2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5. Данный сигнал характеризуется длительностью импульса, его амплитудой и периодом. По вертикальной оси откладывается напряжение.
Рис.5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Начало отсчета выберем в середине импульса. Тогда сигнал разлагается только по косинусам. Частоты гармоник равныn/T , где n - любое целое число. Амплитуды гармоник согласно (1.2.) будут равны :
так как V(t) =Е при , где - длительности импульса и V(t) =0 при , то
Эту формулу удобно записать в виде:
(2.1.)
). Эту функцию называют огибающей
спектра. Следует иметь ввиду, что
физический смысл она имеет только на
частотах, где существуют
соответствующие гармоники. На рис. 6
приведен спектр периодической
последовательности прямоугольных
импульсов.
Рис.6. Спектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов.
При построении огибающей имеем ввиду, что - является
Осцилирующей функцией частоты, а знаменатель монотонно возрастает с ростом частоты. Поэтому получается квазиосцилирующая функция с постепенным убыванием. При частоте стремящейся к нулю, к нулю стремятся одновременно и числитель и знаменатель, их отношение стремится к единице (первый классический предел). Нулевые значения огибающей возникают в точках где т. е.
Где m – целое число (кроме m
В данном выражении
 |
функция sinc, как показано на рис. 2.6, достигает максимума (единицы) при у = 0и стремится к нулю при у ® ±¥, осциллируя с постепенно уменьшающейся амплитудой. Через нуль она проходит в точках у = ±1, ±2, …. На рис. 2.7, а как функция отношения п/Т 0 показан амплитудный спектр последовательности импульсов |с n |, а на рис. 2.7, б изображен фазовый спектр q n . Следует отметить, что положительные и отрицательные частоты двустороннего спектра - это полезный способ математического выражения спектра; очевидно, что в реальных условиях воспроизвести можно только положительные частоты.
Отношение
Идеальная периодическая последовательность импульсов включает все гармоники, кратные собственной частоте. В системах связи часто предполагается, что значительная часть мощности или энергии узкополосного сигнала приходится на частоты от нуля до первого нуля амплитудного спектра (рис. 2.7, а ). Таким образом, в качестве меры ширины полосы последовательности импульсов часто используется величина 1/T (где Т - длительность импульса). Отметим, что ширина полосы обратно пропорциональна длительности импульса; чем короче импульсы, тем более широкая полоса с ними связана. Отметим также, что расстояние между спектральными линиями Df = 1/Т 0 обратно пропорционально периоду импульсов; при увеличении периода линии располагаются ближе друг к другу.
Таблица 2.1. Фурье-образы
| x (t ) | X (f ) |
| d(t ) | |
| d(f ) | |
| cos 2 pf 0 t | /2 |
| sin 2 pf 0 t | /2 |
| d(t - t 0) | |
| d(f - f 0) | |
| , a >0 | |
 |  |
 | |
| exp(-at )u (t ), a >0 | |
| rect(t / T ) | T sinc fT |
| W sinc Wt | rect (f / W ) |
 |
sinc x
=
Таблица 2.2 Свойства преобразования Фурье f )
Название образовательной организации:
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»
Год и место создания работы: 2016 год, цикловая комиссия естественных и общепрофессиональных дисциплин.
Методические указания к выполнению практической работы по дисциплине «Теория электросвязи»
«Расчет и построение спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов»
для студентов 2 курса специальностей:
11.02.11 Сети связи и системы коммутации
11.02.09 Многоканальные телекоммуникационные системы
очной формы обучения
Цель работы: закрепить знания, полученные на теоретических занятиях, выработать навыки расчета спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Литература: П.А. Ушаков «Цепи и сигналы электросвязи». М.: Издательский центр «Академия», 2010, с.24-27.
1. Оснащение:
1.Персональный компьютер
2.Описание практической работы
2.1. Периодический сигнал произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, это называется спектральным разложение сигналом.
2.2 . Гармониками называются колебания, частоты которых в целое число раз больше частоты следования импульсов сигнала.
