3. Среднеквадратическое приближение функции
3.1 Постановка задачи
Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для выполнения среднеквадратического приближения функции, заданной в узлах.
3.2 Математическая формулировка задачи
Пусть имеется множество функций , принадлежащих линейному пространству функций. Под близостью в среднем интерполируемой и интерполирующей функций будем понимать результат оценки интеграла
, (3.1)
где - весовая функция.
Такое приближение называют среднеквадратичным.
3.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
Задача среднеквадратичного приближения возникает во многих областях прикладных исследований, например, при статистической обработке данных эксперимента с использованием регрессивного анализа, при оценивании параметров моделей, в задачах фильтрации и т.п.
Когда уровень неопределенности в задании приближаемой функции f(x i), i=1..m, достаточно велик, что характерно для обработки экспериментальных данных, бессмысленно требовать выполнения условий интерполирования; кроме того, число точек задания функции f(x i) часто весьма велико. Все это делает применение интерполирования мало перспективным по причинам плохой обусловленности задачи высокой размерности и проблем сходимости процесса интерполяции
Одной из наиболее простых и, поэтому, широко используемых приближающих функций является алгебраический полином
Метод среднеквадратичного приближения обеспечивает построение полинома Pn(x), исходя из минимизации величины
Рассмотренный метод приближения минимизирует среднеквадратичное уклонение аппроксимирующего полинома от аппроксимируемой функции, но не гарантирует от значительных локальных ошибок. Для предотвращения подобной возможности используют полиномы наилучшего равномерного приближения.
в пространстве параметров a 0 , a 1 ,...,a n. Существуют различные подходы к решению задачи минимизации функции D(a). Простейший из них приводит к необходимости решения нормальной системы линейных алгебраических уравнений
Однако, уже при n > 5 матрица такой системы оказывается настолько плохо обусловленной, что полученные из (3.4) значения a j оказываются мало пригодными для вычисления P n (x). Поэтому, при необходимости построения полиномов наилучшего среднеквадратичного приближения более высоких степеней применяют другие алгоритмы, например, метод сингулярного разложения.
3.4 Численный метод решения задачи
Можно рассмотреть две задачи:
1 - подобрать функцию так, чтобы выполнялось неравенство
2 - найти наилучшее приближение, т.е. такую функцию , чтобы было справедливым соотношение
. (3.6)
Разложим функцию по системе линейно независимых функций :
. (3.7)
В дальнейшем для сокращения записи будем пользоваться определением скалярного произведения в пространстве функций :
.
Подставляя (3.7) в условие (3.6), получим
Дифференцируя это выражение по и приравнивая производные нулю, получим
. (3.8)
Определитель этой системы есть определитель Грама функций . В силу их линейной независимости этот определитель не равен нулю. Следовательно, из системы (3.8) можно найти коэффициенты , определяющие функцию согласно (3.6) и минимизирующие интеграл от погрешности 
. Таким образом, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и оно единственно.
При использовании ортонормированной системы функций система (3.8) упрощается:
,
т.е. являются коэффициентами Фурье, а наилучшее приближение есть ряд Фурье, обрываемый на каком-то члене.
Доказано, что в любом линейно нормированном пространстве при линейной аппроксимации вида (3.4) наилучшее приближение существует, хотя оно может быть не единственным.
В тех случаях, когда функции не ортогональны, при определитель Грама уменьшается, приближаясь к нулю. Тогда система становится плохо обусловленной и ее решение дает большую погрешность. В этой ситуации обычно берут не более пяти-шести членов в сумме (3.7).
В качестве чаще всего используют полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, ортогональные с заданным весом.
Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти наилучшее приближение функции, заданной таблично. Для вещественных функций, заданных на конечном множестве точек, скалярное произведение определяется формулой
, (3.9)
где - число заданных узлов.
Условие наилучшего среднеквадратичного приближения записывается следующим образом:
. (3.10)
Полагая , где , и подставляя этот многочлен в (3.10), придем к системе (3.8), в которой скалярные произведения вычисляют согласно (3.9). Описанная процедура аппроксимации носит название метода наименьших квадратов.
