G kallas isomorf till grafen H, om det finns en bijektion f från uppsättningen av grafens hörn G till uppsättningen av hörn i grafen H, som har följande egenskap: if i grafen G det finns en kant från spetsen A till toppen B, sedan i grafen H f(A) till toppen f(B) och vice versa - om i grafen H det finns en kant från spetsen A till toppen B, sedan i grafen G det måste finnas en kant från spetsen f − 1 (A) till toppen f − 1 (B). I fallet med en riktad graf måste denna bijektion också bevara kantens orientering. I fallet med en viktad graf måste bijektionen också bevara kantens vikt.

Graph Adjacency Matrix G med ett ändligt antal hörn n(numrerad från 1 till n) är en kvadratisk matris A storlek n, där elementvärdet en ij lika med antalet kanter från i grafens toppunkt in j-th topp.

Ibland, särskilt i fallet med en oriktad graf, en slinga (en kant från i th vertex in sig) räknas som två kanter, det vill säga värdet på det diagonala elementet a ii i detta fall lika med två gånger antalet slingor runt i toppen.

Närliggande matris för en enkel graf (som inte innehåller några slingor eller flera kanter) är en binär matris och innehåller nollor på huvuddiagonalen.

Fråga 32 Funktion. Metoder för uppdrag. Klassificering av funktioner. Grundläggande elementära funktioner och deras grafer. Sammansättning av funktioner. Elementära funktioner.

Funktion är ett matematiskt begrepp som återspeglar förhållandet mellan element i mängder. Vi kan säga att en funktion är en "lag" enligt vilken varje element i en uppsättning (kallas definitionsdomän ) sätts i korrespondens med något element i en annan uppsättning (kallas värdeintervall ).

Det matematiska konceptet för en funktion uttrycker den intuitiva idén om hur en kvantitet helt bestämmer värdet av en annan kvantitet. Alltså värdet på variabeln x definierar unikt innebörden av ett uttryck x 2, och månadens värde bestämmer unikt värdet av månaden efter den, kan också vilken person som helst jämföras med en annan person - hans far. På liknande sätt producerar någon förutfattad algoritm viss utdata baserat på varierande indata.

Metoder för att specificera en funktion

Analytisk metod

En funktion är ett matematiskt objekt som är en binär relation som uppfyller vissa villkor. En funktion kan specificeras direkt som en uppsättning ordnade par, till exempel: det finns en funktion . Denna metod är dock helt olämplig för funktioner på oändliga mängder (som är de vanliga reella funktionerna: potens, linjär, exponentiell, logaritmisk, etc.).

För att ange en funktion, använd uttrycket: . Vart i, xär en variabel som löper genom definitionsdomänen för funktionen, och y- värdeintervall. Denna post indikerar närvaron av ett funktionellt förhållande mellan elementen i uppsättningar. X Och y kan köra igenom alla uppsättningar av föremål av vilken karaktär som helst. Dessa kan vara siffror, vektorer, matriser, äpplen, regnbågens färger. Låt oss förklara med ett exempel:

Låt det bli ett set äpple, plan, päron, stol och många man, lokomotiv, fyrkant. Låt oss definiera funktionen f enligt följande: (äpple, person), (flygplan, lokomotiv), (päron, fyrkant), (stol, person). Om vi ​​introducerar en variabel x som löper genom mängden och en variabel y som löper genom mängden, kan den angivna funktionen specificeras analytiskt som: .

Numeriska funktioner kan specificeras på liknande sätt. Till exempel: där x går genom mängden reella tal och definierar någon funktion f. Det är viktigt att förstå att uttrycket i sig inte är en funktion. En funktion som ett objekt är en uppsättning av (ordnade par). Och detta uttryck som ett objekt är likheten mellan två variabler. Den definierar en funktion, men är inte en.

Men inom många grenar av matematiken är det möjligt att beteckna med f(x) både själva funktionen och det analytiska uttryck som definierar den. Denna syntaktiska konvention är extremt bekväm och motiverad.

Grafisk metod

Numeriska funktioner kan också specificeras med hjälp av en graf. Låta vara en reell funktion av n variabler.

Låt oss betrakta något (n+1)-dimensionellt linjärt utrymme över fältet av reella tal (eftersom funktionen är reell). Låt oss välja vilken grund som helst () i detta utrymme. Varje punkt i funktionen är associerad med en vektor: . Således kommer vi att ha en uppsättning linjära rymdvektorer som motsvarar punkterna för en given funktion enligt den specificerade regeln. Punkterna i det motsvarande affina utrymmet kommer att bilda en viss yta.

