Докажем теперь некоторые специальные свойства замкнутых и открытых множеств.
Теорема 1. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств есть открытое множество,
Рассмотрим сумму конечного или счетного числа открытых множеств:
Если , то Р принадлежит по крайней мере одному из Пусть Так как - открытое множество, то некоторая -окрестность Р также принадлежит Эта же -окрестность Р принадлежит и сумме g, откуда и следует, что g есть открытое множество. Рассмотрим теперь конечное произведение
и пусть Р принадлежит g. Докажем, как и выше, что и некоторая -окрестность Р принадлежит g. Раз Р принадлежит g, то Р принадлежит всем . Так как - открытые множества, то для любого существует некоторая -окрестность точки принадлежащая . Если число взять равным наименьшему из число которых конечно, то -окрестность точки Р будет принадлежать всем а следовательно, и g. Отметим, что нельзя утверждать, что произведение счетного числа открытых множеств есть открытое множество.
Теорема 2. Множество CF - открытое и множество СО - замкнутое.
Докажем первое утверждение. Пусть Р принадлежит CF. Надо доказать, что некоторая - окрестность Р принадлежит CF. Это следует из того, что, если бы в любой -окрестности Р находились точки F, точка Р, не принадлежащая по условию была бы предельной для F точкой и, в силу замкнутости должна была бы принадлежать что приводит к противоречию.
Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Докажем, например, что множество
замкнуто. Переходя к дополнительным множествам, можем написать
По теореме открытые множества, и, согласно теореме 1, множество тоже открытое, и тем самым дополнительное множество g замкнуто. Отметим, что сумма счетного числа замкнутых множеств может оказаться и незамкнутым множеством.
Теорема 4. Множество есть открытое множество и множество замкнутое.
Легко проверить следующие равенства:
Из них, в силу предыдущих теорем, следует теорема 4.
Мы будем говорить, что множество g покрыто системой М некоторых множеств, если всякая точка g входит по крайней мере в одно из множеств системы М.
Теорема 5 (Бореля). Если замкнутое ограниченное множество F покрыто бесконечной системой а открытых множеств О, то из этой бесконечной системы можно извлечь конечное число открытых множеств, которые также покрывают F.
Доказываем эту теорему от обратного. Положим, что никакое конечное число открытых множеств из системы а не покрывает и приведем это к противоречию. Раз F - ограниченное множество, то все точки F принадлежат некоторому конечному двумерному промежутку . Разобьем этот замкнутый промежуток на четыре равные части, деля промежутки пополам. Каждый из полученных четырех промежутков будем брать замкнутым. Те точки F, которые попадут на один из этих четырех замкнутых промежутков, будут, в силу теоремы 2, представлять собой замкнутое множество, и по крайней мере одно из этих замкнутых множеств не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. Берем тот из указанных выше четырех замкнутых промежутков, где это обстоятельство имеет место. Этот промежуток опять делим на четыре равные части и рассуждаем так же, как и выше. Таким образом, получим систему вложенных промежутков из которых каждый следующий представляет собой четвертую часть предыдущего, и имеет место следующее обстоятельство: множество точек F, принадлежащих при любом k не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. При беспредельном возрастании k промежутки будут беспредельно сжиматься к некоторой точке Р, которая принадлежит всем промежуткам . Поскольку при любом k содержат бесчисленное множество точек точка Р является предельной точкой для а потому и принадлежит F, ибо F - замкнутое множество. Тем самым точка Р покрывается некоторым открытым множеством принадлежащим к системе а. Некоторая -окрестность точки Р будет также принадлежать открытому множеству О. При достаточно больших значениях k промежутки Д попадут внутрь указанной выше -окрестности точки Р. Тем самым эти будут целиком покрыты только одним открытым множеством O системы а, а это противоречит тому, что точки принадлежащие при любом k не могут быть покрыты конечным числом открытых множеств, принадлежащих а. Тем самым теорема доказана.
Теорема 6. Открытое множество может быть представлено как сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек.
Напомним, что полуоткрытым промежутком на плоскости мы называем конечный промежуток, определяемый неравенствами вида .
