Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом
при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (см. п. 4), или аналитически. Таким образом, для плоской системы сил
R x =F kx , R y =F ky ,
где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.
Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и М O .
- 1. Если для данной системы сил R=0, a M O ?0, то она приводится к одной паре с моментом М O , значение которого не зависит от выбора центра О.
- 2. Если для данной системы сил R?0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
- а) R?0, М O =0. В этом случае система, что сразу видно, приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О;
- б) R?0, М O ?0. В этом случае пару с моментом М O можно изобразить двумя силами R" и R", беря R"=R, a R"= - R. При этом, если d=OC - плечо пары, то должно быть Rd=|M O |.
Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей R"=R, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC=d () должно удовлетворять равенству Rd=|M O |; 2) знак момента относительно центра О силы R", приложенной в точке С, т. е. знак m O (R") должен совпадать со знаком М O .
Приведение системы сил к центру
Вопросы
Лекция 6
3. Условия равновесия произвольной системы сил
1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.
Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил (т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О ).
Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).
Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру
Итак, любую систему сил всегда можно заменить всего двумя силовыми факторами - главным вектором и главным моментом относительно произвольно выбранного центра приведения . Очевидно, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (говорят, что главный вектор инвариантен по отношению к выбору центра приведения). Очевидно также, что главный момент таким свойством не обладает, поэтому необходимо всегда указывать, относительно какого центра определяется главный момент.
2. Приведение системы сил к простейшему виду
Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:
a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.
б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О .
в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).
Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей
Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M 0 = R h . Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О .
г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).
Рис. 1.32. Динамический винт
д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).
Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил
Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору системы и приложенной в произвольном центре приведенияО , и одной паре с моментом , равным главному моменту системы относительно того же центра. По
|
|
Рассмотрим
некоторые случаи приведения системы
сил.
1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY . Тогда в самом общем случае
Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно
следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.
2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ . Тогда в самом общем случае
Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно
следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей. В частном случае, если равна нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскостиOXY . Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.
1) Пусть =0,≠0. Это случай, когда система сил приводится к одной силе, которую будем называть равнодействующей системы сил. Примером такой системы сил можно считать сходящуюся систему сил, для которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.
2) ≠0,=0 . Система сил эквивалентна паре сил.
3) ≠0,≠0, но. Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, т.е. главный вектор и главный момент ортогональны. Любая система векторов, у которой главный вектор и главный момент не равны нулю и они перпендикулярны, эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точкуО* (рис 8). Примером такой системы сил можно считать плоскую систему сил или систему параллельных сил.
4) ≠0,≠0, и главный вектор и главный момент неортогональны. В этом случае система сил приводится к динаме или к двум непересекающимся силам.
Основная теорема статики. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке тела (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.
Главный вектор системы сил :
.
Главный момент системы сил относительно центра O :
определяется своими проекциями на оси координат:
, 
, 
,
.
Возможны следующие случаи приведения системы сил к центру:
Система сил приводится к равнодействующей. Линия действия равнодействующей проходит через центр приведения.
Система сил приводится к паре сил.
3. , , − система сил имеет равнодействующую, которая не проходит через центр приведения. Ее линия действия определяется уравнениями
4. , , − система сил приводится к динамическому винту (силе и паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе).
Момент пары сил динамического винта
.
Ось динамического винта определяется уравнениями
5. , − уравновешенная система сил.
Пример 1.4.1 . Привести систему сил (рис. 1.4.1) к простейшему виду, если F 1 = 5 Н, F 2 = 15 Н, F 3 = 10 Н, F 4 = 3 Н, a = 2 м.
1. За центр приведения выберем начало координат – точку O (рис. 1.4.2) и укажем углы a и b, определяющие положение силы .
2. Найдем проекции главного вектора на оси координат:
,
,
.
Н.
3. Вычислим проекции главного момента относительно точки О на оси координат:
,
,
,
Н·м, 
Н·м, Н·м,
4. Найдем величину скалярного произведения главного вектора и главного момента
Так как , то система сил приводится к правому динамическому винту. Вектор момента пары динамического винта и главный вектор совпадают по направлению.