Наиболее употребительный вариант метода наименьших квадратов соответствует случаю степенного вида функций , т.е. 
, причем .
Система уравнений (3.8) при этом принимает вид
, , (3.11)
Сформировать более высокий уровень абстракции и обобщения, чем тот, на который ориентировалось традиционное преподавание». Следовательно, традиционные формы обучения не в состоянии поднять математическое мышление младших школьников на более высокий уровень. Как же решает эту проблему нетрадиционное обучение? Какие свойства математического мышления развивает решение нестандартных задач? Во- ...
сети, построенной на основе различных топологий. Программное обеспечение прикладных систем, предназначенных для профессиональной деятельности руководителя, включает: · системные программные средства; · базовые пакеты прикладных программ; · средства сетевой поддержки компьютеров в локальных и глобальных сетях; · системы прикладного программирования; · тестовые программные средства. ...
Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.
Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"
Подобные документы
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа , добавлен 14.04.2009
Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Два вида погрешностей, возникающих при решении задач. Нахождение нулей функции. Метод половинного деления. Метод хорд.
курс лекций , добавлен 06.03.2009
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.
курсовая работа , добавлен 11.03.2013
Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа , добавлен 27.04.2011
Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
лабораторная работа , добавлен 14.08.2010
Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа , добавлен 16.12.2015
Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.
курсовая работа , добавлен 30.04.2011
Среднеквадратическое приближение функции.
Рассмотрим
задачу наилучшего среднеквадратичного
приближения функции
полиномом
по системе
.
Определение 1.
Обобщенным полиномом порядка m по системе { k } называется линейная комбинация
где C k – произвольные вещественные коэффициенты.
Задача.
Найти полином
,
наименее уклоняющийся от функции f
в метрике L 2 ,
т.е. удовлетворяющий условию:
Теорема 1.
Если
система
линейно независима, то задача наилучшего
среднеквадратичного приближения по
этой системе однозначно разрешима.
Запишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:
(1)
Очевидно,
что величина
- неотрицательно определенная квадратичная
функция переменных
,
а такая функция достигает минимального
значения. Таким образом, решение задачи
среднеквадратичного приближения
существует.
Докажем единственность решения.
Запишем необходимые условия минимума:
,
i=0,…,m
.
Вычисляя частные производные по c i выражения (1), получим линейную cистему уравнений:
(2)
Система (2) называется нормальной системой .
Выпишем определитель этой системы
(3)
Определитель
системы (3) – так называемый определитель
Грама
системы
.
Известно, что если система
-
линейно независима, то определитель
0
(легко доказывается от противного).
Согласно условию теоремы
0
и система (2) имеет единственное решение.
1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
Пусть
H-
гильбертово пространство со скалярным
произведением 
.
Важным примером такого пространства
является так называемое пространство
- пространство функций f(x),
для которых конечен интеграл:
(1)
Здесь h(x)- так называемая весовая функция , удовлетворяющая условиям:
Если
же =(0,+
),
то должно выполняться условие:
т.е. должны существовать любые моменты весовой функции.
Определение 1.
Для
определено скалярное произведение:
(2)
и соответственно норма:
согласно условию (1).
Используя неравенство Коши – Буняковского - Шварца, получаем
Поэтому
скалярное произведение существует для
Определение 2.
Расстояние между элементами f и g определяется равенством:
.
Возникает вопрос о том, как
понимать нулевой элемент. Если норма
,
следует ли отсюда, что f=g?
Вводится терминология: f=g
почти всюду, то есть они могут отличаться
в конечном числе точек.
Определение 3.
f
и g
ортогональны
на отрезке
с весом h(x),
если 
).
Если
в гильбертовом пространстве взять любую
линейно независимую систему
,
i=0,1,2,…,
то ее можно ортогонализировать.
Рассмотрим
в качестве примера систему:
При
конечный набор степенных функций линейно
независим, поэтому на базе этой системы
можно построить ортогональные полиномы.
