Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой, имеющей вид . Примем за параметр величину, на которую можно умножить левую и правую части канонического уравнения.

Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра является вся ось вещественных чисел: .

Мы получим или окончательно

Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают механическую интерпретацию. Если считать, что параметр - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

Пример 1. Составить на плоскости параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Решение. Подставляем данные точки и направляющего вектора в (1) и получаем:

Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров. Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой

Пример 2. Записать уравнение прямой

в общем виде.

Решение. Сначала приводим параметрические уравнения прямой к каноническому уравнению:

Дальнейшими преобразованиями приводим уравнение к общему виду:

Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой, но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора (из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.

Пример 3. Записать уравнение прямой в виде параметрических уравнений.

Решение. Приводим общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом:

Находим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой. Придадим одной из координат точки произвольное значение

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом получаем другую координату точки:

Таким образом, нам известны точка и направляющий вектор . Подставляем их данные в (1) и получаем искомые параметрические уравнения прямой:

Пример 4. Найти угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Параметрические уравнения прямой сначала следует преобразовать в каноническое, затем в общее и, наконец, в уравнение с угловым коэффициентом.

Таким образом, угловой коэффициент заданной прямой:

Пример 5. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow{M_0 M}$ коллинеарен вектору а , т. е.

$\overrightarrow{M_0 M}$ = ta , t $\in $ R . (1)

Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то $\overrightarrow{M_0 M}$ = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид

r = r 0 + ta , t $\in $ R . (2)

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .

Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).

Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то

$\overrightarrow{M_0 M} $ = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$

и, следовательно,

$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :

$x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

$\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид

х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t $\in $ R .

Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

$\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}$

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

$\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}$

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и

M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:

$\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}$ (5)

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и

M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).

В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим

$\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}$

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и

M 2 (5; -2; 1 / 2).

После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим

$\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}$

Лекция № 7

Плоскость и прямая в пространстве

проф. Дымков М.П.

1. Параметрическое уравнение прямой

Пусть даны точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямой и вектор s = (l ,m ,n ) , лежащий на

этой прямой (или ей параллельной). Вектор s называют еще направляющим вектором прямой .

Этими условиями однозначно определяется прямая в пространстве. Найдем ее

уравнение. Возьмем произвольную точку M (x , y , z ) на прямой. Ясно, что векторы

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) и s коллинеарны.

Следовательно, M 0 M = t s − есть векторное уравнение прямой.

В координатной записи последнее уравнение имеет следующее параметрическое представление

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

где t – «пробегает»

промежуток (−∞ ,∞ ) ,

(т.к. точка M (x , y , z ) должна

«пробегать»

всю прямую).

2. Каноническое уравнение прямой

Исключив параметр t из предыдущих уравнений, имеем

x − x

y − y

z − z

T −

каноническое уравнение прямой.

3. Угол между прямыми. Условия « » и « » двух прямых

Пусть даны д ве прямые

x − xi

y − yi

z − zi

i = 1,2.

Определение.

Углом между прямыми L 1 и L 2

назовем любой угол из

двух углов, образованными двумя прямыми, соответственно параллельными данной и проходящими через одну точку (для чего возможно требуется совершить параллельный перенос одной из прямых).

Из определения следует, что один из углов равен углу ϕ между

направляющими векторами прямых

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [а второй угол

тогда будет равен (π − φ ) ]. Тогда угол определяется из соотношения

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Прямые параллельны , если s и s

коллинеарны

Прямые перпендикулярны s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Угол между прямой и плоскостью. Условия « » и « » прямой и

плоскости

Пусть прямая L задана своим каноническим уравнением x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

а плоскость P – уравнением

Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Углом между прямой L

и плоскостью р называется острый угол между прямой L и ее проекцией на плоскость.

Из определения (и рисунка) следует, что искомый угол ϕ является дополнительным (до прямого угла) к углу между вектором нормали n (A , B ,C ) и

направляющим вектором s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. берется, чтобы получить острый угол).

Если L Р , то тогда s n (s ,n ) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −			условие « ».
Если L Р , то тогда s коллинеарно n
		C −	условие « ».


