Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение, и т.п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными. Если события различаются только моментами появления, то поток событий называется однородным .
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай.
Поток событий называется стационарным , если вероятность попадания того или иного числа событий на промежуток времени зависит только от длительности промежутка и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот промежуток.
На практике часто встречаются потоки заявок, вероятностные характеристики которого не зависит от времени. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же в течение
Поток событий называется потоком без последействия , если для любых непересекающихся участков времени число событий, обладающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия. Поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.
Выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Рассмотрим, например, одноканальную систему массового обслуживания, для которой
время обслуживания любой заявки имеет одну и ту же величину t об . Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими
систему, будет равен t об . Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть известно, что в какой-то момент t 1 систему покинула обслуженная заявка. Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом интервале времени, лежащем в пределах (t 1 , t 1 + t об ) ,
ни одна заявка не покинет систему. Значит, будет иметь место зависимость между числами событий на непересекающихся участках.
Поток событий называется ординарным ,если вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени имеет более высокий порядок малости по сравнению с вероятностью появления за этот промежуток одного события. Для ординарного потока событий вероятность одновременного появления более чем одного события равна нулю.
Условие ординарности означает, что заявки приходят по одиночке, а не парами, тройками и т.д.
Пуассоновским (простейшим ) потоком называют поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Название “пуассоновский” связано с тем, что для этого потока число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.
Пуассоновский поток играет среди потоков событий особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Можно доказать, что аналогично тому как при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону, при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к пуассоновскому. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной теоремы, а именно – складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерное влияние.
Интервал времени между двумя соседними событиями простейшего потока имеет распределение:
f 1 (x) = f(x) = (x³0),
где - интенсивность потока.
Используя метод имитации показательного (экспоненциального) распределения, получаем следующий способ моделирования пуассоновского потока:
t 0 =0; t j = t j -1 - (1/ ) lnu , (j=1,2,3,...).
Величина u - случайное число, получаемое от ДСЧ.
Равномерный поток
Для этого потока событий считается, что промежуток времени между последовательными событиями равномерно распределён на интервале , т.е.
f(x)=1/(b-a) , (a£x£b).
f 1 (x)=2(b-x)/(b-a) 2 ;
F 1 (x)=1-[(b-x) 2 /(b-a) 2 ] , (a£x£b)
Применяя для моделирования метод обратной функции, получим алгоритм вычисления первого момента времени
где u получают от ДСЧ.
Окончательно имеем следующий алгоритм моделирования равномерного потока:
1) момент времени t 1 наступления первого события вычисляется по формуле
2) для последующих моментов времени производимы вычисления по формуле
t j =t j -1 + a + (b-a)u;
Величина u вырабатывается ДСЧ.
Поток Эрланга порядка k
Потоком Эрланга k-го порядка называют поток событий, получающегося "прореживанием" простейшего потока, когда сохраняется каждая k-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются.
Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму k независимых случайных величин Z 1 ,Z 2 ,...,Z k , имеющих показательное распределение с параметром λ:
Закон распределения случайной величины Z называется законом Эрланга k-го порядка и имеет плотность
, (x > 0).
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Z соответственно равны:
M[Z]=k/ ; D[Z]=k/ 2 .
На основе определения потока Эрланга получается простой способ моделирования: прореживается пуассоновский поток с интенсивностью = /k, т.е. в пуассоновском потоке допускаем моменты времени с номерами 1,2,...,k-1, а k-й момент оставляем, т.к. он принадлежит новому потоку и т.д. Таким образом, моменты времени потока Эрланга вычисляются по формулам:
где - интенсивность потока Эрланга k-го порядка, u j - случайные числа от ДСЧ.
3. ОБЪЕКТЫ И СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ
Объектами исследования в лабораторной работе являются потоки событий, образованные слиянием нескольких потоков с известными характеристиками.
В процессе имитации потоков событий используются различные методы сортировки.
Одним из простых методов сортировки является метод пузырька (BUBBLE) который позволяет массив A, содержащий N элементов, расположить, например, в возрастающем порядке. Соответствующий алгоритм приведен на рис.4.1. Однако. Более эффективным методом для данного типа задач будет метод вставки.
