Методы излагаются на основе результатов, представленных в учебных пособиях Зенкевича, Моргана и Румянцева .
Методы взвешенных невязок
Большая группа методов приближенного решения дифференциальных уравнений базируется на математической формулировке, связанной с интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок.
Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:
Здесь L?дифференциальный оператор; x i ? пространственные координаты; V и S ? объем и внешняя граница исследуемой области; u 0 - точное решение.
при этом коэффициенты? неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.
В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (3) в уравнение (1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия от точного решения:
В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов.
На втором этапе на функцию невязки (4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).
В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках? точках коллокаций, количество которых равно числу неизвестных коэффициентов. В этих М точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов:
В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции, а затем минимизируют ее в среднем:
В методе наименьших квадратов? методе Рэлея-Ритца? в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.е. , и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:
Для этого должно выполняться условие:
приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции, называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке:
Если? линейный оператор, то система (9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов.
Основная концепция метода конечных элементов
Главная трудность при непосредственном применении классических методов взвешенных невязок связана с выбором базисных функций для области определения в целом. Эти функции должны не только удовлетворять граничным условиям, но и достаточно полно описывать геометрию и другие характеристики задачи. Все эти условия обычно трудно выполнить, особенно для объектов (конструкций) сложной геометрии при наличии сложного теплообмена, и поэтому возможности методов в их классическом смысле весьма ограничены.
С появлением быстродействующих ЭВМ получила развитие идея локализации аппроксимирующих функций в малых областях (подобластях), называемых конечными элементами
Важной особенностью МКЭ является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах, их можно рассматривать независимо друг от друга. Это значит, что каждый элемент можно считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в его узлах независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели, и от поведения функции на других конечных элементах. С математической точки зрения это означает следующее. Для каждого элемента записывается локальная (элементная) аппроксимирующая функция:
где? число узлов, принадлежащих -му элементу; ? значения искомой функции в его узлах; ? базисная функция; ? объем элемента.
Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других элементов, т.е. дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого -го элемента, например, методом Галеркина:
Полученные на основании (2.2) матрицы для отдельных элементов, которые содержат в качестве неизвестной узловые значения функции, формируют в глобальные матрицы для всей области определения. Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в узлах, что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом:
где - число элементов, совокупность которых аппроксимирует область в целом.
Реализация в рамках МКЭ представления области определения совокупностью конечных элементов обусловливает следующие важные преимущества МКЭ, обеспечивая его широкое применение для решения задач теории поля:
* локальная аппроксимация на каждом элементе единственным образом определяется значениями искомой функции в узловых точках;
* обеспечивается широкая вариация задания граничных условий на отдельных участках границы (внешней и внутренней) области;
* криволинейные участки границ области могут быть аппроксимированы прямыми линиями;
* размеры и геометрическая форма элементов могут быть разными;
* взаимные соединения элементов не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре;
* свойства материала каждого элемента могут быть индивидуальными и, к тому же, анизотропными;
* обеспечивается возможность повышения точности решения задачи путем увеличения количества элементов, ограничиваемого лишь мощностью используемой ЭВМ;
* вследствие наличия общих узловых точек, глобальные матрицы являются ленточными, т.е. содержат большое число нулей.
В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач теории поля являются следующие:
* построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках.
При этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в целом;
* получение базисных функций элементов;
* построение матричного представления для каждого элемента на основании;
* объединение всех элементов в ансамбль путем матричных преобразований;
* задание краевых условий для элементов;
* решение результирующей системы уравнений: обыкновенных дифференциальных первого порядка (нестационарный процесс) или алгебраических (стационарный процесс);
* вывод и оценка результатов; расчет любой другой функции, зависящей от значений в узлах найденного решения задачи.
Первый этап конечно-элементной процедуры - декомпозиция исследуемого объекта (конструкции или ее частей) на конечные элементы, взаимосвязанные в узловых точках, - включает в себя следующие операции:
* выбор типов элементов, совокупность которых аппроксимирует объект;
* задание размеров и, тем самым, количества элементов;
* нумерацию элементов и узлов, и индексацию последних.
Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Введение Функция аппроксимируются набором функций: Где - неизвестные параметры - линейно-независимые функции, принадлежащие к полной последовательности (3) Рассмотрим функцию ошибки (невязку): (4) При этом будем полагать, что: - набор весовых функций (5)
Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке: с граничными условиями: Возьмем аппроксимирующую функцию в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых: (6) (7) (8) при Точное решение (проверка): В качестве точек коллокаций выберем
Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций и метод наименьших квадратов Распространим метод коллокаций на случай, когда число точек превышает число неизвестных. При этом неизвестные параметры определяются при минимизации в среднеквадратичном смысле. оценивается в точках (), а функция может быть записана в виде: Минимизируем (16), для -ого уравнения получим: (15) (16) (17)
Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке: с граничными условиями: и аппроксимирующей функцией в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых: при Точное решение (проверка): Подсчитаем невязку в трех точках:
Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод моментов Для заданной системы уравнений: В качестве весовых функций можно использовать любой набор линейно независимых функций из полной последовательности, например: При этом обеспечивается обращение в нуль моментов невязки более высокого порядка: (18) (17) (19)
Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке: с граничными условиями: и аппроксимирующей функцией в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых: при Точное решение (проверка): Функция ошибки ортогонализируется по отношению к и:
Суммируют измененные значения внутренних углов полигона и записывают это значение в ведомость (∑ ).
Находят теоретическую сумму внутренних углов многоугольника по формуле
∑ =180° (n-2),
где n - число измеренных углов.
Определяют угловую невязку = ∑ - ∑
И записывают ее с соответствующим знаком в ведомость. Если бы результаты измерений не имели погрешностей, то угловая невязка равнялась бы нулю. Отсюда следует, что величина угловой невязки характеризует качество измерения углов. Предельно допустимую погрешность (невязку) угловых измерений вычисляют по формуле
где n – число углов в ходе;
1"-предельная погрешность измерения одного угла теодолитом 4Т30П. Если выполняется условие |≤| |, то точность полевых измерений углов считается удовлетворительной. В противном случае в результатах измерений или вычислениях имеется погрешность, которую надо обнаружить и устранить.
Результаты всех этих вычислений приводятся под итоговой чертой граф 2 и 3 в ведомости координат.
При упрощенном уравнивании углов полученную угловую невязку распределяют с обратным знаком во все измеренные углы. Поправка в каждый угол будет
Если невязка не кратна числу углов, то большую поправку получают углы, составленные более короткими сторонами.
Для облегчения дальнейших вычислений возможно распределение поправок с целью округления десятых долей минут до целых минут. Поправки записывают красным цветом в графе 2 над минутами измеренного угла. Контролем увязки углов является выполнение условия
2. По исходному дирекционному углу сторон 1 – 2 (заданному преподавателем) и исправленным горизонтальным углам вычисляют дирекционные углы всех последующих сторон основного полигона по формуле
где α n =1 - дирекционный угол последующей стороны;
α n - дирекционный угол предыдущей стороны;
– увязанный (исправленный) горизонтальный угол, лежащий между предыдущей и последующей сторонами полигона.
Вычисление дирекционных углов удобно производить на калькуляторах, при небольшом объеме работ вычисления можно выполнять на бумаге, располагая их в следующем порядке (вычисления приведены применительно к графе 4 табл.17):
+180°00"
- 119°51"
+180°00"
-105°48
+180°00"
- 100°29"
+180°00"
- 119°51"
+180°00"
- 98°16"
Если значение вычисленного дирекционного угла получилось больше 360°, то 360° надо вычесть. Вычисленные дирекционные углы выписываются в ведомость координат в графу 4.
Контролем правильности вычисления дирекционных углов в замкнутом полигоне является получение дирекционного угла исходной стороны :
3. Получение дирекционные углы переводят в румбы. Зависимость между дирекционными углами и румбами представлена в табл. 15.
Таблица 15
Зависимость между дирекционными углами и румбами
Проверить правильность определения румбов необходимо повторными вычислениями. Значения румбов выписывают в графу 5 ведомости координат.
4. По вычисленным значениям румбов и горизонтальным проложениям сторон (графы 5 и 6 ведомости координат) вычисляют приращения координат по формулам
∆ Х= ±d*cosr
где ∆ Х и ∆ Y – приращения координат соответственно по осям Х и Y;
D – горизонтальные проложения линий;
R – румбы линий.