Нанесем на плоскости сетку квадратов со сторонами, параллельными осям, и с длиной стороны, равной единице. Множество этих квадратов есть счетное множество. Выберем из этих квадратов те квадраты, все точки которых принадлежат заданному открытому множеству О. Число таких квадратов может быть конечным или счетным, а может быть таких квадратов вовсе не будет. Каждый из оставшихся квадратов сетки разделим на четыре одинаковых квадрата и из вновь полученных квадратов выберем опять те, все точки которых принадлежат О. Каждый из оставшихся квадратов опять делим на четыре равные части и отбираем те квадраты, все точки которых принадлежат О, и т. д. Покажем, что всякая точка Р множества О попадет в один из выбранных квадратов, все точки которого принадлежат О. Действительно, пусть d - положительное расстояние от Р до границы О. Когда мы дойдем до квадратов, диагональ которых меньше , то можно, очевидно, утверждать, что точка Р уже попала в квадрат, все томки которого принадлежат О. Если выбранные квадраты считать полуоткрытыми, то они не будут попарно иметь общих точек, и теорема доказана. Число отобранных квадратов будет обязательно счетным, так как конечная сумма полуоткрытых промежутков не есть, очевидно, открытое множество. Обозначая через ДЛ те полуоткрытые квадраты, которые мы получили в результате указанного выше построения, можем написать
Функции нескольких переменных.
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных.
Примеры.
1) Площадь прямоугольника со сторонами х и у: S=xy.
2) Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами x,y,z: V=xyz.
3) По закону Ома, напряжение U в цепи электрического тока связано с сопротивлением R цепи и силой тока I зависимостью U=RI. Если считать U и R данными, то I определится как функция от U и R: I= .
Элементами арифметического пространства R n являются упорядоченные наборы из n действительных чисел (х 1 ,х 2 ,…,х n). Эти упорядоченные наборы называются точками n-мерного пространства или n-мерными векторами.
х=(х 1 ,х 2 ,…,х n), у=(у 1 ,у 2 ,…,у n). х 1 ,х 2 ,…,х n – координаты точки.
Определение . Расстояние между точками х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) и у=(у 1 ,у 2 ,…,у n):
d(x,y)= 
(1)
Свойства расстояния :
1) d(x,y)³0, причем, d(x,y)=0 Û х=у, т.е. x i =y i "i=1,2,…,n.
2) d(x,y)=d(y,x) – свойство симметрии.
3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zÎR n – неравенство треугольника ( £ + ).
Пусть a(а 1 ,а 2 ,…,а n) – произвольная точка пространства R n и пусть R>0 – некоторое число. Множество всех точек x(х 1 ,х 2 ,…,х n):
В(a,R)={xÎR n: d(x,a) (a,R)={xÎR n: d(x,a)£R} – замкнутый шар (сфера) с центром в точке а и радиуса R. S(a,R)={xÎR n: d(x,a)=R} – сфера в R n . Следовательно, уравнение сферы в R n: Определение
. Пусть имеются числа a 1 ,…,a n и b 1 ,…,b n такие, что a 1
называют открытым параллелепипедом – Р
. Множество всех точек M(х 1 ,х 2 ,…,х n)ÎR n , для которых называют закрытым параллелепипедом –
. Точка С( ,…, ) – центр параллелепипеда
. Открытую сферу любого радиуса R>0 с центром в точке М 0 ( ,…, ) можно рассматривать как окрестность
этой точки. (Аналогично, в качестве окрестности можно рассматривать открытый параллелепипед с центром в точке М 0 ( ,…, )). Определение
. Пусть Е – некоторое множество точек из R n . Множество Е называется ограниченным
, если существует число R>0 такое, что все точки множества Е оказываются лежащими внутри сферы радиуса R с центром в точке О(0,…,0). Теорема
. Пусть множество Е(М)ÌR n . Пусть {x 1 } - множество, которое образуют первые координаты точек МÎЕ, ………………………………………………………………………….. {x n } - множество, которое образуют n-е координаты точек МÎЕ. Для того, чтобы множество Е(М) было ограниченным необходимо и достаточно, чтобы были ограниченными одновременно множества {x 1 },..., {x n }. Доказательство
. Необходимость
. Пусть Е(М) – ограниченное. Следовательно, существует число R>0 такое, что d(M,O) 0£êx 1 ê£ А это и означает, что множества {x 1 },..., {x n } ограничены. Достаточность
. Пусть множества {x 1 },..., {x n } – ограниченные. Следовательно, $С>0: êx 1 ê т.е., d(M,O) Определение.
Множество называется открытым
, если каждая точка этого множества входит в него вместе со своей окрестностью. Свойства открытых множеств.
1) множества R n и Æ - открытые. 2) Объединение любой системы открытых множеств – открыто (показать). 3) Пересечение конечной системы открытых множеств – открыто (показать). Точка М 0 ÎЕ называется точкой сгущения
множества ЕÌR n , если в каждой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от М 0 . Определение.