Om vi ​​tar det euklidiska utrymmet av fria geometriska vektorer (riktade segment) som ett linjärt utrymme, och antalet argument för funktionen f inte överstiger 2, kan den angivna uppsättningen punkter visuellt avbildas i form av en ritning (graf ). Om dessutom den ursprungliga grunden anses vara ortonormal får vi "skolans" definition av grafen för en funktion.

För funktioner med 3 argument eller fler är denna representation inte tillämplig på grund av en persons brist på geometrisk intuition av flerdimensionella utrymmen.

Men för sådana funktioner kan man komma med en visuell semi-geometrisk representation (till exempel kan varje värde på den fjärde koordinaten för en punkt associeras med en viss färg på grafen)

Proportionella mängder. Om variablerna y Och x är direkt proportionella

y = k x ,

Var k- konstant värde ( proportionalitetsfaktor).

Schema direkt proportionalitet– en rät linje som går genom koordinaternas ursprung och bildar en linje med axeln X vinkel vars tangent är lika med k: tan = k(Fig. 8). Därför kallas även proportionalitetskoefficienten backe. Figur 8 visar tre grafer för k = 1/3, k= 1 och k = 3 .

Linjär funktion. Om variablerna y Och xär relaterade av 1:a gradens ekvation:

A x + B y = C ,

där minst ett av siffrorna A eller B inte är lika med noll, så är grafen för detta funktionella beroende rak linje. Om C= 0, då passerar den genom origo, annars gör den det inte. Grafer över linjära funktioner för olika kombinationer A,B,C visas i fig. 9.

Omvänd proportionalitet. Om variablerna y Och x är omvänt proportionella, då uttrycks det funktionella förhållandet mellan dem med ekvationen:

y = k / x,

Var k- konstant värde.

Inverterad proportionell graf – hyperbel(Fig. 10). Denna kurva har två grenar. Hyperboler erhålls när en cirkulär kon skär ett plan (för koniska sektioner, se avsnittet "Kon" i kapitlet "Stereometri"). Som visas i fig. 10 är produkten av hyperbelpunkternas koordinater ett konstant värde, i vårt exempel lika med 1. I det allmänna fallet är detta värde lika med k, som följer av hyperbelekvationen: xy = k.

Huvudegenskaper och egenskaper hos en hyperbel:

x 0, intervall: y 0 ;

Funktionen är monoton (avtagande) kl x< 0 och kl x> 0, men inte

monoton överlag på grund av brytpunkten x = 0);

Obegränsad funktion, diskontinuerlig i en punkt x= 0, udda, icke-periodisk;

- Funktionen har inga nollor.

Kvadratisk funktion. Det här är funktionen: y = yxa 2 + bx + c, Var a, b, c- permanent, a b=c= 0 och y = yxa 2. Graf över denna funktion fyrkantig parabel - OY, som kallas parabelns axel.Punkt O spetsen på parabeln.

Kvadratisk funktion. Det här är funktionen: y = yxa 2 + bx + c, Var a, b, c- permanent, a 0. I det enklaste fallet har vi: b=c= 0 och y = yxa 2. Graf över denna funktion fyrkantig parabel - en kurva som går genom origo för koordinater (fig. 11). Varje parabel har en symmetriaxel OY, som kallas parabelns axel.Punkt O skärningspunkten för en parabel med dess axel kallas spetsen på parabeln.

Graf över en funktion y = yxa 2 + bx + c- även en kvadratisk parabel av samma typ som y = yxa 2, men dess vertex ligger inte vid origo, utan i en punkt med koordinater:

Formen och placeringen av en kvadratisk parabel i koordinatsystemet beror helt på två parametrar: koefficienten a på x 2 och diskriminant D:D=b 2 – 4ac. Dessa egenskaper följer av analysen av rötterna till en andragradsekvation (se motsvarande avsnitt i kapitlet "Algebra"). Alla möjliga olika fall för en kvadratisk parabel visas i fig. 12.

Huvudegenskaper och egenskaper hos en kvadratisk parabel:

Funktionsomfång:  < x+ (dvs. x R), och området

värden: … (Besvara denna fråga själv!);

Funktionen som helhet är inte monoton, utan till höger eller vänster om vertexet

beter sig som monotont;

Funktionen är obegränsad, kontinuerlig överallt, även när b = c = 0,

och icke-periodisk;

- på D< 0 не имеет нулей.

