Зависимость между напряжениями и внутренними силовыми факторами. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями при изгибе

Рабочие гипотезы СОПРОМАТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТУПЕНЧАТЫХ БРУСЬЯХ С НЕСКОЛЬКИМИ СИЛОВЫМИ УЧАСТКАМИ.

ОТВЕТ: Растяжением или сжатием бруса называют такой его вид деформации, при котором все внешние силы направлены по продольной оси, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – продольная сила N. Ее величину определяют, используя метод сечений: , т.е. продольная сила в рассматриваемом сечении бруса численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Условились считать N>0, если она направлена в сторону от сечения, т.е. растягивает и N<0, если сжимает. Для полного суждения о прочности бруса необходимо построить график изменения продольной силы по длине бруса – эпюру продольной силы (Эп.N).

Напряжения и деформации при осевом растяжении-сжатии

В процессе деформирования в поперечных сечениях бруса при осевом растяжении-сжатии возникают только нормальные напряжения σ, причем они распределяются равномерно по поперечному сечению.

При растяжении-сжатии брус испытывает только линейные деформации.

– абсолютная продольная деформация груза (удлинение)

Относительная продольная деформация

- абсолютная поперечная деформация (сужение)

Относительная поперечная деформация

Связь между и : - коэффициент Пуассона.

Линейная закономерность, связывающая напряжения и деформации – закон Гука при осевом растяжении-сжатии.

Определение геом. характеристик.

Рассмотрим определение геом. характеристик , для наиболее часто встречаемых поперечных сечений валов.

1.Сплошной вал

2.Полый вал

3.Тонкостенное трубчатое сечение

К тонкостенным отн-ся трубу с соотношением

Определение перемещений при изгибе. Условие жесткости. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Варианты расчета простых статически неопределимых балок

Существует несколько способов расчета простых балок:

1.Сравнение линейных перемещений.

ΔВ=ΔВq+ΔBRB=0(1) доп. уравнение деформаций

Слагаемые в(1) могут быть найдены исп-я готовые таблицы или универсальные уравнения. Применительно к рас-му предмету:

ΔBq=-qe 4 /8EIx; ΔBRB=RBe 3 /3EIx;

ΔB=-qe 4 /8EIx +RBe 3 /3EIx =0 =>RB=3qe/8

2. Сравнение угловых перемещений.

Можно отбросить связь, препятствующая повороту опорного сечения А и записать

ΔA=ΔAq+ΔAMA=0(2)

Также ур-е деформации слагаемое означает углы поворота.

3.Составление замкнутой системы ур-я.

3 ур-я статики+ унивес. ур-е

43. Метод сил для расчета сложных СНС.

Метод при котором за неизвестное принимаются сосредоточенные моменты наз-ся методом сил. Он явл-ся наиболее распространенным и ис-ся для любых упругих систем (балки, рамы,эстакады итд.).

Например:

К трем ур-ям статики для решения данной СНС добавится 3 уравнения, выражающие рав-во 0 перемещений по направлениям всех отброшенных связей т.е. опорное сечение и не перемещаются им в горизонтальном или в вертикальном перемещениях и не переворачиваются.

X1 Δ1=0

X2 Δ2=0 (1)

X3 Δ3=0

Каждое уравнение системы(1) можно записать в развернутом виде:

Δ1=Δ11+Δ12+Δ13+Δ1f=0 (2)

Первый символ указывает направление; 2-й воз-е.

Δ1f-перемещение опорного сечения А в направлении действия X, вызванное внешней нагрузкой

(2) можно выразить через единичные перемещения и искомое неизвестное (это первые три слагаемых)

Δ11=δ11-x1 и тогда система примет закончен. вид.

δ11 x1+ δ12 x2+ δ13 x3+ Δ1f=0

δ21 x1+ δ22 x2+ δ23 x3+ Δ2f=0 (3)-система кумс.

δ31 x1+ δ32 x2+ δ33 x3+ Δ3f=0

Канонические ур-я метода сил-КУМС.