Множество FÌR n называется замкнутым
, если его дополнение в R n открыто (т.е. если R n \F – открыто). Точки сгущения открытого множества, не принадлежащие ему, называются пограничными точками
этого множества. Пограничные точки образуют границу
множества. Открытое множество со своей границей называется замкнутым
. §6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах
Теорема
1.
Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое. Пусть
G
k
– открытые множества. Докажем, что– открытое множество. Возьмем любую точку х
о
G
. По определению объединения множеств точка х
о
будет принадлежать хотя бы одному из множеств
G
k
. Т.к. G
k
– открытые множества, то существует
-
окрестность точки х
о
, которая полностью принадлежит множеству G
k
:
Получили, что любая точка х
о
G
– внутренняя, а это означает, что G
– открытое множество. Теорема
2
.
Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое. Пусть G
k
(
k
=
1,2, …,n
) – открытые множества. Докажем, что Возьмем любую точку х
о
G
. По определению пересечения множеств х
о
принадлежать каждому из множеств G
k
. Т.к. множества G
k
открытые, то в любом множестве G
k
существует
k
- окрестность точки х
о
:
U
(
x
o
,
k
)
G
k
. Множество чисел
{
1
,
2
,…,
n
} конечное, поэтому
=
min
{
1
,
2
,…,
n
}. Тогда
- окрестность точки х
о
принадлежит каждой
k
- окрестности точки х
о
:
Получили, что х
о
– внутренняя точка множества G
, а это значит, что G
– открытое множество. Замечание 1.
Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством. Пример
1
.
Пусть в пространстве
R
где k
=
1,2,…,n
,
…. Теорема
3
.
Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество. Пусть F
k
– замкнутые множества. Докажем, что множества Теорема
4.
Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество. Пусть множества F
k
– замкнутые. Докажем, что множество Замечание 2.
Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым. Пример
2
.
В пространстве R
:
F
k
=
Теорема
5
.
Если множество Е
замкнутое, то его дополнение до множества Х: С
х
Е=СЕ –
открытое множество. Пример
.3
.
Е=
,
C
R
E
=
Теорема
6
.
Если множество Е
открытое, то его дополнение до множества Х: С
х
Е=СЕ –
замкнутое множества. Пример
4
.
Е=
(2,5),
C
R
E
=
§7. Последовательности точек метрического пространства
Определение
1
.
Последовательностью точек метрического пространства
(Х,
)
называется отображение
f
множества натуральных чисел N
в множество Х
: f
:
N
Значение этого отображения в точке n
N
называется n
-м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается x
n
=
f
(n
).
Последовательность будем обозначать
(x
n
)
или (х
1
,х
2
,…, х
n
…
). Пример
1.
В пространстве R
2
:
х
n
=
(1
n
,
n
+
1/
n
));
Пример
2
.
В пространстве С
:
(х
n
=
(1/
nx
+
n
2
x
)) где a
,b не содержит 0. Определение
2
.
Пусть (x
n
Х,
),
(k
1
,
k
2
,…,
k
n
,…
) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность
(x
kn
) называется подпоследовательностю последовательности
(x
n
).
Пример
3.
Последовательность (1/
n
2
) – подпоследовательность последовательности (1/
n
).
Определение
3
.
Пусть (x
n
)
Х,
),
Последовательность
(x
n
) называется ограниченной
, если существует замкнутый шар с центром а
и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е. Замечание 1
. Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах. Определение
4.
Пусть (x
n
)
– последовательность точек метрического пространства (Х,
). Точка а
Х
называетсяпределом последовательности
(x
n
) если: (
N
n
(
, n
N
x
n
,
a
или, что тоже самое, числовая последовательность (
x
n
,
a
)) - бесконечно малая (стремится к 0), при n
,т.е. и абазначаецца Если последовательность (x
n
) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Если (x
n
) – последовательность точек метрического пространства (Х,
) сходится к точке а
Х
, то а
– предельная точка последовательности (x
n
).
Обратное не всегда имеет место. Замечание 2
. Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться Пример
4.
Последовательность (1/
n
) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве (Х
,
),
где Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы. Теорема
1.
Если (x
n
) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х,
), то её предел единственный. x
n
,a
0
и По аксиомам метрики 0
a
,
b
x
n
,
a
+
x
n
,
b
. Переходим к пределу, при n
, Получим
a
,
b
=
0
a
=
b
.
Теорема
2
.
