Цикломида (от греч.кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.
Уравнения
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.
· Циклоида описывается параметрическими уравнениями
Уравнение в декартовых координатах:
· Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
Свойства
- · Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.
- · Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
- · Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
- · Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
- · Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен.
- · «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
- · Период колебанийматериальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
- · Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
- · Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).
Помни-те оран-же-вые пласт-мас-со-вые ка-та-фо-ты - све-то-от-ра-жа-те-ли, при-креп-ля-ю-щи-е-ся к спи-цам ве-ло-си-пед-но-го ко-ле-са? При-кре-пим ка-та-фот к са-мо-му обо-ду ко-ле-са и про-сле-дим за его тра-ек-то-ри-ей . По-лу-чен-ные кри-вые при-над-ле-жат се-мей-ству цик-ло-ид.
Ко-ле-со при этом на-зы-ва-ет-ся про-из-во-дя-щим кру-гом (или окруж-но-стью) цик-ло-и-ды.
Но да-вай-те вер-нём-ся в наш век и пе-ре-ся-дем на бо-лее совре-мен-ную тех-ни-ку. На пу-ти бай-ка по-пал-ся ка-му-шек, ко-то-рый за-стрял в про-тек-то-ре ко-ле-са. Про-вер-нув-шись несколь-ко кру-гов с ко-ле-сом, ку-да по-ле-тит ка-мень, ко-гда вы-ско-чит из про-тек-то-ра? Про-тив на-прав-ле-ния дви-же-ния мо-то-цик-ла или по на-прав-ле-нию?
Как из-вест-но, сво-бод-ное дви-же-ние те-ла на-чи-на-ет-ся по ка-са-тель-ной к той тра-ек-то-рии, по ко-то-рой оно дви-га-лось. Ка-са-тель-ная к цик-ло-и-де все-гда на-прав-ле-на по на-прав-ле-нию дви-же-ния и про-хо-дит через верх-нюю точ-ку про-из-во-дя-щей окруж-но-сти. По на-прав-ле-нию дви-же-ния по-ле-тит и наш ка-му-шек.
Помни-те, как Вы ка-та-лись в дет-стве по лу-жам на ве-ло-си-пе-де без зад-не-го кры-ла? Мок-рая по-лос-ка на ва-шей спине яв-ля-ет-ся жи-тей-ским под-твер-жде-ни-ем толь-ко что по-лу-чен-но-го ре-зуль-та-та.
Век XVII - это век цик-ло-и-ды. Луч-шие учё-ные изу-ча-ли её уди-ви-тель-ные свой-ства.
Ка-кая тра-ек-то-рия при-ве-дёт те-ло, дви-жу-ще-е-ся под дей-стви-ем си-лы тя-же-сти, из од-ной точ-ки в дру-гую за крат-чай-шее вре-мя ? Это бы-ла од-на из пер-вых за-дач той на-у-ки, ко-то-рая сей-час но-сит на-зва-ние ва-ри-а-ци-он-ное ис-чис-ле-ние.
Ми-ни-ми-зи-ро-вать (или мак-си-ми-зи-ро-вать) мож-но раз-ные ве-щи - дли-ну пу-ти, ско-рость, вре-мя. В за-да-че о бра-хи-сто-хроне ми-ни-ми-зи-ру-ет-ся имен-но вре-мя (что под-чёр-ки-ва-ет-ся са-мим на-зва-ни-ем: греч. βράχιστος - наи-мень-ший, χρόνος - вре-мя).
Пер-вое, что при-хо-дит на ум, - это пря-мо-ли-ней-ная тра-ек-то-рия. Да-вай-те так-же рас-смот-рим пе-ре-вёр-ну-тую цик-ло-и-ду с точ-кой воз-вра-та в верх-ней из за-дан-ных то-чек. И, сле-дуя за Га-ли-лео Га-ли-ле-ем, - чет-вер-тин-ку окруж-но-сти , со-еди-ня-ю-щую на-ши точ-ки.
