Математическое путешествие
Здесь затеи и задачи,
Игры, шутки, все для вас!
Пожелаем вам удачи,
За работу, в добрый час!
К серой цапле на урок Прилетели 7 сорок, А у них лишь 3 сороки приготовили уроки. Сколько лодырей-сорок Прилетело на урок?
Задали детям в школе урок: Прыгают в поле 40 сорок, Десять взлетели, Сели на ели. Сколько осталось в поле сорок?
Мы – большущая семья,
Самый младший - это я.
Сразу нас не перечесть:
Маня есть и Ваня есть,
Юра, Шура, Клаша, Саша
И Наташа тоже наша.
Мы по улице идем –
Говорят, что детский дом.
Посчитайте поскорей,
Сколько нас в семье детей.
Разрешит сегодня мама
После школы мне гулять.
Я - не много и не мало -
Получил отметку...
Есть отрезок длинный, есть короче,
По линейке его чертим, между прочим.
Сантиметров пять - величина,
Называется она...
Он состоит из точки и прямой.
Ну, догадайтесь, кто же он такой?
Бывает, в дождик он пробьется из-за туч.
Теперь-то догадались? Это...
Если два объекта друг от друга далеко,
Километры между ними вычислим легко.
Скорость, время - величины знаем,
Их значения теперь перемножаем.
Результат всех наших знаний -
Посчитали...
Он двуногий, но хромой,
Чертит лишь ногой одной.
В центр встал второй ногой,
Чтоб не вышел круг кривой.
Метаграммы
В метаграмме зашифровано определенное слово. Его нужно отгадать. Затем в расшифрованном слове следует одну из указанных букв заменить другой буквой, и значение слова изменится.
Он – грызун не очень мелкий,
Ибо чуть побольше белки.
А заменишь «У» на «О» -
Будет круглое число.
Ответ: с у рок – с о рок.
С «Ш» - для счёта я нужна,
С «М» - обидчикам страшна!
Ответ: ш есть - м есть
Инфознайка
А теперь пусть всяк узнает Кто же лучше всех смекает? Кто начитанней, мудрей – Выиграет конкурс сей!
Станция
«Музыкальная»
Станция
«Математические гонки»
НАГРАЖДЕНИЕ
СПАСИБО ВСЕМ! ВЫ – МОЛОДЦЫ!
Отрезки, прямые
Черти с ней скорей-ка!
Поля без труда
Проведет вам... (линейка)
Три стороны и три угла.
И знает каждый школьник:
Фигура называется,
Конечно, ... (треугольник)
Чтобы сумму получить,
Нужно два числа... (сложить)
Если что-то забираем,
Числа, дети,... (вычитаем)
Если больше раз так в пять,
Числа будем... (умножать)
Если меньше, стало быть,
Числа будем мы... (делить)
Если попадет в дневник —
Провинился ученик:
Длинный нос, одна нога,
Будто Бабушка-Яга.
Портит в дневнике страницу
Всем отметка...(«единица»)
Длинный нос, как клюв у птицы -
Это цифра... («единица»)
Колами, что в моей тетрадке,
Я выстрою забор на грядке.
Я получать их мастерица,
Моя отметка... («единица»)
За отметку эту будет
Дома мне головомойка.
Я скажу вам по секрету:
Цифра с буквой «3» похожи,
Как двойняшки, посмотри.
Даже перепутать можно
Буву «3» и цифру... («три»)
Столько ножек у стола
И углов в квартире,
Догадались, детвора?
Их всегда... (четыре)
Отметки лучше не сыскать!
«Отлично» — это значит... («пять»)
Разрешит сегодня мама
После школы мне гулять.
Я — не много и не мало —
Получил отметку... («пять»)
У цифры голова — крючок,
И даже брюшко есть.
Крючок похож на колпачок,
Перекладину вдоль тела
Цифра на себя надела.
По ветру косынка развевается.
Так похожа на матрешку —
Туловище с головешкой.
— Что за цифра? — Сразу спросим.