5. Уравнения оси динамического винта имеет вид:
или с учетом найденных значений:
Для построения оси динамического винта найдем точки A и B ее пересечения с координатными плоскостями Oxy и Oyz, соответственно
–0,203 м 1,063 м
6. Определим момент пары сил динамического винта
Н·м.
7. По координатам точек A и B изобразим ось динамического винта (рис. 1.4.3). В произвольной точке этой оси укажем силу, равную главному вектору и вектор момента пары .
Задача 1.4.1
. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор 
и главный момент относительно центра О
.
Ответ: да.
Задача 1.4.2
. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О
.
Ответ: нет.
Задача 1.4.3
. Определить расстояние от центра приведения О
долинии действия равнодействующей системы сил (рис. 1.4.4), если ее главный вектор R
= 15 Н и главный момент М О
= 30 Н·м.
Ответ: 2 м.
Задача 1.4.4 . Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.5 системы сил, принимая за центр приведения точку O , если F 1 = F 2 = 2 Н, момент пары сил M 1 = 3 Н·м, OА = 1,5 м.
Ответ: α = 0º.
Задача 1.4.5
. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.6 системы сил, принимая за центр приведения точку О
, если F
1 = F
2 = F
3 = 10 Н, a
= 3 м.
Ответ: α = 135º.
Задача 1.4.6 . Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рисунке 1.4.7, если F 1 = F 2 = F 3 = 7 Н, а ОА = ОВ = ОС = 2 м. За центр приведения принять точку О .
Ответ: R = 0, М О = 17,146 Н·м.
 |  |
| Рис. 1.4.6 | Рис. 1.4.7 |
Задача 1.4.7 . Привести систему сил, приложенных к вершинам параллелепипеда (рис. 1.4.8), к простейшему виду, если F 1 = 16 Н, F 2 = 12 Н, F 3 = 20 Н, a = с = 2,4 м, b =1,8 м.
М = 48 Н·м.
Задача 1.4.8
. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.9), к простейшему виду, если F
1 = 15 Н, F
2 = 40 Н, F
3 = 25 Н,
F
4 = F
5 = 20 Н, a
= 1,5 м.
Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 63,65 Н·м.
Задача 1.4.9 . Привести систему сил, приложенных к правильной четырехугольной пирамиде, как показано на рис. 1.4.10, к простейшему виду, если F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = 1 Н, F 5 = 2,83 Н, АВ = AS = 2 м.
Ответ: система сил уравновешена.
 |  |
| Рис. 1.4.8 | Рис. 1.4.9 |
 |  |
| Рис. 1.4.10 | Рис. 1.4.11 |
Задача 1.4.10. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.11), к простейшему виду, если F 1 = F 5 = 10 Н, F 3 = 40 Н, F 4 = 15 Н, F 2 = 9 Н, a = 2,4 м, b = 3,2 м, c = 1 м.
Ответ: система сил приводится к равнодействующей R = 32 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,9; 0; 0).
Задача 1.4.11. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.12), к простейшему виду, если F 1 = F 3 = 3 Н, F 2 = F 6 = 6 Н, F 4 = F 5 = 9 Н, a = 3 м, b = 2 м, c = 1 м.
Ответ: система сил уравновешена.
Задача 1.4.12. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.13), к простейшему виду, если F 1 = F 4 = F 5 = 50 Н, F 2 = 120 Н, F 3 = 30 Н, a = 4 м, b = 3 м, c = 5 м.
R = 80 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,0,10).
Задача 1.4.13. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.14), к простейшему виду, если a = 1 м, F 1 = 866 Н, F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = 500 Н. При решении принять .
Ответ: система приводится к равнодействующей R = 7,07 Н.
 |  |
| Рис. 1.4.12 | Рис. 1.4.13 |
 |  |
| Рис. 1.4.14 | Рис. 1.4.15 |
Задача 1.4.14. Привести систему сил, приложенных к правильной треугольной пирамиде (рис. 1.4.15), к простейшему виду, если F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = 1 Н, АВ = AS = 2 м.
