Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы

Матрицу А -1 называютобратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а -1 = а*(1/а) = 1).

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной , илиособенной .

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы : обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А -1 , т.е. А -1 * А = Е. Тогда |А -1 * А| = |А -1 | * |А| = |Е| = 1. Следовательно, |А|0.

Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Итак, пусть |А| 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента А Т найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу, которую называютприсоединенной (взаимной, союзной):
.

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной
. Получим
. Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что
.

Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е.

Таким образом
, т.е.
.

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А -1 . Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А -1 .

А -1 * А * Х = А -1 * Е

Единственность доказана.

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А| . Если |А| = 0, то матрица А - вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| 0, то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу А Т.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|.

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

Проверку опустим.

Можно доказать следующие свойства обращения матриц:

1) |А -1 | = 1/|А|

2) (А -1) -1 = А

3) (А m) -1 = (А -1) m

4) (АB) -1 =B -1 * А -1

5) (А -1) T = (А T) -1

Ранг матрицы

Минором k -го порядка матрицы А размера m х n называют определитель квадратной матрицыk-го порядка, которая получена из матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов.

Из определения следует, что порядок минора не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. kmin{m;n}. Например, из матрицы А 5х3 можно получить квадратные подматрицы первого, второго и третьего порядков (соответственно, рассчитать миноры этих порядков).

Рангом матрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначают rang А, илиr(А)).

Из определения следует, что

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(А)min{m;n};

2) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая (все элементы матрицы равны нулю), т.е.r(А) = 0А = 0;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(А) = n тогда и только тогда, когда эта матрица А невырожденная, т.е.r(А) = n|А|0.

На самом деле, для этого достаточно вычислить только один такой минор (тот, который получен вычеркиванием третьего столбца (потому что в остальных будет присутствовать нулевой третий столбец, и поэтому они равны нулю).

По правилу треугольника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(А)2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Очевидно, что использованные нами приемы (рассмотрение всевозможных миноров) не подходят для определения ранга в более сложных случаях ввиду большой трудоемкости. Обычно для нахождения ранга матрицы используют некоторые преобразования, которые называют элементарными :

1). Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

2). Умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля.

3). Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4). Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5). Транспонирование.

Если матрица А получена из матрицы Bэлементарными преобразованиями, то эти матрицы называютэквивалентными и обозначают АВ.

Теорема . Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранг.

Доказательство теоремы следует из свойств определителя матрицы. В самом деле, при этих преобразованиях определители квадратных матриц либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы остается прежним, т.е. ее ранг не меняются.

С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к так называемому ступенчатому виду (преобразуют в ступенчатую матрицу ), т.е. добиваются, чтобы в эквивалентной матрице под главной диагональю стояли только нулевые элементы, а на главной диагонали – ненулевые:

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как вычеркиванием из нее столбцов, начиная с (r + 1)-го и дальше можно получить треугольную матрицу r-го порядка, определитель которой будет отличен от нуля, так как будет представлять собой произведение ненулевых элементов (следовательно, имеется минор r-го порядка, не равный нулю):

Пример. Найти ранг матрицы

1). Если а 11 = 0 (как в нашем случае), то перестановкой строк или столбцов добьемся того, чтобы а 11 0. Здесь поменяем местами 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2). Теперь а 11 0. Элементарными преобразованиями добьемся того, чтобы все остальные элементы в первом столбце равнялись нулю. Во второй строкеa 21 = 0. В третьей строкеa 31 = -4. Чтобы вместо (-4) стоял 0, прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на 2 (т.е. на (-а 31 /а 11) = -(-4)/2 = = 2). Аналогично к четвертой строке прибавим первую строку (умноженную на единицу, т.е. на (-а 41 /а 11) = -(-2)/2 = 1).

3). В полученной матрице а 22 0 (если бы было а 22 = 0, то можно было бы снова переставить строки). Добьемся, чтобы ниже диагонали во втором столбце тоже стояли нули. Для этого к 3-й и 4-й строкам прибавим вторую строку, умноженную на -3 ((-а 32 /а 22) = (-а 42 /а 22) = -(-3)/(-1) = -3):

4). В полученной матрице две последние строки – нулевые, и их можно отбросить:

Получена ступенчатая матрица, состоящая из двух строк. Следовательно, r(A) = 2.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Матрица, обратная для данной.