Число ур-й равно степени статической неопределимости.

Рабочие гипотезы СОПРОМАТА

ОТВЕТ: В отличие от термеха, базирующегося на модели абс. твердого тела, в сопромате принята своя расчетная модель-модель идеализированного деформируемого тела. А для упрощения расчетов принимаются следующие допущения или гипотезы: 1) Материал тела имеет сплошное строение. 2) материал однороден, т.е. во всех точках свойства одинаковы. 3) материал изотропен, т.е. по всем направлениям свойства одинаковы. 4) до приложения внешних сил начальные напряжения в материале отсутствуют. 5) при решении реальных задач целесообразно использовать принцип суперпозиции, или принцип независимости действия сил, т.е. воздействие на конструкцию группы сил равно сумме воздействий от каждой силы в отдельности и не зависит от последовательности приложения этих сил.

ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ И МЕТОД ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

ОТВЕТ: Под действием внешних сил на брус возникают внутренние силы или внутренние силовые факторы, для определения которых в сопромате принят единый расчетный метод – метод сечений. 1) разрезаем мысленно брус в исследуемом сечении на 2 части I и II. 2) Отбрасываем одну из частей. 3) Заменяем действие отбрасываемой части II на часть I внутренними силовыми факторами(в общем случае их 6). Q x Q y – поперечные силы, N z – продольная сила, M x M y – изгибающие моменты, M z – крутящий момент. 4) Уравновешиваем оставшуюся часть бруса и с помощью уравнений равновесия термеха находим искомые силовые факторы.

ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ, ДЕФОРМАЦИЯХ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ.

ОТВЕТ: Мерой интенсивности действия внутренних сил в окрестности точки рассматриваемого поперечного сечения являются напряжения, определяемые отношением силы к единице площади [Па]. Если в поп. сечении выделить элемент DА, к которому будет приложена сила DР, то DР/DА=р m – среднее полное напряжение в рассматриваемой точке поперечного сечения. - полное истинное напряжение. Вектор раскладывают на и . - нормальное напряжение – вызывает разрушения путем отрыва. - касательное напряжение – вызывает разрушение путем сдвига. Перемещения и деформации – понятия, характеризующие изменение размеров и формы исследуемого тела. При этом перемещения являются следствием деформации.

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте , исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.

реферат , добавлен 23.06.2010

Потенциальная энергия заряда в однородном поле и потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Понятие разности потенциалов. Связь напряжения и напряженности. Принцип суперпозиции для потенциалов. Понятие эквипотенциальных поверхностей.

контрольная работа , добавлен 06.10.2013

Общая характеристика сопротивления материалов. Анализ прочности, жесткости, устойчивости. Сущность схематизации геометрии реального объекта. Брус, оболочка, пластина, массив как отдельные тела простой геометрической формы. Особенности напряжения.

презентация , добавлен 22.11.2012

Определение размеров поперечных сечений стержней, моделирующих конструкцию робота-манипулятора. Вычисление деформации элементов конструкции, линейного и углового перемещения захвата. Построение матрицы податливости системы с помощью интеграла Мора.

курсовая работа , добавлен 05.04.2013

Вычисление реакций опор в рамах и балках с буквенными и числовыми обозначениями нагрузки. Подобор номеров двутавровых сечений. Проведение расчета поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр внутренних усилий. Определение перемещения точек.

курсовая работа , добавлен 05.01.2015

Теорема о циркуляции вектора. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия. Разность потенциалов, связь между ними и напряженностью. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Расчет потенциалов простейших электростатических полей.

презентация , добавлен 13.02.2016

Энергия ветра и возможности её использовании. Работа поверхности при действии на нее силы ветра. Работа ветрового колеса крыльчатого ветродвигателя. Перспективы развития ветроэнергетики в Казахстане. Преимущества и недостатки систем ветродвигателей.