процедура BUBBLE(A, N);
Цикл I=1,N1;
Если A(K) £ A(J) то идти к 20;
Если (K³1), то идти к 10;
Рис.4.1. Подпрограмма сортировки методом пузырька
В лабораторной работе могут быть использованы и другие более эффективные методы сортировки (например, адресная сортировка и т.п.).
4. ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ
4.1. Ознакомиться с основными типами потоков событий.
4.2. Ознакомиться с методами моделирования пуассоновского, равномерного потока событий и потока Эрланга порядка k.
4.3. Ознакомиться с методами сортировки массивов чисел.
5. ПРОГРАММА РАБОТЫ
В некоторую систему массового обслуживания по различным каналам поступают заявки, образующие поток событий заданного типа. На входе системы потоки сливаются в один. Составить алгоритм и программу имитации результирующего потока, указанного в варианте.
Первые 100 моментов времени поступления заявок в результирующем потоке вывести на печать. По первым 1000 заявкам рассчитать оценку средней интенсивности потока. Найденную оценку сравнить с теоретическим значением интенсивности потока.
5.1. Поток образован слиянием трёх пуассоновских потоков событий с интенсивностями 1 , 2 , 3 (1/с) (табл.5.1.).
Таблица 5.1.
| Вариант | ||||||
| 1 | 2,5 | 1,5 | ||||
| 2 | 0,5 | |||||
| 3 | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
5.2. Поток образован слиянием двух равномерных потоков с параметрами a 1 , b 1 и a 2 , b 2 (с) (табл. 5.2.).
Таблица 5.2.
| Вариант | ||||||
| a 1 | 1,5 | |||||
| b 1 | 2,5 | 1,5 | ||||
| a 2 | 0,5 | |||||
| b 2 |
5.3. Поток образован слиянием пуассоновского потока с интенсивностью (1 /с) и равномерного потока с параметрами a и b (с) (табл.5 3.).
Таблица 5.3.
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
6.1. Дать определение потока событий.
6.2. Как строится вероятностное описание потока событий.
6.3. В чём состоит способ моделирования стационарного потока с ограниченным последствием.
6.4. Охарактеризовать пуассоновский поток и способ его моделирования.
6.5. Охарактеризовать равномерный поток и способ его моделирования.
6.6. Дать характеристику потока Эрланга k-го порядка и метода его имитации.
6.7. Привести характеристики потока событий, исследованного в лабораторной работе.
В пуассоновском потоке событий (стационарном и нестационарном) число событий потока , попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона
Таким образом, для исследуемой системы S с дискретными состояниями и непрерывным временем переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенной интенсивностью Я.
Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретными состояниями iSj,. 2. .... Sn, которая переходит из состояния S/ в состояние Sj(i - 1, 2,. .., n,j = I, 2,. .., и) под воздействием пуассоновских потоков событий (отказов) с интенсивностями Хд. Будем рассматривать следующие состояния автомобиля, в которых он может находиться в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями
Пуассоновский поток событий - это поток, обладающий двумя свойствами ординарностью и отсутствием последействия.
В данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций.
Между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем имеется тесная связь.
Связь пуассоновских потоков событий с дискретными марковскими процессами с непрерывным временем
То есть технически, марковскую модель с непрерывным временем построить проще, чем модель с дискретным временем, хотя проблема подчинения пуассоновскому закону распределения всех потоков событий , переводящих элементы системы из состояния в состояние, остается.
Можно считать, что события, переводящие автомобиль из состояния в состояние, представляют собой потоки событий (например, потоки отказов). Если все потоки событий , переводящие систему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским, а плотности вероятности перехода Ху в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему из состояния Si в состояние Sj. Например, Х03 - интенсивность потока отказов автомобиля, который переводит автомобиль из состояния исправен, работает в состояние находится в ТР.
Допущения о пуассоновском характере потока событий и о показательном распределении промежутков времени между событиями ценны тем, что позволяют на практике применить мощный аппарат марковских случайных процессов .
