Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne.
Derivácia parametricky danú funkciu

V tomto článku sa pozrieme na ďalšie dve typické úlohy, ktoré sa často vyskytujú v testoch na vyššia matematika. Aby ste látku úspešne zvládli, musíte byť schopní nájsť deriváty aspoň na strednej úrovni. Nájsť deriváty sa môžete naučiť prakticky od nuly v dvoch základných lekciách a Derivácia komplexnej funkcie. Ak sú vaše rozlišovacie schopnosti v poriadku, poďme na to.

Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne

Alebo skrátka – odvodený implicitná funkcia. Čo je to implicitná funkcia? Najprv si spomeňme na samotnú definíciu funkcie jednej premennej:

Funkcia jednej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie.

Premenná sa volá nezávislá premenná alebo argument.
Premenná sa volá závislá premenná alebo funkciu .

Doteraz sme sa zamerali na funkcie definované v explicitné formulár. Čo to znamená? Urobme zhrnutie na konkrétnych príkladoch.

Zvážte funkciu

Vidíme, že vľavo máme osamoteného „hráča“ a vpravo - iba "X". Teda funkcia výslovne vyjadrené prostredníctvom nezávislej premennej.

Pozrime sa na ďalšiu funkciu:

Tu sú premenné zmiešané. Navyše akýmkoľvek spôsobom nemožné vyjadrite „Y“ iba prostredníctvom „X“. Aké sú tieto metódy? Prenášanie pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, ich presúvanie zo zátvoriek, hádzanie faktorov podľa pravidla proporcie atď. Prepíšte rovnosť a pokúste sa explicitne vyjadriť „y“: . Môžete krútiť a otáčať rovnicu celé hodiny, ale neuspejete.

Dovoľte mi predstaviť vám: – príklad implicitná funkcia.

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že implicitná funkcia existuje(nie však vždy), má graf (rovnako ako „normálna“ funkcia). Implicitná funkcia je úplne rovnaká existuje prvá derivácia, druhá derivácia atď. Ako sa hovorí, všetky práva sexuálnych menšín sú rešpektované.

A v tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváciu funkcie definovanej implicitne. Nie je to také ťažké! Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií zostávajú v platnosti. Rozdiel je v jednom zvláštnom momente, na ktorý sa pozrieme práve teraz.

Áno, a poviem vám dobrú správu - úlohy uvedené nižšie sa vykonávajú podľa pomerne prísneho a jasného algoritmu bez kameňa pred tromi stopami.

Príklad 1

1) V prvej fáze pripojíme ťahy na obe časti:

2) Používame pravidlá linearity derivácie (prvé dve pravidlá lekcie Ako nájsť derivát? Príklady riešení):

3) Priama diferenciácia.
Ako rozlišovať je úplne jasné. Čo robiť, keď sú pod ťahmi „hry“?

- až do hanby, derivácia funkcie sa rovná jej derivácii: .

Ako sa odlíšiť
Tu máme komplexná funkcia . prečo? Zdá sa, že pod sínusom je iba jedno písmeno „Y“. Faktom však je, že existuje iba jedno písmeno „y“ - JE SAMA FUNKCIOU(pozri definíciu na začiatku hodiny). Sínus je teda vonkajšia funkcia a je to vnútorná funkcia. Pravidlo používame na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Produkt rozlišujeme podľa zaužívaného pravidla :

Upozorňujeme, že – je tiež komplexná funkcia, každá „hra so zvončekmi a píšťalkami“ je komplexná funkcia:

Samotné riešenie by malo vyzerať asi takto:

Ak existujú zátvorky, rozbaľte ich:

4) Na ľavej strane zhromažďujeme výrazy, ktoré obsahujú „Y“ s prvočíslom. Presuňte všetko ostatné na pravú stranu:

5) Na ľavej strane vyberieme deriváciu zo zátvoriek:

6) A podľa pravidla proporcie umiestnime tieto zátvorky do menovateľa pravej strany:

Derivát sa našiel. Pripravený.