Известна следующая рекуррентная
процедура ортогонализации (процедура
Грама - Шмидта):
(3)
Коэффициенты b k+1,j определяются из условий ортогональности:
Последовательно
умножая (3) на
получаем
(4)
Пример 1.
Пусть h(x)1, =[-1,1].
Построить первые три ортогональных полинома по процедуре (3) - (4).
Далее
имеем:
следовательно,
Для системы ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1 справедлива формула Родрига:
(5)
Из (5) последовательно получаем:
Получаемые
таким образом полиномы называются
полиномами Лежандра.
Замечание.
Найденные по процедуре (3) – (4) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по явной формуле Родрига (5).
Квадрат
нормы у этих полиномов равен:
То
есть эти многочлены не нормированы, так
как
Для всех классических многочленов существует рекуррентная формула. Для полиномов Лежандра она имеет следующий вид:
Пусть
Рассмотрим среднеквадратичное
приближение:
где
-
среднеквадратичная ошибка аппроксимации,
-
отрезок ряда Фурье для функции f(x)
по системе ортогональных многочленов
{P k (x)}.
В силу ортогональности многочленов Лежандра, система нормальных уравнений (2) из §1.5 становится диагональной, и ее решение приводит к следующим выражениям для коэффициентов c k:
(7)
то есть обеспечивается минимум нормы в L 2 .
Распишем подробно ошибку аппроксимации
С другой стороны
в силу ортогональности.
Подставляя в (8), получим
.
(9)
Пример 2.
Пусть f(x)=|x|.
Аппроксимировать f(x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом второй степени. Вычислить среднеквадратичную ошибку.
Используем
ортогональную систему Лежандра:
Коэффициенты c k находим по формуле (7), учитывая вид полиномов Лежандра:
1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
Многочлен
P n (x)
ортогонален любому алгебраическому
многочлену m-ой
степени M m (x)
при m
M m (x)
можно единственным образом представить
в виде линейной комбинации многочленов
Лежандра:
Равенство (10) тождественное, поэтому коэффициенты a k единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при старших степенях. Умножая обе части (10) на P n (x), имеем
в
силу ортогональности системы
Полином P n (x) имеет на отрезке [-1,1] ровно n действительных и различных корней.
Заметим,
что в силу теоремы Гаусса многочлен
P n (x)
не может иметь более чем n корней (вообще
говоря, комплексных). Пусть P n (x)
имеет меньше, чем n простых действительных
корней. Обозначим их
По этим точкам построим фундаментальный
многочлен
Рассмотрим
многочлен:
-
многочлен степени (k+n),
который имеет нули
четной
кратности. Значит, новый многочлен
сохраняет знак при переходе через эти
нули, т.е. сохраняет знак на [-1,1]. Отсюда
следует, что
Но
это противоречит свойству 1, так как
P n (x)
обязательно должен быть ортогонален
M k (x).
Между двумя соседними нулями многочлена P n (x) лежит ровно один нуль многочлена P n-1 (x).
Доказывается
по индукции с помощью рекуррентного
соотношения (6).
При n- четном многочлен P n (x) – четная функция от x, при n- нечетном, P n (x) – нечетная функция от x.
Наряду с многочленами Лежандра классическими ортогональными многочленами называют следующие системы многочленов (далее (a,b) – промежуток ортогональности, r(x) – весовая функция).
1)
Многочлены
Якоби
{Р
п
(l
,m) (х
)}
- при а
= -1, b
= 1 r(х
)
= (1-х
) l
(1 + x
) m ,
l
>
-1, m > -1. Специальные частные случаи
многочленов Якоби соответствуют
следующим значениям l и m: l
= m- ультрасферические
многочлены
(их
иногда называют многочленами Гегенбауэра);
l
= m = - 1 / 2 ,
т. е.
-многочлены
Чебышева
1-го рода T
n
(x
);
l
= m = 1 / 2 ,
т. е.