Знаки приращений координат определяют по названиям румбов.
Таблица 16
Знаки приращений координат
| Названия румбов | ∆ Х | ∆ Y |
| СВ | + | + |
| ЮВ | - | + |
| ЮЗ | - | - |
| СЗ | + | - |
Вычисление приращений координат можно производить с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических функций либо с помощью таблиц приращений координат, правила пользования которыми указаны в предисловии к ним.
Вычисленные значения приращений переписывают в соответствующие графы 7,8 ведомости координат с округлением до сотых долей метра.
Для грубого контроля следует запомнить, что при румбе линии до 45° ∆ Х >∆ Y, а при румбе лини больше 45° ∆ Х<∆ Y.
5. Вычисление линейной невязки замкнутого теодолитного хода, ее допуск и распределение.
Определяют невязки в приращении координат. Для этого находят алгебраическую сумму приращения координат отдельно по оси Х и по оси Y и подписывают ее внизу в столбцах 7,8 ∑ И ∑ .
Вследствие неизбежных ошибок измерений, содержащихся в углах и сторонах хода, вычисленные суммы приращений, как правило, отличаются от теоретических. Их соответственные разности являются невязками по осям координат И , т.е.
Известно, что в замкнутом ходе
∑ = 0; ∑ =0,
Откуда ∑ ; = ∑ .
Определяют абсолютную невязку полигона
И относительную невязку
где р – сумма горизонтальных проложений хода.
Относительная линейная невязка является показателем точности линейных измерений; допустимость ее определяется условиями измерений длин сторон полигона. Для благоприятных условий измерений величина относительной невязки не должна превышать 1:2000, для неблагоприятных – 1:1000, 1:1500. При допустимости относительной невязки в вычислительные значения приращений координат вводят поправки, которые записывают над соответствующими величинами X и Y. Поправки вычисляют, распределяя взятые с обратным знаком невязки и Пропорционально величинам соответствующим горизонтальных проложений (с округлением до сантиметра), по формулам
ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Метод конечных элементов является численным методом и основан на замене объекта (конструкции или ее части) совокупностью подобластей (элементов), для каждой из которых отыскивается приближенное решение задачи теплообмена. Это означает, что для каждого элемента необходимо записать дифференциальное уравнение переноса и граничные условия, характеризующие процессы теплообмена на граничных поверхностях именно этого элемента, и затем получить решение в том или ином виде. Объединение "элементных" решений по определенному правилу дает решение задачи для объекта в целом. В этой главе будет изложена основная концепция МКЭ.
2.1 Методы взвешенных невязок
Большая группа методов приближенного решения дифференциальных
уравнений базируется на математической формулировке, связанной с
интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок .
Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:
,
,
(2.1.1)
,
.
(2.1.2)
Здесь L −дифференциальный оператор; x i − пространственные координаты; V и S − объем и внешняя граница исследуемой области; u 0 – точное решение.
Будем
считать, что некоторая функция u
также является решением уравнения, и
оно может быть аппроксимировано набором
функций
:
,
(2.1.3)
при
этом коэффициенты
−
неизвестные величины, подлежащие
определению с помощью некоторой
математической процедуры.
В
методах невязки эта процедура состоит
из двух последовательных этапов. На
первом этапе подстановкой приближенного
решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится
функция
ошибка
,
или невязка
,
которая характеризует степень
отличия
отточного
решения
:
В
итоге получается алгебраическое
уравнение, содержащее текущие координаты
иМ
по-прежнему неизвестных коэффициентов
.
На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).
В
методе коллокаций полагают, что
дифференциальное уравнение удовлетворяется
только в некоторых выбранных (произвольно)
точках − точках коллокаций
,
количество которых равно числу неизвестных
коэффициентов
.
В этихМ
точках невязка должна равняться нулю,
что приводит к системе М
алгебраических уравнений для М
коэффициентов
:
.
(2.1.5)
В
методах взвешенной невязки сначала
формируют взвешенную невязку путем ее
умножения на некоторые весовые функции
,
а затем минимизируют ее в среднем:
.
(2.1.6)
В
методе наименьших квадратов − методе
Рэлея-Ритца − в качестве весовой функции
выбирается сама ошибка, т.е.
