Z praktického hľadiska je najväčší záujem použiť deriváciu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života musíme riešiť problémy s optimalizáciou niektorých parametrov. A to sú úlohy nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Je potrebné poznamenať, že najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie sa zvyčajne hľadajú na určitom intervale X, ktorý je buď celým oborom funkcie, alebo časťou oblasti definície. Samotný interval X môže byť segment, otvorený interval , nekonečný interval.

V tomto článku budeme hovoriť o tom, ako explicitne nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty danú funkciu jedna premenná y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Pozrime sa stručne na hlavné definície.

Najväčšia hodnota funkcie že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota na uvažovanom intervale na vodorovnej osi.

Stacionárne body– toto sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa derivácia funkcie stáva nulou.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia extrém (lokálne minimum resp miestne maximum) v určitom bode je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať svoje najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, v ktorých neexistuje prvá derivácia tejto funkcie a je definovaná samotná funkcia.

Okamžite odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvedieme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a mnohé bude jasnejšie.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňme segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku 3 sú hraničné body segmentu [-3;2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Na otvorenom intervale

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri otvoreného intervalu (-6;6).

Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade uvedenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

V priebehu intervalu funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď sa x=2 blíži sprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota), a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, hodnoty funkcie sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu definície funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (spravidla sa takéto body nachádzajú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocenské funkcie so zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určíme všetky stacionárne body spadajúce do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší bod.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, v ktorých prvá derivácia neexistuje (ak existuje), ako aj v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus na riešenie príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na segmente [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel, teda s výnimkou nuly. Oba segmenty spadajú do definičnej domény.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1].

Z rovnice určíme stacionárne body. Jediný skutočný koreň je x=2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote - pri x=2.

V druhom prípade vypočítame funkčné hodnoty iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

Riešenie.

Začnime s doménou funkcie. Štvorcový trojčlen menovateľ zlomku nesmie zaniknúť:

Je ľahké skontrolovať, či všetky intervaly z problémového príkazu patria do oblasti definície funkcie.

Rozlišujme funkciu:

Je zrejmé, že derivácia existuje v celej oblasti definície funkcie.

Nájdite stacionárne body. Derivát ide na nulu pri . Tento stacionárny bod spadá do intervalov (-3;1] a (-3;2).

Teraz môžete porovnať výsledky získané v každom bode s grafom funkcie. Modré bodkované čiary označujú asymptoty.

V tomto bode môžeme skončiť s hľadaním najväčších a najmenších hodnôt funkcie. Algoritmy opísané v tomto článku vám umožňujú dosiahnuť výsledky s minimom akcií. Môže však byť užitočné najprv určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie a až potom vyvodiť závery o najväčších a najmenších hodnotách funkcie na akomkoľvek intervale. To poskytuje jasnejší obraz a presné zdôvodnenie výsledkov.

§ Extrémy, Maximálne a minimálne hodnoty funkcií viacerých premenných - strana č. 1/1

§ 8. Extrémy Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií viacerých premenných.

1. Extrémy funkcií viacerých premenných.

lietadlo
,
- bod v tejto oblasti.

Bodka
volal maximálny bod funkcie
, ak za nejaký bod

nerovnosť platí

.

Rovnako bod
volal minimálny bod funkcie
, ak za nejaký bod
z nejakého okolia bodu
nerovnosť platí

.

Poznámky. 1) Podľa definícií funkcia
musia byť definované v niektorom okolí bodu
. Tie. maximálne a minimálne body funkcie
môžu existovať iba vnútorné body regiónu
.

2) Ak existuje okolie bodu
, v ktorom pre ľubovoľný bod
rozdielny od
nerovnosť platí

(

), potom bod
volal prísny maximálny bod (resp prísny minimálny bod ) funkcie
. V tejto súvislosti sa vyššie definované maximálne a minimálne body niekedy nazývajú neprísne maximálne a minimálne body.

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú jej extrémne body . Volajú sa funkčné hodnoty v maximálnom a minimálnom bode výšky A minimá alebo v skratke extrémy túto funkciu.