-
многочлены
Чебышева
2-го рода U
n
(x
);
2) Многочлены Лагерра L n (x ) - при а = 0, b = + ∞ и r(х ) = е -х (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра - при . 3) М ногочлены Эрмита Н n (х ) - при а = -∞, b = + ∞ и (их называют также многочленами Чебышева - Эрмита).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Цель : Ознакомление студентов с основными методами интерполяции и аппроксимации таблично заданных функций. Закрепление на практике полученных знаний в области аппроксимации таких функций.
Задача : Научить студентов практическому применению полученных теоретических знаний при решении задач сглаживания результатов эксперимента полиномами, как при алгоритмизации таких задач, так и при их программировании.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Интерполяция и аппроксимация
В практике часто встречается ситуация, когда некоторая функция f (x ) задана таблицей ее значений в отдельных точках х = x 0 , x 1 , … , x n [a , b ], например, дискретные показания прибора во времени, а следует вычислить функцию f (x ) в некоторых промежуточных точках. Эту задачу можно решить приближенно, заменяя функцию f (x ) более простой непрерывной функцией F (x ). Существуют два основных способа такой замены: интерполяция и аппроксимация .
Суть интерполирования – в построении такой легко вычисляемой функции F (x ), которая совпадает с функцией f (x ) в точках х = x 0 , x 1 , … , x n . Иными словами, график функции F (x ) в плоскости Оху должен проходить через точки х = x 0 , x 1 , … , x n , в которых задана функция f (x ). При этом, точки х = x 0 , x 1 , … , x n называют узлами интерполирования, а функцию F (x ) – интерполяционной. В качестве интерполяционной функции в большинстве случаев выбирают полиномы. Так, линейная интерполяция состоит в простом последовательном соединении точек (x 0 , f (x 0)), (x 1 , f (x 1)), … ,
(x n , f (x n )) отрезками прямых, т.е. в построении n полиномов первой степени. Значение функции f (x ) в точке х *, где х * (x i ,x i +1), i = 0, 1, … , n – 1, вычисляется в этом случае достаточно просто:
f
(x
*) = f
(x i
) + 
· (х
*–x i
).
Квадратичная интерполяция состоит в соединении последовательных троек узлов интерполяции параболами. Кубическая интерполяция – четверок – кубическими параболами и т.д. Интерполяционные полиномы степени (n – 1)есть гладкие функции, проходящие через все узлы интерполяции. При наложении дополнительных условий на соединение функции F (x )в точках (x 1 , f (x 1)), (x 2 , f (x 2)), … , (x n -1 , f (x n -1)) получим т.н. сплайн-интерполяцию. Для построения интерполяционных многочленов разработано множество методов: Ньютона, Стирлинга, Лагранжа и др.
Во многих случаях, имея значения функции в n + 1 узлах, удобно вместо интерполяционного многочлена находить полином степени m <n , который бы хорошо приближал (аппроксимировал) рассматриваемую функцию. При этом требование совпадения функций f (x ) иF (x ) в точках (x 0 , f (x 0)), (x 1 , f (x 1)), … , (x n , f (x n )) заменяется на требование минимизации суммарного отклонения между значениями функций f (x ) и F (x ) в точках х = x 0 , x 1 , … , x n .
Одним из основных методов построения аппроксимизационного полинома является метод наименьших квадратов, по которому требуется, чтобы сумма квадратов отклонений между значениями функции и значениями приближающей функции в узлах должна быть минимальной. Почему квадратов? Потому что сами отклонения между значениями функций может быть как положительными, так и отрицательными, и их сумма не дает истинного представления о различии между функциями за счет компенсации положительныхи отрицательных значений. Можно взять модули отклонений, однако положительные квадраты этих отклонений более удобны в работе.
Среднеквадратическое приближение таблично заданных функций
(метод наименьших квадратов)
Пусть в узлах x 0 , x 1 , … , x n имеем значения у 0 , у 1 , … , у n функции f (x ). Среди полиномов m -й степени (m <n )
P m (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a m x m (1)
найти такой, который доставляет минимум выражению
S
= 
.(2)
Неизвестными являются коэффициенты полинома (1). Сумма (2) представляет собой квадратичную форму от этих коэффициентов. Кроме того, формула (2) показывает, что функция S = S (a 0 , a 1 , … , a m ) не может принимать отрицательных значений. Следовательно, минимум функции S существует.