Exponentiell funktion. Fungera y = yxa, Var a- ett positivt konstant tal kallas exponentiell funktion.Argument x accepterar några giltiga värden; funktioner betraktas som värden bara positiva siffror, eftersom vi annars har en funktion med flera värden. Ja, funktionen y = 81x har kl x= 1/4 fyra olika värden: y = 3, y = 3, y = 3 i Och y = 3 i(Notan tack!). Men vi betraktar bara som värdet av funktionen y= 3. Grafer för exponentialfunktionen för a= 2 och a= 1/2 visas i fig. 17. De passerar genom punkten (0, 1). På a= 1 har vi en graf av en rät linje parallell med axeln X, dvs. funktionen blir till ett konstant värde lika med 1. När a> 1 ökar exponentialfunktionen, och vid 0< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Funktionsomfång:  < x+ (dvs. x R);

räckvidd: y> 0 ;

Funktionen är monoton: den ökar med a> 1 och minskar vid 0< a < 1;

- Funktionen har inga nollor.

Logaritmisk funktion. Fungera y= logg yxa, Var a– ett konstant positivt tal som inte är lika med 1 kallas logaritmisk. Denna funktion är inversen av exponentialfunktionen; dess graf (fig. 18) kan erhållas genom att rotera grafen för exponentialfunktionen runt bisektrisen för den första koordinatvinkeln.

Huvudegenskaper och egenskaper hos den logaritmiska funktionen:

Funktionsomfång: x> 0 och värdeintervall:  < y+

(dvs. y R);

Detta är en monoton funktion: den ökar som a> 1 och minskar vid 0< a < 1;

Funktionen är obegränsad, kontinuerlig överallt, icke-periodisk;

Funktionen har en nolla: x = 1.

Trigonometriska funktioner. När vi konstruerar trigonometriska funktioner använder vi radian mått på vinklar. Sedan funktionen y= synd x representeras av en graf (fig. 19). Denna kurva kallas sinusformad.

Graf över en funktion y=cos x presenteras i fig. 20; detta är också en sinusvåg som uppstår när grafen flyttas y= synd x längs axeln X till vänster med 2

Från dessa grafer är egenskaperna och egenskaperna för dessa funktioner uppenbara:

Domän:  < x+ värdeområde: 1 y +1;

Dessa funktioner är periodiska: deras period är 2;

Begränsade funktioner (| y| , kontinuerlig överallt, inte monotont, men

ha sk intervaller av monotoni, där de är

bete sig som monotona funktioner (se diagram i fig. 19 och fig. 20);

Funktioner har ett oändligt antal nollor (för mer information, se avsnittet

"Trigonometriska ekvationer").

Funktionsgrafer y= solbränna x Och y=spjälsäng x visas i Fig. 21 respektive Fig. 22.

Från graferna är det tydligt att dessa funktioner är: periodiska (deras period ,

obegränsad, i allmänhet inte monoton, men har intervaller av monotoni

(vilka?), diskontinuerliga (vilka diskontinuitetspunkter har dessa funktioner?). Område

definitioner och värdeintervall för dessa funktioner:

Funktioner y= Arcsin x(Fig. 23) och y= Arccos x(Fig. 24) flervärdig, obegränsad; deras definitionsområde respektive värdeområde: 1 x+1 och  < y+ . Eftersom dessa funktioner har flera värden, gör det inte

betraktas i elementär matematik, deras huvudvärden betraktas som inversa trigonometriska funktioner: y= arcsin x Och y= arccos x; deras grafer är markerade i fig. 23 och fig. 24 med tjocka linjer.

Funktioner y= arcsin x Och y= arccos x har följande egenskaper och egenskaper:

Båda funktionerna har samma definitionsdomän: 1 x +1 ;

deras värdeintervall:  /2 y/2 för y= arcsin x och 0 y För y= arccos x;

(y= arcsin x– ökad funktion; y= arccos x – minskar);

Varje funktion har en nolla ( x= 0 för funktion y= arcsin x Och

x= 1 för funktion y= arccos x).

Funktioner y= Arktan x(Fig. 25) och y= Arccot x(Fig. 26) - flervärdiga, obegränsade funktioner; deras definitionsområde:  x+ . Deras huvudsakliga betydelser y= arktan x Och y= arccot x betraktas som inversa trigonometriska funktioner; deras grafer är markerade i fig. 25 och fig. 26 med feta grenar.