Je zaujímavé poznamenať, že každá funkcia môže byť prepísaná implicitne. Napríklad funkcia možno prepísať takto: . A rozlíšiť to pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. V skutočnosti sa frázy „implicitná funkcia“ a „implicitná funkcia“ líšia v jednej sémantickej nuancii. Fráza „implicitne špecifikovaná funkcia“ je všeobecnejšia a správnejšia, – táto funkcia je špecifikovaná implicitne, ale tu môžete vyjadriť „hru“ a prezentovať funkciu explicitne. Slová „implicitná funkcia“ častejšie znamenajú „klasickú“ implicitnú funkciu, keď sa „hra“ nedá vyjadriť.

Treba tiež poznamenať, že „implicitná rovnica“ môže implicitne špecifikovať dve alebo dokonca veľká kvantita funkcie, takže napríklad rovnica kruhu implicitne špecifikuje funkcie , , ktoré definujú polkruhy, ale v rámci tohto článku nebudeme špeciálne rozlišovať medzi pojmami a nuansami, to bola len informácia pre všeobecný vývoj. .

Druhé riešenie

Pozor! S druhou metódou sa môžete zoznámiť iba vtedy, ak viete, ako ju s istotou nájsť parciálne deriváty. Začiatočníci v štúdiu matematická analýza a čajníky prosím nečítaj a preskoč tento bod, inak bude vaša hlava úplný chaos.

Nájdite deriváciu implicitnej funkcie pomocou druhej metódy.

Všetky výrazy presunieme na ľavú stranu:

A zvážte funkciu dvoch premenných:

Potom je možné nájsť našu deriváciu pomocou vzorca
Poďme nájsť parciálne derivácie:

takto:

Druhé riešenie umožňuje vykonať kontrolu. Neodporúča sa im však vypisovať konečnú verziu zadania, pretože parciálne derivácie sa ovládajú neskôr a študent, ktorý študuje tému „Derivácia funkcie jednej premennej“, by parciálne derivácie ešte nemal poznať.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Pridajte ťahy do oboch častí:

Používame pravidlá linearity:

Hľadanie derivátov:

Otvorenie všetkých zátvoriek:

Všetky výrazy s presunieme na ľavú stranu, zvyšok na pravú stranu:

Konečná odpoveď:

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Kompletné riešenie a vzorový dizajn na konci lekcie.

Nie je nezvyčajné, že zlomky vznikajú po diferenciácii. V takýchto prípadoch sa musíte zbaviť zlomkov. Pozrime sa na ďalšie dva príklady.

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Obe časti uzatvoríme pod ťahy a použijeme pravidlo linearity:

Diferencujte pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie a pravidlo diferenciácie kvocientov :

Rozšírenie zátvoriek:

Teraz sa musíme zbaviť zlomku. Dá sa to urobiť neskôr, ale racionálnejšie je urobiť to hneď. Menovateľ zlomku obsahuje . Vynásobte na . V detaile to bude vyzerať takto:

Niekedy sa po diferenciácii objavia 2-3 frakcie. Ak by sme mali napríklad ďalší zlomok, potom by bolo potrebné operáciu zopakovať – vynásobiť každý termín každej časti na

Na ľavej strane sme to dali zo zátvoriek:

Konečná odpoveď:

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Jediná vec je, že predtým, ako sa zbavíte zlomku, budete sa musieť najskôr zbaviť trojposchodovej štruktúry samotného zlomku. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Derivácia parametricky definovanej funkcie

Nezaťažujme sa, všetko v tomto odseku je tiež celkom jednoduché. Všeobecný vzorec pre parametricky definovanú funkciu si môžete zapísať, ale aby bolo jasné, hneď napíšem konkrétny príklad. IN parametrická forma funkcia je daná dvoma rovnicami: . Rovnice sa často nepíšu do zložených zátvoriek, ale postupne: , .

Premenná sa nazýva parameter a môže nadobúdať hodnoty od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvážte napríklad hodnotu a dosaďte ju do oboch rovníc: . Alebo ľudsky: "ak sa x rovná štyrom, potom y sa rovná jednej." Na rovine súradníc môžete označiť bod a tento bod bude zodpovedať hodnote parametra. Podobne môžete nájsť bod pre akúkoľvek hodnotu parametra „te“. Pokiaľ ide o „bežnú“ funkciu, pre amerických Indiánov s parametricky definovanou funkciou sú tiež rešpektované všetky práva: môžete zostaviť graf, nájsť deriváty atď. Mimochodom, ak potrebujete nakresliť graf parametricky definovanej funkcie, môžete použiť môj program.