Применяя необходимые условия экстремума функции S = S (a 0 , a 1 , … , a m ), получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов a 0 , a 1 , … , a m :
, (k = 0, 1, 2, … , m )(3)
Полагая с p
= 
, d p
= 
, запишем систему (3) в матричном виде
С a = d , (4)
С
= 
– матрица системы, а
= {a
0 , a
1 , … , a m
} T
– вектор неизвестных, d
= {d
0 , d
1 , … , d m
} T
– вектор правых частей системы.
Если среди узлов x 0 , x 1 , … , x n нет совпадающих и m ≤ n , то система (4) имеет единственное решение a 0 = ,a 1 = , … , a m = . Тогда полином
= + x
+ x
2 + … + x m
является единственным полиномом степени m , обладающим минимальным квадратичным отклонением S * = S min.
Погрешность среднеквадратического приближения функции характеризуется величиной δ
= 
.
Самый простой и наиболее часто используемый вид аппроксимации (среднеквадратического приближения) функции – линейная. Приближение данных (x i , y i ) осуществляется линейной функцией y (х )= ax + b . На координатной плоскости (x , y ) линейная функция, как известно, представляется прямой линией.
Пример . Сгладить систему точек прямойy = ax + b .
| х | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| у | 0 | 2 | 3 | 3,5 | 3 | 4,5 |
Строим рабочую таблицу :
| абочую таблицу:№ | x i | y i | x i 2 | x i y i | ax i + b | ax i + b –y i | (ax i + b –y i ) 2 |
| 1 | –1 | 0 | 1 | 0 | 0,81 | 0,81 | 0,6561 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1,55 | –0,45 | 0,2025 |
| 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 2,29 | –0,71 | 0,5041 |
| 4 | 2 | 3,5 | 4 | 7 | 3,03 | –0,47 | 0,2209 |
| 5 | 3 | 3 | 9 | 9 | 3,77 | 0,77 | 0,5929 |
| 6 | 4 | 4,5 | 16 | 18 | 4,51 | 0,01 | 0,001 |
| 9 | 16 | 31 | 37 |
Система для определенияa и b имеет вид:
Решим ее с помощью
формул Крамера:
Δ = 
= 105, Δ 1 = 
= 78, Δ 2 = 
= 163,
a = = = 0,74, b = = = 1,55.
Искомое уравнение y = 0,74x + 1,55.
Пусть в таблице заданы значения функции, полученные, например, из эксперимента, т. е. измеренные с погрешностью. Тогда приближение с использованием аппарата интерполяции , в основе которого приравнивание значений многочлена в узлах интерполяции табличным значениям, нецелесообразно.
При такой постановке задачи следует выполнить приближение в среднем, т. е. описать таблично заданную функцию некоторой достаточно простой аналитической зависимостью, имеющей небольшое количество параметров. Оптимальный выбор этих параметров и позволит выполнить среднеквадратичное приближение функции, заданной таблицей.
Выбор типа аналитической зависимости следует начинать с нанесения табличных данных на координатную плоскость - так будет сформировано поле экспериментальных точек. Сквозь поле этих точек проводится плавная кривая так, чтобы часть точек легли на эту кривую, часть точек были выше, а часть точек оказались ниже проведённой кривой. По виду этой кривой и следует определить тип аналитической зависимости – линейная ли она, степенная, гиперболическая или какая- либо иная.
Однако по графику на глаз весьма трудно выбрать тип аналитической зависимости. Поэтому был предложен способ ориентировочной оценки и выбора типа аналитической зависимости. Этот способ действительно приблизительный и неточный, так как и кривую можно провести по-разному сквозь поле экспериментальных точек, и в таблице взять разные опорные точки для расчёта да и неизвестна точность предлагаемой методики. Вместе с тем в качестве ориентировочного способа выбора типа зависимости его можно рассмотреть.