По-че-му же Га-ли-лео Га-ли-лей рас-смат-ри-вал чет-вер-тин-ку окруж-но-сти и счи-тал, что это наи-луч-шая в смыс-ле вре-ме-ни тра-ек-то-рия спус-ка? Он впи-сы-вал в неё ло-ма-ные и за-ме-тил, что при уве-ли-че-нии чис-ла зве-ньев вре-мя спус-ка умень-ша-ет-ся. От-сю-да Га-ли-лей есте-ствен-ным об-ра-зом пе-ре-шёл к окруж-но-сти, но сде-лал невер-ный вы-вод, что эта тра-ек-то-рия наи-луч-шая сре-ди всех воз-мож-ных. Как мы ви-де-ли, наи-луч-шей тра-ек-то-ри-ей яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.
Через две дан-ные точ-ки мож-но про-ве-сти един-ствен-ную цик-ло-и-ду с усло-ви-ем, что в верх-ней точ-ке на-хо-дит-ся точ-ка воз-вра-та цик-ло-и-ды. И да-же ко-гда цик-ло-и-де при-хо-дит-ся под-ни-мать-ся, чтобы прой-ти через вто-рую точ-ку, она всё рав-но бу-дет кри-вой наи-ско-рей-ше-го спус-ка !
Ещё од-на кра-си-вая за-да-ча, свя-зан-ная с цик-ло-и-дой, - за-да-ча о та-у-то-хроне. В пе-ре-во-де с гре-че-ско-го ταύτίς озна-ча-ет «тот же са-мый», χρόνος, как мы уже зна-ем - «вре-мя».
Сде-ла-ем три оди-на-ко-вые гор-ки с про-фи-лем в ви-де цик-ло-и-ды, так, чтобы кон-цы го-рок сов-па-да-ли и рас-по-ла-га-лись в вер-шине цик-ло-и-ды . По-ста-вим три бо-ба на раз-ные вы-со-ты и да-дим от-маш-ку. Уди-ви-тель-ней-ший факт - все бо-бы при-едут вниз од-новре-мен-но !
Зи-мой Вы мо-же-те по-стро-ить во дво-ре гор-ку изо льда и про-ве-рить это свой-ство вжи-вую.
За-да-ча о та-у-то-хроне со-сто-ит в на-хож-де-нии та-кой кри-вой, что, на-чи-ная с лю-бо-го на-чаль-но-го по-ло-же-ния, вре-мя спус-ка в за-дан-ную точ-ку бу-дет оди-на-ко-вым.
Хри-сти-ан Гюй-генс до-ка-зал, что един-ствен-ной та-у-то-хро-ной яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.
Ко-неч-но же, Гюй-ген-са не ин-те-ре-со-вал спуск по ле-дя-ным гор-кам. В то вре-мя учё-ные не име-ли та-кой рос-ко-ши за-ни-мать-ся на-у-ка-ми из люб-ви к ис-кус-ству. За-да-чи, ко-то-рые изу-ча-лись, ис-хо-ди-ли из жиз-ни и за-про-сов тех-ни-ки то-го вре-ме-ни. В XVII ве-ке со-вер-ша-ют-ся уже даль-ние мор-ские пла-ва-ния. Ши-ро-ту мо-ря-ки уме-ли опре-де-лять уже до-ста-точ-но точ-но, но уди-ви-тель-но, что дол-го-ту не уме-ли опре-де-лять со-всем. И один из пред-ла-гав-ших-ся спо-со-бов из-ме-ре-ния ши-ро-ты был ос-но-ван на на-ли-чии точ-ных хро-но-мет-ров.
Пер-вым, кто за-ду-мал де-лать ма-ят-ни-ко-вые ча-сы, ко-то-рые бы-ли бы точ-ны, был Га-ли-лео Га-ли-лей. Од-на-ко в тот мо-мент, ко-гда он на-чи-на-ет их ре-а-ли-зо-вы-вать, он уже стар, он слеп, и за остав-ший-ся год сво-ей жиз-ни учё-ный не успе-ва-ет сде-лать ча-сы. Он за-ве-ща-ет это сы-ну, од-на-ко тот мед-лит и на-чи-на-ет за-ни-мать-ся ма-ят-ни-ком то-же лишь пе-ред смер-тью и не успе-ва-ет ре-а-ли-зо-вать за-мы-сел. Сле-ду-ю-щей зна-ко-вой фигу-рой был Хри-сти-ан Гюй-генс.