Не всякая матрица имеет обратную.

Теорема 1 . Простейшие свойства обратной матрицы.

1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.

2°. E –1 = E .

3°. (A –1) –1 = A .

4°. (AB ) –1 = B –1 A –1 .

Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.

Теорема 2 . Критерий обратимости матрицы.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Лемма 1 . Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Лемма 2 . Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.

Лемма 3 . Если строки (столбцы) матрицы A (B ) линейно зависимы и C = AB , то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С .

Практический способ вычисления обратной матрицы:

A |E ... E |A –1 .

Матричные уравнения.

Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.

Перестановки и подстановки

Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.

Теорема . Свойства транспозиций.

1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.

2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.

Подстановки. S n . Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1) s (p) .

Определение определителя

Определение определителя.

Примеры вычисления определителей матриц второго и третьего порядков, определителя верхней (нижней) треугольной матрицы, определителя матрицы, у которой все элементы ниже (выше) побочной диагонали равны нулю.

Свойства определителя

Теорема . Свойства определителя.

1°. det t A = detA .

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель матрицы равен нулю.

6°. Если какие-либо две строки матрицы равны, то определитель матрицы равен нулю.

7°. Если какие-либо две строки матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.

8°. Если одну из строк матрицы умножить на число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

9°. Определитель вырожденной матрицы равен нулю.

10°. Определитель невырожденной матрицы отличен от нуля.

Примечание . Свойства 1°–4° доказываются по определению, остальные свойства выводятся с помощью свойств 1°–4°.

Следствие 1 . Критерий невырожденности матрицы.

Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Следствие 2 . Однородная система линейных уравнений, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу

Минор M ij квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij квадратной матрицы.

Теорема о разложении.

det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn , det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk

для любых k =

Этапы доказательства

1. Для матрицы, в которой A n = e n , по определению det.

2. Для матрицы, в которой A i = e j , путём сведения к случаю 1, учётом знака A i и неизменности M ij .

3. Общий случай путём представления A i в виде суммы n векторов и сведения к случаю 2.

Ещё одно свойство определителя

11°. a k 1 A p 1 +a k 2 A p 2 + ... +a kn A pn , a 1 k A 1 p +a 2 k A 2 p + ... +a nk A np , если k ¹ p .

Для каждого числа а¹0 существует обратное число а -1 такое, что произведение а×а -1 =1 . Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если условие а¹0 является необходимым и достаточным для существования числа а -1 , то для существования матрицы А -1 таким условием является требование DA¹0.

Определение. Квадратная матрица n -го порядка называется невырожденной (неособенной) , если ее определитель DA¹0.

Если же DA=0 , то матрица А называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Если квадратная матрица неособенная (т.е. ее определитель не равен нулю), то для нее существует единственная обратная матрица.

Доказательство.

I. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А -1 , т.е. АА -1 = А -1 А=Е. По свойству 3 определителей (§ 11) имеем D(АА -1)= D(А -1) D(А)= D(Е)=1, т.е. DA¹0 и DA -1 ¹0.

I I. Достаточность. Пусть квадратная матрица А неособенная, т.е. DA¹0 . Напишем транспонированную матрицу А Т:

В этой матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением, получим матрицу:

Матрица А * называется присоединенной матрицей к матрице А.

Найдем произведение АА * (и А * А):

Где диагональные элементы = DA,

DA.(формуле 11.1 §11 )

А все остальные недиагональные элементы матрицы АА * равны нулю по свойству 10 §11, например:

и т.д. Следовательно,

АА * = или АА * = DA= DA×Е.

Аналогично доказывается, что А * А = DA×Е.

Разделив оба полученных равенства на DA, получим: . Отсюда, по определению обратной матрицы, следует существование обратной матрицы

Т.к. АА -1 =А -1 А=Е .

Существование обратной матрицы доказано. Докажем единственность. Предположим, что существует еще другая обратная матрица F для матрицы А, тогда AF = E и FA = E. Умножив обе части первого равенства на А -1 слева, а второго на А -1 справа, получим: А -1 AF = А -1 E и FA А -1 = E А -1 , откуда EF = А -1 E и FE = E А -1 . Следовательно, F = А -1 . Единственность доказана.