Предлагается следующий алгоритм действий.
1. В исходной таблице выбрать две далеко отстоящие друг от друга точки с координатами (x 1 ,y 1) и (x n ,y n) - опорные точки, и для каждой пары координат вычислить среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое.
2. На кривой, проведённой через поле экспериментальных точек, найти три ординаты, соответствующие найденным абсциссам x ар,x геом,x гарм:
3.
Выполнить сравнение найденных на кривой с вычисленными 
путём вычисления следующих модулей разностей: 
4. Из найденных значений выбирается минимальное:
5. Выводы: если минимальным оказалось
Зависимость линейная 
Зависимость показательная
Зависимость дробно-линейная
Зависимость логарифмическая 
Зависимость степенная
Зависимость гиперболическая
Зависимость дробно-рациональная
Любую из этих зависимостей можно свести к линейной, выполнив преобразование координат или так называемое выравнивание данных.
Таким образом, первый этап завершается выбором вида аналитической зависимости, параметры которой не определены.
Второй этап состоит в определении наилучших значений коэффициентов выбранной аналитической зависимости. Для этого применяют математический метод наименьших квадратов.
В основе метода – минимизация суммы квадратов отклонений заданных табличных значений () от вычисленных по теоретической зависимости (): 
.
Пусть выбранная зависимость – прямая линия:
. Подставим в функционал : 
. Тогда минимизируется функционал:
Для нахождения наилучших значений коэффициентов и надо найти частные производные от по и и приравнять их нулю:
После преобразований система уравнений приобретает вид:
Решение этой системы линейных уравнений позволяет найти наилучшие значения коэффициентов и линейной зависимости.
Если выбранной зависимостью является квадратичная парабола:
то минимизируется функционал: 
.
Парабола имеет три варьируемых коэффициента - , наилучшие значения которых следует найти, приравняв нулю частные производные от минимизируемого функционала по искомым коэффициентам . Это позволяет получить следующую систему трёх линейных уравнений для нахождения коэффициентов :
Пример 1. Определить вид зависимости, заданной следующей таблицей.
| X | ||||||||
| Y | 0,55 | 0,64 | 0,78 | 0,85 | 0,95 | 0,98 | 1,06 | 1,11 |
Решение.
На координатную плоскость следует нанести заданные в таблице точки – образуется поле экспериментальных данных. Сквозь это поле проводится гладкая кривая.
По таблице выбираются две опорных точки с координатами (3;0,55) и (10;1,11) и для каждой пары абсцисс и ординат вычисляются среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое:
Для трёх вычисленных абсцисс по кривой, проведённой через поле экспериментальных точек, определяются три соответствующих ординаты:
Обратить внимание на ориентировочность проводимых вычислений. Далее определяются семь модулей разности:
Получены три минимальных, близких друг к другу значения
На втором этапе следует для каждой из этих зависимостей определить наилучшие значения коэффициентов, применив метод наименьших квадратов, а затем вычислить среднее квадратичное отклонение от заданных табличных значений.
Окончательный выбор аналитической зависимости выполняют по минимальной величине среднего квадратичного отклонения.
Пример 2. В таблице приведены результаты экспериментальных исследований, которые можно аппроксимировать прямой линией. Найти наилучшие значения коэффициентов прямой, применив метод наименьших квадратов.
Решение.
| k | X k | Y k | X k Y k | X k 2 | Y k теор | Y k -Y k теор | (Y k -Y k теор) 2 |
| 66,7 | 67,50 | 0,20 | 0,0400 | ||||
| 71,0 | 284,0 | 70,98 | 0,02 | 0,0004 | |||
| 76,3 | 763,0 | 76,20 | 0,10 | 0,0100 | |||
| 80,6 | 1209,0 | 80,55 | 0,05 | 0,0025 | |||
| 85,7 | 1799,7 | 85,77 | - 0,07 | 0,0049 | |||
| 92,9 | 2694,1 | 92,73 | 0,17 | 0,0289 | |||
| 99,4 | 3578,4 | 98,82 | 0,58 | 0,3364 | |||
| 113,6 | 5793,6 | 111,87 | 1,73 | 2,9929 | |||
| 125,1 | 8506,8 | 126,66 | - 1,56 | 2,4336 | |||
| суммы | 811,3 | 24628,6 | 5,8496 |
Общее уравнение прямой: .