Пуассоновский стационарный (простейший) поток событий
Пуассоновский стационарным (простейшим) поток событий
Пуассоновский нестационарный поток событий
Рассмотрим нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью Mf), некоторый промежуток времени длиной г>0, начинающийся с момента t0 (и заканчивающийся, следовательно, в момент +г) и дискретную случайную величину Х р г) - число событий, наступающих в потоке за промежуток времени от ta до t0+r.
Определение 6.2. Элементом вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке называется вероятность >,(АО появления события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени от t0 до t0+bt.
Теорема 6.2. Для элемента вероятности появления события за элементарный промежуток времени от t0 до t0+Af в нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t) имеет место приближенная формула
Основное характеристическое свойство нестационарного пуассоновского потока состоит в том, что вероятность наступления определенного числа событий за временной промежуток зависит не только от его длины, но и от момента его начала.
Одной из основных стохастических характеристик нестационарного пуассоновского потока является дискретная случайная величина X(t т), представляющая собой случайное число событий, наступающих в потоке за промежуток [ t.+t.
Другой основной стохастической характеристикой нестационарного пуассоновского потока является случайный интервал времени T(tB) между двумя соседними событиями, первое из которых наступило в момент t0.
Доказательство Вероятность p (t At) того, что система S, находившаяся в момент времени t в состоянии sp за промежуток времени от t до t+Ы перейдет из него в состояние s (см. 4) равна элементу вероятности pfa t) появления события в пуассоновском потоке П.. на элементарном участке от t до +Д (см. Определение 5.11). Но (см. (4.3))
Система, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, перескакивает из одного состояния х в другое xj не самопроизвольно, а под воздействием определенного события, которое мы можем отнести к событиям некоторого пуассоновского потока П.. и считать, таким образом, что переход системы из состояния х в состояние х происходит под воздействием всего потока /L. Привлечение всего потока П.. дает нам возможность рассматривать интенсивность А() этого потока.
Рассмотрим более подробно случай пуассоновского распределения спроса. Функция затрат будет иметь вид, аналогичный (5.6.18), с заменой интегрирования по х суммированием. Найдем плотность 1> (т) распределения времени дефицита. Распределение времени наступления k -го события пуассоновского потока подчинено закону Эрланга k -го порядка. Дефицит начинается при израсходовании всего запаса S и еще одной единицы, так что
Общий поток отказов, связанный с попаданием автомобилей исследуемой группы в ТО-2, получается путем наложения (суперпозиции) потоков ТО-2 этих автомобилей. Как показывают расчеты, распределение интервала пробега между событиями в этом потоке подчиняется показательному закону . При этом поток ТО-2 всех исследуемых автомобилей является пуассоновским.
Образ потока отказов, связанного со списанием автомобиля, является условным. Действительно, если автомобиль отказывает в тот момент, когда происходит первое событие данного потока, то совершенно все равно, продолжается после этого поток отказов или прекращается судьба автомобиля от этого уже не зависит. В случае когда элемент (автомобиль) не подлежит восстановлению, поток отказов является пуассоновским.
Каждый из входящих в блок агрегатов является сложной системой , состоящей из большого числа элементов. Отказ каждого из них может привести к утрате способности выполнения поставленной задачи всего агрегата. Поток отказов агрегата во времени образуется в результате наложения множества событий - потоков отказов элементов, входящих в его состав. При решении практической задачи отказы в элементах можно рассматривать как независимые (или слабозависимые) и ординарные события, поэтому для суммарного потока отказов всего агрегата правомерно применение предельной теоремы потоков в теории случайных процессов . Данная теорема определяет условия, при которых сумма независимых (или слабо зависимых)
В предыдущих лекциях мы научились имитировать наступление случайных событий. То есть мы можем разыграть какое из возможных событий наступит и в каком количестве. Чтобы это определить, надо знать статистические характеристики появления событий, например, такой величиной может быть вероятность появления события, или распределение вероятностей разных событий, если типов этих событий бесконечно много.
Но часто еще важно знать, когда конкретно наступит то или иное событие во времени.
Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток . Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднем происходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.
Интенсивность потока в некотором смысле является математическим ожиданием количества событий в единицу времени. Но реально может так оказаться, что в один час появится 4 события, в другой 6, хотя в среднем получается 5 событий в час, поэтому одной величины для характеристики потока недостаточно. Второй величиной, характеризующей насколько велик разброс событий относительно математического ожидания, является, как и ранее, дисперсия. Собственно именно эта величина определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления. Про эту величину мы расскажем в следующей лекции.