5. Точки пересечения прямой и плоскости
L : x = x0 + l , t ,			y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Подставив выражения для х , у , z в уравнение плоскости и преобразовав,
	t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
		Al + Bm + Cn

Теперь, если подставить найденное «t » в параметрические уравнения прямой, то найдем искомую точку пересечения

Лекция № 8-9

Основы математического анализа

проф. Дымков М.П.

Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода, которая встречается в курсе в различных формах. Мы начнем с самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Это облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода – предела функции. В последующем конструкции предельных переходов будут использоваться в построении дифференциального и интегрального исчисления.



 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

 Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

 Простейшие свойства бесконечно малых последовательностей

 Предел последовательности.

 Свойства сходящихся последовательностей

 Арифметические операции над сходящимися последовательностями

 Монотонные последовательности

 Критерий сходимости Коши

 Число е и его экономическая иллюстрация.

 Применение пределов в экономических расчетах

§ 1. Числовые последовательности и простейшие свойства

1. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции над последовательностями

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примеры последовательностей известны из школы:

1) последовательность всех членов бесконечной арифметической и геометрической прогрессий;

2) последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность;

	3) последовательность чисел							приближающих число

будем называть числовой последовательностью (или просто последовательностью).

Отдельные числа x 3 , x 5 , x n будем называть элементами или членами последовательности (1). Символ x n называют общим или n -м членом данной последовательности. Придавая значение n = 1, 2, … в общем члене x n мы получаем, соответственно, первый x 1 , второй x 2 и т.д. члены.

Последовательность считается заданной (см. Опр.), если указан способ получения любого ее элемента. Часто последовательность задают формулой для общего члена последовательности.

Для сокращения записи последовательность (1) иногда записывают как

{ x n } . Например,			означает последовательность 1,
{ x n } . Например,			означает последовательность 1,

{ 1+ (− 1)n } имеем			0, 2, 0, 2, … .

Структура общего члена (его формула) может быть сложной. Например,


		n N.
x n =	n-нечетное	n N.

Иногда последовательность задается так называемыми рекуррентными формулами , т.е. формулами, позволяющими находить последующие члены последовательности по известным предыдущим.

Пример (числа Фибоначчи). Пусть x 1 = x 2 = 1 и задана рекуррентная формула x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тогда имеем последовательность 1, 1,

2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи). Геометрически числовую последовательность можно изобразить на чис-

ловой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соот-

ветствующим членам последовательности. Например, { x n } = 1 n .

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 66

Рассмотрим наряду с последовательностью { x n } еще одну последовательность { y n } : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Определение. Суммой (разностью, произведением, частным) последо-

вательностей { xn } и { yn } называется последовательность { zn } , члены кото-

образованы по

z n = x n + y n

X − y

≠ 0

Произведением последовательности { xn } на число c R называется последовательность { c xn } .

Определение. Последовательность { xn } называется ограниченной

сверху (снизу), если существует вещественное число М (m), такое что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравен-

ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу m ≤ xn ≤ M . Последовательность xn называ-

ется неограниченной, если для положительного числа А (сколь угодно большего) найдется хотя бы один элемент последовательности xn , удовлетворя-

ющий неравенству xn > A.

{ x n } = { 1n } − ограничена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.

{ x n } = { n } − ограничена снизу 1, но является неограниченной.

{ x n } = { − n } − ограничена сверху (–1), но также неограниченная.

Определение. Последовательность { x n } называется бесконечно малой ,

если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым его не взяли) существует номер N , зависящий, вообще говоря от ε , (N = N (ε )) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство x n < ε .

Пример. { x n } = 1 n .

Определение. Последовательность { xn } называется бесконечно боль-

шой , если для положительного вещественного числа А (какое бы большое оно не было) найдется номер N (N = N(A)) такой, что при всех n ≥ N выпол-

няется неравенство xn > A.

Приравнивая в канонических уравнениях прямой каждую из дробей некоторому параметру t :

Получим уравнения выражающие текущие координаты каждой точки прямой через параметр t .

