Låt oss börja med en linjal av engelsk typ. Den har 12 divisioner (stora märken) som indikerar tum. 12 tum är lika med 1 fot (30,5 cm). Varje tum är uppdelad i 15 divisioner (små märken), det vill säga varje tum på linjalen indikeras med 16 märken.

• Ju högre märke, desto högre indikator. Med början vid 1"-märket och slutar vid 1/16"-märket, minskar märkena i storlek när avläsningarna minskar.
• Linjalavläsningarna läses från vänster till höger. Om du mäter ett objekt, rada upp dess början (eller slutet) med linjalens vänstra ände. Siffran du hittar på linjalen till höger avgör objektets längd.

Den engelska typen linjal har 12 tums divisioner. De är numrerade och indikerade med de största märkena. Till exempel, om du behöver mäta längden på en spik, rada upp början (eller slutet) med den vänstra änden av linjalen. Om slutet (eller början) av nageln är i linje med det stora "5"-märket, är nageln 5 tum lång.

• Vissa linjaler har också "1/2"-markeringar på dem, så var noga med att inte blanda ihop de största tummärkena med de mindre.

1/2 tum märken. Dessa märken är halva längden av tummärkena. De placeras i mitten av varje 1-tums division eftersom de representerar en halv tum. Det vill säga att sådana märken appliceras mellan 0 och 1 tum, 1 och 2 tum, 2 och 3 tum och så vidare. Det finns 24 sådana märken på en 12-tums linjal.

• Till exempel, rada upp den vänstra änden av linjalen med toppen av suddgummi på din penna. Om spetsen på ledningen pekar mellan 4" och 5" markeringarna, är pennans längd 4 och 1/2 tum.

1/4 tum märken. Dessa märken är placerade i mitten av 1/2 tums märken och är mindre i storlek och indikerar 1/4 tum. I den första tum anger dessa märken 1/4, 1/2, 3/4 och 1 tum. Även om det finns separata "1/2 tum" och "1 tum" märken, ingår de i 1/4 tum måtten eftersom 2/4 tum är lika med en halv tum och 4/4 tum är lika med 1 tum. Det finns 48 sådana märken på en 12-tums linjal.

• Till exempel, om du mäter en morot och änden är i linje med märket mellan "6 1/2" och "7" märkena, då är längden på moroten 6 och 3/4 tum.

1/8 tum märken. Dessa märken placeras mellan 1/4 tums märkena. Mellan 0 och 1 tum finns det märken som indikerar 1/8, 1/4 (eller 2/8), 3/8, 1/2 (eller 4/8), 5/8, 6/8 (eller 3/4) , 7/8 och 1 (eller 8/8) tum. Det finns 96 sådana märken på en 12-tums linjal.

• Till exempel mäter du ett tygstycke och dess kant är i linje med 6-märket efter 4"-märket, som ligger direkt mellan 1/4" och 1/2"-märkena. Detta betyder att tygets längd är 4 och 3/8 tum.

1/16 tum märken. Dessa märken placeras mellan 1/8 tum märkena. Dessa är de minsta märkena på linjalen. Mellan 0 och 1 tum finns det märken som indikerar 1/16, 2/16 (eller 1/8), 3/16, 4/16 (eller 1/4), 5/16, 6/16 (eller 3/8) , 7/16, 8/16 (eller 1/2), 16/9, 10/16 (eller 5/8), 11/16, 12/16 (3/4), 13/16, 14/16 ( eller 7/8), 15/16, 16/16 (eller 1) tum. Det finns 192 sådana märken på en 12-tums linjal.

• Till exempel mäter du en blomstjälk och änden av den är i linje med 11-märket efter "5"-märket. I det här fallet är stamlängden 5 och 11/16 tum.
• Inte varje linjal har 1/16 tum märken. Om du planerar att mäta små föremål, eller om du vill göra exakta mätningar, se till att din linjal har dessa markeringar.

