В виде приложения мы можем теперь заняться решением одной уже раньше затронутой популярной математической проблемы, - а именно, задачи о делении любого угла на равных частей, в частности для - задачи о трисекции угла. Задача состоит в том, чтобы найти точное построение с помощью циркуля и линейки, которое давало бы деление любого угла на три равные части. Для целого ряда специальных значений угла легко можно найти такие построения. Я хочу познакомить вас с ходом мыслей в доказательстве невозможности трисекции угла в указанном смысле; при этом я прошу вас вспомнить доказательство невозможности построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. Как и в том доказательстве, мы сведем задачу к неприводимому кубическому уравнению и затем покажем, что его невозможно решить посредством одних только извлечений квадратного корня. Но только теперь в уравнение будет входить параметр - угол - тогда как раньше коэффициенты были целыми числами; в соответствии с этим теперь вместо числовой должна оказаться функциональная неприводимость.

Чтобы получить уравнение, дающее запись нашей проблемы, представим себе, что на положительной полуоси действительных чисел построен угол (рис. 41); тогда его вторая сторона пересечет окружность радиуса 1 в точке

Наша задача сводится к тому, чтобы найти такое независимое от величины угла построение, состоящее из конечного числа операций с циркулем и линейкой, которое всякий раз давало бы точку пересечения этой окружности со стороной угла т. е. точку

Это значение z удовлетворяет уравнению

и аналитический эквивалент нашей геометрической задачи состоит в том, чтобы решить это уравнение посредством конечного числа извлечений квадратных корней из рациональных функций от ибо это суть координаты точки w, из которых мы должны исходить при нашем построении.

Прежде всего надо убедиться в том, что уравнение (3) неприводимо с точки зрения теории функций. Правда, это уравнение не вполне подходит под тот тип уравнений, который мы имели в виду в предыдущих общих рассуждениях: вместо рационально входящего комплексного параметра w здесь рационально входят две функции - косинус и синус - действительного параметра Мы назовем здесь многочлен приводимым при условии, что он распадается на многочлены относительно , коэффициенты которых тоже являются рациональными функциями от Можно дать критерий понимаемой в этом смысле приводимости, вполне подобный прежнему. А именно, если в равенстве (3) пробегает все действительные значения, то пробегает в то же время окружность радиуса 1 в плоскости w, которой в силу стереографической проекции соответствует экватор на сфере w. Линия, лежащая над этой окружностью на римановой поверхности уравнения и одновременно пробегающая все три листа, при помощи (3) взаимно однозначно отображается на окружность радиуса 1 сферы и поэтому может быть до некоторой степени названа его «одномерным римановым изображением». Ясно, что подобным образом можно для всякого уравнения вида построить такое риманово изображение; для этого нужно взять столько экземпляров окружностей с радиусом 1 и с длиной дуги сколько корней имеет уравнение, и скрепить их соответственно связности корней.

Далее заключаем совершенно подобно прежнему, что уравнение только тогда могло бы быть приводимым, если бы его одномерное риманово изображение распадалось на отдельные части, но в данном случае это не имеет места, и потому неприводимость нашего уравнения (3) доказана.

Прежнее доказательство того, что всякое кубическое уравнение с рациональными численными коэффициентами, разрешимое посредством ряда извлечений квадратного корня, является приводимым, может быть дословно перенесено на настоящий случай неприводимого в функциональном смысле уравнения (3); стоит только вместо слов «рациональные числа» говорить каждый раз «рациональные функции от После этого является вполне доказанным наше утверждение о том, что невозможно выполнить посредством конечного числа операций (с циркулем и линейкой) деление на три части произвольного угла таким образом, все старания людей, занимающихся трисекцией угла, обречены на вечную бесплодность!

Теперь перейдем к рассмотрению несколько более сложного примера.

Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла

Россия. г. Пенза

Е. И. Терёшкин.

Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной. Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е.

Чертеж 1.

Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.

По теореме Пифагора находим. Из точки радиусом опишем окружность. Из точки через точку проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку. , .

Диаметры большого круга. Проводим линию, она пересекает малый круг в точке. Из точки, через точку проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку. Соединяем точки и.

По теореме Пифагора Из точки проводим линию. подобен, значит

Рассмотрим, т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет средняя линия, а значит По теореме косинусов, значит но, значит линия проходит через точку, т.е. через центр квадрата.

Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки. Из точек любым радиусом описываем окружность.

Чертеж 3. Чертеж 4.

Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого (чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (чертеж 3) и острых углов (чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки и. Из точек радиусом описываем окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки. Соединяем точки М с точками. В местах пересечений линий М и F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN.

Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А ставим точку. Треугольники АМ и АN равны по двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС - общая. Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.

Чертеж 5.

На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.

Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,

Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.

Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.

Треугольники АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах, а и фигуры АВМF равны фигурам AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не находиться.

Рассмотрим на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма углов у обоих одинакова. а значит или

В обоих чертежах равны фигурам АЕND.

В результате получается:

Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.

следовательно

или Но где находятся точки Е и F пока не известно.

Чертеж 6.

На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.

Так как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, а, значит точки Е и F если и не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этих линий. Иными словами и, если таковые углы существуют, то эти углы равны между собой. Если меньше то больше на 2 И наоборот если больше то меньше на 2

На чертеже 6 (а, б) рассмотрим (вместе равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.

На чертеже 7 (а, б) рассмотрим и ромб АВСD.

Получится, что

Но и могут быть равны каким-либо углам, если.

Следовательно, наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится на линии AN и.

Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.

Построение и деление углов производят при помощи транспортира, однако многие углы можно построить и даже поделить при помощи угольников и циркуля. При помощи линейки и угольников с углами 30°, 60°, 90° и 45°, 45°, 90° можно построить любой угол, кратный 15°.

В теме о рейсшине на одном из показаны какие комбинации угольников используются при построении различных углов. Внимательно рассмотрите положение угольников при построении различных углов и используйте эти знания при выполнении чертежей. В учебной практике при выполнении чертежей использование транспортира приведено к минимуму.

Деление острого угла на две равные части

Деление острого угла на равные части выполняют при помощи циркуля и линейки. Нахождение биссектрисы угла рассмотрим на примере деления угла ВАС с вершиной в точке А. Через точку А, с произвольным радиусом R строим дугу до пересечения сторон угла в точках 1 и 2. Через точку 1 с этим же радиусом строим еще одну дугу, то же самое выполняем через точку 2.

Две дуги, пересекаясь между собой дают точку К, которую соединяем с точкой А. Прямая АК делит угол ВАС на две равные части и является ее биссектрисой.

Деление угла с удаленной вершиной на две равные части

Допустим, нам известны части АВ и CD сторон такого угла. Строим две параллельные прямые удаленные от сторон угла на равное расстоянию L. Расстояние следует выбрать таким, что выбранные прямые пересекались на поле листа, например в точке М. Далее выполняются все построения, что выполняли при делении острого угла на две равные части.

Полученная прямая MN делит данный угол на две равные части и является его биссектрисой.

Деление прямого угла на три равные части

Чтобы разделить прямой угол (например, угол BCD) на три равные части, из вершины угла (точки C) проводим дугу произвольного радиуса R до пересечения со сторонами угла в точках 1 и 2. Из точек 1 и 2, как из центров, радиусом R, проводим дуги, пересекающие дугу 1-2 в точках M и N, получим углы 1CM = MCN = NC2 = 30°.

Выполнить трисекцию угла - это значит разделить угол на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно. Можно, например, измерить данный угол транспортиром, разделить найденное число градусов на три, а затем отложить посредством того же транспортира угол, содержащий полученное в частном число градусов. Но можно обойтись

и без транспортира, применяя метод «последовательных приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для которой данный угол является центральным, возьмем на глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все более точное решение, и, наконец, повторив операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют делить данный угол не только на три, но на любое число равных частей.