Пример. Дана матрица А = , найти А -1 .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Свойства обратных матриц.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Рассмотрим матрицы

Причем элементы матриц А и В заданы, а Х 1 , Х 2 , Х 3 – неизвестные.

Тогда уравнение А × Х = В называется простейшим матричным уравнением .

Чтобы его решить, т.е. найти элементы матрицы неизвестных Х, поступим следующим образом:

1. Умножим обе части уравнения на матрицу А -1 , обратную для матрицы А, слева :

А -1 (А × Х) = А -1 × В

2. Используя свойство умножения матриц, запишем

(А -1 × А) Х = А -1 × В

3. Из определения обратной матрицы

(А -1 × А = Е) имеем Е × Х = А -1 × В.

4. Используя свойство единичной матрицы (Е × Х = Х), окончательно получим Х = А -1 × В

Замечание . Если матричное уравнение имеет вид Х × С = Д, то для нахождения неизвестной матрицы Х уравнение необходимо умножать на С -1 справа .

Пример . Решить матричное уравнение

Решение . Введем обозначения

Их определения умножения матриц с учетом размерностей А и В матрица неизвестных Х будет иметь вид

С учетом введенных обозначений имеем

А × Х = В откуда Х = А -1 × В

Найдем А -1 по алгоритму построения обратной матрицы

Вычислим произведение

Тогда для Х получим

Х = откуда х 1 = 3, х 2 = 2

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера (m x n)

Минором к-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых К строк и любых К столбцов. Очевидно, к £ min (m, n).

Определение . Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором .

Определени е. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными .

Вычисление ранга матрицы

Определение . Матрица называется ступенчатой , если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.

Теорема . Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы , которые не изменяют ее ранга:

— умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;

— замена строк столбцами и наоборот;

— перестановка местами параллельных рядов;

— вычеркивание нулевого ряда;

— прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Пример .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Вычислить ранг матрицы

А =

Решение . Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3).

А ~

К четвертой строке прибавим третью.

Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно r(А) = 3.

Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Методы их решения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

А 11 х 1 + а 12 х 2 + … + а 1 n x n = b 1

а 21 х 1 + а 22 х 2 + … + а 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

а n 1 х 1 + а n 2 х 2 + … + а nn x n = b n

Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х 1 , х 2 , …, х n), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).

A =

Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.

В =

Матричный метод

Рассмотрим матрицы

Х = — матрица неизвестных;

С = — матрица свободных членов системы (1).

Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения

А × Х = С (2)

Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А -1 × С, где А -1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).

Метод Крамера

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:

где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dх i получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т.е.

Dх 1 = ;

Dх 2 = ; … ;

Пример .

Решить систему уравнений методом Крамера

2х 1 + 3х 2 + 4х 3 = 15

х 1 + х 2 + 5х 3 = 16

3х 1 — 2х 2 + х 3 = 1

Решение .

Вычислим определитель основной матрицы системы

D = det A = = 44 ¹ 0

Вычислим вспомогательные определители

Dх 3 = = 132.

По формулам Крамера найдем неизвестные

; ; .

Таким образом, х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = 3.

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. в приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример . Решить систему уравнений методом Гаусса

3х 1 + 2х 2 + х 3 = 17

2х 1 — х 2 + 2х 3 = 8

х 1 + 4х 2 — 3х 3 = 9

Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В ~

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В ~

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

Х 1 + 4х 2 — 3х 3 = 9

х 2 — 2х 3 = 0

— 10х 3 = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х 3 = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х 2 = 2х 3 = 2 × 1 = 2.

После подстановки х 3 = 1 и х 2 = 2 в первое уравнение для х 1 получим х 1 = 9 — 4х 2 + 3х 3 = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Итак, х 1 = 4, х 2 = 2, х 3 = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 — 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 — 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Простейшие матричные уравнения

где – матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют собой матрицы одинаковых размеров.

Решение уравнений (1)-(3) возможно с помощью обратных матриц в случае невырожденности матриц при Х. В общем случае матрицу Х записывают поэлементно и проводят указанные в уравнении действия над матрицами. В результате получают систему линейных уравнений. Решив систему, находят элементы матрицы Х.

Метод обратной матрицы

Это решение системы линейных уравнений в случае квадратной невырожденной матрицы системы А. Находится из матричного уравнения АХ=В.

А -1 (АХ)=А -1 В, (А -1 А)Х=А -1 В, ЕХ= А -1 В, Х= А -1 В.