2.3. Мгновенное значение напряжения периодического сигнала производной формы может быть записано следующим образом:
Где постоянная составляющая, равная среднему значению сигнала за период;
Мгновенное значение синусоидального напряжения первой гармоники;
Частота гармоники, равная частоте следования импульсов;
Амплитуда первой гармоники;
Начальная фаза колебания первой гармоники;
Мгновенное значение синусоидального напряжения второй гармоники;
Частота второй гармоники;
Амплитуда второй гармоники;
Начальная фаза колебания второй гармоники;
Мгновенное значение синусоидального напряжения третий гармоники;
Частота третий гармоники;
Амплитуда третий гармоники;
Начальная фаза колебания третий гармоники;
2.4. Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнала. На практике чаще всего используется диаграмма амплитуд
Если сигнал представлен собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, то постоянная составляющая равна
где Um - амплитуда напряжения ПППИ
s - скважность сигнала (S - T/t);
T - период следования импульсов;
t - длительность импульсов;
Амплитуды всех гармоник определяются выражением:
Umk = 2Um | sin kπ/s | / kπ
где k - номер гармоника;
2.5. Номера гармоника, амплитуды которых равны нулю
где n - любое целое число 1,2,3…..
Номер гармоники, амплитуда которой первый раз обращается в нуль, равен скважности ПППИ
2.6. Интервал между любыми соседними спектральными линиями равен частоте первой гармоники или частоте следования импульсов.
2.7 Огибающая амплитудного спектра сигнала (на рис. 1 показанная пунктирной линией)
выделяет группы спектральных линий называемых лепестками. Согласно рис. 1 каждый лепесток огибающей спектра содержит число линий, равное скважности сигнала.
3 . П орядок выполнения работы .
3.1. Получить вариант индивидуального задания, который соответствует номеру в списке журнала группы (см. приложение).
3.2. Ознакомиться с примером расчета (см. раздел 4)
4. Пример
4.1. Пусть период следования ПППИ Т=.1мкс, длительность импульсов t=0,25 мкс, амплитуда импульса =10В.
4.2. Расчет и построение временной диаграммы ПППИ.
4.2.1 . Для построения временной диаграммы ПППИ необходимо знать период следования импульсов Т, амплитуду и длительность импульсов t, которые известны из условия задачи.
4.2.2. Для построения временной диаграммы ПППИ необходимо выбрать масштабы по осям напряжений и времени. Масштабы должны соответствовать числам 1,2 и 4, умноженным на 10 n -(где n=0,1,2,3...). Ось времени должна занимать примерно 3/4 ширины листа и на ней следует разместить 2-3 периода сигнала. Вертикальная ось напряжений должна быть равна 5-10 см. При ширине листа 20 см длинна оси времени должна равна примерно 15 см. На 15-ти см удобно разместить 3 периода, при этом на каждый период будет приходиться L 1 =5см. Так как
Mt=T/Lt=1мкс/5см= 0,2 мкс/см
Полученный результат не противоречит выше указанным условиям. На оси напряжений удобно взять масштаб Мu=2В/см (см.рис.2).
4.3.Расчет и построение спектральной диаграммы.
4.3.1.Скважность ПППИ равна
4.3.2. Так как скважность S=4, то следует рассчитывать 3лепестка, т.к. 12 гармоник.
4.3.3.Частоты гармонических составляющих равны
Где к- номер гармоники, l- период ПППИ.
4.3.4. Амплитуды составляющих ПППИ равны
4.3.5. Математическая модель ПППИ напряжения
4.3.6.Выбор масштабов.
Ось частот располагается горизонтально и при ширине листа 20см должна иметь длину около 15 см. Так как на оси частот нужно показать самую высокую частоту 12 МГц удобно взять масштаб по этой оси Mf=1MГц/см.
Ось напряжений располагается вертикально и должна иметь длину 4-5 см. Так как из оси напряжений нужно показать самое большое напряжение
Удобно взять масштаб по этой оси M=1В/см.