Если (x
n
) – последовательность точек метрического пространства (Х,
) –
сходящаяся, то она ограниченная. Пусть Теорема
3
.
Если (x
n
) – последовательность точек метрического пространства (Х,
)
сходится к точке а
Х
, то любая её подпоследовательность сходится к а
. Пусть Т.к. k
n
n
, то для всех n
>
N
верно k
n
>
N
и поэтому Таким образом мы доказали, что
n
, это означает, что §8. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых
метрических пространствах
Теорема
1
(о покоординатной сходимости последовательности в м. пр.
R
m
). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R
m
(х
n
=
(х
1
( n
)
,х
2
( n
)
,…, х
m
( n
)
) сходилась к точке а
=
(а
1
,а
2
,…, а
m
) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х
1
( n
)
),
(х
2
( n
)
),…,
(х
m
( n
)
) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а
1
,а
2
,…, а
m
, т.е. Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность (х
n
)
сходится к точке а
покоординатно. 1. Пусть в м.пр. R
m
.
(2) Докажем, что выполняются равенства (1). В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. R
m
будем иметь: n
x
n
,а
,
где
- метрика метрического пространства R
m
: 2. Пусть выполняются равенства (1). Докажем, что (2) в метрическом пространствеR
m
.
Пусть
- любое положительное число рассмотрим число Пример
1
.
Найти предел a
=
(a
1
,
a
2
) последовательности в пространстве R
2
.
Таким образом,
=
(1/4;3).
Теорема
2
(Больцана-Вейерштрасса в м.пр.
R
m
). Из всякой ограниченной последовательности пространства
R
m
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чвстный случай этой теоремы для пространства R
1
был доказан на первом курсе. Теорема
3
.
Для того, чтобы последовательность (x
n
) точек м.пр. С
[ a
,
b
] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х
этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x
n
)
равномерно сходилась к х
на [a
,
b
].
Докажем с помощью критерия равномерной сходимости. Известно, что фукциональная последовательность (x
n
) равномерно сходится да предельной фукции х
тогда и только тогда, когда С учётом определения метрики в м.пр. С
[a
,
b
]
получаем равенство Пример
2.
x
n
(t
) =
t
n
t
;
n
N
.
известно, что на ;/2 фукциональная последовательность x
n
(t
) =
t
n
равномерно сходится да предельной фукции x
(t
) =
0. Таким образом
t
; последовательность (x
n
) сходится к функции х =
0 в м.пр. С
.
Теорема
4.
Если а
– предельная точка множества Е
метрического пространства (X
,
), то существует последовательность (x
n
),
члены которой принадлежат Е
и не равны а
, причём (x
n
),
сходится к а
в этом метрическом пространстве. Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R
. Замечание 1.
Поскольку любая норма задает метрику, о (x
,
y
) = то в нормированном пространстве А
также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства. Замечание 2.
Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой §9. Полные метрические пространства
Определение
1
.
Последовательность (x
n
) метрического пространства (Х,
)
называется фундаментальной, если Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства. В пространствеR
любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х,
)
сходится в этом пространстве. Пример
1
.
В м.пр. Х
=
(Q
;
=
х
у
) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е
X
(е
I
).
Определение
2
.
Метрическое пространство называется полным метрическим пространством
, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем. Пример
2
.
Метрическое пространство R
– полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R
. Это следует из критерия Коши (см. 1 курс). Пример
3
.
Докажем, что пространство R
m
- полное метрическое пространство. Пусть последовательность(x
n = x
1 (n
) , x
2 (n
) ,…, x
m (n
)) (1) любая фундаментальная последовательность пространстваR
m
.
Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R
m
. Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространствеR
m
0
N(
)
N
p,n >N
(x
p
,x
n
)
Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x
1
( n
)
),
(x
2
( n
)
),…,
(x
m
( n
)
), а значит и их сходимость (по критерию Коши). Пусть Рассмотрим точку а =
(а
1
, а
2
, …, а
m
). Т.к. а
1
, а
2
, …, а
m
R
,
то а
R
m
. По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R
m
последовательность (x
n
) сходится к а
R
m
. Это означает, что пространствоR
m
полное метрическое пространство. Пример
4
.