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I ? AB = 3 cm 8 mm Skriv ner längden på segmentet AB = 38 mm

1 En delning motsvarar 1 timme Dessutom är urtavlan indelad i 60 små avdelningar. En liten delning motsvarar 1 minut. I vissa instrument är skalorna placerade på cirklar eller cirkelbågar. På urtavlan är hela omkretsen uppdelad i 12 stora divisioner.

Figuren visar en skala av en anordning som anger hur många liter bensin som finns kvar i bilens tank. Hur många liter bensin finns i tanken nu? l b) kommer 30 l att förbrukas vid flytt? Hur många delar och i vilken riktning kommer enhetens pil att röra sig om: a) ytterligare 20 liter bensin hälls i bensintanken;

Plocka upp en vikt för att ta reda på vikten av en melon. KONTROLLERA 1 kg 100 g 1 kg 3 kg 3 kg 2 kg

KONTROLLERA 3 kg 50 g Plocka upp vikten för att ta reda på vikten på vattenmelonen. 2kg 1kg 3kg 3kg

KONTROLLERA 5 kg 450 g Plocka upp vikterna för att ta reda på vikten på pumporna. 3kg 3kg 1kg 2kg 2kg

KONTROLLERA 20 kg 800 g 20 kg Plocka upp vikten för att ta reda på snögubbens vikt. 5 kg 2 kg

I IIII I IIII I IIII I IIII I Figuren visar en skala. Vilka siffror motsvarar punkterna A, B, C och D på denna skala? 30 CBD

På tidsskalan representerar divisioner ett sekel. Visa på skalan: a) a) början och slutet av andra århundradet; I I I I I I I I I I I I I I I I I II II III VI VII VI VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVII XVI XVIII XIX XX b) b) slutet av det sjätte århundradet; c) c) 700-talet; d) d) mitten av det tolfte århundradet; e) e) första hälften av 1600-talet a c b d e

De skriver: O(0), E(1), A(2), B(3), etc. Steg för steg får vi en oändlig skala. koordinatstråle Det kallas en koordinatstråle. koordinater Siffrorna 0, 1, 2, 3, ..., motsvarande punkterna O, E, A, B ... kallas koordinaterna för dessa punkter. Låt oss rita strålen OX så att den går från vänster till höger. Låt oss markera någon punkt E på denna stråla med ett enhetssegment. Ovanför början av strålen skriver vi talet 0, och ovanför punkten E - talet 1. Segmentet OE kallas ett enhetssegment. 01E OX 2A3B456

AB = 6 cm = 60 mm. IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII III. Längden på segmenten mäts med en linjal. Det finns drag på linjalen. De bryter linjalen i lika delar. Dessa delar kallas divisioner. Alla indelningar av linjalen bildar en skala. Delningsvärdet är 1 cm. Mm.

Bild 5 från presentationen "Skalar och koordinerar årskurs 5". Storleken på arkivet med presentationen är 482 KB.

Matematik 5:e klass

sammanfattning av andra presentationer

"Mattequiz med svar" - Delsummor. Vem räknar bättre? Lagutmärkelser. Siffrorna är i sin ordning. Team presentation. Matte frågesport. Jury. Det är dags att vila. Titta på bilden. Fyrradig strof. Rebus. Vem kommer att skriva de nödvändiga siffrorna i rutorna snabbare? Korsord. Dechiffrera de matematiska termerna. Upprepning av utbildningsmaterial. Anagram.

"Konstruera vinklar" - Vertex. Vasst hörn. Mätning av vinklar. ?Aov, ?voa, ?o. Konstruera en spetsig vinkel. Konstruera en vinkel på 78°. Byt anteckningsböcker med din skrivbordsgranne. Konstruktion och mätning av vinklar. Utvikt vinkel. Gradskiva. Kolla varandras arbete. Konstruktion av vinklar. Sida. Arbeta i par. Trubbig vinkel. Grad. Gör samma uppgift, konstruera vinklar på 145o och 90o. Be din sittplatskamrat kontrollera din formation. Gör samma uppgift genom att konstruera en trubbig vinkel.

