При рассмотрении евклидового пространства мы вводили определение квадратичной формы. С помощью некоторой матрицы

строится многочлен второго порядка вида

который называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А.

Квадратичные формы тесно связаны с поверхностями второго порядка в n - мерном евклидовом пространстве. Общее уравнение таких поверхностей в нашем трехмерном евклидовом пространстве в декартовой системе координат имеет вид:

Верхняя строка - это не что иное, как квадратичная форма, если положить x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z:

- симметричная матрица (a ij = a ji)

положим для общности, что многочлен

есть линейная форма. Тогда общее уравнение поверхности есть сумма квадратичной формы, линейной формы и некоторой постоянной.

Основной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичной формы к максимально простому виду с помощью невырожденного линейного преобразования переменных или, другими словами, замены базиса.

Вспомним, что при изучении поверхностей второго порядка мы приходили к выводу о том, что путем поворота осей координат можно избавиться от слагаемых, содержащих произведение xy, xz, yz или x i x j (ij). Далее, путем параллельного переноса осей координат можно избавиться от линейных слагаемых и в конечном итоге свести общее уравнение поверхности к виду:

В случае квадратичной формы приведение ее к виду

называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Поворот осей координат есть не что иное, как замена одного базиса другим, или, другими словами, линейное преобразование.

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Для этого представим ее следующим образом:

L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+

Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+

Z(a 13 x+a 23 y+a 33 z)

Введем матрицу - столбец

Тогда
- гдеX T =(x,y,z)

Матричная форма записи квадратичной формы. Эта формула, очевидно, справедлива и в общем случае:

Канонический вид квадратичной формы означает, очевидно, что матрица А имеет диагональный вид:

Рассмотрим некоторое линейное преобразование X = SY, где S - квадратная матрица порядка n, а матрицы - столбцы Х и У есть:

Матрица S называется матрицей линейного преобразования. Отметим попутно, что всякой матрице n-ного порядка при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.

Линейное преобразование X = SY заменяет переменные x 1 , x 2 , x 3 новыми переменными y 1 , y 2 , y 3 . Тогда:

где B = S T A S

Задача приведения к каноническому виду сводится к отысканию такой матрицы перехода S, чтобы матрица В приобрела диагональный вид:

Итак, квадратичная форма с матрицей А после линейного преобразования переменных переходит в квадратичную форму от новых переменных с матрицей В .

Обратимся к линейным операторам. Каждой матрице А при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А . Этот оператор имеет, очевидно, некоторую систему собственных чисел и собственных векторов. Причем, отметим, что в евклидовом пространстве система собственных векторов будет ортогональна. Мы доказывали на предыдущей лекции, что в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид. Формула (*), как мы помним, это формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса. Положим, что собственные вектора линейного оператора А с матрицей А - это вектора у 1 , y 2 , ..., y n .

А это означает, что если собственные вектора у 1 , y 2 , ..., y n взять за базис, то матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональной

или В = S -1 А S, где S – матрица перехода от первоначального базиса {e } к базису {y }. Причем в ортонормированном базисе матрица S будет ортогональной.

Т. о. для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, имеющего в первоначальном базисе матрицу А, которая порождает квадратичную форму, перейти к базису собственных векторов и в новой системе координат построить квадратичную форму.

Обратимся к конкретным примерам. Рассмотрим линии второго порядка.

или

С помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса осей это уравнение можно привести к виду (переменные и коэффициенты переобозначены х 1 = х, х 2 = у):

1)
если линия центральная, 1  0,  2  0

2)
если линия нецентральная, т. е. один из i = 0.

Напомним виды линий второго порядка. Центральные линии:

Нецентральные линии:

5) х 2 = а 2 две параллельные линии;

6) х 2 = 0 две сливающиеся прямые;

7) у 2 = 2рх парабола.

Для нас представляют интерес случаи 1), 2), 7).

Рассмотрим конкретный пример.

Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее:

5х 2 + 4ху + 8у 2 - 32х - 56у + 80 = 0.

Матрица квадратичной формы есть
. Характеристическое уравнение:

Его корни:

Найдем собственные векторы:

При  1 = 4:
u 1 = -2u 2 ; u 1 = 2c, u 2 = -c или g 1 = c 1 (2i – j).

При  2 = 9:
2u 1 = u 2 ; u 1 = c, u 2 = 2c или g 2 = c 2 (i +2j).

Нормируем эти векторы:

Составим матрицу линейного преобразования или матрицу перехода к базису g 1 , g 2:

- ортогональная матрица!

Формулы преобразования координат имеют вид:

или

Подставим в наше уравнение линии и получим:

Сделаем параллельный перенос осей координат. Для этого выделим полные квадраты по х 1 и у 1:

Обозначим
. Тогда уравнение приобретет вид: 4х 2 2 + 9у 2 2 = 36 или

Это эллипс с полуосями 3 и 2. Определим угол поворота осей координат и их сдвиг для того, чтобы построить эллипс в старой системе.

Построим:

Проверка: при х = 0: 8у 2 - 56у + 80 = 0 у 2 – 7у + 10 = 0. Отсюда у 1,2 = 5; 2

При у =0: 5х 2 – 32х + 80 = 0 Здесь нет корней, т. е. нет точек пересечения с осью х !

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A .

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой .

Векторa называется направляющим вектором прямой .

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y , приходим к уравнениям прямой впроекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n 1 , n 2 ], где n 1 (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1 , y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называетсяуравнением плоскости .

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости.

В пространстве две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо быть скрещенными.

Параллельность отрезков прямых сохраняется в проекциях.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноимённых проекций находятся на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые не принадлежат одной плоскости, т.е. не пересекаются и не параллельны.

на чертеже одноименные проекции прямых, взятые отдельно, имеют признаки пересекающихся или параллельных прямых.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a , b и c (если a > b ) существует соотношение

a 2 - b 2 = c 2 .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a ), а его фокусы лежат на большой оси.

Уравнение гиперболы, изображенной на рисунке .

Параметры:
a, b – полуоси;
- расстояние между фокусами,
- эксцентриситет;
- асимптоты;
- директрисы.
Прямоугольник, изображенный в центре рисунка – основной прямоугольник, его диагонали есть асимптоты.

определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь a 1 2 =a 2 1 . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где λ 1 и λ 2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a , причем:
а) если λ 1 >0; λ 2 >0 – эллипс, в частности, при λ 1 =λ 2 это окружность;
б) если λ 1 >0, λ 2 <0 (λ 1 <0, λ 2 >0) имеем гиперболу;
в) если λ 1 =0 либо λ 2 =0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (здесь λ 2 =0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение . Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x 1 2 -2y 1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x 1 =1: x 1 =(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1 .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
1 ,j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

; . (*)

Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: .
Выделяем полные квадраты : .
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x 2 и y 2 , то получим: , . В системе координат (0*, i 1 , j 1) данное уравнение имеет вид: .
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x 2 =0 задается в старой системе координат уравнением x-y-3=0, а ось y 2 =0 уравнением x+y-1=0. Начало новой системы координат 0 * (2,-1) является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x 2 =0, y 2 =0, заданными в старой системе координат уравнениями x-y-3=0 и x+y-1=0 соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Окончательный вариант графика выглядит следующим образом (см. Решение :Скачать решение

Задание . Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение .

Похожие статьи