Funktioner y= arktan x Och y= arccot x har följande egenskaper och egenskaper:

Båda funktionerna har samma definitionsdomän:  x + ;

deras värdeintervall:  /2<y < /2 для y= arktan x och 0< y < для y= arccos x;

Funktionerna är begränsade, icke-periodiska, kontinuerliga och monotona

(y= arktan x– ökad funktion; y= arccot x – minskar);

Endast funktion y= arktan x har en enda nolla ( x= 0);

fungera y= arccot x har inga nollor.

Sammansättning av funktioner

Om två kartor ges och , där , då är "änd-till-ände-kartan" från till , som ges av formeln , vettig, vilket kallas sammansättningen av funktioner och och betecknas med .

Fig. 1.30. Visning från ände till ände från till

I predikatlogik betraktas två operationer som omvandlar ett enställspredikat till ett påstående, för detta ändamål används speciella ord som placeras framför predikaten. I logiken kallas de kvantifierare.

Det finns två typer av kvantifierare:

1. Allmän kvantifierare;

2. Existenskvantifierare.

1. Allmän kvantifierare.

Låt det finnas ett predikat P(x) definierat på mängden M

Symbolen kallas universell kvantifierare(gemenskap). Detta är den inverterade första bokstaven i det engelska ordet All - Everything. De läser "alla", "alla", "alla", "alla". Variabel x in predikat P(x) kallas fri ( det kan ges olika betydelser från M), till påstående de ringer x relaterad universell kvantifierare.

Exempel nr 1: P(x) – "Primtalet x är udda"

Låt oss lägga till en allmän kvantifierare - "Varje primtal x är udda" - ett falskt påstående.

Ett uttryck är ett påstående som är sant när P(x) är sant för varje element x från mängden M och falskt annars. Detta påstående beror inte längre på x.

2. Existenskvantifierare.

Låt P(x) - predikat definieras på mängden M. Med uttryck menar vi påstående, vilket är sant om det finns ett element för vilket P(x) är sant, och falskt annars. Detta påstående beror inte längre på x. Motsvarande verbala uttryck är: "Det finns ett x så att P(x) är sant." Symbolen kallas kvantifierare av tillvaron. I ett uttalande är variabeln x bunden av denna kvantifierare (en kvantifierare är kopplad till den).

(Läs: "Det finns ett x i M så att P i x är sant")

Ett uttryck är ett påstående som är sant om det finns ett element x€M (minst en) för vilket P(x) är sant, och annars falskt.

Exempel nr 2: P(x) "Siffran x är en multipel av 5"

Alla naturliga tal är en multipel av 5"

Varje naturligt tal är en multipel av 5" falska påståenden

Alla naturliga tal är multiplar av 5."

Det finns ett naturligt tal som är delbart med 5

Hitta ett naturligt tal som är delbart med 5 sanna påståenden

Minst ett naturligt tal är delbart med 5

Kvantifieringsoperationer gäller även för flerplatspredikat. Låt till exempel ett tvåställigt predikat P(x,y) ges på mängden M. Tillämpningen av en kvantifieringsoperation på predikatet P(x,y) med avseende på variabeln x sätter i överensstämmelse med tvåställspredikatet P(x,y) ett enställspredikat (eller enställspredikat) beroende på variabeln y och inte beroende av variabeln x. Du kan tillämpa kvantifieringsoperationer på dem på variabeln y, vilket kommer att leda till uttalanden av följande typer:

För att konstruera negationer med kvantifierare behöver du:

1) ersätt kvantifieraren av generalitet med en kvantifierare av existens, och ersätt kvantifieraren av existens med en kvantifierare av generalitet;

2) ersätt predikatet med dess negation.

Följande formler är alltså giltiga:

Negationen av en mening ska skrivas som , och negationen av en mening som . Det är uppenbart att meningen har samma betydelse, och därför samma sanningsvärde, som meningen , och meningen har samma betydelse som . Det motsvarar med andra ord ; likvärdig

EXEMPEL nr 3. Konstruera en negation av påståendet "Vissa tvåsiffriga tal är delbara med 12."

Lösning. Låt oss ersätta tillvarons kvantifierare (det uttrycks med ordet "några") med kvantifieraren av generalitet "alla" och konstruera negationen av meningen efter ordet "några", och placera partikeln "inte" framför av verbet. Vi får påståendet "Alla tvåsiffriga tal är inte delbara med 12."

EXEMPEL nr 4. Formulera negationen av påståendet "I varje klass misslyckades minst en elev på provet."