"Aritmetiskt medelvärde" - Kontrollera uppgifter på kort. Det aritmetiska medelvärdet av fyra tal. Summan av siffror. Hitta det aritmetiska medelvärdet. Uppgift. Verbal räkning. Använd de svar du hittade och uppgifterna i tabellen och fyll i de tomma fälten. Genomsnitt. Summan av åtta tal. Enskilt arbete. Låt det mindre talet vara x, då är det större talet 3,2x. Intelligensutmaning.

"Matematik "Blandade siffror"" - En komma två tredjedelar. Blandat antal. Separera hela delen från en felaktig bråkdel. Täljare för bråkdelen. Matematisk diktering. Addera och subtrahera vanliga bråk. På lektionen. Nämnare för bråkdelen. Ett tal som består av en heltalsdel och en bråkdel kallas ett blandat tal. Dela varje äpple i tre lika delar. Uttryck ett blandat tal som ett oegentligt bråk. Blandade siffror.

"Lagar för addition och subtraktion" - Lagar för subtraktion. Heltal. Att subtrahera noll ändrar inte talet. Lägg till alla naturliga tal. Kommutativ (kommutativ) egenskap. Kombinativ (associativ) egenskap. Lagar för addition och subtraktion. Bokstavsinmatning. Lagen om absorption av noll. Egenskapen att subtrahera en summa från ett tal. Noll. Hitta meningen med uttrycket. Exempel på tillämpning av lagar.

"Skriva naturliga tal" - Talet 1 är inte det minsta naturliga talet. Notering av naturliga tal. Jämför siffrorna. Vilka siffror representerar posterna? Vilka kategorier känner du till? Formulering av problemet. Arabiska siffror. Notering av siffror med romerska siffror. Beräkna. Grafisk diktering. Svara på frågorna. En rebus är en gåta där det sökta ordet representeras med bokstäver. 0 är inte ett naturligt tal. Lektionens mål. Hur stor är en miljon?

Teorin om algebraiska och transcendentala tal gjorde det möjligt för matematiker att lösa tre kända geometriska problem som hade förblivit olösta sedan antiken. Vi syftar på problemet med "fördubbling av kuben", problemet med "trisektion av en vinkel" och problemet med "kvadratisera cirkeln". Dessa uppgifter avser konstruktioner med kompass och linjal och är följande:

1) "Fördubbla kuben." Det krävs att man bygger en kub som har dubbelt så stor volym jämfört med den givna kuben. Även om kuben är en rumslig figur, är problemet i huvudsak planimetriskt. Faktum är att om vi tar kanten på en given kub som en längdenhet (fig. 16), så blir uppgiften att konstruera ett segment med längden 1/2, eftersom detta kommer att vara längden på kanten på en kub som har dubbelt så stor volym jämfört med den givna.

2) "Trisektion av vinkeln." Hitta ett sätt på vilket du, med bara en kompass och en linjal, kan dela vilken vinkel som helst i tre lika delar. Det finns vissa vinklar, som 90° eller 45°, som kan delas upp i tre lika delar med hjälp av en kompass och linjal, men den så kallade "vanliga" vinkeln kan inte delas upp i tre lika delar med dessa verktyg.

3) "Kvadrera cirkeln." Konstruera en kvadrat som är lika stor som en given cirkel, eller, vilket är ekvivalent, konstruera en cirkel som är lika stor som en given kvadrat.

Det är känt att dessa tre konstruktioner är omöjliga, det vill säga att de inte kan utföras med endast en kompass och en linjal. Många hobbyister fortsätter att lösa dessa problem utan att veta att deras ansträngningar är bortkastade.