— Ну конечно, цифра... («восемь»)
Появилась вдруг в тетрадке
«Шесть» на голове — ... (девятка)
Думает он, что король,
А на самом деле — ... (ноль)
У нее нет ничего:
Нет ни глаз, ни рук, ни носа,
Состоит она всего
Знает это целый мир:
Угол мерит... (транспортир)
Задача, где нужно соображать.
Ученик я хоть куда,
Не балую никогда,
Хоть я и не пионер,
Но ребятам всем... (пример)
Выполнил в тетради я
Четко, словно ритм,
Друг за другом действия.
Это... (алгоритм)
Я с большим старанием
Выполнил... (задание)
Эти знаки только в паре,
Круглые, квадратные.
Мы все время их встречаем,
Пишем многократно.
Заключаем, как в коробки,
Числа в... (скобки)
Это величина.
И только она одна
Размер поверхностей измеряет,
В граммах, килограммах тоже
Измерять ее мы можем. (Масса)
Сантиметров пять — величина,
Называется она... (длина)
Математики урок.
Только прозвенел звонок,
Мы за партами, и вот
Начинаем устный... (счет)
Нужно объяснять кому-то,
Что такое час? Минута?
С давних пор любое племя
Знает, что такое... (время)
Он точку окружности соединяет
С центром ее — это каждый ведь знает.
Он буквою «г» обозначается.
Неизвестное X, неизвестное Y,
Может, «минус» — все равно.
Складываем, вычитаем,
Так... мы решаем. (примеры)
Нужно знаки эти знать.
Десять их, но знаки эти
Обратное сложению,
Скажу вам без сомнения.
А в результате разность —
Не зря мои старания!
Пример решил я правильно,
И это... (вычитание)
Числа плюсом прибавляем
И ответ потом считаем.
Это действие —... (сложение)
Быстрота перемещения
Созвучна слову «ускорение».
Ответьте, дети, мне сейчас,
Скорость, время — величины знаем,
Результат всех наших знаний —
Посчитали... (расстояние)
Хожу и повторяю,
И снова вспоминаю:
Дважды два — четыре,
Пятью три — пятнадцать.
Чтобы все запомнить,
Нужно постараться.
Это достижение —... (таблица умножения)
Он двуногий, но хромой,
Чертит лишь ногой одной.
В центр встал второй ногой,
В нем четыре стороны,
Меж собою все равны.
С прямоугольником он брат,
Называется... (квадрат)
Циркуль, наш надежный друг,
Если пальцев не хватает,
Мне подружки сосчитают.
Их на парте разложу,
Хоть куда ее веди,
Это линия такая,
Без конца и без начала,
Называется... (прямая)
Он ограничен с двух сторон
И по линейке проведен.
Длину его измерить можно,
Знает каждый карапуз:
Знак сложенья — это... («плюс»)
Он состоит из точки и прямой.
И можем вам сказать сейчас,
Что 60 минут есть... (час)
У треугольника их три,
Но их четыре у квадрата.
Он развернутый бывает,
Острый может быть, тупой.
Просмотр содержимого документа
«Математические загадки.»
Загадки про математические принадлежности, про знаки математических действий, загадки о геометрических фигурах, загадки для детей от 9 до 12 лет. Загадки для школьников.
Отрезки, прямые
Черти с ней скорей-ка!
Поля без труда
Проведет вам... (линейка)
Три стороны и три угла.
И знает каждый школьник:
Фигура называется,
Конечно, ... (треугольник)
Чтобы сумму получить,
Нужно два числа... (сложить)
Если что-то забираем,
Числа, дети,... (вычитаем)
Если больше раз так в пять,
Числа будем... (умножать)
Если меньше, стало быть,
Числа будем мы... (делить)
Если попадет в дневник -
Провинился ученик:
Длинный нос, одна нога,
Будто Бабушка-Яга.
Портит в дневнике страницу
Всем отметка...(«единица»)
Длинный нос, как клюв у птицы –
Это цифра... («единица»)
Колами, что в моей тетрадке,
Я выстрою забор на грядке.
Я получать их мастерица,
Моя отметка... («единица»)
За отметку эту будет
Дома мне головомойка.