реферат , добавлен 27.10.2014

Задача сопротивления материалов как науки об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций. Внешние силы и перемещения. Классификация нагрузки по характеру действия. Понятие расчетной схемы, схематизация нагрузок.

методом сечений

Мысленно проводим сечение некоторой плоскостью в месте, где необходимо определить внутренние усилия. Так как связи между частицами устранены, то необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой сил в сечении. Ими и являются внутренние силы, которые по принципу действия и противодействия всегда взаимны. Независимо от того, как эти силы распределены по сечению, они приводятся к центру тяжести сечения в виде главного вектора внутренних сил и главного момента внутренних сил
. Определяются они из уравнений равновесия оставленной в рассмотрении безразлично какой части элемента (в данном случае левой). Для составления уравнений равновесия в сечении выбирают систему координат, и вектора и раскладываются по этим осям на шесть составляющих: три силы (продольное внутреннее усилие
и поперечные усилия , ) и три момента (крутящий момент
и изгибающие моменты
,
), которые определяются из шести уравнений равновесия (рис. 1.5).

Таким образом, при помощи метода сечений можно определить не закон распределения внутренних усилий по сечению, а только их равнодействующие. Для решения задач прочности нужно знать характер распределения сил по сечению, т.е. ввести числовую меру. За такую меру принимается напряжение.
^

1.6 Напряжения. Связь напряжений с внутренними силовыми факторами. Принцип Сен-Венана

Напряжения

Если выделить малую площадку
в сечении и обозначить внутреннее усилие, действующее на нее
(рис. 1.6), вектор полного напряжения в точке тела будет определяться формулой

, (1.1)

Задается вектор полного напряжения своими проекциями на оси
, , . Для этого обозначим проекции вектора на оси
,
,
(рис. 1.7) и найдем соответствующие проекции полного напряжения:

Нормальное напряжение

, (1.2)

Рис. 1.7 - касательное напряжение вдоль оси

, (1.3)

Касательное напряжение вдоль оси

. (1.4)

Если закон распределения напряжений по сечению известен, то с помощью формул (1.2) – (1.4) и рисунков (1.8), (1.5) можно получить обратную связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами

, (1.5)
Напряжения, вызванные локальной нагрузкой в точках тела, достаточно удаленных от места приложения к нему этой нагрузки, мало зависят от конкретного характера распределения нагрузки, а определяются только ее главным вектором и моментом.

Нагрузка называется локальной, если размеры площадки, к которой она приложена, малы по сравнению с размерами тела.

НАГРУЗКИ

Рассмотрим балку, находящуюся под действием плоской системы сил (рис. 12.7). Двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии друг от друга, выделим из балки элемент так, чтобы на него не действовали внешние сосредоточенные силы и моменты.

На левый торец элемента действуют внутренние усилия М и Q (рис. 13.7), а на правый Здесь представляют собой приращения величин внутренних усилий на участке балки. Кроме того, на элемент действует распределенная нагрузка, перпендикулярная к оси балки; интенсивность ее у левого конца элемента равна q, а у правого (рис. 13.7) .

Так как вся балка в целом находится в равновесии, то в равновесии находится и ее элемент Составим уравнение равновесия элемента в виде суммы проекций на ось у всех действующих на него сил (рис. 13.7):

Здесь второе слагаемое представляет собой величину высшего порядка малости; отбрасывая его, получаем

Итак, первая производная от. поперечной i силы по абсциссе сечения равна интенсивно распределенной нагрузки, перпендикулярной к оси балки.

Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов действующих на него сил относительно точки К (рис. 13.7):

Отбросив бесконечно малые величины высших (второго и третьего) порядков, получим:

Таким образом, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

Зависимости (5.7) и (6.7) действительны, когда абсцисса поперечного сечения возрастает от левого конца балки к правому. Если, наоборот, абсцисса х возрастает от правого конца балки к левому, то в правых частях формул (5.7) и (6.7) перед q и Q должен стоять знак «минус».