Koncepty extrémov majú lokálny charakter: hodnota funkcie v bode
sa porovnáva s funkčnými hodnotami v pomerne blízkych bodoch. V danej oblasti funkcia nemusí mať vôbec žiadne extrémy, alebo môže mať niekoľko miním, niekoľko maxím a dokonca nekonečný počet oboch. Navyše, niektoré minimá môžu byť väčšie ako niektoré z jeho maxím. Nezamieňajte maximálne a minimálne hodnoty funkcie s jej maximálnymi a minimálnymi hodnotami.

Nájdime potrebnú podmienku pre extrém. Nech napr.
– maximálny bod funkcie
. Potom podľa definície existuje gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-okolie bodu
také že
za akýkoľvek bod
z tejto oblasti. najmä

(1)

Kde
,
, A

(2)

Kde
,
. Ale (1) znamená, že funkcia jednej premennej
má v bode maximum alebo je na intervale
konštantný. teda

alebo
- neexistuje,

⇒
alebo
- neexistuje.

Podobne z (2) to dostaneme

alebo
- neexistuje.

Platí teda nasledujúca veta.

TEÓZA 8.1. ( potrebné podmienky extrém). Ak je funkcia
v bode
má extrém, potom sa v tomto bode buď obe jeho parciálne derivácie prvého rádu rovnajú nule, alebo aspoň jedna z týchto parciálnych derivácií neexistuje.

Geometricky Veta 8.1 znamená, že ak
– extrémny bod funkcie
, potom dotyková rovina ku grafu tejto funkcie v bode je buď rovnobežná s rovinou
alebo neexistuje vôbec. Aby sme si to overili, stačí si zapamätať, ako nájsť rovnicu dotykovej roviny k povrchu (pozri vzorec (4.6)).

Volajú sa body spĺňajúce podmienky vety 8.1 kritických bodov funkcie
. Rovnako ako pre funkciu jednej premennej, ani pre extrém nestačia nevyhnutné podmienky. Tie. nie každý kritický bod funkcie bude jej extrémnym bodom.

PRÍKLAD. Zvážte funkciu
. Bodka
je pre túto funkciu kritická, pretože v tomto bode sú obe jej parciálne derivácie prvého rádu
A
sa rovnajú nule. Nepôjde však o extrémny bod. naozaj,
, ale v akomkoľvek okolí bodu
existujú body, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty a body, v ktorých funkcia nadobúda záporné hodnoty. To sa dá ľahko overiť, ak vytvoríte graf funkcie – hyperbolický paraboloid.

Pre funkciu dvoch premenných sú najvhodnejšie postačujúce podmienky dané nasledujúcou vetou.

TEÓZA 8.2. (dostatočné podmienky pre extrém funkcie dvoch premenných). Nechaj
– kritický bod funkcie
a v nejakom susedstve bodu
funkcia má spojité parciálne derivácie až do druhého rádu vrátane. Označme

,
,
.

Potom 1) ak
, potom bod
nie je extrémnym bodom;


Ak použijeme vetu 8.2 na preskúmanie kritického bodu
zlyhal (t.j. ak
alebo funkcia nemá v susedstve vôbec žiadny zmysel
spojité parciálne derivácie požadovaného rádu), odpoveď na otázku o prítomnosti v bode
extremum dá v tomto bode znamienko prírastku funkcie.

Z definície totiž vyplýva, že ak funkcia
má v bode
vtedy prísne maximum

za všetky body
z nejakého okolia bodu
, alebo inak

pre všetkých dostatočne malé
A
. Rovnako tak, ak
je bod prísneho minima, potom pre všetkých dostatočne malý
A
nerovnosť bude uspokojená
.

Takže, aby ste zistili, či je kritický bod
extrémny bod, je potrebné preskúmať prírastok funkcie v tomto bode. Ak pre všetkých dosť malé
A
zachová znamenie, potom v bode
funkcia má prísny extrém (minimálne, ak
, a maximálne ak
).

Komentujte. Pre neprísny extrém platí pravidlo, ale s dodatkom, že pre niektoré hodnoty
A
prírastok funkcie bude nula
PRÍKLAD. Nájdite extrémy funkcií:

1)
; 2)
.

1) Funkcia

A
tiež existujú všade. Riešenie sústavy rovníc
,
nájsť dva kritické body
A
.

Na štúdium kritických bodov použijeme vetu 8.2. Máme:

,
,
.

Poďme preskúmať pointu
:

,
,
,

;
.

Preto v bode
táto funkcia má minimum, a to
.