Он за-ме-тил, что пе-ри-од ко-ле-ба-ния обыч-но-го ма-ят-ни-ка, рас-смат-ри-вав-ше-го-ся Га-ли-ле-ем, за-ви-сит от из-на-чаль-но-го по-ло-же-ния, т.е. от ам-пли-ту-ды. За-ду-мав-шись о том, ка-ко-ва долж-на быть тра-ек-то-рия дви-же-ния гру-за, чтобы вре-мя ка-че-ния по ней не за-ви-се-ло от ам-пли-ту-ды, он ре-ша-ет за-да-чу о та-у-то-хроне. Но как за-ста-вить груз дви-гать-ся по цик-ло-и-де ? Пе-ре-во-дя тео-ре-ти-че-ские ис-сле-до-ва-ния в прак-ти-че-скую плос-кость, Гюй-генс де-ла-ет «щёч-ки», на ко-то-рые на-ма-ты-ва-ет-ся ве-рев-ка ма-ят-ни-ка, и ре-ша-ет ещё несколь-ко ма-те-ма-ти-че-ских за-дач. Он до-ка-зы-ва-ет, что «щёч-ки» долж-ны иметь про-филь той же са-мой цик-ло-и-ды, тем са-мым по-ка-зы-вая, что эво-лю-той цик-ло-и-ды яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да с те-ми же па-ра-мет-ра-ми.
Кро-ме то-го, пред-ло-жен-ная Гюй-ген-сом кон-струк-ция цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка поз-во-ля-ет по-счи-тать дли-ну цик-ло-и-ды. Ес-ли си-нюю ни-точ-ку, дли-на ко-то-рой рав-на че-ты-рём ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га, мак-си-маль-но от-кло-нить, то её ко-нец бу-дет в точ-ке пе-ре-се-че-ния «щёч-ки» и цик-ло-и-ды-тра-ек-то-рии, т.е. в вер-шине цик-ло-и-ды-«щёч-ки». Так как это по-ло-ви-на дли-ны ар-ки цик-ло-и-ды, то пол-ная дли-на рав-на вось-ми ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га.
Хри-сти-ан Гюй-генс сде-лал цик-ло-и-даль-ный ма-ят-ник, и ча-сы с ним про-хо-ди-ли ис-пы-та-ния в мор-ских пу-те-ше-стви-ях, но не при-жи-лись. Впро-чем, так же, как и ча-сы с обыч-ным ма-ят-ни-ком для этих це-лей.
От-че-го же, од-на-ко, до сих пор су-ще-ству-ют ча-со-вые ме-ха-низ-мы с обык-но-вен-ным ма-ят-ни-ком? Ес-ли при-гля-деть-ся, то при ма-лых от-кло-не-ни-ях, как у крас-но-го ма-ят-ни-ка, «щёч-ки» цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка по-чти не ока-зы-ва-ют вли-я-ния. Со-от-вет-ствен-но, дви-же-ние по цик-ло-и-де и по окруж-но-сти при ма-лых от-кло-не-ни-ях по-чти сов-па-да-ют.
ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ
(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)
Угол между AB" или A"B и осью x = 45 o
Площадь одной петли = a 2 /2
ЦИКЛОИДА
Площадь одной дуги = 3πa 2
Длина дуги одной арки = 8a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.
ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Уравнения в параметрической форме:
Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8
Длина дуги целой кривой = 6a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.
КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)
Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2
Длина дуги кривой = 8a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)
Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.
ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ
Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.
В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.
ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ
Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.
В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n - четное.
ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.
ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.
Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.
ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.
ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.
ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)
Параметрические уравнения:
В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на "локоне" определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.
ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy
Параметрические уравнения:
Площадь петли 3a 2 /2
Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.
ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:
Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.
ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3
Параметрические уравнения:
Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.
ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .
Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .
Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.
Если b = a, кривая есть лемниската
УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ
Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.
Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b
ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y 2 = x 3 /(2a - x)
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба
, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба
СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева
Факультет математики и информатики
Кафедра математического анализа и методики его преподавания
по математическому анализу на тему
«Циклоида»
Выполнила студентка 43 группы
Ковальчук М.В.
Научный руководитель
доцент кафедры мат. анализа и мп
Шатохина М.П
Красноярск 2010
1. Введение
2. Исторические сведения
3. Основные свойства циклоиды
4. Построение циклоиды
5. Геометрическое определение циклоиды
6. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координата
7. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой
8. Заключение
Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В виду того, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде. Так же задачи связанные с циклоидой встречаются и в физике и в высшей математике. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.