Докажем, что метрическое пространство С
[a
,
b
] является полным. Пусть (x
n
) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С
[a
,
b
] , её члены – непрерывные на [a
,
b
] фукции. Докажем, что последовательность (x
n
) сходится в метрическом пространстве С
[ a
,
b
] . Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х
на отрезке [a
,
b
]. По определению фундаментальной последовательности Это означает, что
t
[a
,
b
] (фиксируем t
) фундаментальной является числовая последовательность (x
n
(t
)
). Значит она имеет предел, который обозначим через Покажем, что предельная фукция x
(t
) непрерывная на [a
,
b
]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m
. Получим x
(t
)
x
n
(t
)
n>N
t
[a,b
].
Таким образом, мы доказали, что 0N
N
m,n > N
x
(t
)
x
n
(t
)
t
[a,b
]. А это значит, что последовательность (x
n
) равномерно сходится к фукции х
на [a
,
b
]. Т.к. все члены последовательности (x
n
) непрерывные на [a
,
b
]
фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С
[ a
,
b
]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (x
n
) сходится к х
. Значит пространствоС
[ a
,
b
] – полное метрическое пространство. Определение
3.
Полное нормированное пространство называется Банохав
ым
пространство
м
. Банохавыми пространствоми, являются пространства: R
п
с нормами l
2 с нормой векторов x
=
(x
n
) =
(x
1
,
x
2
, …
)
C [a
,
b
] с нормой функций x
(t
) А пространство C
1
[a
,
b
] с нормой не является баноховым. Определение
2
.
Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством
. Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым. Информатики, 4 курс, 1-2 модуль) Определение
метрического
пространства
(м.п.). Примеры
. Открытые и замкнутые множества в м.п. Сходимость... линейные отображения нормированных пространств
. Примеры
. Нормированное пространство
линейных отображений. Теорема... ... пространств
. Определение
4. Метрическое
пространство
называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого пространства!
). Примеры
. 9) В пространстве
... Что получаем эквивалентное определение
метрического
пространства
. 4. Докажите, что для произвольного метрического
пространства
áX, rñ эквивалентны утверждения... непрерывные отображения метрических
пространств
непрерывны. Покажите на примере
, что... Теорема 3.1.
Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое. Пусть G k
, где k Î N - открытые множества. 3Выберем любую точку х
о ÎG
. По определению объединения множеств точка х
о принадлежит одному из множеств G k
. Поскольку G k
– открытое множество, то существует e -
окрестность точки х о
, которая целиком лежит в множестве G k: U
( x o , e
) Ì G k Þ U
( x o ,e
) Ì G.
Получили, что любаю точка х о ÎG
– внутренняя, а это значит, что G
– открытое множество. 4 Теорема 3.2.
Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое. Пусть G k
( k =
1,2, …,n
) – открытые множества. Докажем, что - открытое множество. 3Выберем любую точку х
о ÎG
. По определению пересечения множеств х
о принадлежит каждому из множеств G k
. Поскольку каждое множество G k
открытое, то в любом множестве G k
существует e k
- окрестность точки х
о : U
( x
o , e k
) Ì G k
. Множество чисел{e
1 , e
2 ,…, e n
} конечное, поэтому существует число e = min
{e
1 ,e
2 ,…,e n
}. Тогда e
- окрестность точки х
о находится в каждой e k
- окрестности точки х
о :U
( x
o , e
) Ì U e
( x
o , e k
) Þ U
( x
o , e
) Ì G.
Получили, что х
о – внутренняя точка множества G
, а это значит, что G
– открытое множество. 4 Замечание 3.1.
Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством. Пример 3.1
.
Пусть в пространстве R G k =
(2 –
1/k;
4+
1/k)
, где k=
1,2,…,n,
…. G 1 =
(1;5), G 2
(1,5;4,5), Отрезок Ì G k
и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними. Теорема 3.3.
Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество. Пусть F k
- замкнутые множества. Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки. 3Пусть х
F.
Из определения пересечения множеств следует, что в любой e
- окрестности точки х
о находится бесконечно много точек каждого из множеств F k
, а это значит, что х
о – предельная точка каждого множества F k
. В силу замкнутости множеств F k
точка х
о Î F k "k Þ х
о Î F.
Поскольку точка х
F
, а это значит множесто F
замкнутое. 4 Теорема 3.4.
Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое. Пусть каждое множество F k
замкнутое. Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х
о – предельная точка множества F
, то х
о Î F
. 3Пусть х
о – любая предельная точка множества F
, тогда в любой e
- окрестности точки х
о существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств F k
конечное, то х
о принадлежит хотя бы одному из множеств F k
, т.е. х
о – предельная точка для этого множества. В силу замкнутости F k
точка х
о принадлежит F k
, а поэтому и множеству . Поскольку точка х
о выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F
, а это значит множество F
замкнутое. 4 Замечание 3.2.
Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым. Пример 3.2.
В пространстве R
:
F k =
F 1 =
;
F 2 =
; ….
Интервал (2;5) – открытое множество. Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е
до множества Х: С х Е=СЕ
. Теорема 3.5.
Если множество Е
замкнутое, то его дополнение СЕ
открытое множество. Пример 3.3.
Е=
, C R E =
(- ¥,
2)È
(5,+¥
).
Теорема 3.6.
Если множество Е
открытое, то его дополнение СЕ
замкнутое множество. Пример 3.4.
Е=
(2,5), C R E =
(-¥,
2]È[
5,
+¥
). Доказательство
. 1) Действительно, если точка а
принадлежит объединению открытых множеств, то она принадлежит по крайней мере, одному из этих множеств, которое по условию теоремы является открытым. Значит, ему принадлежит некоторая окрестность О(а) точки а
, но тогда эта окрестность принадлежит и объединению всех открытых множеств. Следовательно, точка а
является внутренней точкой объединения. Так как а
– произвольная точка объединения, то оно состоит лишь из внутренних точек, и, значит, по определению является открытым множеством. 2) Пусть теперь Х
– пересечение конечного числа открытых множеств . Если а
есть точка множества Х
, то она принадлежит каждому из открытых множеств , и, следовательно, является внутренней точкой каждого из открытых множеств. Другими словами, существуют интервалы , которые целиком содержатся соответственно в множествах . Обозначим через наименьшее из чисел . Тогда интервал будет содержаться одновременно во всех интервалах , т.е. будет целиком содержаться и в , и в ,..., и в , т.е. . Отсюд
а заключаем, что любая точка является внутренней точкой множества Х
, т.е. множество Х
является открытым. Из этой теоремы следует, что пересечение конечного числа окрестностей точки а есть опять окрестность этой точки. Заметим, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда является открытым множеством.
Например, пересечением интервалов ,… является множеством, состоящее из одной точки а, которое, не является открытым множеством (почему?). Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой проколотой окрестности этой точки имеется, по крайней мере, одна точка множества Х.
Так, точка является предельной точкой отрезка ,
так как в любом проколотом интервале точки есть точка, принадлежащая этому отрезку. Например, точка , удовлетворяющая неравенству . И таких точек, очевидно, много. Легко доказать, что каждая точка отрезка [0, 1]
является предельной
точкой данного отрезка. Другими словами, отрезок
сплошь состоит из своих предельных точек. Аналогичное утверждение справедливо для любого отрезка. Заметим здесь, что все предельные точки множества
принадлежат этому отрезку. Очевидно также, что все точки отрезка , будут предельными точками для интервала (0, 1
) (докажите!). Однако, здесь уже две предельные точки 0 и 1
не принадлежат интервалу (0, 1).
На данных примерах мы видим, что предельные точки множества могут принадлежать ему и могут не принадлежать. Можно доказать, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х имеется бесконечно много точек множества Х.
Множество Х называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.
Так,всякий отрезок есть замкнутое множество
.
Интервал (0, 1)
не является замкнутым множеством, так как ему не принадлежат две его предельные точки 0 и 1
. Множество всех рациональных чисел Q
не является замкнутым, так как не содержит некоторые свои предельные точки. В частности, число является предельной точкой множества Q
(докажите!), но Q
. Так как каждая точка множества R
является предельной точкой этого множества и принадлежит ему, то R – замкнутое множество
.
Всякое конечное множество является замкнутым,
так как множество его предельных точек является пустым множеством Æ
, которое принадлежит самому множеству. Замкнутые множества могут быть ограниченными, например, отрезок , и неограниченными, например, множество действительных чисел R.Верна
=R (2)
– открытое множество.
замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.
замкнутое, т.е., если х
о
F
, то х
о
F
.
X
.
.
по метрике
или 
, при
n
.
(x
,
y
)=
х
у
, т.к. 0
.
x
n
,b
0.
.
– любая подпоследовательность последовательности
(x
n
). По условию . Это означает, что:
n
x
n
,а
.
.
.
,
,...,
(1)
x,y
R
m
.
. Тогда
(см. опр. 4 §7) 
по метрике
в м.пр. С
[a
,
b
].
, то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.
для каждого фиксированного t
[a
,
b
].
, 
;
.Лекция № 3 Метрические пространства Открытые и замкнутые множества
Лекция
К ИЗУЧЕНИЮ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Документ
Похожие статьи
