При решении большинства технических задач мы считаем си­стему отсчета, связанную с Землей, неподвижной (инерциальной). Тем самым мы не учитываем суточное вращение Земли и ее движение по орбите вокруг Солнца. Таким образом, считая систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной, мы по существу прене­брегаем ее суточным вращением вместе с Землей по отноше­нию к звездам. Это вращение происходит со скоростью: 1 оборот за 23 часа 56 минут 4 секунды, т. е. с угловой скоростью

Исследуем, как сказывается такое довольно медленное вращение на равновесии и движении тел.

1. Относительный покой на поверхности Земли. Сила тяжести. Рассмотрим материальную точку, лежащую на неподвижной относительно Земли гладкой «горизонтальной» плоскости (рис.13). Условие ее равновесия по отношению к Земле состоит в том, что , где - сила притяжения Земли, - реакция плоскости, -переносная сила инерции. Так как , то сила имеет только нормальную составляющую, направленную перпендикулярно к оси вра­щения Земли. Сложим силы и введем обозначение

Рис.13

Тогда на точку М будут действовать две силы и , уравно­вешивающие друг друга. Сила и представляет собою ту силу, ко­торую мы называем силой тяжести.

На­правление силы будет направлением верти­кали в данном пункте поверхности, а плоскость, перпендикулярнаяк и будет горизонтальной плоскостью. По модулю (r - расстояние точки М от земной оси) и величина малая по сравнению с , так как величина очень мала. Направление силы мало отличается от направления .

При взвешивании тел мы определяем силу , т.к. именно с такой силой тело давит на тело весов. То есть, вводя в уравнения равновесия силу тяжести , мы вводим в них и силу , т.е. фак­тически учитываем влияние вращения Земли.

Поэтому при состав­лении уравнений равновесия тел по отношению к Земле ника­ких поправок на вращение Земли вводить не надо. В этом смысле равновесие по отношению к Земле можно считать абсолютным.

а) Движение по земной поверхности. При движении точки по меридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускорение направлено на восток, а сила - на запад. При движении с юга на север сила будет, очевидно, направлена на восток. В обоих случаях, как мы видим, эта сила будет отклонять точку вправо от направления ее движения. Если точка движется по параллели на восток, то ускорение будет направлено вдоль радиуса МС параллели (рис.14), а сила в противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы (вдоль ОМ) будет несколько изменять вес тела, а горизонтальная составляю­щая будет направлена к югу и будет отклонять точку тоже вправо от на­правления движения. Аналогичный ре­зультат получим при движении по па­раллели на запад.

Рис.14

Отсюда заключаем, что в север­ном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по любо­му направлению будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происхо­дить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, что реки, текущие в северном по­лушарии, подмывают правый берег (закон Бэра). В этом же при­чина отклонений ветров постоянного направления (пассаты) и мор­ских течений.

Земля совершает 11 различных движений, из которых важное географическое значение имеют следующие:

Суточное вращение вокруг оси,

Годовое обращение вокруг Солнца,

Движение вокруг общего центра тяжести системы Земля-Луна.

Как известно, Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток, поворачиваясь в I секунду на 24.6Q.gQ = щщ часть полного оборота. SS

Суточное вращение Земли вокруг ее оси заметным образом влияет на всякое свободно перемещающееся вдоль поверхности земли тело и, в частности, иа движение воздуха.

Представим себе плоскость горизонта на северном полюсе (рис. 32). При суточном обороте Земли эта плоскость, очевидно, будет вращаться вокруг точки полюса Р в направлении, показанном стрелкой.

Допустим, что частица воздуха а, движение которой рассматривается, в некоторый момент времени находится в точке b на линии меридиана РА. Пусть направление движения этой частицы, отмеченное стрелкой, составляет с направлением мерйдйана РА некоторый угол а.

Рис. 33. Отклоняющее действие вращения Земли в северном и южном полушариях.

Рассмотрим движение частицы а относительно такой вращающейся плоскости горизонта. Очевидно, через некоторое время меридиан РА займет положение РАг. Но движущаяся частица по инерции будет стремиться сохранить то же направление,

Рис. 32. Отклоняющее действие вращения Земли на полюсе.

которое она имела в точке Ь. Таким образом, направление движения частицы в точке Ьх
будет параллельно ее движению в точке Ь, что и отмечено стрелкой. Но это направление движения составляет с направлением меридиана РА1
угол р, несколько больший угла а.

Движение будет происходить так, как будто какая-то сила отклоняет частицу воздуха вправо от направления первоначального ее движения.

Мы рассмотрели движение частицы вблизи полюса. То же явление будет наблюдаться, но лишь в меньшей степени, и на других широтах северного полушария. При этом отклонение будет тем меньше, чем меньше широта места. На экваторе этого отклонения нет.

В южном полушарии отклонение происходит в левую сторону от первоначального направления движения.

На рис. 33 приведены схемы, иллюстрирующие отклонение р северном и южном полушариях при начальном движении ча59

стицы воздуха вдоль меридиана. На рисунке рассмотрены случаи движения частицы от полюса к экватору и от экватора к полюсу- Здесь: АВ и CD - начальные направления движения некоторых частиц воздуха в северном полушарии, совпадающие с направлением меридиана; АХВХ и C1D1 - последующие направления движения соответствующих частиц, после того как точки А а С вследствие вращения Земли заняли положение Л, и Сѵ

Для южного полушария аналогичные начальные положения представлены стрелками А’В’ и C’D’, а последующие-стрелками АВ и CD.

Как видим, и в этих случаях в северном полушарии наблюдается отклонение вправо от начального направления движения, а в южном полушарии - влево.

Здесь рассмотрены случаи такого движения, когда начальное направление движения совпадало с направлением меридиана. В механике доказывается, что отклонение наблюдается при любом направлении движения и отклоняющая сила вращения Земли направлена всегда перпендикулярно к направлению движения. В северном полушарии она ‘направлена в правую сторону, под прямым углом к направлению движения, а в южном полушарии - в левую.

В действительности отклоняющей силы не существует, а отклонение частицы от начального направления движения обусловлено лишь суточным вращением Земли.

Влияние этого отклонения проявляется не только в отклонении движения воздуха, но и в ряде других явлений. Примером может служить, что у большинства крупных рек северного полушария правый берег более крутой, чем левый. Это объясняется тем, что вода при своем течении отклоняется все время вправо и (непрерывно подмывает правый берег.

Отклонение вправо в северном полушарии можно наблюдать на распределении теплых и холодных океанических течений. Так, теплое течение Гольфстрем, начинаясь у берегов Мексиканского залива, при перемещении на север отклоняется вправо и достигает берегов Скандинавии.

Таким образом, всякое свободно перемещающееся тело, двигающееся в любом направлении, под влиянием вращения Земли отклоняется в северном полушарии вправо, а в южном - влево.

Астрономы установили, что Земля одновременно участвует в нескольких видах движения. Например, в составе она движется вокруг центра Млечного Пути, а в составе нашей Галактики участвует в межгалактическом движении. Но главных видов движения, известных человечеству с давних времён, два. Один из них — вокруг своей оси.

Следствие осевого вращения Земли

Наша планета равномерно вращается вокруг воображаемой оси. Такое движение Земли называют осевым вращением. Все объекты на земной поверхности вращаются вместе с Землёй. Вращение происходит с запада на восток, то есть против часовой стрелки, если смотреть на Землю со стороны Северного полюса. Из-за такого вращения планеты восход солнца утром происходит на востоке, а закат вечером - на западе.

Земная ось наклонена под углом 66 1/2° к плоскости орбиты, по которой планета движется вокруг Солнца. При этом ось строго в космическом пространстве: её северный конец постоянно направлен на Полярную звезду. Осевое вращение Земли определяет видимое движение звёзд и Луны по небосклону.

Вращение Земли вокруг оси оказывает большое влияние на нашу планету. Оно определяет смену дня и ночи и возникновение естественной, данной природой единицы измерения времени - суток. Это период полного оборота планеты вокруг своей оси. Длительность суток зависит от скорости вращения планеты. Согласно существующей системе исчисления времени сутки делят на 24 часа, час - на 60 минут, минуту - на 60 секунд.

Из-за осевого вращения Земли все движущиеся по её поверхности тела отклоняются от первоначального направления в Северном полушарии вправо по ходу своего движения, а в Южном - влево. В реках отклоняющая сила прижимает воду к одному из берегов. Поэтому у рек в Северном полушарии обычно более крутой правый берег, а в Южном полушарии - левый. Отклонение воздействует на направление ветров в , течений в Мировом океане.

Осевое вращение влияет на форму Земли. Наша планета не идеальный шар, она немного сжата . Поэтому расстояние от центра Земли до полюсов (полярный радиус) на 21 километр короче расстояния от центра Земли до экватора (экваториальный радиус). По этой же причине меридианы на 72 километра короче экватора.

Осевое вращение вызывает суточные изменения в поступлении солнечного света и тепла на земную поверхность, объясняет видимое движение звёзд и Луны по небосклону. Оно определяет также различие во времени в разных частях земного шара.

Всемирное время и часовые пояса

В один и тот же момент в разных частях земного шара время суток может быть разным. Но для всех точек, расположенных па одном меридиане, время одинаково. Его называют местным временем.

Для удобства отсчёта времени поверхность Земли условно разделена на 24 (по числу часов в сутках). Время внутри каждого пояса называют поясным временем. Отсчёт поясов ведётся от нулевого часового пояса. Это пояс, посередине которого проходит Гринвичский (нулевой) меридиан. Время на этом меридиане называют всемирным. В двух соседних поясах поясное время различается ровно на 1 час.

Посередине двенадцатого часового пояса, примерно по меридиану 180, проходит линия перемены дат. По обе стороны от неё часы и минуты совпадают, а календарные даты различаются на одни сутки. Если путешественник пересекает эту линию с востока на запад, то дата переводится на один день вперёд, а если с запада на восток, то возвращается на один день назад.

Как и другие планеты Солнечной системы, совершает 2 основных движения: вокруг собственной оси и вокруг Солнца. С древнейших времён именно на этих двух регулярных движениях основывались расчёты времени и способность составлять календари.

Сутки – это время вращения вокруг собственной оси. Год – обращения вокруг Солнца. Деление на месяцы также находится в прямой связи с астрономическими феноменами – их продолжительность связана с фазами Луны.

Вращение Земли вокруг собственной оси

Наша планета вращается вокруг собственной оси с запада на восток, то есть против часовой стрелки (если смотреть со стороны Северного полюса.) Ось – это виртуальная прямая линия, пересекающая земной шар в районе Северного и Южного полюсов, т.е. полюса имеют фиксированное положение и не участвуют во вращательном движении, в то время как все другие точки расположения на земной поверхности вращаются, причём скорость вращения не идентична и зависит от их положения по отношению к экватору – чем ближе к экватору, тем скорость вращения выше.

Например, в районе Италии скорость вращения составляет примерно 1200 км\ч. Следствиями вращения Земли вокруг своей оси являются смена дня и ночи и видимое движение небесной сферы.

Действительно, создаётся впечатление, что звёзды и другие небесные тела ночного неба движутся в противоположном нашему с планетой движению направлении (то есть с востока на запад).

Кажется, что звёзды находятся вокруг Полярной звезды, которая расположена на воображаемой линии – продолжении земной оси в северном направлении. Движение звёзд не является доказательством того, что Земля вращается вокруг своей оси, ведь это движение могло бы быть следствием вращения небесной сферы, если считать, что планета занимает фиксированное, неподвижное положение в пространстве.

Маятник Фуко

Неопровержимое доказательство того, что Земля вращается вокруг собственной оси, было представлено в 1851 г. Фуко, который провёл известнейший эксперимент с маятником.

Представим, что, находясь на Северном полюсе, мы привели в колебательное движение маятник. Силой извне, действующей на маятник, является гравитация, при этом она не влияет на изменение направления колебаний. Если подготовить виртуальный маятник, оставляющий следы на поверхности, мы сможем удостоверится, что через некоторое время следы переместятся в направлении часовой стрелки.

Это вращение может быть связано с двумя факторами: или с вращением плоскости, на которой совершает колебательные движения маятник, или с вращением всей поверхности.

Первую гипотезу можно отбросить, принимая во внимание, что на маятнике нет сил, способных изменить плоскость колебательных движений. Отсюда следует, что вращается именно Земля, причём она совершает движения вокруг собственной оси. Этот эксперимент был проведён в Париже Фуко, он использовал огромный маятник в виде сферы из бронзы весом около 30 кг, подвешенный к 67-метровому тросу. На поверхности пола Пантеона была зафиксирована отправная точка колебательных движений.

Итак, вращается именно Земля, а не небесная сфера. Люди, ведущие с нашей планеты наблюдение за небом, фиксируют движение и Солнца, и планет, т.е. во Вселенной движутся все объекты.

Критерий времени – сутки

Сутки – это отрезок времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг собственной оси. Существует два определения понятия “сутки”. “Солнечный сутки” – это промежуток времени вращения Земли, при котором за отправную точку берётся . Другое понятие – “сидерические сутки” – подразумевает другую отправную точку – любую звезду. Продолжительность двух видов суток неидентична. Долгота сидерических суток составляет 23 ч 56 мин 4 с, долгота же солнечных суток равна 24 часам.

Различная продолжительность связана с тем, что Земля, вращаясь вокруг собственной оси, совершает и орбитальное вращение вокруг Солнца.

В принципе, продолжительность солнечных суток (хотя и принимается за 24 часа) – величина непостоянная. Это связано с тем, что движение Земли по орбите происходит с переменной скоростью. Когда Земля находится ближе к Солнцу, скорость её движения по орбите выше, по мере удаления от светила скорость понижается. В связи с этим введено такое понятие, как “средние солнечные сутки”, именно их продолжительность 24 часа.

Обращение вокруг Солнца со скоростью 107 000 км/ч

Скорость обращения Земли вокруг Солнца – второе основное движение нашей планеты. Земля движется по эллиптической орбите, т.е. орбита имеет форму эллипса. Когда находится в непосредственной близости от Земли и попадает в её тень, случаются затмения. Среднее расстояние между Землёй и Солнцем составляет примерно 150 миллионов километров. В астрономии используется единица измерения расстояний внутри Солнечной системы; её называют “астрономическая единица” (а.е.).

Скорость с которой Земля движется по орбите, равна примерно 107 000 км/ч.
Угол, образованный земной осью и плоскостью эллипса, составляет примерно 66°33’, это величина постоянная.

Если наблюдать за Солнцем с Земли, создаётся впечатление, что именно оно движется по небосклону в течении года, проходя через звёзды и , составляющие Зодиак. На самом деле Солнце также проходит и через созвездие Змееносца, но оно не относится к Зодиакальному кругу.

Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «МЕХАНИКА»

ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Данное пособие входит в серию электронных учебных пособий по теоретической механике, разрабатываемых на кафедре механики СамГТУ.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами темы «Динамика относительного движения материальной точки».

Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов.

Самара – 2008.

Переносное, относительное и абсолютное движение.

Рассмотрим движение точки М относительно двух систем отсчета, одна

	из которых O 1 x 1 y 1 z 1 движется относительно другой, неподвижной,
	отсчета Oxyz (рис.1).
	Относительным			называется
	движение		М относительно
	подвижной системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 .
	Переносным			называется
	движение,	совершаемое		подвижной
	системой
	неизменно	связанными
	точками пространства относительно
	неподвижной системы отсчета.
	Абсолютным называется
	движение точки по отношению x 1

к неподвижной системе отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 .

Всем кинематическим характеристикам, относящимся к относительному движению, присваивается индекс r , кинематическим характеристикам переносного движения–индекс е.

Относительной скоростью V r называется скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Переносной скоростью V е называется скорость той точки, неизменно

связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент совпадает точка М , относительно неподвижной системы отсчета.

Абсолютная скорость V - это скорость точки относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично определяются относительное

ускорение a r , переносное ускорение a e и абсолютное ускорение a .

Теорема о сложении скоростей. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

V = Ve + Vr

Теорема о сложении ускорений. При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного ускорений и ускорения Кориолиса.

a = a e + a r + a c

Полученное равенство выражает теорему Кориолиса:

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

a c = 2 ω е × V r

Модуль ускорения Кориолиса равен

а С = 2ω e V r sinα ,

где α - угол между векторами ω е и V r .

Направление a c определяется в соответствии с общим правилом

векторного произведения.

Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

1) когда ω е = 0, т.е. когда переносное движение является

поступательным,

2) когда V r = 0 , т.е. в случае относительного покоя,

3) когда угол α = 0, т.е. в тех случаях, когда вектора ω е и V r

параллельны.

О сновной закон относительного движения материальной точки .

Рассмотрим движение материальной точки относительно неинерциальной системы координат, т.е. относительно системы координат, движущейся произвольным образом относительно неподвижной.

В случае сложного движения точки абсолютное ускорение определяется по теореме Кориолиса:

Умножим равенство (1) на массу движущейся материальной точки:

m a = m a e + m a r + m a k .

Выделим в подученном равенстве слагаемое, характеризующее относительное движение материальной точки

ma r = ma − ma e − ma с

ma =

Где

В соответствии со вторым законом Ньютона заменим

равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке.

Введем обозначения:

Ф e = − m a e ,

Ф с = − m a с .

m a r =

Ф e + Ф с

Вектор Ф e = − m a e называется переносной силой инерции, вектор Ф с = − m a с - силой инерции Кориолиса.

Равенство (2) представляет собой основной закон относительного движения материальной точки:

Относительно неинерциальной (подвижной) системы отсчета материальная точка движется так, как будто к ней, кроме действующей силы, приложены переносная сила инерции и сила инерции Кориолиса.

Векторы Ф e и Ф с можно рассматривать как поправки ко второму закону

Ньютона для материальной точки, движение которой рассматривается относительно неинерциальной системы отсчета.

Частные случаи.

1 . Пусть подвижная система отсчета по отношению к инерциальной системе движется поступательно. В этом случае угловая скорость

переносного движенияω е = 0 , следовательно, будут равняться нулю ускорение Кориолиса и сила инерции Кориолиса: a с = 2 ω e × V r = 0 ,

Ф с = −m a с = 0.

Закон относительного движения материальной точки (2) принимает вид: m a r = F + Ф e

2. Пусть подвижная система отсчета движется поступательно прямолинейно и равномерно. При таком дви ижении a e = 0 , следовательно,

Ф e = − m a e = 0 . Кроме того, ω е = 0 , a с = 0 , Ф с = − m a с = 0. Тогда равенство (2) принимает вид:

ma r = F

Следовательно, основной закон относительного движения точки в этом случае совпадает с основным законом движения точки по отношению к

инерциальной системе отсчета. Отсюда вытекает принцип относительности, открытый Галилеем:

Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное, прямолинейное движение по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета.

Таким образом, все системы отсчета, движущиеся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, являются инерциальными.

3. Условие относительного равновесия. В этом случае

V r = 0 и

a r = 0 , следовательно, a с = 2

ω e × V r

Фс = − m a с

Тогда уравнение (2) принимает вид:

Ф e = 0

Это уравнение называется уравнением относительного равновесия материальной точки.

Влияние вращения Земли на равновесие тел.

Рассмотрим силы, действующие на материальную точку М, подвешенную на нити (рис.2) и находящуюся в покое относительно Земли.

На точку М действует сила притяжения F, направленная к центру Земли, сила натяжения нити Т и сила переносная инерции Ф e = − m a e , направленная в сторону, противоположную нормальному ускорению точки

a e n , которое в свою очередь направлено по

радиусу вращения ОМ = r к оси вращения Земли.

ae n = ω 2 OM = ω 2 r.

При равновесии точки на поверхности Земли геометрическая сумма приложенных к точке сил и переносной силы инерции равна нулю:

F + T + Фe = 0.

О М Ф е

ω F

С ψ ϕ m g

	направление вертикали в данном пункте поверхности Земли, а плоскость,
	перпендикулярная силе Т , является горизонтальной плоскостью. Из
	равенства (2.5) следует, что
	Т = − (F + Фе )
	Сила m g , равная по модулю и направленная противоположно силе Т ,
	называется силой тяжести.
	mg = − T = F + Фе .
	Сила тяжести равна геометрической сумме силы земного притяжения
	и силы инерции, обусловленной суточным вращением Земли.
	Таким образом, вращение Земли учитывается при определении силы
	тяжести, включением в нее переносной силы инерции.
	Модуль силы инерции
	Фе = mae n = mω 2 r .
	Величина этой силы в виду малости значения ω 2	очень мала. Наибольшее
	значение сила Ф е имеет на экваторе и составляет там 0,034% от
	величины силы притяжения.
	Влияние вращения Земли на движение тел у ее		поверхности
	Рассмотрим движение материальной точки по меридиану с юга на север
	(рис.3) и, так как переносная сила инерции включается в силу тяжести, то
	проанализируем влияние на это движение
	силы инерции Кориолиса. Ускорение
	Кориолиса a C = 2 ω e × V r направлено по
	параллели на запад, а сила инерции Кориолиса
	направлена в противоположную сторону – на
	восток. Следовательно, материальная точка
	при своем движении будет отклоняться на
	восток. Расчеты показывают, что сила
	инерции Кориолиса мала по сравнению с
	силой тяжести, поэтому в большинстве
	инженерных расчетов, где скорость движения
	невелика, силой инерции пренебрегают, и
	систему, связанную с Землей, считают
	инерциальной. Однако учет вращения Земли приобретает значение в тех
	случаях, когда движение продолжается длительное время и действие силы
	инерции Кориолиса накапливается. Этим обстоятельством объясняется то,

что в северном полушарии реки размывают правый берег, в южном – левый. Точно также в северном полушарии при движении по железной дороге давление на правый рельс больше, чем на левый.

Силу инерции Кориолиса также необходимо учитывать при стрельбе на дальние расстояния, например, при расчете траекторий межконтинентальных баллистических ракет.

Пример решения задачи на динамику относительного движения материальной точки.

Шарик массой m = 0,1 кг, прикрепленный к концу горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой с = 2 Н/м, находится в трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω = 4 1/c вокруг вертикальной оси z1 . Длина недеформированной пружины l0 = 0,2 м.

Определить уравнение относительного движения шарика, найти его координату, давление на стенку трубки, а также абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t = 0,2 c.

							Свяжем подвижную
				Фс			систему отсчета Oxyz с
					Фе		вращающейся трубкой,
							направив ось х вдоль
		ae n					трубки и поместив начало
							координат в точке О
							(рис.4), ось z совместим с
							осью вращения трубки, ось
							у проведем
							перпендикулярно
							плоскости Охz.

Движение шарика, принимаемого за материальную точку М, внутри трубки является относительным, переносным - вращательное движение трубки вокруг оси Oz. На точку действуют сила тяжести m g , сила упругости F , и реакция стенки трубки N .

Основной закон относительного движения точки:

ma r = mg + F + N + Фе + Фс , (а)

где Ф е = − m a e - переносная сила инерции; Ф с = − m a с - сила инерции Кориолиса.

Переносная сила инерции направлена противоположно переносному ускорению точки. Так как вращение трубки происходит с постоянной

угловой скоростью, то переносное ускорение является нормальным и

направлено по оси х к точке О . Следовательно, Ф е направлена по оси х вправо.

Нормальное ускорение точки равно: a e n = ω e 2 OM = ω e 2 x . Модуль Фе = ma е = m ω e 2 x .

Ускорение Кориолиса определяется векторным равенством a с = 2 ω e × V r ,

в соответствии с которым вектор a с в данном случае направлен

перпендикулярно плоскости Охz в положительном направлении оси Оу (рис.4), следовательно, сила инерции Кориолиса направлена за чертеж.

Модуль силы инерции Кориолиса равен Ф с = 2m ω e V r , так как векторы ω e и V r перпендикулярны.

Под действием силы инерции Кориолиса шарик будет прижиматься к задней стенке трубки, поэтому полную нормальную реакцию стенки разложим на две взаимно-перпендикулярные составляющие N y и N z .

N = N y + N z

Сила упругости равна коэффициенту жесткости пружины, умноженному на ее удлинение F = c l , и направлена в сторону, противоположную удлинению, величина которого l = c (x − l 0 ) .

Составим дифференциальное уравнение относительного движения шарика:

		Ф e − F
			x − c(x − l0 ) .
		M ω e

После сокращения на m и элементарных преобразований получим

	+ (m		−ω		) x = m l0
Подставим численные значения
x + 4 x = 4 .

Общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид:

х = х1 + х2 .

где х1 – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, х2 – частное решение дифференциального уравнения (б).

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

r 2 + 4 r = 0 . r = ± 2 i .

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид

х1 =С1 соs 2t + C2 sin2t

Частное решение уравнения (б) находим в форме х2 = В. Здесь B-

постоянная величина. Подставим это значение в уравнение (б), учитывая,
что х 2 = 0 , получим В = 1.
Решение (в) дифференциального уравнения относительного движения
точки М принимает вид
х = С1 соs 2t + C2 sin2t +1.
Скорость этого движения
х = -2С1 sin2t +C2 cos2t .
Подставив начальные условия t = 0, х0 = 0,2 м,		0 в уравнения (г) и (д),

получим значения постоянных интегрирования:

С1 = - 0,8, С2 =0.

Уравнение относительного движения точки М принимает вид:

х = - 0,8 соs 2t +1.						X = 1,6sin 2t .
Скорость относительного движения шарика
Относительное ускорение
a r =				(1,6sin 2t ) = 3,2cos 2t .
При t = 0,2 c:

х = - 0,8соs 0,4 + 1 = - 0,8 cos 22,90 + 1 = 0,264. м. Vr = 1,6 sin 0,4 = 1,6 sin 22,90 = 1,024 м/c.

аr = 3,2 cos 0,4 =3,2 cos22,90 = 2,94 м/c.

Ускорение Кориолиса при t = 0,2 c. Равно ас =2 ωe Vr = 8,1 м/c.

Для определения составляющих реакции стенки трубки N y и N z запишем проекции векторного равенства (а) на оси у и z .

0 = Ny –Фс , 0 = Nz –mg, откуда Ny = Фс , Nz = mg.

Сила инерции Кориолиса

Фс = 2m ωe Vr = 2·0,1· 4 ·1,024 =0,81H. Следовательно, Ny = Фс = 0,81(Н), Nz = mg = 9,81(Н).

Реакция стенки трубки N = N y 2 + N z 2 = 0,81 2 + 0,981 2 = 1,2 H Абсолютная скорость шарика

V = Vе + Vr

Переносная скорость V e перпендикулярна ОМ и направлена в сторону вращения трубки.

Ve = ωe OM = ωe x = 4· 0,264 = 1,056 м/с.

Так как векторы V е и V r взаимно перпендикулярны, то модуль

Абсолютное ускорение шарика

a = a e + a r + a с .

Модуль переносного ускорения равен

ае = ωe 2 ОМ = ωe 2 х1 = 4,22 м/c.

Найдем проекции абсолютного ускорения на оси Ох и Оу:

ах = - ае + аr =-4,33 + 2,94 = - 2,39,

ау = аk = 8,44.

Модуль абсолютного ускорения равен

а = а х 2 + а у 2 = (− 1,39)2 + 8,442 = 8,55 м / с .

Контрольные вопросы.

1. Какая система отсчета называется инерциальной?

2. Какая система отсчета не является инерциальной?

3. Какое движение точки называется относительным?

4. Записать основной закон относительного движения точки.

5. Какое движение точки называется переносным?

6. Что называется переносной силой инерции?

7. Чему равна и как направлена переносная сила инерции, если переносное движение является поступательным?

8. Как определяется переносная сила инерции, если переносное движение является равномерным вращением вокруг неподвижной оси?

9. Что называется силой инерции Кориолиса?

10.Как направлен вектор угловой скорости?

11.Как направлена сила инерции Кориолиса?

12.Записать модуль силы инерции Кориолиса.

13.Записать дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно системы координат, движущейся поступательно

14.Записать дифференциальные уравнения движения точки относительно системы координат, совершающей вращение вокруг неподвижной оси.

Похожие статьи