Я скажу вам по секрету:
Получил в тетради... («двойку»)
Цифра с буквой «3» похожи,
Как двойняшки, посмотри.
Даже перепутать можно
Буву «3» и цифру... («три»)
Столько ножек у стола
И углов в квартире,
Догадались, детвора?
Их всегда... (четыре)
Отметки лучше не сыскать!
«Отлично» - это значит... («пять»)
Разрешит сегодня мама
После школы мне гулять.
Я - не много и не мало -
Получил отметку... («пять»)
У цифры голова - крючок,
И даже брюшко есть.
Крючок похож на колпачок,
И эта цифра... («шесть»)
Яндекс.Директ
Перекладину вдоль тела
Цифра на себя надела.
По ветру косынка развевается.
Как, скажите, цифра называется? («Семь»)
Так похожа на матрешку -
Туловище с головешкой.
Что за цифра? - Сразу спросим.
Ну конечно, цифра... («восемь»)
Появилась вдруг в тетрадке
«Шесть» на голове - ... (девятка)
Думает он, что король,
А на самом деле - ... (ноль)
У нее нет ничего:
Нет ни глаз, ни рук, ни носа,
Состоит она всего
Из условия с вопросом. (Задача)
Знает это целый мир:
Угол мерит... (транспортир)
Задача, где нужно соображать.
Возможно, ее не придется решать.
Нужны здесь не знания, а смекалка,
И не поможет в решении шпаргалка.
Если случится в уме вдруг поломка,
Нерешенной останется... (головоломка)
Ученик я хоть куда,
Не балую никогда,
Хоть я и не пионер,
Но ребятам всем... (пример)
Выполнил в тетради я
Четко, словно ритм,
Друг за другом действия.
Это... (алгоритм)
Я с большим старанием
Выполнил... (задание)
Эти знаки только в паре,
Круглые, квадратные.
Мы все время их встречаем,
Пишем многократно.
Заключаем, как в коробки,
Числа в... (скобки)
Это величина.
И только она одна
Размер поверхностей измеряет,
В квадрате определяет. (Площадь)
В граммах, килограммах тоже
Измерять ее мы можем. (Масса)
Есть отрезок длинный, есть короче,
По линейке его чертим, между прочим.
Сантиметров пять - величина,
Называется она... (длина)
Математики урок.
Только прозвенел звонок,
Мы за партами, и вот
Начинаем устный... (счет)
Нужно объяснять кому-то,
Что такое час? Минута?
С давних пор любое племя
Знает, что такое... (время)
Он точку окружности соединяет
С центром ее - это каждый ведь знает.
Он буквою «г» обозначается.
А вы мне скажите, как он называется? (Радиус окружности)
Неизвестное X, неизвестное Y,
Их можно в равенствах повстречать.
И это, ребята, скажу вам, не игры,
Здесь нужно решенье всерьез отыскать.
С неизвестными равенства, без сомнения,
Называем, ребята, мы как? (Уравнения)
Три плюс три и пять плюс пять,
Есть знак «плюс» и знак «равно»,
Может, «минус» - все равно.
Складываем, вычитаем,
Так... мы решаем. (примеры)
Нужно знаки эти знать.
Десять их, но знаки эти
Сосчитают всё на свете. (цифры)
Арифметическое действие,
Обратное сложению,
Знак «минус» в нем задействован,
Скажу вам без сомнения.
А в результате разность -
Не зря мои старания!
Пример решил я правильно,
И это... (вычитание)
По-латыни это слово «меньше» означает,
А у нас-то этот знак числа вычитает. (Минус)
Числа плюсом прибавляем
И ответ потом считаем.
Если «плюс», то, без сомнения,
Это действие -... (сложение)
Быстрота перемещения
Созвучна слову «ускорение».
Ответьте, дети, мне сейчас,
Что значит 8 метров в час? (Скорость)
Если два объекта друг от друга далеко,
Километры между ними вычислим легко.
Скорость, время - величины знаем,
Их значения теперь перемножаем.