Skúmanie kritického bodu
:

,
,
,


.

Preto druhý kritický bod nie je extrémnym bodom funkcie.

2) Funkcia
definované všade. Jeho parciálne deriváty prvého rádu
a tiež existujú všade. Riešenie sústavy rovníc
,
nájdime jediný kritický bod
.

Na štúdium kritického bodu použijeme vetu 8.2. Máme:

,
,
,

,
,
,

.

Určte prítomnosť alebo neprítomnosť extrému v bode
použitie vety 8.2 zlyhalo.

Pozrime sa na znamienko prírastku funkcie v bode
:

Ak
, To
;

Ak
, To
.

Pretože
nezachováva znamienko v okolí bodu
, potom v tomto bode funkcia nemá extrém.

Definície maxima a minima a nevyhnutných podmienok pre extrém sa dajú jednoducho preniesť do funkcií troch alebo viacerých premenných. Dostatočné podmienky pre extrém pre funkciu (
) premenné sa v tomto kurze neuvažujú kvôli ich zložitosti. V tomto prípade určíme povahu kritických bodov podľa znamienka prírastku funkcie.

2. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Nech je funkcia dvoch premenných
definované v nejakej oblasti
lietadlo
,
,
– body tejto oblasti. Hodnota funkcie v bode
volal najväčší , ak za nejaký bod
z regiónu
nerovnosť platí

.

Podobne aj hodnota funkcie v bode
volal najmenší , ak za nejaký bod
z regiónu
nerovnosť platí

.

Skôr sme už povedali, že ak je funkcia spojitá a oblasť
– je uzavretá a obmedzená, potom funkcia nadobúda svoje najväčšie a najmenšie hodnoty v tejto oblasti. Zároveň body
A
môže ležať oboje vo vnútri oblasti
a na jeho hranici. Ak bod
(alebo
) leží vo vnútri regiónu
, potom to bude maximálny (minimálny) bod funkcie
, t.j. kritický bod funkcie vo vnútri regiónu
. Preto nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie
v oblasti
potrebovať:
.

Extrém funkcie je vlastnosť lokálneho, lokálneho charakteru (pozri definíciu). Maximum (minimum) by sa nemalo zamieňať s najväčšou (najmenšou) hodnotou funkcie v uzavretej oblasti D.

Definícia. Povedzme funkciu z = f(x, y) je v určitom regióne definovaná a súvislá D, má v tejto oblasti konečné parciálne derivácie. Potom v tejto oblasti budú body, do ktorých funkcia dosiahne najväčší a najmenší hodnoty zostávajúcich hodnôt. Tieto body môžu ležať vo vnútri regiónu alebo na jeho hranici.

Aby ste našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti, potrebujete:

1) Nájdite stacionárne body umiestnené vo vnútri regiónu a vypočítajte hodnoty funkcie v týchto bodoch.

Komentujte. Pripojte k stacionárnym bodom body, v ktorých sú derivácie nekonečné alebo neexistujú (ak existujú).

2) Nájdite stacionárne body na hranici regiónu a vypočítajte hodnoty funkcie v týchto bodoch.

3) Nájdite hodnoty funkcie v rohových bodoch - priesečníkoch hraničných čiar.

4) Zo všetkých nájdených hodnôt vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Príklad 1.22. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

z = 2X 2 – xy ++ r 2 + 7X v uzavretom priestore D: –3 X 3, –3 r 3 (obr. 1.3).

Ryža. 1.3. Odbor D

Riešenie. 1) Nájdite stacionárne body

Odtiaľ pri = –1, X= –2, stacionárny bod M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Študujeme funkciu na hranici oblasti, ktorá pozostáva zo segmentov AB, DC, CB, AD.

a) Na priamke AB: pri= 3 a funkcia má tvar

z = 2X 2 + 3X + 9 + 7X =

= 2X 2 + 10X + 9, X [–3, 3].

Toto je funkcia jednej nezávislej premennej.

Určme stacionárne body tejto funkcie:

teda, X = –2,5.