Ответ: система сил приводится к динамическому винту с R
= 1,41 Н и М
= 1,73 Н·м, ось силового винта проходит через вершину S
перпендикулярно основанию пирамиды.
Задача 1.4.15. Вес радиомачты с основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равнодействующая сил давления ветра P = 50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 1.4.16). Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.
Ответ: распределенная система сил реакции грунта приводится к левому динамическому винту с силой равной 150 кН и парой с моментом 60 кН∙м. уравнение центральной винтовой оси имеет вид
.
Центр тяжести
Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела.
,
Для определения положения центра тяжести однородных тел используют метод симметрии, метод разбиения на тела простой формы с известным положением центров тяжести, а также метод отрицательных масс (линий, площадей, объемов).
Пример 1.5.1. Определить координаты центра тяжести плоской фермы (рис. 1.5.1), составленной из однородных стержней с одинаковым погонным весом.
1. Применим метод разбиения, то есть представим ферму как совокупность семи стержней.
2. Найдем координаты центра тяжести фермы по формулам:
; 
,
где , , – длина и координаты центра тяжести стержня с номером .
Длины и координаты центров тяжести стержней:
Тогда 
,
Пример 1.5.2. Торцевая стена ангара (рис. 1.5.2) имеет форму полукруга 1 радиуса с прямоугольным дверным проемом 2 высотой и шириной Определить координаты центра тяжести стены.
1. Применим методы симметрии и отрицательных площадей, рассматривая полукруг 1 и прямоугольный вырез 2 .
2. Найдем координаты центра тяжести стены.
Поскольку ось Оy является осью симметрии, то координата
Координату центра тяжести пластины определим по формуле
где , , , – площади и координаты центров тяжести фигур 1 и 2 .
Площади и координаты центров тяжести фигур:
Задачи 1.5.1 – 1.5.4. Определить координаты центров тяжести плоских ферм (рис. 1.5.3 – 1.5.6), составленных из однородных стержней с одинаковым погонным весом.
Ответы к задачам 1.5.1 – 1.5.4:
| Номер задачи | 1.5.1 | 1.5.2 | 1.5.3 | 1.5.4 |
| , м | 1,52 | 3,88 | 3,0 | 1,59 |
| , м | 0,69 | 1,96 | 1,73 | 0,17 |
 |  |
| Рис. 1.5.3 | Рис. 1.5.4 |
 | |
| Рис. 1.5.5 | Рис. 1.5.6 |
 |
|
| Рис. 1.5.7 | Рис. 1.5.8 |
Задачи 1.5.5 – 1.5.7. Определить координаты центров тяжести однородных составных линий (рис. 1.5.7 – 1.5.9).
Ответы к задачам 1.5.5 – 1.5.7:
| Номер задачи | 1.5.5 | 1.5.6 | 1.5.7 |
| , см | –4,76 | ||
| , см | 14,16 | 3,31 |
 |  |
| Рис. 1.5.9 | Рис. 1.5.10 |
 |  |
| Рис. 1.5.11 | Рис. 1.5.12 |
Задача 1.5.8 . Изогнутая под прямым углом однородная проволока подвешена на нити (рис. 1.5.10). Найти соотношение между длинами участков AD и AE , при котором участок AE находится в горизонтальном положении. АВ = 0,3 l 1 .
Задача 1.5.9 . Определить координаты центра тяжести однородной проволоки (рис. 1.5.11), если a = 3 м, b = 2 м, c = 1,5 м.
Ответ: x C = 1,69 м, y C = 1,38 м, z C = 1,33 м.
Задача 1.5.10. Однородный замкнутый контур, ограничивающий полукруг, подвешен на нити (рис. 1.5.12). Определить угол α между горизонталью и диаметром полуокружности.
Ответ: α = 68,74º.
Задачи 1.5.11 – 1.5.14. Определить координаты центров тяжести однородных плоских фигур (рис. 1.5.13 – 1.5.16).