таким образом параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнения прямой проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1) и М 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) . Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки получаются так же, как аналогичное такое уравнение на плоскости. Поэтому сразу приведём вид этого уравнения.

Прямая на пересечении двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве.

Если рассмотреть две не параллельные плоскости, то их пересечением будет прямая.

Если нормальные вектора и неколенеарны.

Ниже при рассмотрении примеров мы покажем способ преобразования таких уравнений прямой к каноническим уравнениям.

5.4 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть две прямые заданны своими каноническими уравнениями.

За угол между двумя прямыми примем угол между направляющими векторами.

Условие перпендикулярности двух прямых сводится к условию перпендикулярности их направляющих векторов и , то есть к равенству нулю скалярного произведения: или в координатной форме: .

Условие параллельности двух прямых сводится к условию параллельности их направляющих векторов и

5.5 Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть заданы уравнения прямой:

и плоскости . Углом между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис 5.5).

Рис 5.5

В случае перпендикулярности прямой к плоскости направляющий вектор прямой и нормальный вектор к плоскости коллинеарны. Таким образом, условие перпендикулярности прямой и плоскости сводится к условию коллинеарности векторов

В случае параллельности прямой и плоскости их указанные выше вектора взаимно перпендикулярны. Поэтому условие параллельности прямой и плоскости сводится к условию перпендикулярности векторов ; т.е. их скалярное произведение равно нулю или в координатной форме: .

Ниже рассмотрены примеры решения задач, связанных с темой главы 5.

Пример 1:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,4) перпендикулярную прямой, заданной уравнением:

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+С(z-z 0)=0

В качестве точки возьмём точку А (1,2,4), через которую проходит по условию плоскость.

Зная канонические уравнения прямой, мы знаем вектор, параллельный прямой .

В силу того, что по условию прямая перпендикулярна искомой плоскости, направляющий вектор может быть взят в качестве нормального вектора плоскости.

Таким образом уравнение плоскости получим в виде:

2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0

2х+у+4z-16=0

2х+у+4z-20=0

Пример 2:

Найти на плоскости 4х-7у+5z-20=0 такую точку Р, для которой ОР составляет с осями координат одинаковые углы.

Решение:

Сделаем схематический чертёж. (Рис. 5.6)

Рис 5.6

Пуст точка Р имеет координаты . Так как вектор составляет одинаковые углы с осями координат, то направляющие косинусы этого вектора равны между собой

Найдём проекции вектора :

тогда легко находятся направляющие косинусы этого вектора.

Из равенства направляющих косинусов следует равенство:

х р =у р =z р

так как точка Р лежит на плоскости, то подстановка координат этой точки в уравнение плоскости обращает его в тождество.

4х р -7х р +5х р -20=0

2х р =20

х р =10

Соответственно: у р =10; z р =10.

Таким образом искомая точка Р имеет координаты Р(10;10;10)

Пример 3:

Даны две точки А (2,-1,-2) и В (8,-7,5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярную отрезку АВ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+C(z-z 0)=0

В качестве точки используем точку В (8,-7,5), а в качестве вектора, перпендикулярного плоскости вектор . Найдём проекции вектора :

тогда уравнение плоскости получим в виде:

6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6х-6у+7z-35=0

6х-6у+7z-125=0

Пример 4:

Найти уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки К(1,-5,1) и М(3,2,-2).

Решение:

Так как плоскость параллельна оси ОY, то воспользуемся неполным уравнением плоскости.

Ax+Cz+D=0

В силу того, что точки К и М лежат на плоскости, получим два условия.

Выразим из этих условий коэффициенты А и С через D.

Подставим найденные коэффициенты в неполное уравнение плоскости:

так как , то сокращаем D:

Пример 5:

Найти уравнение плоскости проходящей через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через 3 заданные точки.

подставляя координаты точек М,К,R как первой, второй и третьей получим:

раскроем определитель по 1 ой строке.

