Линейная зависимость векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают

Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор вида

где - любые действительные числа. Также говорят, что вектор линейно выражается через векторы или разлагается по этим векторам.

Например, пусть даны три вектора: , , . Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор

Определение. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой этой системы.

Определение. Система ненулевых векторов называется линейно зависимой , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же последнее равенство для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой .

Например, система двух векторов , линейно независима; система двух векторов и линейно зависима, так как .

Пусть система векторов (19) линейно зависима. Выберем в сумме (20) слагаемое, в котором коэффициент , и выразим его через остальные слагаемые:

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (19) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).

Свойства линейно зависимой системы векторов

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости в случае двухмерных векторов на плоскости: когда один вектор выражается через другой, мы имеем , т.е. эти векторы коллинеарны, или что то же самое, находятся на параллельных прямых.

В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны . Достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

Теорема. В пространстве любая система, содержащая векторов, линейно зависима при .

Пример. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Решение . Составим векторное равенство . Записывая в виде вектор-столбцов, получаем

Таким образом, задача свелась к решению системы

Решим систему методом Гаусса:

В результате получим систему уравнений:

которая имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдется одно ненулевое, следовательно, векторы линейно зависимые.

Пусть L - произвольное линейное пространство, a i Î L, - его элементы (векторы).

Определение 3.3.1. Выражение , где , - произвольные вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ,…, a n .

Если вектор р = , то говорят, что р разложен по векторам a 1 , a 2 ,…, a n .

Определение 3.3.2. Линейная комбинация векторов называется нетривиальной , если среди чисел есть хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае, линейная комбинация называется тривиальной .

Определение 3 .3.3 . Векторы a 1 , a 2 ,…, a n называются линейно зависимыми, если существуют их нетривиальная линейная комбинация, такая что

= 0 .

Определение 3 .3.4. Векторы a 1 ,a 2 ,…, a n называются линейно независимыми, если равенство = 0 возможно лишь в случае, когда все числа l 1, l 2,…, l n одновременно равны нулю.

Отметим, что всякий ненулевой элемент a 1 можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство l a 1 = 0 возможно лишь при условии l = 0.

Теорема 3.3.1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости a 1 , a 2 ,…, a n является возможность разложения, по крайней мере, одного из этих элементов по остальным.

Доказательство. Необходимость. Пусть элементы a 1 , a 2 ,…, a n линейно зависимы. Это означает, что = 0 , причем хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, l n отлично от нуля. Пусть для определенности l 1 ¹ 0. Тогда

т. е. элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n .

Достаточность. Пусть элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n , т. е. a 1 = . Тогда = 0 , следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация векторов a 1 , a 2 ,…, a n , равная 0 , поэтому они являются линейно зависимыми.

Теорема 3.3.2 . Если хотя бы один из элементов a 1 , a 2 ,…, a n нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть a n = 0 , тогда = 0 , что и означает линейную зависимость указанных элементов.

Теорема 3.3.3 . Если среди n векторов какие-либо p (p < n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказательство. Пусть для определенности элементы a 1 , a 2 ,…, a p линейно зависимы. Это означает, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, что = 0 . Указанное равенство сохранится, если добавить к обеим его частям элемент . Тогда + = 0 , при этом хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, lp отлично от нуля. Следовательно, векторы a 1 , a 2 ,…, a n являются линейно зависимыми.

Следствие 3.3.1. Если n элементов линейно независимы, то любые k из них линейно независимы (k < n).

Теорема 3.3.4 . Если векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 линейно независимы, а элементы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то вектор a n можно разложить по векторам a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .

Доказательство. Так как по условию a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то существует их нетривиальная линейная комбинация = 0 , причем (в противном случае, окажутся линейно зависимыми векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Но тогда вектор

что и требовалось доказать.

Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.

Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .

Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

Пример 1. Многочлен является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.

Решение.

Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.

Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Окончательно получим

и

Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.

Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов

a). ;

b). ?

Решение.

a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю

Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде

Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">

Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение .

Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;

b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)

Применяя аналогичные рассуждения, получим

Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

или

Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**) . Следовательно, система векторов – линейно зависима.

Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)

В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.

Из соотношения (***) получаем или Обозначим .

Получим

Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)

1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .

3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).

4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.

5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.

6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .

c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.

10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:

a). a+ b, b, c.

b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число

c). a+ b, a+c, b+c.

11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?

12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.

Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы.

Допустим . Тогда

Следовательно вектор x линейно зависим из векторов этой группы.

Векторы x , y , ..., z называются линейно независимыми векторами , если из равенства (0) следует, что

α=β= ...= γ=0.

То есть группы векторов линейно независимы, если ни один вектор не может быть представлен линейной комбинацией других векторов этой группы.

Определение линейной зависимости векторов

Пусть заданы m векторов строк порядка n:

Сделав Гауссово исключение , приведем матрицу (2) к верхнему треугольному виду. Элементы последнего столбца изменяются только тогда, когда строки переставляются. После m шагов исключения получим:

где i 1 , i 2 , ..., i m - индексы строк, полученные при возможной перестановки строк. Рассматривая полученные строки из индексов строк исключаем те, которые соответствуют нулевым вектором строк. Оставшиеся строки образуют линейно независимые векторы. Отметим, что при составлении матрицы (2) изменяя последовательность векторов строк, можно получить другую группу линейно независимых векторов. Но подпространство, которую оба эти группы векторов образуют совпадают.

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Определение 1

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Похожие статьи