Ответы к задачам 1.5.11 – 1.5.14:
| Номер задачи | 1.5.11 | 1.5.12 | 1.5.13 | 1.5.14 |
| 37,07 см | 32,38 см | 2,31 м | ||
| 11,88 см | 24,83 см | 1,56 м |
 |  |
| Рис. 1.5.13 | Рис. 1.5.14 |
 |  |
| Рис. 1.5.15 | Рис. 1.5.16 |
 |  |
| Рис. 1.5.17 | Рис. 1.5.18 |
Задача 1.5.15. Подставка для цапфы подшипника представляет собой деталь, состоящую из опоры в виде параллелепипеда и шпонки в форме куба (рис. 1.5.17). Определить координаты центра тяжести подставки. Размеры указаны в миллиметрах.
Ответ:
Задача 1.5.16 . Цапфа подшипника скольжения представляет собой деталь, состоящую из параллелепипеда и цилиндрической опоры (рис. 1.5.18). Определить координаты центра тяжести цапфы. Размеры указаны в миллиметрах.
Ответ: 
, 
,
Задача 1.5.17 . Однородное тело, сечение которого изображено на рисунке 1.5.19, состоит из полушара, цилиндрической части и кругового конуса. Определить координаты центра тяжести тела. Размеры указаны в миллиметрах.
Ответ: , , 
Задача 1.5.18 . Ствол танковой пушки имеет форму усеченного конуса длины (рис. 1.5.20). Наружный диаметр ствола в месте крепления к казенной части пушки наружный диаметр в сечении, соответствующем дульному срезу канала ствола, Калибр пушки d =100 мм. Определить координату центра тяжести ствола.
Ответ:
Задача 1.5.19 . Определить координаты центра тяжести однородного тела, состоящего из двух прямоугольных параллелепипедов (рис. 1.5.21). В нижнем параллелепипеде сделан вырез в форме четверти цилиндра с радиусом основания R = 10 см. Размеры на рисунке указаны в см.
Ответ: x C = 17,1 см, y C = 20,99 см, z C = 7,84 см.
Задача 1.5.20 . Определить координаты центра тяжести однородного тела (рис. 1.5.22), состоящего из треугольной призмы и параллелепипеда с вырезом. Размеры на рисунке указаны в см.
 |  |
| Рис. 1.5.19 | Рис. 1.5.20 |
 |  |
| Рис. 1.5.21 | Рис. 1.5.22 |
Ответ: x C = 20,14 см, y C = 35,14 см, z C = 5 см.
Часть 2. Кинематика
Кинематика точки
Существуют три аналитических способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
При векторном способе радиус-вектор движущейся точки задается как функция времени . Векторы скорости и ускорения точки равны соответственно первой и второй производной по времени от радиус-вектора:
, 
.
Связь между радиус-вектором и декартовыми координатами точки выражается равенством: 
, где , , – орты осей координат.
При координатном способе закон движения точки в декартовой системе координат дается заданием трех функций: , , . Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также модули скорости и ускорения точки определяются по формулам:
, , , 
,
При естественном способе задается траектория точки и закон движения точки по траектории , где криволинейная координата отсчитывается вдоль дуги от некоторой фиксированной точки на траектории. Алгебраическое значение скорости определяется по формуле , а ускорение точки равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений, т.е. , , , 
, – радиус кривизны траектории в данной точке.
Пример 2.1.1.
Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям , 
(х,у
– в м, t
– в с). Найти:
– уравнение траектории;
– скорость и ускорение в начальный момент;
– высоту и дальность обстрела;
– радиус кривизны в начальной и в наивысшей точках траектории.
1. Получим уравнения траектории снаряда, исключая параметр t из уравнений движения
.
Траектория снаряда – это участок параболы (рис. 2.1.1), имеющий ограничивающие точки: начальную с координатами х
= 0, у
= 0 и конечную, для которой х
= L
(дальность полета), у
= 0.
2. Определим дальность полета снаряда, подставив у = 0 в уравнение траектории. Откуда найдем L = 24000 м.
3. Скорость и ускорение снаряда найдем по проекциям на оси координат:
В начальный момент времени v 0 = 500 м/с, а = 10 м/с 2 .
4. Для определения высоты полета снаряда найдем время t
1 полета до этой точки. В высшей точке проекция скорости на ось y
равна нулю (рис. 2.1.1), 
, откуда t
1 = 40 с. Подставив t
1 в выражение для координаты у
, получим значение высоты Н
= 8000 м.