Результат всех наших знаний -
Посчитали... (расстояние)
Хожу и повторяю,
И снова вспоминаю:
Дважды два - четыре,
Пятью три - пятнадцать.
Чтобы все запомнить,
Нужно постараться.
Это достижение -... (таблица умножения)
Он двуногий, но хромой,
Чертит лишь ногой одной.
В центр встал второй ногой,
Чтоб не вышел круг кривой. (Циркуль)
Вместимость тела, часть пространства
Как называем мы? Понятно, то... (объем)
В нем четыре стороны,
Меж собою все равны.
С прямоугольником он брат,
Называется... (квадрат)
Циркуль, наш надежный друг,
Вновь в тетради чертит... (круг)
Раз, два, три, четыре, пять...
Если пальцев не хватает,
Мне подружки сосчитают.
Их на парте разложу,
И любой пример решу. (Счетные палочки)
Хоть куда ее веди,
Это линия такая,
Без конца и без начала,
Называется... (прямая)
Он ограничен с двух сторон
И по линейке проведен.
Длину его измерить можно,
И сделать это так несложно! (Отрезок)
Знает каждый карапуз:
Знак сложенья - это... («плюс»)
Он состоит из точки и прямой.
Ну, догадайтесь, кто же он такой?
Бывает, в дождик он пробьется из-за туч.
Теперь-то догадались? Это... (луч)
Мы на математике время изучали,
О минутах и секундах все-все-все узнали.
И можем вам сказать сейчас,
Что 60 минут есть... (час)
У треугольника их три,
Но их четыре у квадрата.
У всех квадратов меж собой они равны.
О чем я, догадаетесь, ребята? (Стороны)
Он развернутый бывает,
Острый может быть, тупой.
Как два луча, ребята, называют,
Идущие из точки из одной? (Угол)
Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия? Правильно, два.
Почему так получается? Уверена, что после всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.
Разобрался? Молодец! Пришло время решить задачу.
Четвертая задача
Коля едет на работу на машине со скоростью км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии км.
Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?
Посчитал? Сравним ответы - у меня получилось, что Вова догонит Колю через часа или через минут.
Сравним наши решения...
Рисунок выглядит вот таким образом:
Похож на твой? Молодец!
Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время, которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи (на рисунке оно обозначено точкой). Составляя уравнения, возьмем время за.
Итак, Вова до места встречи проделал путь. Коля до места встречи проделал путь. Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.
Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь () на рисунке изображен как отрезок. А из чего состоит путь Вовы ()? Правильно, из суммы отрезков и, где - изначальное расстояние между ребятами, а равен пути, который проделал Коля.
Исходя из этих выводов, получаем уравнение:
Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?
часа или минут минут.
Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок!
А мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма - приведение всех величин к одинаковой размерности.
Правило трех «Р» - размерность, разумность, расчет.
Размерность.
Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках).
Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.
Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу - ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность. Сравни:
Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат.
А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и % неверный результат.
Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.
Единицы измерения длины:
сантиметр = миллиметров
дециметр = сантиметров = миллиметров
метр = дециметров = сантиметров = миллиметров
километр = метров
Единицы измерения времени:
минута = секунд
час = минут = секунд
сутки = часа = минут = секунд
Совет: Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что минут это четверть циферблата, т.е. часа, минут это треть циферблата, т.е. часа, а минута это часа.
А теперь совсем простенькая задача:
Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью км/ч на протяжении минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?
Посчитал? Правильный ответ - км.
минут - это час, и еще минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что минут - четверть часа), соответственно - мин = ч.
Разумность.
Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)
Расчет.
Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же - если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.
«Любовь к таблицам» или «когда рисунка недостаточно»
Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше. Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.
Первая задача
Из пункта в пункт, расстояние между которыми км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на км больше, чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на минут позже, чем мотоциклист.
Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать - прямая, пункт, пункт, две стрелочки…
В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.
Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.
Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из компонентов: скорость, время и путь . Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.
Правда, мы добавим еще один столбец - имя , про кого мы пишем информацию - мотоциклист и велосипедист.
Так же в шапке укажи размерность , в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?
У тебя получилась вот такая таблица?
Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.