Из курса высшей математики известен геометрический смысл первой производной при любом значении аргумента она равна тангенсу угла а между касательной к кривой (в точке с координатами и положительным направлением оси Положительные и отрицательные значения угла а показаны на рис. 14.7, а.

Если первая производная (а следовательно, и угол а) положительна, то функция возрастает (точка на рис. 14.7, а), а если она отрицательна, - то убывает (точка на рис. 14.7, а). Экстремум (максимум или минимум) функции имеется при тех значениях при которых производная равна нулю и, следовательно, угол а также равен нулю, т. е. касательная к кривой параллельна оси (точка К на рис. 14.7, а).

Используя изложенные зависимости между функцией и ее первой производной, из теоремы Журавского можно сделать ряд важных выводов:

1. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру М, и осью эпюры равен поперечной силе Q (рис. 14.7, б, в), т. е.

Так, например, тангенс отрицательного угла а (рис. 10.7, в) на участке II балки, изображенной на рис. 10.7, а, имеет значение т. е. равен поперечной силе Q на этом участке (рис. 10.7, б). На участках III и IV этой же балки поперечные силы Q одинаковы и равны (см. рис. 10.7, б). В соответствии с этим прямые на рис. 10.7, в параллельны друг другу; тангенс угла их наклона к оси эпюры равен

2. На участках балки, на которых поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (слева направо), а на участках, на которых она отрицательна, - убывает.

Для примера на рис. 15.7, а изображены четыре эпюры Q, а под каждой из них на рис. 15.7, б, два из возможных вариантов эпюры М. Первым двум эпюрам Q (с положительными ординатами) соответствуют эпюры М с возрастающими (слева направо) ординатами, т. е. с положительными углами Последним двум эпюрам Q (с отрицательными ординатами) соответствуют эпюры М с убывающими (слева направо) ординатами, т. е. с отрицательными углами Этот же вывод можно проиллюстрировать эпюрами Q и М, изображенными на рис. 10.7: на участке II балки поперечная сила отрицательна, а на участке III - положительна (см. рис. 10.7, б); в соответствии с этим на участке II изгибающие моменты убывают (в алгебраическом смысле), а на участке - возрастают (см. рис. 10.7, в).

3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Q, тем круче линия, ограничивающая эпюру М. Этот вывод непосредственно вытекает из зависимости (7.7). В соответствии с данным выводом линии, ограничивающие эпюры М (рис. 15.7, б, в), круче в точках чем в точках а, так как поперечные силы больше по абсолютной величине, чем Линии, ограничивающие эпюры М, не могут иметь очертаний, показанных на рис. 15.7, б, в пунктиром, так как они тогда были бы круче в точках а, чем в точках b, что невозможно при поперечных силах меньших (по абсолютной величине) Такую же зависимость между эпюрами Q и М можно проследить и на рис. 10.7 и 11.7.

На основании рис. 15.7 можно сделать вывод о том, что на участке балки с возрастающими (в алгебраическом смысле) слева направо значениями Q линия, ограничивающая эпюру М, обращена выпуклостью вниз, а с убывающими - выпуклостью вверх.

4. На участке балки, на котором поперечная сила имеет постоянное значение, эпюра М ограничена прямой линией (см., например, на рис. 10.7 эпюры Q и М на участках III и IV балки). При эта линия наклонена к оси эпюры М под некоторым углом (где - см. вывод 1), а при она параллельна оси эпюры.

(см. скан)

В последнем случае соответствующий участок балки находится в состоянии чистого изгиба.

5. Если на границе соседних участков балки эпюра Q не имеет скачка, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются без перелома, т. е. имеют в точке сопряжения общую касательную.

На рис. 16.7, а показаны две эпюры Q, не имеющие скачков на границах соседних участков (в сечениях А). На рис. 16.7, б сплошными линиями изображены правильные сопряжения линий, ограничивающих эпюры М (без переломов в точках а), а пунктирными линиями - неправильные варианты сопряжения.

6. Если на границе соседних участков балки в эпюре Q имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с переломом, т. е. не имеют в точке сопряжения общей касательной.