Lösning: Detta uttalande innehåller en allmän kvantifierare uttryckt med ordet "varje" och en existenskvantifierare uttryckt med orden "minst en". Enligt regeln för att konstruera negationerna av uttalanden med kvantifierare är det nödvändigt att ersätta kvantifieraren av generalitet med en kvantifierare av existens, och kvantifieraren av existens med en kvantifierare av generalitet, och ta bort partikeln "inte" från verbet. Vi får: "Det finns en klass där alla elever klarade provet."

När man studerade uttrycksformer (predikat) indikerades ett av sätten att erhålla uttalanden: substitution av något värde på en variabel i P(x) från en viss mängd A. Till exempel,

P(x): "x är ett primtal." Genom att ersätta x = 7 får vi påståendet

"7 är ett primtal." Vi kommer att bekanta oss med ytterligare två logiska operationer: att bifoga en allmän kvantifierare och en existenskvantifierare, som gör att vi kan få uttalanden från uttrycksfulla former.

Låt oss ersätta ordet "vilket som helst" före uttrycksformen P(x): "vilket som helst x är ett primtal." Vi fick ett falskt utlåtande. Låt oss ersätta ordet "några" framför P(x): "vissa tal x är primtal." Vi fick ett sant uttalande.

Inom matematiken kallas orden "någon", "några" och deras synonymer för kvantifierare, som respektive kallas den allmänna kvantifieraren (") och existenskvantifieraren ($). Den allmänna kvantifieraren ersätts i verbala formuleringar med orden: valfri. , alla, varje, varje, etc. Kvantifieraren av tillvaron i den verbala formuleringen ersätts med orden: det finns, åtminstone en, det finns några osv.

Låt P(x) vara en uttrycksform på M. Notation

("хОМ) Р(х)

betyder: för alla element x (från mängden M) gäller P(x), vilket redan är ett påstående. För att bevisa att påståendet ("x)P(x) är sant måste du gå igenom alla element a, b, c, etc. från M och se till att P(a), P(b), P( c) ,... är sanna, och om det är omöjligt att räkna upp elementen i M, måste de bevisa genom att resonera att för vilket a från M påståendet P(a) är sant. För att verifiera att ("x)P( x) är falsk, räcker det att endast hitta ett element i AOM för vilket P(a) är falskt.

EXEMPEL. Uttrycksform ges

B(x): "är ett primtal."

B(1): 2 2 + 1 = 5 - primtal;

B(2): = 17 - primtal;

B(3): = 257 - primtal;

B(4): = 65537 är ett primtal.

Kan vi säga att ("x)B(x)? Detta måste bevisas. Leonard Euler bevisade att B(5) är falskt, dvs. + 1 = 2 32 + 1 är delbart med 641 och därför (" x) B(x) - falskt.

EXEMPEL. Betrakta påståendet ("x)C(x), där på N givet C(x): "x 3 + 5x är dividerat med 6."

Uppenbarligen är C(1), C(2), C(3), C(4) sanna. Men om vi kontrollerar ens en miljon värden av x, finns det alltid en risk att för de första miljonvärdena av x kommer påståendet C(x) att visa sig vara falskt.

Du kan bevisa det till exempel så här:

x 3 + 5x = x 3 - x + 6x = x(x 2 - 1) + 6x = (x - 1)x(x + 1) + 6x

Uttrycket (x - 1)x(x + 1) är delbart med 3, eftersom av tre på varandra följande naturliga tal är minst ett delbart med 3; detta uttryck är också delbart med 2, eftersom av tre på varandra följande tal är ett eller två tal jämna. Den andra termen 6x är delbar med 6, därför är hela summan delbar med 6, d.v.s. ("x)C(x) - sant.

Låt C(x) vara någon uttrycksform. Spela in

betyder: det finns ett element x från mängden M som C(x) gäller. ($x)C(x) är redan ett uttalande. Om man i mängden M kan hitta ett element a för vilket C(a) är sant, så är påståendet($x)C(x) sant. Om det inte finns ett enda element a i M för vilket C(a) är sant, är påståendet ($x)C(x) falskt.

EXEMPEL. På set N ges av C(x):" ". C(1) - falskt, C(2) - falskt, C(5) - sant. Därför är ($x)C(x) ett sant påstående.

EXEMPEL. På set N ges av K(x): "x 2 + 2x + 3 är dividerat med 7". K(1) = 6, 6 är inte delbart med 7; K(2) = 11, 11 är inte delbart med 7 osv.

Hypotes: ($x)K(x) - falskt.