Система линейных уравнений, из которой следует определять наилучшие значения коэффициентов и , руководствуясь методом наименьших квадратов, имеет вид:
Подставим в систему уравнений вычисленные суммы из 2-го, 3-го, 4-го и 5-го столбцов последней строки таблицы:
Откуда определены коэффициенты линейной зависимости 
Значит уравнение теоретической прямой имеет вид:
. (*)
В шестом столбце таблицы приведены вычисленные по теоретическому уравнению значений функции для заданных значений аргумента. В седьмом столбце таблицы приведены значения разностей между заданными значениями функции (3-ий столбец) и теоретическими значениями (6-ой столбец), вычисленными по уравнению (*).
В восьмом столбце приведены квадраты отклонений теоретических значений от экспериментальных и определена сумма квадратов отклонений. Теперь можно найти
Пример 3.
Пусть данные эксперимента, приведённые в таблице, аппроксимируются квадратичной параболой: 
Найти наилучшие значения коэффициентов параболы, применив метод наименьших квадратов.
Решение.
| k | X k | Y k | X k 2 | X k 3 | X k 4 | X k Y k | X k 2 Y k | Y k теор | Y k -Y k теор | |
| 29,8 | 29,28 | 0,52 | 0,2704 | |||||||
| 22,9 | 45,8 | 91,6 | 22,22 | 0,68 | 0,4624 | |||||
| 17,1 | 68,4 | 273,6 | 17,60 | -0,50 | 0,2500 | |||||
| 15,1 | 75,5 | 377,5 | 15,56 | -0,46 | 0,2116 | |||||
| 10,7 | 85,6 | 684,8 | 11,53 | -0,83 | 0,6889 | |||||
| 10,1 | 101,0 | 1010,0 | 10,60 | -0,50 | 0,2500 | |||||
| 10,6 | 127,2 | 1526,4 | 11,06 | -0,46 | 0,2116 | |||||
| 15,2 | 228,0 | 3420,0 | 14,38 | 0,82 | 0,6724 | |||||
| Сум | 122,5 | 731,5 | 7383,9 | 3,0173 |
Система линейных уравнений для определения коэффициентов параболы имеет вид:
Из последней строки таблицы в систему уравнений подставляют соответствующие суммы:
Решение системы уравнений позволяет определить значения коэффициентов:
Итак, заданная таблицей зависимость на отрезке аппроксимируется квадратичной параболой:
Расчёт по приведённой формуле для заданных значений аргумента позволяет сформировать девятый столбец таблицы, содержащий теоретические значения функции.
Сумма квадратов отклонений теоретических значений от экспериментальных приведена в последней строке 11-го столбца таблицы. Это позволяет определить среднее квадратичное отклонение:
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3
Тема: Методы решения систем уравнений
Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных – относится к группе точных методов, и если бы отсутствовала погрешность вычислений, можно было бы получить точное решение.
При ручных расчётах вычисления целесообразно вести в таблице, содержащей столбец контроля. Ниже представлен общий вариант такой таблицы для решения системы линейных уравнений 4-го порядка.
| Свободные члены | Столбец контроля | ||||
 |
|||||
 |
|||||
 |
| Свободные члены | Столбец контроля | ||||
 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
 |
Пример 1. Методом Гаусса решить систему уравнений 4-го порядка:
Эти приближённые значения корней можно подставить в исходную систему уравнений и вычислить невязки - , являющиеся разностями между правой и левой частями каждого уравнения системы при подстановке в левую часть найденных корней. Затем подставляются в качестве свободных членов системы невязки и получают поправки
корней - :
Похожие статьи