На рис. 17.7, а показаны три эпюры Q, имеющие скачки на границах соседних участков (в сечениях А), а на рис. 17.7,б - соответствующие им сопряжения линий, ограничивающих эпюры переломами в точках а.

7. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю; касательная к линии, ограничивающей эпюру М, в этом сечении параллельна оси эпюры.

Внутренние силы так же, как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются интенсивностью (рис. 2.1), которая равна

Интенсивность нормальных сил - нормальные напряжения, вызывающие отрыв (сжатие) частиц (размерность).

Интенсивность касательных сил - касательные напряжения, вызывающие сдвиг (размерность).

Нормальные и касательные напряжения являются составляющими полного напряжения в точке по данному сечению, величина которого вычисляется по формуле.

Величины нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проходящего через эту точку.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляют собой напряженное состояние в этой точке.

2.2. Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Рассмотрим элементарную площадку dF поперечного сеченияF (сечения, нормального к осиx ) бруса с действующими по этой площадке нормальнымии касательныминапряжениями (рис. 2.2). Разложим напряженияна составляющиеи, параллельные соответственно осямy иz . На площадкудействуют элементарные силы,,, параллельные соответственно осямx , y иz . Проекции всех элементарных сил (действующих на всех элементарных площадкахdF сеченияF ) на осиx , y иz и их моменты относительно этих осей определяются выражениями

В левых частях выражений (2.1) указаны внутренние усилия, действующие в поперечном сечении бруса и приведенные к точке пересечения оси x и поперечного сечения. А именно:N - продольная сила;и- поперечные силы, параллельные соответственно осямy иz ;- крутящий момент;- изгибающий момент относительно осиy (действующий в плоскостиxz );- изгибающий момент относительно осиz (действующий в плоскостиxy ).

2.3. Виды напряженного состояния

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

Различают следующие виды напряженного состояния:

а) пространственное (трехосное) напряженное состояние (рис. 2.3, а ), когда через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной площадки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю;

б) плоское (двухосное) напряженное состояние (рис. 2.3, б ), когда в одной (и только одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения равны нулю;

в) линейное (одноосное) напряженное состояние (рис. 2.3, в ), когда касательные и нормальные напряжения в двух площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, равны нулю.

а )б )в )

2.4. Плоское напряженное состояние

При плоском напряженном состоянии, как отмечалось выше, в одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю.

Выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (элементарную) треугольную призму и совместим эту площадку с плоскос-тью чертежа. Индекс у нормальных и касательных напряжений (рис.2.4, а ) указывает на направление их действия. Например,- напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной осиx , в направлении осиx .

Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклоненной под углом к грани, по которой действуют напряжения, обозначим, а касательные напряжения по этой грани.

а )б )

Умножив каждое из действующих напряжений (рис. 2.4, а ) на площадь грани, по которой оно действует, получим систему сосредоточенных сил, приложенных в центрах тяжести соответствующих граней (рис. 2.4,б ):

В силу того, что выделенный элемент находится в равновесии, для него справедливы следующие уравнения статики:

Подставив в последнее уравнение выражения для сил ииз (2.2), получим

Выражение (2.4) представляет собой математическую запись закона парности касательных напряжений, который гласит, что касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к их общему ребру, равны по абсолютной величине и направлены либо оба к ребру, либо оба от ребра (рис. 2.5).

Первые два уравнения из (2.3) с учетом выражений для усилий из (2.2) принимают вид:

Учитывая, что , сократим данные уравнения на произведение. В результате получим:

Используя закон парности касательных напряжений (2.4), получим:

При выводе формул (2.5), (2.6) учтена тригонометрическая зависимость .

Формулы (2.5), (2.6) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения ив любых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.

По формуле (2.5) вычислим сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол равен, а для другой:

Таким образом, сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то в другой - минимальное.

При выводе формулы (2.7) были использованы следующие тригонометрические зависимости.