Låt oss bevisa det. Enligt divisionssatsen med rest kan vilket naturligt tal som helst representeras som n = 7q + r, där r< 7.

n2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r2 + 2r + 3.

Alltså, talet n 2 + 2n + 3 är delbart med 7 om och endast om r 2 + 2r + 3 är delbart med 7. Resten är r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). Med hjälp av brute force-metoden kommer vi att se till att r 2 + 2r + 3 inte är delbart med 7. Så ($x)K(x) är falskt.

Hur konstruerar man negationen av ett påstående med en kvantifierare?

För att konstruera negationen av ett påstående med en kvantifierare är det nödvändigt att ersätta den allmänna kvantifieraren (") med den existentiella kvantifieraren ($) och, omvänt, den existentiella kvantifieraren med den allmänna kvantifieraren, och meningen som kommer efter kvantifieraren med dess negation, d.v.s.

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Anta till exempel att två påståenden ges:

A: "alla primtal är udda";

F: "Varje primtal är jämnt."

Kommer B att vara negationen av A? Nej, för inget av påståendena är sant. I detta fall

A: ”inte alla primtal är udda, dvs. det finns ett jämnt primtal” är ett sant påstående.

I framtiden anser vi att negationen av en mening har konstruerats om dess negation inte bara skrivs ner, utan den resulterande meningen transformeras till en form där negationstecken förekommer före enklare uttryck. Till exempel kommer negationen av en mening med formen A Ù B inte att betraktas (A Ù B), utan dess motsvarighet: A Ú B.

Låt A(x,y) vara en uttrycksform med två variabler.

Då är ("x)A(x,y), ($x)A(x,y), ("x)A(x,y), ($x)A(x,y) också uttrycksformer men med en variabel. I detta fall sägs kvantifieraren koppla en variabel. För att få ett påstående från uttrycksformen A(x,y) är det nödvändigt att koppla ihop båda variablerna. Till exempel är ("x)($y)A(x,y) ett påstående.

För uttrycksformen P(x,y): “ x< y”, заданной на Z, överväg alla fall av att få ett uttalande genom att lägga till (ha) kvantifierare:

1) ("x)("y)P(x,y) Û l - "För varje x och för varje y x< y”;

2) ("y)("x)(x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("x)($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($y)("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($x)("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Var uppmärksam på påståendena (1) och (2), (3) och (4). Strukturerna för dessa påståenden skiljer sig endast i ordningen av kvantifierarna med samma namn, men påståendenas betydelse och sanningsvärden förändras inte.

Påståenden (5) och (6), (7) och (8) skiljer sig åt i den ordning som motsatta kvantifierare uppträder, vilket leder till en förändring av påståendets innebörd och eventuellt sanningsvärde. Uttalande (7) hävdar närvaron i Z det minsta antalet, vilket är falskt. (8) säger att det inte finns något sådant som är sant.

Teoretiska frågor:

1. Begreppet ett predikat från en eller flera variabler.

2. Exempel på enplats- och tvåplatspredikat. 3. Predikatets sanningsdomän.

4. Kvantifierare av generalitet och existens. Fria och bundna variabler. Operationer på predikat. Vad är sanningens domän; ; ; ? Ge geometriska tolkningar.

5. Transformation av predikatslogikformler. Definition av ett identiskt sant och identiskt falskt predikat, samband med sanningens domän. Grundläggande ekvivalenser.

Övningar

5.1. Ange flera värden för de variabler för vilka följande predikat är sanna eller falska:

1. x 2, x O N; 9. = -x, xOR;

2. x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xÎZ; 11. sin x = -, xOR;

4. x + 3x +6 = 0, x OR; 12. cos x = , x OR;

5. = 0, xÎR; 13. x3y, x,y OR;

6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y - 1) = 0, x, yÎR;

8. = x, xOR; 16. x + y =4, x, y OR.

5.2. Hitta sanningsdomänen för predikaten i övning 5.1. Rita fall 13 - 16 på koordinatplanet.

5.3.

1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. =; 8. | 5x - 3 |< 7;

3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4.

5.4. Hitta sanningsdomänen för predikaten:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5 x);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4.( - + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x-5);

6.((x - 6x + 9)(2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)

8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );

Liknande artiklar

Vilken myndighet ska jag kontakta för betalning?

Fritidsbidrag i skolan Fritidsbidrag för många barnfamiljer

Lån för matkapital i kontanter Hur man utfärdar ett lån för matkapital

Hur man förstår vad siffror betyder i en dröm