Definujeme z pri X = –2,5, ako aj na koncoch segmentu [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

priemer = 3,5, a = 57.

b) Zvážte segment slnko:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; pri [–3, 3],

= 2y – 3; 2y – 3 = 0 y = 3/2.

nachádzame z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Na segmente CD: y = 3, z = 2X 2 + 4x+ 9; pri [–3, 3],

= –4X + 4 = 0 Þ X = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Najvyššie a najnižšie hodnoty

Funkcia ohraničená v ohraničenej uzavretej oblasti dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty buď v stacionárnych bodoch alebo v bodoch ležiacich na hranici oblasti.

Ak chcete nájsť najväčšie alebo najmenšie hodnoty funkcie, musíte:

1. Nájdite stacionárne body ležiace vo vnútri tejto oblasti a vypočítajte hodnotu funkcie v nich.

2. Nájdite najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na hranici regiónu.

3. Porovnajte všetky získané funkčné hodnoty: najväčšia (najmenšia) bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tejto oblasti.

Príklad 2. Nájdite najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie: v kruhu.

Riešenie.

stacionárny bod; .

2 .Hranica tejto uzavretej oblasti je kruh alebo , kde .

Funkcia na hranici oblasti sa stáva funkciou jednej premennej: , kde . Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty tejto funkcie.

Keď x=0; (0,-3) a (0,3) sú kritické body.

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu

3 . Vzájomným porovnaním hodnôt, ktoré dostaneme,

V bodoch A a B.

V bodoch C a D.

Príklad 3 Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretej oblasti definovanej nerovnosťou:

Riešenie. Oblasť je trojuholník ohraničený súradnicovými osami a priamkou x+y=1.

1. Vo vnútri regiónu nájdeme stacionárne body:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

Stacionárny bod nepatrí do posudzovaného regiónu, takže hodnota z v ňom nie je vypočítaná.

2 .Študujeme funkciu na hranici. Keďže hranica pozostáva z troch sekcií opísaných tromi rôznymi rovnicami, študujeme funkciu na každej sekcii samostatne:

A) v sekcii 0A: y=0 - rovnica 0A, potom ; z rovnice je zrejmé, že funkcia sa zvyšuje o 0A z 0 na 1. To znamená .

b) v sekcii 0B: x=0 - rovnica 0B, potom ; -6y+1=0; - kritický bod.

V) na priamke x+y = 1: y=1-x, potom dostaneme funkciu

Vypočítajme hodnotu funkcie z v bode B(0,1).

3 .Porovnaním čísel dostaneme, že

Na rovnej AB.

V bode B.

Testy na sebaovládanie vedomostí.

1. Extrémom funkcie je

a) jeho deriváty prvého rádu

b) jeho rovnica

c) jej rozvrh

d) jeho maximum alebo minimum

2. Dá sa dosiahnuť extrém funkcie niekoľkých premenných:

a) len v bodoch ležiacich vo vnútri jej definičnej oblasti, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu väčšie ako nula

b) len v bodoch ležiacich vo vnútri jej definičnej oblasti, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu menšie ako nula

c) len v bodoch ležiacich vo vnútri jej definičnej oblasti, v ktorých sa všetky parciálne derivácie prvého rádu nerovnajú nule

d) len v bodoch ležiacich v jeho definičnom obore, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu rovné nule

3. Funkcia, ktorá je spojitá v obmedzenej uzavretej oblasti, dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty:

a) v stacionárnych bodoch

b) buď v stacionárnych bodoch alebo v bodoch ležiacich na hranici regiónu

c) v bodoch ležiacich na hranici kraja

d) vo všetkých bodoch

4. Stacionárne body pre funkciu viacerých premenných sú body:

a) v ktorom sa všetky parciálne derivácie prvého rádu nerovnajú nule

b) v ktorom sú všetky parciálne deriváty prvého rádu väčšie ako nula

c) v ktorom sú všetky parciálne deriváty prvého rádu rovné nule

d) v ktorom sú všetky parciálne deriváty prvého rádu menšie ako nula

Nech je funkcia y=f(x) spojitá na segmente. Ako viete, táto funkcia dosahuje svoj najväčší potenciál. a meno hodnoty. Funkcia môže nadobudnúť aj tieto hodnoty vnútorný bod segmentu, alebo na hranici segmentu, t.j. keď =a alebo =b. Ak , potom by sa mal tento bod hľadať medzi kritickými bodmi tejto funkcie.