4.3.7.Спектральная диаграмма показана на рис.3
Задание:
T=0.75мс; τ=0.15мс 21.T=24мкс; τ=8мкс
T=1.5 мкс; τ=0.25мкс 22. T=6.4мс; τ=1.6мс
T=2.45мс; τ=0.35мс 23. T=7мс; τ=1.4мс
T=13.5мкс; τ=4.5мкс 24. T=5.4мс; τ=0.9мс
T=0.26мс; τ=0.65мкс 25. T=17.5мкс; τ=2.5мкс
Т=0.9мс; τ=150мкс 26. T=1.4мкс; τ=0.35мкс
Т=0.165мс; τ=55мкс 27. T=5.4мкс; τ=1.8мкс
Т=0.3мс; τ=75мкс 28. T=2.1мс; τ=0.3мс
Т=42.5мкс; τ=8.5мкс 29. T=3.5мс; τ=7мс
Т=0.665мс; τ=95мкс 30. T=27мкс; τ=4.5мкс
Т=12.5мкс; τ=2.5мкс 31. T=4.2мкс; τ=0.7мкс
Т=38мкс; τ=9.5мкс 32.T=28мкс; τ=7мкс
Т=0.9мкс; τ=0.3мкс 33. T=0.3мс; τ=60мкс
Т=38.5мкс; τ=5.5мкс
Т=0.21мc; τ=35мс
Т=2.25мс; τ=0.45мс
Т=39мкс; τ=6.5мкс
Т=5.95мс; τ=0.85мс
Т=48мкс; τ=16мкс
Классификация сигналов и их параметры.
Электрические сигналы представляют собой электрические процессы, используемые для передачи или хранения информации.
Сигналы можно разделить на два больших класса: детерминированные и случайные. Детерминированными называются сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени можно предсказать с вероятностью, равной единице и которые задаются в виде некоторой определенной функции времени. Приведем несколько характерных примеров: гармонический сигнал с известной амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 а ); последовательность прямоугольных импульсов с известным периодом следования T , длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 б ); последовательность импульсов произвольной формы с известнымидлительностью t и, амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 в ). Детерминированные сигналы не содержат никакой информации.
Случайные сигналы представляют собой хаотические функции времени, значения которых заранее неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице (одиночный импульс с длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 г ) речь, музыка в выражении электрических величин). К случайным сигналам относятся также шумы.
Детерминированные сигналы, в свою очередь, подразделяются на периодические, для которых выполняется условие S (t )=S (t+kT ), где T – период, k -любое целое число, а под S (t ) понимается изменяющиеся со временем ток, напряжение или заряд (рис. 1.1 а, б, в ).
Очевидно, что к непериодическим относится любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие S (t )¹S (t+kT ).
Простейшим периодическим сигналом является гармонический сигнал вида 
.
Любой сложный периодический сигнал можно разложить на гармонические составляющие. Ниже такое разложение будет проведено для нескольких конкретных видов сигналов.
Гармонический сигнал высокой частоты, в котором путем модуляции заложена информация, называется радиосигналом (рис. 1.1 д ).
Периодические сигналы.
Любой сложный периодический сигнал S
(t
)=S
(t+kT
) (рис.1.2), заданный на интервале значений t
от –¥ до +¥, может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов. Это представление осуществляется в виде ряда Фурье, если только заданная периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле:
1. На любом конечном интервале времени функция S (t ) должна быть непрерывна или иметь конечное число разрывов первого рода.
2. В пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.
Обычно все реальные радиотехнические сигналы удовлетворяют этим условиям. В тригонометрической форме ряд Фурье имеет вид (1.1)
где постоянная составляющая равна 
(1.2)
а коэффициенты a n ,
и b n
при косинусоидальных и синусоидальных членах разложения определяются выражениями 
(1.3)
Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n-ой
гармоники выражаются через коэффициенты a n ,
и b n
следующим образом 
(1.4)
При использовании комплексной формы записи выражение для сигнала S(t) принимает вид 
. Здесь коэффициенты 
, называемые комплексными амплитудами, равны 
и связаны с величинами а n и b n формулами: при n>0, и при n<0. С учётом обозначений 
.
Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, w, 2w, 3w …, т. е. имеет линейчатый или дискретный характер (рис.1.3). Использование рядов Фурье в сочетании с принципом суперпозици является мощным средством анализа влияния линейных систем на прохождение через них различного вида периодических сигналов.
При разложении периодической функции в ряд Фурье, следует учитывать симметрию самой функции, т. к. это позволяет упростить расчеты. В зависимости от вида симметрии представленные рядом Фурье функции могут:
1. 
Не иметь постоянной составляющей если площадь фигуры для положительного полупериода равна площади фигуры для отрицательного полупериода.
2. Не иметь четных гармоник и постоянной составляющей, если значения функции повторяются через половину периода с обратным знаком.
Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности.
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов изображена на рис. 1.4. Постоянная составляющая ряда Фурье определяется из выражения и для данного случая равна 
.
Амплитуда cos-составлящей а n
равна
, а амплитуда sin-составляющей b n
равна 
.