V najjednoduchších prípadoch je možné funkciu reprezentovať explicitne. Vyjadrime parameter: – z prvej rovnice a dosadíme do druhej rovnice: . Výsledkom je obyčajná kubická funkcia.

V „závažnejších“ prípadoch tento trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, pretože existuje vzorec na nájdenie derivácie parametrickej funkcie:

Nájdeme derivát „hry vzhľadom na premennú te“:

Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivátov sú samozrejme platné pre písmeno , teda v procese hľadania derivátov nie je žiadna novinka. Len mentálne nahraďte všetky „X“ v tabuľke písmenom „Te“.

Nájdeme deriváciu „x vzhľadom na premennú te“:

Teraz už zostáva len nahradiť nájdené deriváty do nášho vzorca:

Pripravený. Derivácia, podobne ako samotná funkcia, závisí aj od parametra.

Čo sa týka zápisu, namiesto zápisu do vzorca by sme ho mohli jednoducho napísať bez dolného indexu, keďže ide o „bežný“ derivát „vzhľadom na X“. Ale v literatúre je vždy možnosť, takže nebudem vybočovať zo štandardu.

Príklad 6

Používame vzorec

V tomto prípade:

takto:

Zvláštnosťou hľadania derivácie parametrickej funkcie je fakt, že v každom kroku je výhodné čo najviac zjednodušiť výsledok. Takže v uvažovanom príklade, keď som to našiel, otvoril som zátvorky pod koreňom (aj keď som to možno neurobil). Je veľká šanca, že pri dosadzovaní do vzorca sa veľa vecí dobre zredukuje. Aj keď, samozrejme, existujú príklady s nemotornými odpoveďami.

Príklad 7

Nájdite deriváciu parametricky zadanej funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

V článku Najjednoduchšie typické problémy s derivátmi pozreli sme sa na príklady, v ktorých sme potrebovali nájsť druhú deriváciu funkcie. Pre parametricky definovanú funkciu môžete nájsť aj druhú deriváciu, a to pomocou nasledujúceho vzorca: . Je celkom zrejmé, že ak chcete nájsť druhú deriváciu, musíte najprv nájsť prvú deriváciu.

Príklad 8

Nájdite prvú a druhú deriváciu parametricky zadanej funkcie

Najprv nájdime prvú deriváciu.
Používame vzorec

V tomto prípade:

Naučíme sa hľadať derivácie funkcií špecifikovaných implicitne, teda špecifikovaných určitými rovnicami spájajúcimi premenné X A r. Príklady implicitne špecifikovaných funkcií:

Deriváty funkcií špecifikovaných implicitne alebo deriváty implicitných funkcií sa dajú nájsť celkom jednoducho. Teraz sa pozrime na príslušné pravidlo a príklad a potom zistíme, prečo je to vo všeobecnosti potrebné.

Aby ste našli deriváciu funkcie špecifikovanej implicitne, musíte diferencovať obe strany rovnice vzhľadom na x. Tie členy, v ktorých je prítomné iba X, sa zmenia na obvyklú deriváciu funkcie z X. A pojmy s hrou musia byť diferencované pomocou pravidla diferenciácie komplexných funkcií, pretože hra je funkciou X. Zjednodušene povedané, výsledná derivácia člena s x by mala mať za následok: deriváciu funkcie z y vynásobenú deriváciou z y. Napríklad derivát termínu sa zapíše ako , derivát termínu sa zapíše ako . Ďalej z toho všetkého musíte vyjadriť tento „ťah hry“ a získa sa požadovaná derivácia funkcie špecifikovanej implicitne. Pozrime sa na to na príklade.