Формулы Крамера

Теорема. Пусть Δ — определитель матрицы системы А, а Δ j — определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j-го столбцом свободных членов. Тогда, если Δ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

— формулы Крамера.

ДЗ 1. 2.23, 2.27, 2.51,2.55, 2.62; ДЗ 2.2.19, 2.26, 2.40,2.65

Тема 4. Комплексные числа и многочлены

Комплексные числа и действия над ними

Определения.

1. Символ вида a + bi , где a и b произвольные действительные числа, условимся называть комплексным числом.

2. Комплексные числа a + bi и a 1 + b 1 i условимся считать равными, если а = а 1 и

b = b 1 .

3. Комплексное число вида a + 0i условимся считать равным действительному числу а.

4. Суммой двух комплексных чисел a + bi и a 1 + b 1 i называется комплексное число (а + а 1) + (b + b 1)i.

Обратная матрица. Ранг матрицы.

Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Комплексное число вида 0 + bi называется чисто мнимым числом и обычно записывается так: bi ; число 0 +1i = i называется мнимой единицей .

В силу определения 3 всякому действительному числу а соответствует «равное» комплексное число a + 0i и обратно – всякому комплексному числу a + 0i соответствует «равное» действительное число а , то есть между этими числами существует взаимно-однозначное соответствие. Если рассмотреть сумму и произведение комплексных чисел a 1 + 0i и a 2 + 0i по правилам 4 и 5, то получим:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Мы видим, что сумме (или произведению) данных комплексных чисел соответствует действительное число, «равное» сумме (или произведению) соответствующих действительных чисел. Итак, соответствие между комплексными числами вида a + 0i и действительным числом а таково, что в результате выполнения арифметических действий над соответствующими компонентами получаются соответственные результаты. Взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняется при выполнении действий, называется изоморфизмом. Это позволяет отождествить число a + 0i с действительным числом а и рассматривать всякое действительное число как частный случай комплексного.

Следствие . Квадрат числа i равен – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0·1 + 1·0)i = — 1.

Теорема. Для сложения и умножения комплексных чисел остаются в силе основные законы действий.

Определения:

1. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа z = a + bi. Rez=a

2. Число b называется мнимой частью комплексного числа z, число b — коэффициентом при мнимой части z. Imz=b.

3. Числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными.

Число, сопряжённое числу z = a + bi обозначается символом

= a — bi.

Пример. z =3 + i , = 3 — i.

Теорема. Сумма и произведение двух сопряжённых комплексных чисел действительны.

Доказательство. Имеем

В множестве комплексных чисел выполнимы действия, обратные сложению и умножению.

Вычитание. Пусть z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i — данные комплексные числа. разность z 1 – z 2 есть число z = x + y i , удовлетворяющее условию z 1 = z 2 + z или

а 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Для определения x и y получаем систему уравнений a 2 + x = а 1 и b 2 + y = b 1 , имеющую единственное решение:

x = а 1 — a 2 , y = b 1 — b 2 ,

z = (а 1 + b 1 i) – (а 2 + b 2 i) = а 1 – а 2 +(b 1 — b 2)i.

Вычитание можно заменить сложением с числом, противоположным вычитаемому:

z = (а 1 + b 1 i) – (а 2 + b 2 i) = (а 1 + b 1 i) + (- а 2 — b 2 i).

Деление.

Частное чисел z 1 и z 2 ≠ 0 есть число z = x + y i , удовлетворяющее условию z 1 = z 2 z или

а 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

следовательно,

а 1 + b 1 i = a 2 x — b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

откуда получаем систему уравнений:

a 2 x — b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Решением которой будут

следовательно,

Практически для нахождения частного умножают делимое и делитель на число , сопряжённое делителю:

Так, например,

В частности число , обратное данному числу z , можно представить в виде

Примечание. В множестве комплексных чисел остаётся в силе теорема: еслипроизведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В самом деле, если z 1 z 2 =0 и если z 1 ≠ 0, то умножая на , получим

что и требовалось доказать.

При выполнении арифметических действий над комплексными числами надлежит руководствоваться следующим общим правилом: действия выполняются по обычным правилам действий над алгебраическими выражениями с последующей заменой i 2 на -1.

Теорема. При замене каждого из компонентов сопряжённым ему числом результат действия тоже заменяется сопряжённым числом.