Цель работы: описать основные свойства циклоиды, привести решение геометрических задач, связанных с циклоидой.
1. Исторические сведения
Первым кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642)_ знаменитый итальянский, астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида» , что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие.
Великий античный философ - «отец логики» - Аристотель из Стагиры (384-322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс.
рис. 1
Пусть кружок, изображенный на рис. 1 жирной линией, катится по прямой АВ. Когда кружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ и займет положение М х. При этом, как мы знаем, отрезок ММ Х будет равен длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центром О, изображенный тонкой линией. Когда точка М придет в положение М 1 этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет в положение К 1 . При этом в каждый момент времени какая-то одна единственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же точкой отрезка КК 1 . Каждой точке окружности соответствует единственная точка отрезка и каждой точке отрезка - единственная точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна длине отрезка КК 1 - ММ 1 т. е. равна длине большой («жирной») окружности. Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадокс Аристотеля.
Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности радиуса ОК соответствует единственная точка отрезка КК 1 вовсе не следует, что длина этой окружности равна КК 1 . Так, например, на рис. 2 точки отрезка АВ приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка СЕ, но никому в голову не придет утверждать, что отрезки АВ и СЕ имеют одинаковую длину! Это же относится не только к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу Аристотеля можно придать следующую, более грубую, а потому и более ясную форму: рассмотрим две концентрические окружности (рис. 3). На них «поровну» точек: соответствующие точки соединены на рис. 3 прямыми линиями (радиусами). И все же никто не станет утверждать, что длины этих окружностей одинаковы.
рис 2 рис. 3
Аристотель рассматривал именно то движение, которое через 1900 лет привело Галилея к открытию циклоиды; но он не заинтересовался кривыми, которые вычерчиваются точками окружности катящегося круга.
В самом начале XVII века юный Галилей пытался экспериментально проверить свою догадку о том, что свободное падение - равноускоренное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни в лаборатории, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замедлить это движение, Галилей решил заменить свободное падение тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обратил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела, скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона плоскости, а определяется только высотойH и совпадает с конечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как вы хорошо знаете, в обоих случаях |v ̄|=
Изучив движения по наклонным плоскостям, Галилей перешел к рассмотрению движения материальной точки под действием силы тяжести по ломаным линиям. Сравнивая времена движения по различным ломаным, соединяющим фиксированную пару точек А и В , Галилей заметил, что если через эти две точки А, В провести четверть окружности и вписать в нее две ломаные М иL , такие, что ломанаяL «вписана» в ломаную М, то материальная точка из А в В быстрее попадает по ломаной М, чем по ломаной L. Увеличивая у ломаной число звеньев и переходя к пределу, Галилей получил, что по четверти окружности, соединяющей две заданные точки, материальная точка спустится быстрее, чем по любой вписанной в эту четверть окружности ломаной. Из этого Галилей сделал ничем не аргументированный вывод, что четверть окружности, соединяющая пару заданных точек А, В (не лежащих на одной вертикали), и будет для материальной точки, движущейся под действием силы тяжести, линией наискорейшего спуска (позже линию наискорейшего спуска стали называть брахистохроной). Впоследствии выяснилось, что это утверждение Галилея было не только необоснованным, но и ошибочным.Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608-1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602-1672). В 1634 году Роберваль –вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.
2. Основные свойства циклоиды
Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия - скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.
Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М
Рассмотрим циклоиду (рис. 17),круг катящийся по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол φ и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок М о Т составляет такую долю отрезка М о М 1 , какую угол φ составляет от 360° (от полного оборота).
Касательная к циклоиде
При этом точка М 0 пришла в точку М. Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.
СтрелочкаOH изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС 1 к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.
Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус г производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17). Требуется построить касательную МК к циклоиде.
Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса МО =r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии г от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС 1 , перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный MP. На МС и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.
(в переводе с греч. кругообразный ) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r , катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение
x
= rt
– r sin t
,
y
= r – r cos t
Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.
Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей . Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном , автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне. Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.
Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.
Пусть точка С 0 находится внутри окружности. Если провести через С 0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A ´В ´, но ее качение будет сопровождаться скольжением, и точка С 0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.
Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.
Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления.
Елена Малишевская
Похожие статьи