Первое, что мы имеем - это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен км. Вносим!
Возьмем скорость велосипедиста за, тогда скорость мотоциклиста будет …
Если с такой переменной решение задачи не пойдет - ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!
Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа - время. Как найти время, когда есть путь и скорость?
Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.
Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.
Что мы можем на нем отразить?
Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.
Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.
Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?
Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени - минут.
Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.
Магия формул: составление и решение уравнений - манипуляции, приводящие к единственно верному ответу.
Итак, как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение .
Составление уравнения:
Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?
Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!
Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.
Это уравнение - рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему « ».
Приводим слагаемые к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.
Решение уравнения:
Из этого уравнения мы получаем следующее:
Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:
Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!
Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за? Правильно, скорость велосипедиста.
Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ - км/ч.
Вторая задача
Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Напоминаю алгоритм решения:
- Прочитай задачу пару раз - усвой все-все детали. Усвоил?
- Начинай рисовать рисунок - в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
- Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь какие там графы?).
- Пока все это пишешь, думай, что взять за? Выбрал? Записывай в таблицу! Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок - помни о «3Р»!
- Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста - км/ч.
-«Какого цвета твоя машина?» - «Она красивая!» Правильные ответы на поставленные вопросы
Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!
Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»
Понял, о чем я?
Именно! Полученный - это не всегда ответ на поставленный вопрос!
Вдумчиво читай вопросы - возможно, после нахождения тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить км/ч, как в нашей задаче.
Еще один момент - часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.
Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.
Задачи на движение по кругу
Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу, например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. Разберем такую задачу.
Задача №1
Из пункта круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт и из пункта следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Решение задачи №1
Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:
Между встречами велосипедист проехал расстояние, а мотоциклист - .
Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:
Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили - спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.
Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:
Задачи для самостоятельной работы:
- Два мо-то-цик-ли-ста стар-ту-ют од-но-вре-мен-но в одном на-прав-ле-нии из двух диа-мет-раль-но про-ти-во-по-лож-ных точек кру-го-вой трас-сы, длина ко-то-рой равна км. Через сколь-ко минут мо-то-цик-ли-сты по-рав-ня-ют-ся в пер-вый раз, если ско-рость од-но-го из них на км/ч боль-ше скорости дру-го-го?
- Из одной точки кру-го-вой трас-сы, длина ко-то-рой равна км, од-н-времен-но в одном на-прав-ле-нии стар-то-ва-ли два мотоциклиста. Ско-рость пер-во-го мотоцикла равна км/ч, и через минут после стар-та он опе-ре-дил вто-рой мотоцикл на один круг. Най-ди-те ско-рость вто-ро-го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.
Решения задач для самостоятельной работы:
- Пусть км/ч — ско-рость пер-во-го мо-то-цик-ли-ста, тогда ско-рость вто-ро-го мо-то-цик-ли-ста равна км/ч. Пусть пер-вый раз мо-то-цик-ли-сты по-рав-ня-ют-ся через часов. Для того, чтобы мо-то-цик-ли-сты по-рав-ня-лись, более быст-рый дол-жен пре-одо-леть из-на-чаль-но раз-де-ля-ю-щее их рас-сто-я-ние, рав-ное по-ло-ви-не длины трас-сы.
Получаем, что время равно часа = минут.
- Пусть ско-рость вто-ро-го мотоцикла равна км/ч. За часа пер-вый мотоцикл про-шел на км боль-ше, чем вто-рой, соответственно, получаем уравнение:
Скорость второго мотоциклиста равна км/ч.
Задачи на течение
Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.
Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, - это стоячая вода.
Скорость течения в озере равна .
Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь - налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести. Это понятно? Логично же.
А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл...
Это происходит потому что у реки есть скорость течения , которая относит твой плот по направлению течения.
Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) - он движется со скоростью течения.
Разобрался?
Тогда ответь вот на какой вопрос - «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?
Здесь возможно два варианта.
1-й вариант - ты плывешь по течению.
И тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.
2-й вариант - ты плывешь против течения.
Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость - скорость течения.
Допустим, тебе надо проплыть км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?
Решим задачку и проверим.