Även om sådana amatörer är medvetna om att ingen matematiker ännu har kunnat utföra dessa konstruktioner, är de uppenbarligen omedvetna om den strängt bevisade omöjligheten av sådana konstruktioner. Då och då hittar amatörmatematiker en ungefärlig lösning på ett av dessa problem, men hittar naturligtvis aldrig deras exakta lösningar. Det är tydligt vad skillnaden är här: problemet med att fördubbla en kub, till exempel, består i att konstruera, med hjälp av teoretiskt perfekta ritverktyg, ett segment som skulle ha en längd som inte är ungefärlig men exakt lika med detta antal. Problemet kan inte lösas genom att till exempel konstruera ett längdsegment, trots att talen sammanfaller med sex decimaler.

När det gäller vinkeltrisektionsproblemet finns det en speciell källa till missförstånd.

Vilken vinkel som helst kan delas in i tre lika delar om man använder en linjal med divisioner. Således kan påståendet om omöjligheten att dela en gemensam vinkel i tre lika delar göras endast när det antas att de acceptabla verktygen för konstruktion är en kompass och en linjal utan splittringar.

Eftersom det råder mycket förvirring kring dessa tre klassiska problem, kommer vi nu snabbt att förklara hur man kan bevisa omöjligheten av alla tre konstruktionerna. Vi kan inte ge fullständiga bevis här, eftersom detaljerna är ganska specialiserade. Om läsaren vill bekanta sig med dem i detalj kan han hänvisa till boken av R. Courant och G. Robbins, som innehåller en fullständig analys av problemen med tresektion av en vinkel och fördubbling av en kub (s. 197) -205). Beviset för omöjligheten av att kvadrera en cirkel är mycket mer komplicerat än beviset för omöjligheten av de andra två konstruktionerna.

Hur kan vi bevisa omöjligheten av de konstruktioner vi är intresserade av? Det första du behöver förstå till viss del är vilken längd av segment som kan konstrueras med hjälp av en kompass och linjal, om ett segment av enhetslängd anges. Utan att ge bevis hävdar vi (och alla som är bekanta med geometriska konstruktioner håller med oss) att bland de längder som kan konstrueras finns alla längder som erhålls genom successiv extraktion av kvadratrötter applicerade på rationella tal, till exempel.

Alla tal som erhålls på detta sätt är algebraiska.

De fyra talen (10), skrivna som ett exempel, är rötterna till följande ekvationer:

(11)

Låt oss ta en av ekvationerna, säg (13), och kontrollera att antalet

är verkligen dess rot. Att kvadrera båda sidor av den senaste jämlikheten får vi

Att flytta term 5 till vänster och skjuta upp den igen, finner vi

Att nu kvadrera båda sidor igen leder till ekvation (13).

Vidare, förutom det faktum att talen (10) är rötterna till ekvationerna (11) - (14), är inget av dessa tal rötterna till en ekvation med heltalskoefficienter av lägre grad. Låt oss ta till exempel numret . Den uppfyller ekvation (12) av grad 4, men uppfyller inte någon ekvation av grad 3, 2 eller 1 med heltalskoefficienter. (Vi bevisar inte detta påstående.) Om ett algebraiskt tal är roten till en gradekvation med heltalskoefficienter, men inte är roten till någon ekvation av mindre grad med heltalskoefficienter, så kallas det ett algebraiskt antal grader. Således är talen (10) algebraiska tal med potenserna 2, 4, 8 respektive 16.

Ovanstående föreslår följande huvudresultat om längderna på segment som kan konstrueras med en kompass och linjal:

Sats om geometriska konstruktioner. Längden av varje segment som kan konstrueras från ett givet segment av enhetslängd med hjälp av en kompass och linjal är ett algebraiskt antal grader antingen 1, eller 2, eller 4, eller 8,..., dvs generellt sett grader , där är ett icke-negativt heltal.

Vi uppmanar läsaren att ta detta resultat på tro och utifrån det kommer vi att visa att alla tre kända konstruktioner är omöjliga.