5. Радиус кривизны траектории
, где 
.
м; 
м.
Пример 2.1.2. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.1.2) кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2 , если ОА = АВ = 80 см.
1. Запишем уравнения движения точки M в координатной форме (рис. 2.1.3)
2. Уравнение траектории получим, исключив время t из уравнения движения:
Траектория точки М – эллипс с центром в начале координат и полуосями 120 см и 40 см.
3. Скорость точки определим по проекциям на оси координат
Задача 2.1.1. По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме.
| Уравнение движения | Ответ |
 | |
 | |
 | |
 |
Задача 2.1.2. Найти уравнение траектории в координатной форме и закон движения точки по траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах. За начало отсчета дуговой координаты s принять начальное положение точки.
| Уравнение движения | Ответ |
| , ; | |
 | ; |
| ; | |
 ;
|
Задача 2.1.3. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки в координатной форме, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже. , – в см, если, и когда угол наибольший.
Ответ: 1) 
; 2) , , ; , , .
Статика твердого тела:
Пространственная система сил
§ 7. Приведение системы сил к простейшему виду
Задачи на тему
7.1 К вершинам куба приложены по направлениям ребер силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлетворять модули сил F1, F2, F3, F4, F5 и F6, чтобы они находились в равновесии?
РЕШЕНИЕ
7.2 По трем непересекающимся и непараллельным ребрам прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю силы P. Какое соотношение должно существовать между ребрами a, b и c, чтобы эта система приводилась к одной равнодействующей?
РЕШЕНИЕ
7.3 К четырем вершинам A, H, B и D куба приложены четыре равные по модулю силы: P1=P2=P3=P4=P, причем сила P1 направлена по AC, P2 по HF, P3 по BE и P4 по DG. Привести эту систему к простейшему виду.
РЕШЕНИЕ
7.4 К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого равны a, приложены силы: F1 по ребру AB, F2 по ребру CD и F3 в точке E середине ребра BD. Величины сил F1 и F2 какие угодно, а проекции силы F3 на оси x, y и z равны +F25√3/6; -F2/2; -F2√(2/3). Приводится ли эта система сил к одной равнодействующей? Если приводится, то найти координаты x и z точки пересечения линии действия равнодействующей с плоскостью Oxz.
РЕШЕНИЕ
7.5 К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см, приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему виду.
РЕШЕНИЕ
7.6 Систему сил: P1=8 Н, направленную по Oz, и P2=12 Н, направленную параллельно Oy, как указано на рисунке, где OA=1,3 м, привести к каноническому виду, определив величину главного вектора V всех этих сил и величину их главного момента M относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой оси. Найти углы α, β и γ, составляемые центральной винтовой осью с координатными осями, а также координаты x и y точки встречи ее с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ
7.7 Три силы P1, P2 и P3 лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть направлены как в ту, так и в другую сторону. Точки их приложения A, B и C находятся на заданных расстояниях a, b и c от начала координат. Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат?
РЕШЕНИЕ
7.8 К правильному тетраэдру ABCD с ребрами, равными a, приложена сила F1 по ребру AB и сила F2 по ребру CD. Найти координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ
7.9 По ребрам куба, равным a, действуют двенадцать равных по модулю сил P, как указано на рисунке. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ
7.10 По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указанных на рисунке: P1=4 Н, P2=6 Н, P3=3 Н, P4=2 Н, P5=6 Н, P6=8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ
7.11 Равнодействующие P=8000 кН и F=5200 кН сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии H=4 м и h=2,4 м от основания. Сила веса G1=12000 кН прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса G2=6000 кН треугольной части на расстоянии одной трети длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной грани этого сечения. Ширина плотины в основании b=10 м, в верхней части a=5 м; tg α=5/12. Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина.
РЕШЕНИЕ
7.12 Вес радиомачты с бетонным основанием G=140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F=20 кН и равнодействующая сил давления ветра P=50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях; H=15 м, h=6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.
Похожие статьи