Амплитуда n
-ой гармоники 
Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов является модулирующей функцией для формирования периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов (ПППВИ), которые являются зондирующими сигналами для обнаружения и измерения координат движущихся целей. Поэтому, по спектру модулирующей функции (ПППВИ), можно относительно просто и быстро и определить спектр зондирующего сигнала (ПППРИ). При отражении зондирующего сигнала от движущейся цели изменяются частоты спектра гармоник несущего колебания (эффект Доплера). Вследствие чего, можно выделить полезный сигнал, отраженный от движущейся цели, на фоне мешающих (помеховых) колебаний, отраженных от неподвижных объектов (местные предметы) или малоподвижных объектов (метеообразования, стаи птиц и др.).
ПППВИ (рис. 1.42) представляет собой совокупность одиночных прямоугольных видеоимпульсов, следующих друг за другом через равные промежутки времени. Аналитическое выражение сигнала.
где – амплитуда импульсов; – длительность импульсов; – период следования импульсов; – частота следования импульсов, ; – скважность.
Для вычисления спектрального состава периодической последовательности импульсов применяют ряд Фурье. При известных спектрах одиночных импульсов, образующих периодическую последовательность, можно воспользоваться связью между спектральной плотностью импульсов и комплексными амплитудами ряда:
Для одиночного прямоугольного видеоимпульса спектральная плотность описывается формулой
Воспользовавшись связью между спектральной плотностью одиночного импульса и комплексными амплитудами ряда, находим
где = 0; ± 1; ± 2; ...
Амплитудно-частотный спектр (рис. 1.43) будет представлен совокупностью составляющих:
при этом положительным значениям соответствуют нулевые начальные фазы, а отрицательным – начальные фазы, равные .
Таким образом, аналитическое выражение ПППВИ будет равно
Из анализа графиков, приведенных на рисунке 1.43 следует:
· Спектр ПППВИ дискретный состоящий из отдельных гармоник с частотой .
· Огибающая АЧС изменяется по закону .
· Максимальное значение огибающей при равно , значение постоянной составляющей .
· Начальные фазы гармоник в пределах нечетных лепестков равны 0, в пределах четных .
· Количество гармоник в пределах каждого лепестка равно .
· Ширина спектра сигнала на уровне 90% энергии сигнала
· База сигнала , поэтому сигнал является простым.
Если изменять длительность импульсов , либо частоту их повторения F (период ), то параметры спектра и его АЧС будет изменяться.
На рисунке 1.43 представлен пример изменения сигнала и его АЧС при увеличении длительности импульса в два раза.
Периодические последовательности прямоугольных видеоимпульсов и их АЧС параметрами , T ,. и , T , изображены на рисунке 1.44.
Из анализа приведенных графиков следует:
1. Для ПППВИ с длительностью импульса :
· Скважность q =4, следовательно, в пределах каждого лепестка сосредоточено 3 гармоники;
· Частота k-ой гармоники ;
· Ширина спектра сигнала на уровне 90% энергии ;
· Постоянная составляющая равна
2. Для ПППВИ с длительностью импульса :
· Скважность q= 2, следовательно, в пределах каждого лепестка находится 1 гармоника;
· Частота k-ой гармоники осталось неизменной ;
· Ширина спектра сигнала на уровне 90% его энергии уменьшилась в 2 раза ;
· Постоянная составляющая увеличилась в 2 раза .
Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении длительности импульса, происходит “сжатие” АЧС вдоль оси ординат (уменьшается ширина спектра сигнала), при этом увеличиваются амплитуды спектральных составляющих. Частоты гармоник не изменяются.
На рисунке 1.44. представлен пример изменения сигнала и его АЧС при увеличении периода следования в 4 раза (уменьшение частоты повторения в 4 раза).
c) ширина спектра сигнала на уровне 90% его энергии не изменилась;
d) постоянная составляющая уменьшилась в 4 раза.
Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении периода следования (уменьшении частоты повторения происходит “сжатие ”) АЧС вдоль оси частот (уменьшаются амплитуды гармоник с увеличением их количества в пределах каждого лепестка). Ширина спектра сигнала при этом не изменяется. Дальнейшее уменьшение частоты повторения (увеличения периода следования) приведет (при ) к уменьшению амплитуд гармоник до бесконечно малых величин. При этом сигнал превратиться в одиночный, соответственно спектр станет сплошным.
Похожие статьи