Доказательство заключается в непосредственной проверке. Так, например, если каждое слагаемое z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i заменить сопряжённым числом, то получим число, сопряжённое сумме z 1 + z 2 .

cледовательно,

Аналогично для произведения имеем:

Предыдущая567891011121314151617181920Следующая

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Матричные уравнения

Каталин Дэвид

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^{-1}$.

$A^{-1}\cdot|A\cdot X = B$

$A^{-1}\cdot A\cdot X = A^{-1}\cdot B$

$I_{n}\cdot X = A^{-1}\cdot B$

$\color{red}{X =A^{-1}\cdot B}$

Пример 50
Решить уравнение
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot X \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Теорема 2. Критерий существования обратной матрицы.

Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$I_{2}\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -9 & -22\\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

XA = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^{-1}$.

$X\cdot A = B |\cdot A^{-1}$

$X\cdot A\cdot A^{-1} = B\cdot A^{-1}$

$X \cdot I_{n} =B\cdot A^{-1}$

Решение уравнения имеет общий вид
$\color{red}{X =B\cdot A^{-1}}$

Пример 51
Решить уравнение
$X \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$X\cdot I_{2}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$X=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -5 & 4\\ -8 & 5 \end{pmatrix}$

МатрицыУмножение матрицОпределителиРанг матрицыОбратные матрицыСистемы уравненийКалькуляторы для матриц

межд. изумления, удивления; радости, надежды; внезапности, испуга; горя, отчаяния. Ах, как хорошо! Ах кабы так! Ах, как ты меня испугал! Ах, да руками мах. Ах, ах, а пособить нечем. Ах, судья, судья: четыре полы, восемь карманов.

| Иногда ах обращается в сущ. , муж. Ахи, да охи, да бабьи вздохи. Что тут было ахов, удивления, радости. Ахти, ахти мне, восклицание горя, печали; увы; Ахти мне, все товарищи в тюрьме — что-то будет и мне? Охти-axmul как-то замуж идти? Не ахти мне, не на диво, не больно хорошо. Аханьки мне, ахаханьки, выражает как бы сострадание к самому себе, либо к другому. Аханьки, как детки махоньки, это род привета. Ахать, ахивать, ахнуть, дивиться; радоваться чему, горевать, стонать, восклицать ах! Ахал бы, да дома, по себе. Ахал бы дядя, на себя глядя, заботься всяк о себе, о своем деле. Я так и ахнул, испугался, изумился. Ахивали и мы, видывали горе. Холостой подчас охнет, а женатый ахнет.

Обратная матрица

Доахаться до чего. Заахали мы, узнав об этом. Наахали, да и пошли. Наахался я на чудеса эти. Отахали, что ли? Поахайте еще. Одна ахает, другая подахивает. Почто разахался? Взахаешься поневоле. Не так ахаешь, переахай снова, насмешка над бесполезными взывами. Весь денечек проахала. Пришла баба поахать, а пришлось охнуть; пришла поглядеть на чужую радость или горе, а приключилась своя беда. Аханье ср. неумеренное изъявление радости, изумления, горя, отчаянья: ахальщик муж. ахальщица жен. ахала об. кто всему дивится, выхваляет чужое не в меру, завидует. На каждого баяльщика по семи ахальщиков. На каждого бахаря по семи ахаль. Аховой ниж. ахтительный пенз. восхитительный, неимоверно прекрасный, красивый, вызывающий восклицание изумления и одобрения. Аховой платочек. Ахва? жен. , арх.-он. дыра, прореха; пробоина, прорез в шкуре, порча ее от неосторожного выстрела, укола или удара чем. Аховня? жен. испорченная ахвою шкура, аховая или ахводная шкура. Ахвить, ахводить?, испортить шкуру выстрелом, уколом, порубом. Аховая суббота, при платежах, когда неисправные ахают по деньгам.

Лемма: Для любой матрицы А произведение ее на единичную матрицу, соответствующего размера, равно матрице А : АЕ=ЕА=А .

Матрица В называется обратной к матрице А , если АВ=ВА=Е . Обратная матрица к матрице А обозначается А -1 .

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы.

Теорема: Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы отличен от нуля (|A|≠0).

Алгоритм нахождения обратной матрицы А -1:

(для матриц второго и третьего порядков)