Získame nasledujúce pravidlo na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na:

1) nájdite kritické body funkcie na intervale (a,b);

2) vypočítajte hodnoty funkcie v nájdených kritických bodoch;

3) vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu, t.j. v bodoch x=a a x=b;

4) spomedzi všetkých vypočítaných hodnôt funkcie vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Poznámky:

1. Ak má funkcia y=f(x) na segmente iba jeden kritický bod a je to maximálny (minimálny) bod, potom funkcia nadobudne v tomto bode najväčšiu (najmenšiu) hodnotu.

2. Ak funkcia y=f(x) na segmente nemá kritické body, znamená to, že funkcia na ňom monotónne rastie alebo klesá. V dôsledku toho funkcia nadobúda svoju najväčšiu hodnotu (M) na jednom konci segmentu a najmenšiu hodnotu (m) na druhom konci.

60. Komplexné čísla. Moivreove vzorce.
Komplexné číslo názov vyjadrenie tvaru z = x + iy, kde x a y sú reálne čísla a i je tzv. pomyselná jednotka, . Ak x=0, potom sa volá číslo 0+iy=iy. imaginárne číslo; ak y=0, tak číslo x+i0=x sa stotožňuje s reálnym číslom x, čo znamená, že množina R všetkých je reálna. počet javov podmnožina množiny C všetkých komplexných čísel, t.j. . Číslo x meno skutočná časť z, . Dve komplexné čísla sa nazývajú rovnaké (z1=z2) vtedy a len vtedy, ak sa ich reálne časti rovnajú a imaginárne časti sa rovnajú: x1=x2, y1=y2. Komplexné číslo Z=x+iy sa rovná nule práve vtedy, ak x=y=0. Pojmy „viac“ a „menej“ nie sú zavedené pre komplexné čísla. Dve komplexné čísla z=x+iy a , ktoré sa líšia iba znamienkom imaginárnej časti, sa nazývajú konjugované.

Geometrická reprezentácia komplexných čísel.

Akékoľvek komplexné číslo z = x + iy môže byť reprezentované bodom M(x,y) roviny Oxy tak, že x=Re z, y=Im z. A naopak, každý bod M(x;y) súradnicovej roviny možno považovať za obraz komplexného čísla z = x + iy. Rovina, na ktorej sú zobrazené komplexné čísla, sa nazýva komplexná rovina, pretože obsahuje reálne čísla z = x + 0i = x. Ordinačná os sa nazýva imaginárna os, keďže na nej ležia čisto imaginárne komplexné čísla z = 0 + iy. Komplexné číslo Z=x+iy možno špecifikovať pomocou vektora polomeru r=OM=(x,y). Dĺžka vektora r reprezentujúceho komplexné číslo z sa nazýva modul tohto čísla a označuje sa |z| alebo r. Veľkosť uhla medzi Smer reálnej osi a vektor r reprezentujúci komplexné číslo sa nazýva argument tohto komplexného čísla, označuje sa Arg z alebo . Argument komplexného čísla Z=0 nie je definovaný. Argument komplexného čísla je viachodnotová veličina a je určený až do členu, kde arg z je hlavná hodnota argumentu obsiahnutého v intervale (), t.j. - (niekedy sa za hlavnú hodnotu argumentu berie hodnota patriaca do intervalu (0; ).

Zápis čísla z v tvare z=x+iy sa nazýva algebraický tvar komplexného čísla.

Operácie s komplexnými číslami

Doplnenie. Súčet dvoch komplexných čísel z1=x1+iy1 a z2=x2+iy2 je komplexné číslo definované rovnosťou: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Sčítanie komplexných čísel je komutatívne a kombinačné vlastnosti: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Odčítanie. Odčítanie je definované ako inverzia sčítania. Rozdiel komplexných čísel z1 a z2 je komplexné číslo z, ktoré po pripočítaní k z2 dostane číslo z1, t.j. z=z1-z2, ak z+z2=z1. Ak z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, potom z tejto definície je ľahké získať z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Násobenie. Súčin komplexných čísel z1=x1+iy1 az2=x2+iy2 je komplexné číslo definované rovnosťou z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Odtiaľto najmä vyplýva: . Ak sú čísla uvedené v trigonometrická forma: .

Pri násobení komplexných čísel sa ich moduly násobia a ich argumenty sa sčítajú. Moivreov vzorec(ak je n faktorov a všetky sú rovnaké): .

Podobné články