Príklad 1

Riešenie. Obe strany rovnice diferencujeme vzhľadom na x, za predpokladu, že i je funkciou x:

Odtiaľ dostaneme derivát, ktorý sa vyžaduje v úlohe:

Teraz niečo o nejednoznačnej vlastnosti funkcií špecifikovaných implicitne a prečo sú potrebné špeciálne pravidlá na ich diferenciáciu. V niektorých prípadoch si môžete overiť, že nahradenie v daná rovnica(pozri príklady vyššie) namiesto y jej vyjadrenie pomocou x vedie k tomu, že táto rovnica sa stáva identitou. Takže. Vyššie uvedená rovnica implicitne definuje nasledujúce funkcie:

Po dosadení výrazu pre hru na druhú cez x do pôvodnej rovnice dostaneme identitu:

Výrazy, ktoré sme nahradili, sme získali riešením rovnice pre hru.

Ak by sme mali diferencovať zodpovedajúcu explicitnú funkciu

potom by sme dostali odpoveď ako v príklade 1 - z funkcie špecifikovanej implicitne:

Ale nie každá funkcia špecifikovaná implicitne môže byť reprezentovaná vo formulári r = f(X) . Čiže napríklad implicitne špecifikované funkcie

nie sú vyjadrené prostredníctvom elementárne funkcie, to znamená, že tieto rovnice nie je možné vyriešiť vzhľadom na hráča. Preto existuje pravidlo pre diferenciáciu funkcie špecifikovanej implicitne, ktoré sme už študovali a budeme ho ďalej dôsledne aplikovať v ďalších príkladoch.

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne:

Vyjadríme prvočíslo a na výstupe deriváciu implicitne špecifikovanej funkcie:

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne:

Riešenie. Obidve strany rovnice diferencujeme vzhľadom na x:

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne:

Riešenie. Obidve strany rovnice diferencujeme vzhľadom na x:

Vyjadríme a získame deriváciu:

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne:

Riešenie. Výrazy na pravej strane rovnice presunieme na ľavú stranu a na pravej necháme nulu. Obidve strany rovnice diferencujeme vzhľadom na x.

Derivácia komplexnej funkcie. Celková derivácia

Nech z=ƒ(x;y) je funkciou dvoch premenných x a y, z ktorých každá je funkciou nezávislej premennej t: x = x(t), y = y(t). V tomto prípade je funkcia z = f(x(t);y(t)) komplexnou funkciou jednej nezávislej premennej t; premenné x a y sú prechodné premenné.

Ak z = ƒ(x;y) je funkcia diferencovateľná v bode M(x;y) є D a x = x(t) a y = y(t) sú diferencovateľné funkcie nezávislej premennej t, potom derivácia komplexnej funkcie z(t ) = f(x(t);y(t)) sa vypočíta pomocou vzorca

Dajme nezávislej premennej t prírastok Δt. Potom funkcie x = = x(t) a y = y(t) dostanú prírastky Δх a Δу. Tie zase spôsobia, že funkcia z inkrementuje Az.

Keďže pomocou podmienky je funkcia z - ƒ(x;y) diferencovateľná v bode M(x;y), jej celkový prírastok možno znázorniť ako

kde а→0, β→0 pri Δх→0, Δу→0 (pozri odsek 44.3). Rozdeľme výraz Δz Δt a prejdeme na limitu v Δt→0. Potom Δх→0 a Δу→0 v dôsledku spojitosti funkcií x = x(t) a y = y(t) (podľa podmienok vety sú diferencovateľné). Dostaneme:

Špeciálny prípad: z=ƒ(x;y), kde y=y(x), t.j. z=ƒ(x;y(x)) je komplexná funkcia jednej nezávislej premennej x. Tento prípad sa redukuje na predchádzajúci a úlohu premennej t hrá x. Podľa vzorca (44.8) máme:

Vzorec (44.9) sa nazýva celkový derivačný vzorec.

Všeobecný prípad: z=ƒ(x;y), kde x=x(u;v), y=y(u;v). Potom z= f(x(u;v);y(u;v)) je komplexná funkcia nezávislých premenných u a v. Jeho parciálne deriváty možno nájsť pomocou vzorca (44.8) nasledovne. Keď máme zafixované v, nahradíme ho zodpovedajúcimi parciálnymi deriváciami

Ako je známe, implicitne daná funkcia jednej premennej je definovaná takto: funkcia y nezávislej premennej x sa nazýva implicitná, ak je daná rovnicou, ktorá nie je vyriešená pre y:

Príklad 1.11.

Rovnica

implicitne špecifikuje dve funkcie:

A rovnica

neurčuje žiadnu funkciu.