Добавим к нашему пути данные о скорости течения - км/ч и о собственной скорости плота - км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?
Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению - час, а против течения аж часа!
В этом и есть вся суть задач на движение с течением .
Несколько усложним задачу.
Задача №1
Лодка с моторчиком плыла из пункта в пункт часа, а обратно - часа.
Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде - км/ч
Решение задачи №1
Обозначим расстояние между пунктами, как, а скорость течения - как.
| Путь S | Скорость v, км/ч |
Время t, часов |
|
| A -> B (против течения) | 3 | ||
| B -> A (по течению) | 2 |
Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:
Что мы брали за?
Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:)
Скорость течения равна км/ч.
Задача №2
Байдарка в вышла из пункта в пункт, расположенный в км от. Пробыв в пункте час минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт в.
Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки км/ч.
Решение задачи №2
Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.
Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.
Переведем это в часы:
час минут = ч.
Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за.
Пусть - собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна, а против течения равна.
Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:
| Путь S | Скорость v, км/ч |
Время t, часов |
|
| Против течения | 26 | ||
| По течению | 26 |
Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:
Все ли часов она плыла? Перечитываем задачу.
Нет, не все. У нее был отдых час минут, соответственно, из часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:
ч байдарка действительно плыла.
Приведем все слагаемые к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение.
С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня км/ч.
Подведем итоги
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Задачи на движение. Примеры
Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.
Движение с течением
Одни из самых простых задач - задачи на движение по реке . Вся их суть в следующем:
- если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
- если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.
Пример №1:
Катер плыл из пункта A в пункт B часов а обратно - часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде км/ч.
Решение №1:
Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения - как.
Все данные из условия занесем в таблицу:
| Путь S | Скорость v, км/ч |
Время t, часов | |
| A -> B (против течения) | AB | 50-x | 5 |
| B -> A (по течению) | AB | 50+x | 3 |
Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:
На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково.
Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:
Часто приходится использовать и формулу для времени:
Пример №2:
Против течения лодка проплывает расстояние в км на час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна км/ч.
Решение №2:
Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на час больше, чем время по течению.
Это записывается так:
Теперь вместо каждого времени подставим формулу:
Получили обычное рациональное уравнение, решим его:
Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ: км/ч.
Относительное движение
Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:
- сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
- разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.
Пример №1
Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями км/ч и км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами км?
I способ решения:
Относительная скорость автомобилей км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:
II способ решения:
Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его. Тогда первый автомобиль проехал путь, а второй - .
В сумме они проехали все км. Значит,
Другие задачи на движение
Пример №1:
Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью км/ч.
В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно.
Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше км/ч.
Решение №1:
Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа - второго:
Упростим выражение в правой части:
Поделим каждое слагаемое на АВ:
Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:
Из них только один больше.
Ответ: км/ч.
Пример №2
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Здесь будем приравнивать расстояние.
Пусть скорость велосипедиста будет, а мотоциклиста - . До момента первой встречи велосипедист был в пути минут, а мотоциклист - .
При этом они проехали равные расстояния:
Между встречами велосипедист проехал расстояние, а мотоциклист - . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:
Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили- спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.
Полученные уравнения решаем в системе:
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Основная формула
2. Относительное движение
- Это сумма скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
- разность скоростей, если тела движутся в одном направлении.
3. Движение с течением :
- Если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
- если движемся против течения, из скорости вычитается скорость течения.
Мы помогли тебе разобраться с задачами на движение...
Теперь твой ход...
Если ты внимательно прочитал текст и прорешал самостоятельно все примеры, готовы спорить, что ты все понял.
И это уже половина пути.
Напиши внизу в комментариях разобрался ли ты с задачами на движение?
Какие вызывают наибольшие трудности?
Понимаешь ли ты, что задачи на "работу" - это почти тоже самое?
Напиши нам и удачи на экзаменах!
Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.
Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.
Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.
Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .
Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.
Рассмотрим таблицу.
Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .
Примеры решения задач.
Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.
Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.
Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.
То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .
Рассмотрим другие задачи.
Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях
)
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.
Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ:
встретятся через 2 ч.
Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:
Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.
1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
Похожие статьи
