В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Пусть точка - центр, а точка
, - произвольная точка окружности. Тогда

где R называется радиусом окружности, или в развернутом виде

Уравнение (4) называется каноническим уравнением окружности.

Замечание. Если в уравнении (4) обозначить
,
и разделить обе части на
, получим уравнение
. Т.о. окружность есть частный случай эллипса с равными полуосями.

7.1.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Пусть
, - фокусы, расстояние
,M – произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определения, имеем

, (5)

где а – заданная величина.

Введем систему координат, указанным ниже на рисунке способом.

тогда соотношение (5) после алгебраических преобразований и исключения иррациональности можно представить в виде:

(6)

которое и называется каноническим уравнением гиперболы. В данной системе координат и указанном уравнении (6) график гиперболы имеет вид:

Если же уравнение гиперболы имеет вид

(7)

то соответственно ее график имеет вид:

Параметры иназывают полуосями,- действительной,- явной. Параметр

(8)

называется эксцентриситетом . Он характеризует форму гиперболы.

Отметим некоторые свойства гиперболы.

1) Гипербола имеет, как минимум, две оси симметрии и центр симметрии .

Действительно, точка (0;0) при любом расположении графика гиперболы в канонической системе координат является центром симметрии. Роль осей симметрии играют оси ОХ и ОУ .

2) Гипербола пересекает одну из осей симметрии в двух точках, называемых вершинами , с другой же осью симметрии гипербола не пересекается .

Такие, на первом графике вершины гиперболы (6) расположены на оси ОХ, это точки
и
, на втором графике (7) - на осиОУ ,-это
и
.

3) Гипербола имеет асимптоты, то есть прямые, к которым гипербола неограниченно приближается , если точка, скользящая вдоль нее, уходит в бесконечность.

Для гиперболы с каноническим уравнением
асимптоты описываются уравнениями

и
. (9)

Для гиперболы, заданной уравнением
асимптоты задаются прямыми

. (10)

Фокусы гиперболы
(или
для
) расположены на одной оси с её вершинами. Здесь

. (11)

Оптическое свойство гиперболы. Луч, выходящий из одного из фокусов гиперболы, после своего отражения от кривой идет так, как - будто он вышел из второго фокуса.

7.1.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом , и данной прямой, которая называется директрисой.

Пусть прямая l , - директриса, - фокус и удалён от директрисы на расстояние p , а точка М , - произвольная точка параболы. Тогда

Выберем систему координат указанным ниже образом.

.

Тогда уравнение параболы, после исключения иррациональности примет вид

,
(12)

которое и называется каноническим уравнением параболы . В данной системе координат и указанном уравнении (12) график параболы имеет вид:

Для найденного канонического уравнения параболы уравнение директрисы

,
(13)

а фокус расположен в точке
.

Отметим одно из свойств.

Парабола имеет одну ось симметрии.

В выбранной выше системе координат осью симметрии параболы является ОХ.

Замечание. 1. Если фокус имеет координаты
,а директриса описывается уравнением
, то уравнение параболы принимает вид

. (14)

Если же фокус расположить на оси 0y , то уравнение примет вид

или
, (15)

в зависимости от расположения директрисы (
или
, соответственно). Эти уравнения также называютсяканоническими . Отмеченные особенности позволяют однозначно определять расположение параболы и её характеристические признаки (координаты фокуса, уравнение директрисы).

Оптическое свойство параболы. Лучи, параллельные оси параболы, после отражения от кривой проходят через ее фокус.

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
.

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Следствие 1.
  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


• Следствие 2.
  Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

• Длина окружности:

C = 2∙π∙R

• Длина дуги окружности:

R = С/(2∙π) = D/2

• Диаметр:

D = C/π = 2∙R

• Длина дуги окружности:

l = (π∙R) / 180∙α ,
где α - градусная мера длины дуги окружности)

• Площадь круга:

S = π∙R 2

• Площадь кругового сектора:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

• В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2

• Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

x 2 + y 2 = r 2

И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

d = 2r
D = 2R

Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

C = ¶d
C = 2¶r

• Примеры
• Дано: d = 100 см.
• Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Секущая окружности и дуга окружности

Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

• Примеры
• Дано: r = 100 см
• Площадь круга:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площадь круга:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

Похожие статьи