,
и требуется, чтобы полученная таким
способом величина (функционал) была
минимальна:
.
(2.1.7)
Для этого должно выполняться условие:
,
(2.1.8)
приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
В
методе Галеркина в качестве весовых
функций берутся сами функции
,
называемые базисными
,
и требуется их ортогональность
невязке
:
.
(2.1.9)
Если
−
линейный оператор, то система (2.1.9)
переходит в систему алгебраических
уравнений относительно коэффициентов
.
Рассмотрим
метод Галеркина на конкретном примере
. Дано уравнение на промежутке
:
с
граничными условиями:
,
.
Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде:
удовлетворяющей
граничным условиям (2.1.2) при любых
.
На первом этапе находим невязку:
Выполним процедуру второго этапа:
,
.
Интегрирование приведет к системе двух уравнений:
,
решением
которых будут следующие значения
:
;
.
Приближенное решение имеет вид:.
Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с точным решением дано в таблице 1.
Таблица 1
Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах аппроксимирующих функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того, этот метод применим при решении и нелинейных задач, включая те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея-Ритца.
Лекция 6
Метод взвешенных невязок
Метод взвешенных невязок
Метод наименьших квадратов довольно прост по своей идее. Однако большее распространение получил так называемый метод взвешенных невязок . В этом методе система уравнений для определения неизвестных коэффициентов строится следующим образом:
Здесь 
‑ некоторая система «весовых» функций. Отсюда, кстати, и название «метод взвешенных невязок».
Математический смысл этого подхода состоит в следующем. Обратите внимание, что интегралы в (28) представляют собой скалярные произведения функции невязок на весовые функции. Если использовать геометрическую аналогию, то можно сказать, что интегралы в (28) представляют собой проекции функции невязок на весовые функции.
Если бы можно было в качестве весовых функций использовать полную систему функций, то полученное решение было бы точным. Однако, по понятным причинам, приходится использовать конечное число весовых функций.
Запишем систему (28) применительно к рассматриваемому примеру (1):
То есть, вновь, как и в методе наименьших квадратов, задача сводится к решению системы линейных уравнений . Но элементы матрицы и вектора имеют иной вид:
Система весовых функций может выбираться различным образом. Попробуем сначала самый простой вариант: первые три функции степенного ряда:
Напомним, что мы обязаны ограничиться только тремя весовыми функциями, поскольку в этом примере мы ищем приближенное решение в виде линейной комбинации трех функций (18), и приближенное решение (17) содержит три неизвестных коэффициента: .
Подставляя (18) и (31) в (30), получим
,
и решение системы :
Подставляя найденные значения коэффициентов в (17), получим
Таблица 3
| x | Точное решение | Метод взвешенных невязок (весовые функции: 1,x ,x 2) |
| 0.25 | -0.0716449 | -0.0611209 |
| 0.5 | -0.1013212 | -0.0780438 |
| 0.75 | -0.0716449 | -0.0565199 |
 |
Соответствующий график на рисунке 9.
Рис.9
Как видим, результаты оказались хуже, чем при использовании, как метода конечных разностей, так и метода наименьших квадратов. Причина такой неприятности не в том, что плох метод взвешенных невязок. Дело в том, что система весовых функций была выбрана неудачно. Как уже говорилось, в «Математическом отступлении» (втором пункте этого параграфа) эти функции и не нормированы, и не ортогональны. Там же была получена по методу Грама-Шмидта ортонормированная система функций, эквивалентная (31). Попробуем теперь в качестве весовых функций использовать функции этой системы:
В этом случае матрица и вектор :
а решение системы :
В результате подстановки этих значений в (17):
Таблица 4
| x | Точное решение | Метод взвешенных невязок (ортонормированная система степенных функций) |
| 0.25 | -0.0716449 | -0.0717608 |
| 0.5 | -0.1013212 | -0.1010489 |
| 0.75 | -0.0716449 | -0.717608 |
Здесь видно, что, казалось бы, незначительное улучшение при выборе весовых функций привело к значительному повышению точности приближенного решения. Кстати, обратите внимание, что хотя матрицы и , полученные по методу наименьших квадратов и в последнем случае, различны, решения этих линейных систем практически совпали. График приближенного решения, поэтому не приводится. Он выглядел бы точным повторением рис.8.
Похожие статьи