Veta 1.2 (existencia implicitnej funkcie).

Nech je funkcia z =f(x,y) a jej parciálne derivácie f"x a f"y definované a spojité v nejakom okolí UM0 bodu M0(x0y0). Okrem toho, f(x0,y0)=0 a f"(x0,y0)≠0, potom rovnica (1.33) definuje v okolí UM0 implicitnú funkciu y= y(x), spojitú a diferencovateľnú v nejakom intervale D so stredom v bode x0 a y(x0)=y0.

Žiadny dôkaz.

Z vety 1.2 vyplýva, že na tomto intervale D:

to znamená, že existuje identita v

kde sa „celkový“ derivát nachádza podľa (1.31)

To znamená, že (1.35) dáva vzorec na nájdenie derivácie implicitne danej funkcie jednej premennej x.

Implicitná funkcia dvoch alebo viacerých premenných je definovaná podobne.

Napríklad, ak v niektorej oblasti V priestoru Oxyz platí nasledujúca rovnica:

potom za určitých podmienok na funkcii F implicitne definuje funkciu

Navyše, analogicky s (1.35), jeho parciálne deriváty sa nachádzajú takto:

Príklad 1.12. Za predpokladu, že rovnica

implicitne definuje funkciu

nájsť z"x, z"y.

preto podľa (1.37) dostaneme odpoveď.

11.Využitie parciálnych derivácií v geometrii.

12.Extrémy funkcie dvoch premenných.

Pojmy maxima, minima a extrému funkcie dvoch premenných sú podobné ako zodpovedajúce pojmy funkcie jednej nezávislej premennej (pozri časť 25.4).

Nech je funkcia z = ƒ(x;y) definovaná v nejakej oblasti D, bod N(x0;y0) О D.

Bod (x0;y0) sa nazýva maximálny bod funkcie z=ƒ(x;y), ak existuje d-okolie bodu (x0;y0) také, že pre každý bod (x;y) odlišné od (xo;yo), z tohto okolia platí nerovnosť ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Minimálny bod funkcie sa určí podobným spôsobom: pre všetky body (x; y) okrem (x0; y0) z d-okolia bodu (xo; y0) platí nerovnosť: ƒ(x y) > f(x0; y0).

Na obrázku 210: N1 je maximálny bod a N2 je minimálny bod funkcie z=ƒ(x;y).

Hodnota funkcie v bode maxima (minima) sa nazýva maximum (minimum) funkcie. Maximum a minimum funkcie sa nazývajú jej extrémy.

Všimnite si, že podľa definície leží extrémny bod funkcie vo vnútri domény definície funkcie; maximum a minimum majú lokálny (lokálny) charakter: hodnota funkcie v bode (x0; y0) sa porovnáva s jej hodnotami v bodoch dostatočne blízkych (x0; y0). V oblasti D môže mať funkcia niekoľko extrémov alebo žiadne.

46.2. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém

Uvažujme o podmienkach existencie extrému funkcie.

Veta 46.1 (nevyhnutné podmienky pre extrém). Ak má v bode N(x0;y0) diferencovateľná funkcia z=ƒ(x;y) extrém, potom sa jej parciálne derivácie v tomto bode rovnajú nule: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;yo)=0.

Opravme jednu z premenných. Dajme napríklad y=y0. Potom dostaneme funkciu ƒ(x;y0)=φ(x) jednej premennej, ktorá má extrém v x = x0. Preto podľa nevyhnutnej podmienky pre extrém funkcie jednej premennej (pozri časť 25.4) φ"(x0) = 0, t.j. ƒ"x(x0;y0)=0.

Podobne je možné ukázať, že ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometricky rovnosti ƒ"x(x0;y0)=0 a ƒ"y(x0;y0)=0 znamenajú, že v extrémnom bode funkcie z=ƒ(x;y) je dotyková rovina k povrchu reprezentujúceho funkcia ƒ(x;y) ), je rovnobežná s rovinou Oxy, keďže rovnica dotyčnicovej roviny je z=z0 (pozri vzorec (45.2)).

Z Poznámka. Funkcia môže mať extrém v bodoch, kde aspoň jedna z parciálnych derivácií neexistuje. Napríklad funkcia má maximum v bode O(0;0) (pozri obr. 211), ale v tomto bode nemá parciálne derivácie.