Поток событий это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события выглядят как показано на рис. 28.1 .
Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.
Интенсивность потока λ это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N /T н , где N число событий, произошедших за время наблюдения T н .
Если интервал между событиями τ j равен константе или определен какой-либо формулой в виде: t j = f (t j 1) , то поток называется детерминированным . Иначе поток называется случайным .
Случайные потоки бывают:
- ординарные : вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;
- стационарные : частота появления событий λ (t ) = const(t ) ;
- без последействия : вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.
Пуассоновский поток
За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .
Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия.
Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:
где a параметр Пуассона.
Если λ (t ) = const(t ) , то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ) , то это нестационарный поток Пуассона .
Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:
Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0 ) события за время τ равна:
Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.
Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С ) вычисляется так:
так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, другого не дано).
Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет график функции монотонно возрастает.
Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).
Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.
Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.
По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:
τ = 1/λ · Ln(r ) ,
где r равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).
Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час] ). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов . m = 1/λ = 24/8 = 3 , то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3 . На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.
На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33 Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3 .
Моделирование неординарных потоков событий
Если известно, что поток не является ординарным, то необходимо моделировать кроме момента возникновения события еще и число событий, которое могло появиться в этот момент. Например, вагоны на железнодорожную станцию прибывают в составе поезда в случайные моменты времени (ординарный поток поездов). Но при этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий.
Допустим, что M k = 10 , σ = 4 (то есть, в среднем в 68 случаях из 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда) и их число распределено по нормальному закону. В место, отмеченное (*) в предыдущем алгоритме (см. рис. 28.6 ), нужно вставить фрагмент, показанный на рис. 28.8 .
Пример 2 . Очень полезным в производстве является решение следующей задачи. Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ 2 ? При этом экспериментально установлено, что привозят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ 1 партиями по 8 штук, причем размер партии колеблется случайно по нормальному закону с m = 8 , σ = 2 (см. лекцию 25). До начала моделирования T = 0 на складе изделий не было. Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов.
На рис. 28.9 представлен алгоритм, генерирующий случайным образом поток прихода партий изделий на обработку и поток случайных событий выхода партий изделий с обработки.
На рис. 28.10 показан результат работы алгоритма моменты времени, когда детали приходили на операцию, и моменты времени, когда детали покидали операцию. На третьей линии видно, сколько деталей стояло в очереди на обработку (лежало на складе узла) в разные моменты времени.
Отмечая для обрабатывающего узла времена, когда он простаивал в ожидании очередной детали (см. на рис. 28.10 участки времени, выделенные красной штриховкой), мы можем посчитать суммарное время простоев узла за все время наблюдения, а затем рассчитать среднее время простоя в течение суток. Для данной реализации это время вычисляется так:
T пр. ср. = 24 · (t 1 пр. + t 2 пр. + t 3 пр. + t 4 пр. + + t N пр.)/T н .
Задание 1 . Меняя величину σ , установите зависимость T пр. ср. (σ ) . Задавая стоимость за простой узла 100 евро/час, установите годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков. Предложите формулировку пункта договора предприятия с поставщиками «Величина штрафа за задержку поставки изделий».
Задание 2 . Меняя величину начального заполнения склада, установите, как изменятся годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков в зависимости от принятой на предприятии величины запасов.
Моделирование нестационарных потоков событий
В ряде случаев интенсивность потока может меняться со временем λ (t ) . Такой поток называется нестационарным . Например, среднее количество за час машин скорой помощи, покидающих станцию по вызовам населения большого города, в течение суток может быть различным. Известно, например, что наибольшее количество вызовов падает на интервалы с 23 до 01 часа ночи и с 05 до 07 утра, тогда как в остальные часы оно вдвое меньше (см. рис. 28.11 ).
В этом случае распределение λ (t ) может быть задано либо графиком, либо формулой, либо таблицей. А в алгоритме, показанном на рис. 28.6 , в место, помеченное (**), нужно будет вставить фрагмент, показанный на рис. 28.12 .
Похожие статьи