Пример 6:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (8,-3,1); М 2 (4,7,2) и перпендикулярно плоскости 3х+5у-7z-21=0

Решение:

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.7)

Рис 5.7

Обозначим заданную плоскость Р 2 а искомую плоскость Р 2. . Из уравнения заданной плоскости Р 1 определяем проекции вектора , перпендикулярного плоскости Р 1.

Вектор путём параллельного переноса может быть перемещён в плоскость Р 2 , так как по условию задачи плоскость Р 2 перпендикулярна плоскости Р 1 , а это значит вектор параллелен плоскости Р 2.

Найдём проекции вектора лежащего в плоскости Р 2:

теперь мы имеем два вектора и , лежащих в плоскости Р 2 . очевидно вектор , равный векторному произведению векторов и будет перпендикулярен плоскости Р 2 , т. к. он перпендикулярен и , поэтому его нормального вектора плоскости Р 2.

Векторы и заданы своими проекциями поэтому:

Далее, используем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную вектору. В качестве точки можно взять любую из точек М 1 или М 2 , например М 1 (8,-3,1); В качестве нормального вектора к плоскости Р 2 берём .

74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0

3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0

3х-24+у+3+27-2=0

3х+у+2z-23=0

Пример 7:

Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найти канонические уравнения прямой.

Решение:

Имеем уравнение в виде:

Надо найти точку (х 0 ,у 0 ,z 0 ), через которую проходит прямая и направляющий вектор .

Выберем произвольно одну из координат. Например, z=1 , тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, мы нашли точку лежащую на искомой прямой (2,0,1).

В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмём векторное произведения векторов и , являющихся нормальными векторами т.к. , а значит параллельно искомой прямой.

Таким образом, направляющий вектор прямой имеет проекции . Используя уравнение прямой проходящий через заданную точку параллельно заданному вектору:

Итак искомое каноническое уравнение имеет вид:

Пример 8:

Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 2x+3y+3z-8=0

Решение:

Запишем заданное уравнение прямой в параметрическом виде.

х=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

каждой точке прямой соответствует единственное значение параметра t . Для нахождения параметра t соответствующего точке пересечения прямой и плоскости подставим в уравнение плоскости выражение х, у, z через параметр t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

тогда координаты искомой точки

искомая точка пересечения имеет координаты (1;1;1).

Пример 9:

Найти уравнение плоскости проходящей через параллельные прямые.

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.9)

Рис 5.9

Из заданных уравнений прямых и определяем проекции направляющих векторов этих прямых . Найдём проекции вектора , лежащего в плоскости Р, а точки и берём из канонических уравнений прямых М 1 (1,-1,2) и М 2 (0,1,-2).

Пусть прямая проходит через точку M1 (x1, y1, z1) и параллельна вектору (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

Векторы иколлинеарны.

- каноническое уравнение прямой в пространстве.

44 Параметрические уравнения прямой

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

Отсюда получим: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к.- ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

45 Уравнение прямой в пространстве, проходящее через две различные данные точки.

Аналитическая геометрия

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть на плоскости даны М1(х1у1) и М2(х2у2). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M1M2

тройка.

Это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1 у1) и (х2, у2)

Перейдем теперь к уравнениям прямой и плоскости в пространстве.

Аналитическая геометрия в 3-мерном пространстве

Аналогично двумерному случаю любое уравнение первой степени относительно трех переменных x, y, z есть уравнение плоскости в пространстве Оxyz.. Общее уравнение плоскости АX + ВY + СZ + D = 0, где вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости. Каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку М(х0,у0,z0) и имеющей нормаль N(А,В,С) А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0)=0 – что представляет собой это уравнение?

Значения х –х0, у-у0 и z –z0 - это разности координат текущей точки и фиксированной точки. Следовательно, вектор а (х-х 0, у-у0, z-z0) -это вектор, лежащий в описываемой плоскости, а вектор N - вектор, перпендикулярный к плоскости, а значит, они перпендикулярны между собой.

Тогда их скалярное произведение должно равняться нулю.

В координатной форме (N,a)=0 выглядит так:

А·(х-х0)+В·(у-у0)+С·(z-z0)=0

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая.

46 Угол между прямыми в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и. Так как, то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен.