Nemôžeme vždy vypočítať primitívne funkcie, ale problém diferenciácie možno vyriešiť pre akúkoľvek funkciu. Preto neexistuje jednotná integračná metóda, ktorá by sa dala použiť na akýkoľvek typ výpočtu.

V tomto materiáli sa pozrieme na príklady riešenia problémov súvisiacich s hľadaním neurčitého integrálu a uvidíme, pre aké typy integrandov je každá metóda vhodná.

Metóda priamej integrácie

Hlavnou metódou na výpočet primitívnej funkcie je priama integrácia. Táto akcia je založená na vlastnostiach neurčitého integrálu a na výpočty potrebujeme tabuľku primitív. Iné metódy môžu len pomôcť dostať pôvodný integrál do tabuľkovej formy.

Príklad 1

Vypočítajte množinu primitívnych funkcií funkcie f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Riešenie

Najprv zmeňme tvar funkcie na f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Vieme, že integrál súčtu funkcií bude rovná súčtu z týchto integrálov to znamená:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Za znakom integrálu odvodíme číselný koeficient:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Aby sme našli prvý integrál, budeme sa musieť pozrieť na tabuľku primitívnych derivátov. Vezmeme z nej hodnotu ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Na nájdenie druhého integrálu budete potrebovať tabuľku primitív pre výkonová funkcia∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , ako aj pravidlo ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Preto ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Dostali sme nasledovné:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

kde C = C1 + 32C2

odpoveď:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Priamej integrácii pomocou tabuliek primitív sme venovali samostatný článok. Odporúčame, aby ste sa s ním oboznámili.

Substitučná metóda

Tento spôsob integrácie spočíva vo vyjadrení integrandu prostredníctvom novej premennej zavedenej špeciálne na tento účel. V dôsledku toho by sme mali dostať tabuľkovú formu integrálu alebo jednoducho menej zložitý integrál.

Táto metóda je veľmi užitočná, keď potrebujete integrovať funkcie s radikálmi resp goniometrické funkcie.

Príklad 2

Vypočítajte neurčitý integrál ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Riešenie

Pridajme ešte jednu premennú z = 2 x - 9 . Teraz musíme vyjadriť x pomocou z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Zoberieme tabuľku primitív a zistíme, že 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Teraz sa musíme vrátiť k premennej x a dostať odpoveď:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a rc t g 2 x - 9 3 + C

odpoveď:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a rc t g 2 x - 9 3 + C .

Ak musíme integrovať funkcie s iracionalitou tvaru x m (a + b x n) p, kde hodnoty m, n, p sú racionálne čísla, potom je dôležité správne zostaviť výraz na zavedenie novej premennej. Prečítajte si o tom viac v článku o integrácii iracionálnych funkcií.

Ako sme uviedli vyššie, substitučnú metódu je vhodné použiť, keď potrebujete integrovať goniometrickú funkciu. Napríklad pomocou univerzálnej substitúcie môžete výraz zredukovať na zlomkovú racionálnu formu.

Táto metóda vysvetľuje integračné pravidlo ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Pridáme ďalšiu premennú z = k x + b. Získame nasledovné:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Teraz vezmeme výsledné výrazy a pridáme ich k integrálu zadanému v podmienke:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Ak prijmeme C 1 k = C a vrátime sa k pôvodnej premennej x, dostaneme:

F(z) k + Ci k = 1 k F k x + b + C

Spôsob prihlásenia sa k diferenciálnemu znamienku

Táto metóda je založená na transformácii integrandu na funkciu tvaru f (g (x)) d (g (x)). Potom vykonáme substitúciu zavedením novej premennej z = g (x), nájdeme pre ňu primitívnu premennú a vrátime sa k pôvodnej premennej.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Na rýchlejšie riešenie problémov pomocou tejto metódy majte po ruke tabuľku derivátov vo forme diferenciálov a tabuľku primitívnych derivátov, aby ste našli výraz, na ktorý bude potrebné integrand zredukovať.

Analyzujme problém, v ktorom potrebujeme vypočítať množinu primitívnych derivátov funkcie kotangens.

Príklad 3

Vypočítajte neurčitý integrál ∫ c t g x d x .

Riešenie

Transformujme pôvodný výraz pod integrál pomocou základných goniometrických vzorcov.

c t g x d x = cos s d x sin x

Pozrieme sa na tabuľku derivátov a vidíme, že čitateľ môže byť zaradený pod diferenciálne znamienko cos x d x = d (sin x), čo znamená:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, t.j. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Predpokladajme, že sin x = z, v tomto prípade ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Podľa tabuľky primitív je ∫ d z z = ln z + C . Teraz sa vráťme k pôvodnej premennej ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Celé riešenie možno stručne napísať takto:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Odpoveď: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Spôsob prihlásenia sa na rozdielové znamienko sa v praxi používa veľmi často, preto vám odporúčame prečítať si samostatný článok venovaný práve tomuto.

Spôsob integrácie po častiach

Táto metóda je založená na premene integrandu na súčin tvaru f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), po ktorom nasleduje vzorec ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Toto je veľmi pohodlná a bežná metóda riešenia. Niekedy je potrebné použiť čiastočnú integráciu v jednom probléme niekoľkokrát, kým sa získa požadovaný výsledok.

Analyzujme problém, v ktorom potrebujeme vypočítať množinu primitívnych derivátov arkustangensu.

Príklad 4

Vypočítajte neurčitý integrál ∫ a r c t g (2 x) d x .

Riešenie

Predpokladajme, že u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, v tomto prípade:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Keď vypočítame hodnotu funkcie v (x), nemali by sme pridať ľubovoľnú konštantu C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Výsledný integrál vypočítame metódou súčtu diferenciálneho znamienka.

Pretože ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2, potom 2 x d x = 14 d (1 + 4 x 2).

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

odpoveď:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Hlavným problémom pri použití tejto metódy je potreba vybrať si, ktorá časť sa má brať ako diferenciál a ktorá ako funkcia u (x). Článok o spôsobe integrácie po častiach poskytuje niekoľko rád k tejto problematike, s ktorými by ste sa mali zoznámiť.

Ak potrebujeme nájsť množinu primitívnych derivátov zlomkovej racionálnej funkcie, potom musíme najprv reprezentovať integrand ako súčet jednoduchých zlomkov a potom integrovať výsledné zlomky. Ďalšie informácie nájdete v článku o integrovaní jednoduchých zlomkov.

Ak integrujeme mocninné vyjadrenie v tvare sin 7 x · d x alebo d x (x 2 + a 2) 8, potom budeme ťažiť z rekurentných vzorcov, ktoré môžu postupne znižovať mocninu. Sú odvodené pomocou sekvenčnej opakovanej integrácie po častiach. Odporúčame prečítať si článok „Integrácia pomocou vzorcov opakovania.

Poďme si to zhrnúť. Na riešenie problémov je veľmi dôležité poznať metódu priamej integrácie. Iné metódy (substitúcia, substitúcia, integrácia po častiach) tiež umožňujú zjednodušiť integrál a dostať ho do tabuľkovej formy.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Táto metóda je založená na nasledujúcom vzorci: (*)

Nechaj A - funkcie x so spojitými deriváciami a .

To je známe alebo ; alebo .

Integrály a , keďže podľa podmienky sú funkcie u a v diferencovateľné, a teda spojité.

Vzorec (*) sa nazýva vzorec integrácie podľa častí.

Metóda založená na jej aplikácii sa nazýva metóda integrácie po častiach.

Zredukuje výpočet na ďalší integrál: .

Aplikácia metódy integrácie po častiach spočíva v tom, že sa snažia reprezentovať integrálne vyjadrenie daného integrálu vo forme súčinu , kde a sú niektoré funkcie x, pričom tieto funkcie sú zvolené tak, aby bolo jednoduchšie vypočítať ako pôvodný integrál. Kedy na výpočet nájsť a .

(ako „v“ berieme jednu z pôvodných nájdených primitív z dv, takže v budúcnosti pri výpočte „v“ vynecháme konštantu C v zápise).

Komentujte. Pri rozdeľovaní integrálneho výrazu na faktory tomu musíte rozumieť a musíte to obsahovať.

Bohužiaľ nie je možné poskytnúť všeobecné pravidlá pre rozklad integrálneho výrazu na faktory „u“ a „dv“. Veľa a premyslená prax to môže naučiť.

Pri tom všetkom treba mať na pamäti, že bol jednoduchší ako pôvodný integrál.

Príklad 6.6.22.

Niekedy sa na získanie konečného výsledku pravidlo integrácie po častiach aplikuje niekoľkokrát za sebou.

Metódu integrácie po častiach, samozrejme, nie je vždy vhodné použiť a schopnosť používať ju závisí od skúseností.

Pri výpočte integrálov je dôležité správne určiť, ktorá integračná metóda sa má použiť (ako v predchádzajúcom príklade, trigonometrická substitúcia vedie k cieľu rýchlejšie).

Zoberme si najbežnejšie integrály, ktoré sa počítajú integráciou po častiach.

1.Integrály formulára :

kde je celé číslo (vo vzťahu k x) polynóm; a je konštantné číslo.

Ak sa pod znakom integrálu nachádza súčin trigonometrickej resp exponenciálna funkcia algebraické, potom sa „u“ zvyčajne považuje za algebraickú funkciu.

Príklad 6.6.23.

Všimnite si, že ďalšie rozdelenie na faktory: nevedie k cieľu.

Bolo to dokázané
.

Získame zložitejší integrál.

2.Integrály formulára :

kde je polynóm.

Ak je pod znamienkom integrálu súčinom logaritmu funkcie alebo inverznej goniometrickej funkcie a algebraickej funkcie, potom by sa funkcie mali považovať za „u“.

Príklad 6.6.23.

3.Integrály formulára:

Tu môžete použiť ktorékoľvek z 2 možných členení integrálneho výrazu na faktory: pre „u“ môžete vziať obe , a .

Okrem toho výpočet takýchto integrálov pomocou metódy integrácie po častiach vedie k pôvodnému integrálu, to znamená, že sa získa rovnica vzhľadom na požadovaný integrál.

Príklad 6.6.24. Vypočítajte .

.

Pri integrácii je často potrebné postupne aplikovať substitučnú metódu a metódu integrácie po častiach.

Príklad 6.6.25.

Integrácia niektorých funkcií obsahujúcich kvadratickú trojčlenku

1)

.

a to sú tabuľkové integrály.

2) koeficienty reálneho čísla

v čitateli vyberáme deriváciu menovateľa.

a,b,c – reálne čísla

A); potom máme:

b) . V tomto prípade má zmysel uvažovať iba vtedy, keď je diskriminačný trojčlenný pozitívne:

Teraz máme:

Komentujte. V praxi zvyčajne nepoužívajú hotové výsledky, ale radšej ich realizujú podobné výpočty znova.

Príklad.

4)

Transformujme čitateľa, aby sme z neho mohli odvodiť deriváciu kvadratická trojčlenka:

Vzhľadom na to, že v praxi neexistuje vhodná všeobecná metóda na výpočet neurčitých integrálov, je potrebné popri konkrétnych metódach integrácie (pozri predchádzajúcu prednášku) uvažovať aj o metódach integrácie určitých konkrétnych tried funkcií, integrálov tzv. s ktorými sa v praxi často stretávame.

Najdôležitejšou triedou medzi nimi je trieda racionálnych funkcií.

„Integrácia zlomkové racionálne funkcie»

Integrácia vlastného racionálneho zlomku je založená na rozklade racionálneho zlomku na súčet elementárnych zlomkov.

Elementárne (najjednoduchšie) zlomky a ich integrácia.

Definícia. Zlomky formulára: ; (1)

(2), kde

(to znamená, že korene trojčlenky sú zložité) sa nazývajú elementárne.

Uvažujme o integrácii elementárnych zlomkov

2)

(kde nech).

Vypočítajme integrál

(*)

Posledný integrál sa vypočíta pomocou vzorca opakovania.

Niekedy nám integrácia po častiach umožňuje získať vzťah medzi neurčitým integrálom obsahujúcim stupeň nejakej funkcie a podobným integrálom, ale s menším stupňom tej istej funkcie. Takéto vzťahy sa nazývajú opakujúce sa vzorce.

Označme podľa .

Máme:

Do posledného integrálu vložíme:

Preto

kde

Dospeli sme teda k opakujúcemu sa vzorcu: ktorého opakovaná aplikácia v konečnom dôsledku vedie k „tabuľkovému“ integrálu:

Potom namiesto „t“ a „k“ dosadíme ich hodnoty.

Príklad 6.6.26.

(podľa vzorca opakovania).=

.

Racionálny zlomok je funkcia reprezentovateľná vo forme ; kde a sú polynómy s reálnymi koeficientmi.

Racionálny zlomok sa nazýva vlastný, ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa.

Každý správny racionálny zlomok možno znázorniť ako súčet konečného počtu elementárnych zlomkov.

Rozklad vlastného zlomku na elementárne určuje nasledujúca veta, ktorú budeme uvažovať bez dôkazu.

Veta . Ak zlomok je správne a , (kde trojčlenka nemá skutočné korene), potom identita platí:

(ja)

Všimnite si, že všetci skutočný koreň, napríklad a, násobnosť " " polynómu v tomto expanzii zodpovedá súčtu elementárnych zlomkov tvaru (1) a každého páru komplexne združených koreňov a (takých, že ) násobnosť " " - súčet elementárnych zlomky formulára (2).

Ak chcete vykonať expanziu (I), musíte sa naučiť, ako určiť koeficienty .

Existovať rôznymi spôsobmi ich umiestnenie. Pozrieme sa na metódu neurčitých koeficientov a metódu parciálnych hodnôt.

Nech U(x) a V(x) sú diferencovateľné funkcie. Potom d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Preto U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Výpočtom integrálu oboch strán poslednej rovnosti, berúc do úvahy skutočnosť, že ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, dostaneme vzťah

Nazýva sa vzorec integrácie podľa častí. Rozumie sa v tom zmysle, že súbor primitív na ľavej strane sa zhoduje so súborom primitívnych derivátov získaných z pravej strany.

Aplikácia metódy integrácie po častiach

Vzhľadom na zvláštnosti zisťovania určitých veličín sa vzorec integrácie podľa častí veľmi často používa v nasledujúcich problémoch:

1. Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej. Vzorec na nájdenie matematické očakávanie a disperzia kontinuálna náhodná premenná zahŕňa dva faktory: polynomickú funkciu x a hustotu distribúcie f(x).
2. Rozšírenie Fourierovho radu. Pri rozklade je potrebné určiť koeficienty, ktoré zistíme integráciou súčinu funkcie f(x) a goniometrickej funkcie cos(x) alebo sin(x).

Typické rozklady po častiach

Pri použití vzorca integrácie podľa častí musíte úspešne vybrať U a dV, aby sa integrál získaný na pravej strane vzorca ľahšie našiel. Do prvého príkladu dajme U=e x , dV=xdx. Potom dU=e x dx a Je nepravdepodobné, že integrál ∫ x 2 e x dx možno považovať za jednoduchší ako pôvodný.
Niekedy je potrebné použiť vzorec integrácie po častiach niekoľkokrát, napríklad pri výpočte integrálu ∫ x 2 sin(x)dx.

Integrály ∫ e ax cos(bx)dx a ∫ e ax sin(bx)dx sa nazývajú cyklický a sú vypočítané pomocou vzorca integrácie podľa častí dvakrát.

Príklad č.1. Vypočítajte ∫ xe x dx .
Dajme U=x, dV=e x dx. Potom dU=dx, V=ex. Preto ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

Príklad č.2. Vypočítajte ∫ xcos(x)dx .
Predpokladáme U=x, dV=cos(x)dx. Potom dU=dx , V=sin(x) a ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Príklad č.3. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Riešenie:

Odpoveď: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

Je prezentovaná metóda integrácie neurčitého integrálu po častiach. Uvádzajú sa príklady integrálov vypočítaných touto metódou. Diskutuje sa o príkladoch riešení.

Obsah

Pozri tiež: Metódy výpočtu neurčitých integrálov
Tabuľka neurčitých integrálov
Základné elementárne funkcie a ich vlastnosti

Vzorec integrácie podľa častí vyzerá takto:
.

Metóda integrácie po častiach pozostáva z použitia tohto vzorca. O praktické uplatnenie Stojí za zmienku, že u a v sú funkcie integračnej premennej. Nech je integračná premenná označená ako x (symbol za diferenciálnym znamienkom d na konci integrálneho zápisu). Potom u a v sú funkcie x: u(x) a v(x) .
Potom
, .
A vzorec pre integráciu po častiach má tvar:
.

To znamená, že funkcia integrand musí pozostávať zo súčinu dvoch funkcií:
,
z ktorých jeden označíme ako u: g(x) = u a pre druhý treba vypočítať integrál (presnejšie treba nájsť primitívnu deriváciu):
, potom dv = f(x) dx .

V niektorých prípadoch f(x) = 1 . Teda v integráli
,
môžeme dať g(x) = u, x = v .

Zhrnutie

Takže v tejto metóde by sa mal vzorec integrácie podľa častí pamätať a aplikovať v dvoch formách:
;
.

Integrály vypočítané integráciou po častiach

Integrály obsahujúce logaritmy a inverzné goniometrické (hyperbolické) funkcie

Integrály obsahujúce logaritmy a inverzné trigonometrické alebo hyperbolické funkcie sú často integrované po častiach. V tomto prípade časť, ktorá obsahuje logaritmus alebo inverzné goniometrické (hyperbolické) funkcie, označíme u, zvyšnú časť dv.

Tu sú príklady takýchto integrálov, ktoré sú vypočítané metódou integrácie po častiach:
, , , , , , .

Integrály obsahujúce súčin polynómu a sin x, cos x alebo e x

Pomocou vzorca integrácie podľa častí sa nájdu integrály formulára:
, , ,
kde P(x) je polynóm v x. Pri integrácii sa polynóm P(x) označí u a e ax dx, cos ax dx alebo sin sekera dx- cez dv.

Tu sú príklady takýchto integrálov:
, , .

Príklady výpočtu integrálov metódou integrácie po častiach

Príklady integrálov obsahujúcich logaritmy a inverzné goniometrické funkcie

Príklad

Vypočítajte integrál:

Detailné riešenie

Tu integrand obsahuje logaritmus. Vykonávanie suplovania
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Potom
,
.

Vypočítame zostávajúci integrál:
.
Potom
.
Na konci výpočtov je potrebné pridať konštantu C, keďže neurčitý integrál je množinou všetkých primitívnych prvkov. Dalo by sa to pridať aj v medzivýpočtoch, ale tým by sa výpočty len preťažili.

Kratšie riešenie

Riešenie môžete prezentovať v kratšej verzii. Ak to chcete urobiť, nemusíte vykonávať substitúcie pomocou u a v, ale môžete zoskupiť faktory a použiť vzorec integrácie podľa častí v druhom formulári.

.

Ďalšie príklady

Príklady integrálov obsahujúcich súčin polynómu a sin x, cos x alebo ex

Príklad

Vypočítajte integrál:
.

Predstavme si exponent pod diferenciálnym znamienkom:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Poďme integrovať po častiach.
.
Používame aj metódu integrácie po častiach.
.
.
.
Nakoniec máme.

Pojem primitívneho a neurčitého integrálu. Veta o zbere primitívnych derivátov. Vlastnosti neurčitého integrálu. Tabuľka integrálov.

Funkcia F(x) sa nazýva primitívna pre funkciu f(x) na danom intervale, ak je funkcia F(x) na tomto intervale spojitá a v každom vnútorný bod interval platí nasledujúca rovnosť: F’(x) = f(x)

Veta 1. Ak má funkcia F(x) primitívnu funkciu F(x) na intervale, potom všetky funkcie tvaru F(x)+C budú pre ňu primitívne funkcie na rovnakom intervale. Naopak, akýkoľvek primitívny prvok Ф(x) pre funkciu y = f(x) môže byť reprezentovaný ako Ф(x) = F(x)+C, kde F(x) je jedna z primitívnych funkcií a C je ľubovoľná konštantný.

dôkaz:

Podľa definície primitívneho derivátu máme F’(x) = f(x). Ak vezmeme do úvahy, že derivácia konštanty sa rovná nule, dostaneme

(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). To znamená, že F(x)+C je primitívna funkcia pre y = f(x) a ukážme, že ak je funkcia y = f(x) daná na určitom intervale a F(x) je jednou z jej primitív. , potom Ф (x) môže byť reprezentované ako

V skutočnosti máme podľa definície primitívneho derivátu

Ф'(x) = F(x)+C a F'(x) = f(x).

Ale dve funkcie, ktoré majú rovnaké derivácie na intervale, sa od seba líšia iba konštantným členom. To znamená, že Ф(x) = F(x)+C, čo je potrebné dokázať.

Definícia.

Množina všetkých primitív pre funkciu y = f(x) na danom intervale sa nazýva neurčitý integrál tejto funkcie a označuje sa ∫f(x)dx = F(x)+C

Funkcia f(x) sa nazýva integrand a súčin f(x)*dx sa nazýva integrand.

Často hovoria: „vezmite neurčitý integrál“ alebo „vypočítajte neurčitý integrál“, čo znamená: nájdite množinu všetkých primitívnych prvkov k integrandu,

Vlastnosti neurčitého integrálu

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Tabuľka integrálov

Integrácia substitúciou a časťami v neurčitom integráli.

Integračná metóda substitúciou spočíva v zavedení novej integračnej premennej (t.j. substitúcie). V tomto prípade sa daný integrál redukuje na nový integrál, ktorý je tabuľkový alebo naň redukovateľný (v prípade „úspešnej“ substitúcie). Bežné metódy neexistuje výber náhrad.

Nech je potrebné vypočítať integrál ∫f(x)dx. Urobme substitúciu x =φ(t), kde φ(t) je funkcia, ktorá má spojitú deriváciu. Potom dx=φ"(t) dt a na základe invariantnej vlastnosti integračného vzorca pre neurčitý integrál získame integračný vzorec substitúciou ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Tento vzorec sa nazýva aj premenné substitučného vzorca v neurčitom integráli Po nájdení integrálu pravej strany tejto rovnosti by sme mali prejsť od novej integračnej premennej t späť k premennej x.

Spôsob integrácie po častiach

Nech u=u(x) a ν=v(x) sú funkcie, ktoré majú spojité derivácie. Potom d(uv)=u dv+v du.

Integráciou tejto rovnosti dostaneme ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu alebo

∫udv =uv - ∫vdu

Výsledný vzorec sa nazýva vzorec integrácie podľa častí. Umožňuje zredukovať výpočet integrálu ∫udv na výpočet integrálu ∫vdu, ktorý sa môže ukázať ako podstatne jednoduchší ako pôvodný.

Podobné články