Однако, когда математики говорят о проблеме трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в практическом отношении, но все же лишь приближенные способы, а точный способ, притом основанный на применении исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра линейки и что линейка должна служить только для проведения прямых (не допускается использование, например, масштабных делений), а циркуль - только для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен давать решение задачи посредством конечного числа операций проведения прямых и окружностей. Последнее замечание очень существенно. Так, установив (по формуле суммы геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что

можно предложить следующее решение задачи трисекции угла, требующее применения только линейки и циркуля: делим данный угол на 4 равные части, что, как известно, выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его самого, т. е. данного угла, потом вторую поправку,

равную первой, т. е. данного угла, и т. д. Точное решение задачи этим способом требует бесконечно большого числа операций (делений углов на 4 равные части), а потому не является тем классическим решением, какое имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции угла и других задач на построение.

Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи трисекции угла посредством проведения конечного числа прямых и окружностей.

Для некоторых углов эта задача решается весьма просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника, а для трисекции углов в 90° и 45° - углы в 30° и 15°, т. е. половину и четверть угла равностороннего треугольника. Однако доказано, что наряду с бесконечным множеством углов, допускающих трисекцию, существует бесконечное же множество углов, не допускающих трисекции (в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три равные части (посредством проведения конечного числа прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное множество других углов.

Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомендуемый способ деления произвольного угла на три равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках (черт. 39). Делим хорду на три равные части и соединяем точки деления с В. Углы окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного угла следовательно, будет выполнена так, как

требуется, т. е. посредством проведения конечного числа прямых и окружностей: деление отрезка на три равные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, именно так.

Предлагающие такое решение полагают, что равенство отрезков на которые мы разделили хорду влечет за собой и равенство дуг которые получатся, если продолжить и до пересечения с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы (пусть каждый из них равен а), равны и стягивающие их хорды Но отрезок больше отрезка (это утверждение подсказывается чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок равен отрезку так как углы и равны:

Следовательно, при равенстве отрезков и отрезки и вопреки условию неравны, и предположение о равенстве и надо отвергнуть.

Опустив перпендикуляр из вершины В на хорду замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК: перегнув чертеж по мы приведем обе его половинки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок III перпендикулярен к а в силу этого отрезок параллелен и треугольники и подобны, что дает: Но а потому и как мы и утверждали выше.

Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).

Жарков Вячеслав Сергеевич

Отсутствует

Интернет

Аннотация:

Предлагается общий подход к решению задач о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки. В качестве примера показано деление угла на три равные части (Трисекция угла).

It is proposed that the general approach to problem-solving to divide an angle into equal parts by using a compass and ruler. As an example, angle shows the Division into three equal parts (Trisection of the angle).

Ключевые слова:

угол; деление угла; трисекция угла.

angle; divide angle; trisection of an angle.

УДК 51

Введение.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей , что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Вступительная часть.

Проведём прямую линию a и построим на ней ∆CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:

1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3. y 1 /y 2 =y 3 /y 4 ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - ∟ C ,∟ D ,∟ E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ∆ CDE . Тогда можно записать:

∟ C +∟ D +∟ E =180 0 - сумма углов ∆ CDE ;

∟ C + y 2 +∟ D -(y 2 + y 1 )+∟ E + y 1 =180 0 - сумма углов ∆ CGE ;

Пусть y 1 / y 2 = n или y 1 = n * y 2 , тогда,

∟ C + y 2 +∟ D -(y 2 + y 1 )+∟ E + n * y 2 =180 0

Сумма углов ∆ CHE :

∟ C +(y 2 + y 4 )+∟ D -(y 2 + y 4 + y 1 + y 3 )+∟ E + n *(y 2 + y 4 )=180 0 , откуда

y 1 + y 3 = n *(y 2 + y 4 ) или y 1 + y 3 = n * y 2 + n * y 4 , и так как y 1 = n * y 2 ,то

y 3 = n * y 4 и следовательно y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a - N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2. Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (β 1 -β 3)/(β 3 -β 5)= (β 2 -β 4)/(β 4 -β 6)= y 1 / y 3 = y 2 / y 4 ;

Деление угла на три равные части.

На окружности с центром в точке A отложим угол E 1 AE 2 =β (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично три угла - CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 каждый равный β. Разделим угол E 1 AE 2 , в точках K 1 ,K 3 , на три равных угла - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 равных β/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями точки C,E 1 и C 2 ,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K - пересечения линий, и точку K 1 проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K 2 и проведём через неё две прямые из точек C и C 2 .

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC 2). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла β=50 0 .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 равные β=50 0 - относительно центра окружности. Половину дуги C 1 C 2 - CC 1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B 1 и D, и точки B 3 и C. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Отложим углы y 2 =2y 1 (см. Рис 4.2) от линий B 1 C и B 3 C 1 и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG≈16.67 0 , где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла β=50 0) показано на Рис.5

Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.

В качестве примера рассмотрим деление угла β=35 0 на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(см. Рис.6)

Делим угол C 2 AC равный половине угла C 2 AC 1 пополам в точке E. Соединяем точки

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B 3 E и B 1 C 2 в точках B 3 и B 1 соответственно, отложим углы y 1 и y 2 в соотношении 1:4. Из точек B 3 и B 1 проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C 2 AK=α=7 0 будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ¼ угла C2AC1 - угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.

Построение правильного семиугольника.

Примем, что n - число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n -1=2 k (1), где k - любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n -1 ≠ 2 k (2) - то угол делится в два этапа, вначале на n -1 , а затем уже на n . При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y 1 / y 2 = 1/ n -1 (3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 60 0 ,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 60 0 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 30 0 на три равных сектора по 10 0 (см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=10 0 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 60 0 .

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 60 0 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D 1 CD 2 =60 0 симметрично к средней линии и угол D 2 CD 3 =60 0 примыкающий к нему. В точках D 1 и D 3 построим углы y 1 и y 2 к линиям D 1 E и D 3 L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) - то есть 1 к 6.

Проведём прямые линии под углами y 1 и y 2 . Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=60 0 /7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Заключение.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение - невозможность его применения непосредственно для углов > 60 0 , что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Библиографический список:

1. Метельский Н. В. Математика. Курс средней школы для поступающих в вузы и техникумы. Изд. 3-е, стереотип. Мн., «Вышэйш. Школа», 1975 г. 688 с. с илл.

Рецензии:

20.03.2016, 14:39 Назарова Ольга Петровна
Рецензия : Интересные выкладки, рекомендуется к печати

22.03.2016, 11:09 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия : Интересно, познавательно, лаконично. Виден инженерный подход. Но этот материал следует публиковать не здесь, а в любом образовательном журнале. Если он был уже опубликован автором в другом издании, то тем более. Кроме того, данная платформа очень дискомфортна к формулам. Рецензент не хотел бы, чтобы здесь публиковались любые учебно-дидактические и методические материалы. Но спорить с уважаемой Ольгой Петровной не стану. Может, редакция ещё сама что-то порешает!?. Чёткой рекомендации да-нет дать трудно.

22.03.2016 16:16 Ответ на рецензию автора Жарков Вячеслав Сергеевич :
Приведённое решение, что очевидно, не предполагает приблизительности решения задачи!!!. Оно неверно только в одном случае, что тоже достаточно очевидно, если сумма углов треугольника на плоскости ≠1800. Что - нонсенс. Некоторые основы, в том числе и в математике, иногда требуют корректировки. И дидактика тут ни причём.

Похожие статьи