Bod, v ktorom sú parciálne derivácie prvého rádu funkcie z ≈ ƒ(x; y) rovné nule, t.j. f"x=0, f"y=0, sa nazýva stacionárny bod funkcie z.

Stacionárne body a body, v ktorých neexistuje aspoň jedna parciálna derivácia, sa nazývajú kritické body.

V kritických bodoch funkcia môže alebo nemusí mať extrém. Rovnosť parciálnych derivácií na nulu je potrebná, ale nie dostatočný stav existencia extrému. Zoberme si napríklad funkciu z = xy. Pre ňu je kritický bod O(0; 0) (v ňom z"x=y a z"y - x mizne). Funkcia z=xy však v sebe nemá extrém, keďže v dostatočne malom okolí bodu O(0; 0) sú body, pre ktoré z>0 (body prvej a tretej štvrtiny) a z< 0 (точки II и IV четвертей).

Na nájdenie extrémov funkcie v danej oblasti je teda potrebné podrobiť každý kritický bod funkcie dodatočnému výskumu.

Veta 46.2 (dostatočná podmienka pre extrém). Nech má funkcia ƒ(x;y) v stacionárnom bode (xo; y) a niektoré jej okolie spojité parciálne derivácie až do druhého rádu vrátane. Vypočítajme v bode (x0;y0) hodnoty A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označme

1. ak Δ > 0, potom funkcia ƒ(x;y) v bode (x0;y0) má extrém: maximum, ak A< 0; минимум, если А > 0;

2. ak Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

V prípade Δ = 0 môže alebo nemusí existovať extrém v bode (x0;y0). Je potrebný ďalší výskum.

ÚLOHY

Príklad. Nájdite intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií. Riešenie. Prvým krokom je nájsť definičný obor funkcie. V našom príklade by výraz v menovateli nemal ísť na nulu, teda . Prejdime k derivačnej funkcii: Na určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie na základe dostatočného kritéria riešime nerovnice na definičnom obore. Využime zovšeobecnenie intervalovej metódy. Jediný skutočný koreň čitateľa je x = 2 a menovateľ sa dostane na nulu pri x = 0. Tieto body rozdeľujú definičný obor na intervaly, v ktorých si derivácia funkcie zachováva svoje znamienko. Označme tieto body na číselnej osi. Bežne označujeme plusmi a mínusmi intervaly, v ktorých je derivácia kladná alebo záporná. Nižšie uvedené šípky schematicky znázorňujú zvýšenie alebo zníženie funkcie na príslušnom intervale. teda A . Na mieste x = 2 funkcia je definovaná a spojitá, preto by sa mala pridať k rastúcemu aj klesajúcemu intervalu. Na mieste x = 0 funkcia nie je definovaná, preto tento bod nezahŕňame do požadovaných intervalov. Uvádzame graf funkcie na porovnanie výsledkov získaných s ňou. odpoveď: funkcia sa zvyšuje s , v intervale klesá (0; 2] .

Príklady.

Nastavte intervaly konvexnosti a konkávnosti krivky r = 2 – X 2 .

nájdeme r"" a určiť, kde je druhá derivácia kladná a kde záporná. r" = –2X, r"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

r = e X. Pretože r"" = e x > 0 pre ľubovoľné X, potom je krivka všade konkávna.

r = X 3 . Pretože r"" = 6X, To r"" < 0 при X < 0 и r"" > 0 at X> 0. Preto keď X < 0 кривая выпукла, а при X> 0 je konkávna.

4. Daná funkcia z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j a bod A(3,2). Nájdite dz/dl (ako tomu rozumiem, deriváciu funkcie vzhľadom na smer vektora), gradz(A), |gradz(A)|. Nájdime parciálne derivácie: z(vzhľadom na x)=2x+5 z(vzhľadom na y)=-2y+4 Nájdime hodnoty derivácií v bode A(3,2): z(s vzhľadom na x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(by y)(3,2)=-2*2+4=0 Kde, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivácia funkcie z v smere vektora l: dz/dl=z(v x)*cosa+z(v y)*cosb, a, b-uhly vektora l so súradnicovými osami. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.