Låt oss börja med problemet med dubbleringskuben. Som vi såg ovan när vi formulerade det är det likvärdigt med följande: utgående från ett segment av längdenhet, konstruera ett längdsegment . Men uppfyller antalet nödvändiga villkor för detta? Det uppfyller ekvationen

och detta tyder på att n är ett algebraiskt tal av grad 3. I själva verket är det precis så, och för att vara övertygad om detta behöver du bara visa att talet inte uppfyller någon ekvation med heltalskoefficienter av grad 1 eller 2 Bevis på detta även om det inte är svårt, det kräver lite knep och vi kommer att lämna det till nästa stycke.

Eftersom det finns ett algebraiskt tal på grad 3, är det, i kraft av satsen ovan om geometriska konstruktioner, omöjligt att konstruera ett längdsegment baserat på ett segment av längdenhet. Således är det omöjligt att dubbla kuben.

Låt oss nu överväga problemet med tresektion av en vinkel. För att fastställa omöjligheten av tresektion i det allmänna fallet räcker det att visa att en viss fast vinkel inte kan delas upp i tre identiska delar av en kompass och en linjal. Låt oss ta en vinkel på 60°. Trisektion av en vinkel på 60° innebär att konstruera en vinkel på 20°. Detta handlar om att konstruera, baserat på ett givet segment av enhetslängd, ett segment med längd . För att verifiera detta, överväg en triangel med en bas av längden 1 och med vinklar vid basen av 60° och 90°, dvs triangel ABC med en bas och vinklar BAC - 60° och (Fig. 17). På sidan BC, ta punkt D så att vinkeln BAD är 20°. Från elementär trigonometri vet vi det

Således reduceras tresektion av en vinkel på 60° till att konstruera ett längdsegment. Men detta kommer i sin tur ner på att konstruera ett längdsegment, eftersom de är tal som är inversa till varandra, och det är välkänt att om du kan konstruera ett segment av en viss given längd, så kan du också konstruera en segment av den omvända längden.

Längden på segmenten mäts med en linjal. Det finns drag på linjalen (Fig. 12). De bryter linjalen i lika delar. Dessa delar kallas divisioner. I fig. 12 längden på varje avdelning är 1 cm. Alla avdelningar av linjalen bildar skala. Längden på segment AB i figuren är 6 cm.

Ris. 12. Linjal

Vågar finns inte bara på linjaler. I fig. 13 visar en rumstermometer. Dess skala består av 55 divisioner. Varje division motsvarar en grad Celsius (skrivet 1°C). Termometern i figur 20 visar en temperatur på 21°C.

Ris. 13. Rumstermometer

Det finns även vågar på vågen. Av figur 14 kan man se att massan på ananasen är 3 kg 600 g.

Vid vägning av stora föremål används följande massenheter: ton (t) och centner (c).

Ris. 14. Vågen

1 ton är lika med 1000 kg och 1 kvintal är lika med 100 kg.

1 t = 1000 kg, 1 c = 100 kg.

Låt oss rita strålen OX så att den går från vänster till höger (Fig. 15).

Ris. 15. Beam OX

Låt oss markera någon punkt E på denna stråla. Ovanför början av strålen O skriver vi talet 0, och ovanför punkten E talet 1. Ett segment vars längd är 1 kallas enda segment. OE – enhetssegment.

Låt oss vidare på samma stråle lägga ner ett segment EA lika med ett enhetssegment och skriva siffran 2 ovanför punkt A. Sedan lägger vi på samma stråle ett segment AB lika med ett enhetssegment och skriver talet 3 ovan punkt B. Så, steg för steg, får vi en oändlig skala. En oändlig skala kallas koordinatstråle.

Siffrorna 0, 1, 2, 3..., motsvarande punkterna O, E, A, B..., kallas koordinaterna för dessa punkter.

De skriver: O(0), E(1), A(2), B(3), etc.

Liknande artiklar