Vzorec súčinu dvoch vektorov. Vektorový súčin vektorov online

Vektorové umelecké dielo je pseudovektor kolmý na rovinu skonštruovaný z dvoch faktorov, ktorý je výsledkom binárnej operácie „vektorové násobenie“ nad vektormi v trojrozmernom euklidovskom priestore. Vektorový súčin nemá vlastnosti komutativity a asociatívnosti (je antikomutatívny) a na rozdiel od skalárneho súčinu vektorov je vektorom. Široko používaný v mnohých inžinierskych a fyzikálnych aplikáciách. Napríklad moment hybnosti a Lorentzova sila sú zapísané matematicky ako vektorový súčin. Krížový súčin je užitočný na „meranie“ kolmosti vektorov – modul krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná súčinu ich modulov, ak sú kolmé, a klesá na nulu, ak sú vektory rovnobežné alebo antiparalelné.

Vektorový súčin možno definovať rôznymi spôsobmi a teoreticky v priestore ľubovoľného rozmeru n môžete vypočítať súčin n-1 vektorov, čím získate jeden vektor, kolmo na ne všetky. Ale ak je produkt obmedzený na netriviálne binárne produkty s vektorovými výsledkami, potom je tradičný vektorový produkt definovaný iba v trojrozmerných a sedemrozmerných priestoroch. Výsledok vektorového súčinu, podobne ako skalárneho súčinu, závisí od metriky euklidovského priestoru.

Na rozdiel od vzorca na výpočet súradníc vektorov bodového súčinu v trojrozmernom pravouhlom súradnicovom systéme, vzorec pre krížový súčin závisí od orientácie pravouhlý systém súradnice alebo inými slovami jeho „chiralita“.

Definícia:
Vektorový súčin vektora a a vektora b v priestore R3 je vektor c, ktorý spĺňa nasledujúce požiadavky:
dĺžka vektora c sa rovná súčinu dĺžok vektorov a a b a sínusu uhla φ medzi nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonálny ku každému z vektorov a a b;
vektor c smeruje tak, že trojica vektorov abc je pravotočivá;
v prípade priestoru R7 je potrebná asociativita trojice vektorov a, b, c.
Označenie:
c===a × b

Ryža. 1. Plocha rovnobežníka sa rovná modulu vektorového produktu

Geometrické vlastnosti krížového produktu:
Nevyhnutné a dostatočný stav kolinearita dvoch nenulových vektorov je rovnosť ich vektorového súčinu k nule.

Cross Product Module rovná sa plocha S paralelogram skonštruovaný na vektoroch zredukovaných na spoločný počiatok a A b(pozri obr. 1).

Ak e- jednotkový vektor, ortogonálne k vektorom a A b a vybrali tak, že tri a,b,e- správne a S je plocha rovnobežníka, ktorý je na nich vytvorený (redukovaný na spoločný pôvod), potom platí vzorec pre vektorový produkt:
=S e

Obr.2. Objem kvádra pomocou vektora a skalárneho súčinu vektorov; bodkované čiary znázorňujú projekcie vektora c na a × b a vektora a na b × c, prvým krokom je nájsť skalárne produkty

Ak c- nejaký vektor, π - akákoľvek rovina obsahujúca tento vektor, e- jednotkový vektor ležiaci v rovine π a ortogonálne k c,g- jednotkový vektor kolmý na rovinu π a nasmerované tak, že trojnásobok vektorov EKG je správne, potom pre akékoľvek ležanie v lietadle π vektor a vzorec je správny:
=Pr e a |c|g
kde Pr e a je projekcia vektora e na a
|c|-modul vektora c

Pri použití vektorových a skalárnych produktov môžete vypočítať objem kvádra postaveného na vektoroch zredukovaných na spoločný počiatok a, b A c. Takýto súčin troch vektorov sa nazýva zmiešaný.
V=|a (b×c)|
Obrázok ukazuje, že tento objem možno nájsť dvoma spôsobmi: geometrický výsledok sa zachová aj pri zámene „skalárnych“ a „vektorových“ produktov:
V=a×b c=a b×c

Veľkosť vektorového súčinu závisí od sínusu uhla medzi pôvodnými vektormi, takže vektorový súčin možno vnímať ako stupeň „kolmosti“ vektorov, rovnako ako skalárny produkt možno považovať za stupeň „paralelnosti“. Vektorový súčin dvoch jednotkových vektorov sa rovná 1 (jednotkový vektor), ak sú pôvodné vektory kolmé, a rovný 0 (nulový vektor), ak sú vektory paralelné alebo antiparalelné.

Vyjadrenie krížového súčinu v karteziánskych súradniciach
Ak dva vektory a A b definované ich pravouhlým Kartézske súradnice, alebo presnejšie povedané, sú zastúpené na ortonormálnom základe
a=(a x,ay,az)
b = (b x , b y , b z)
a súradnicový systém je pravotočivý, potom ich vektorový súčin má tvar
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Aby ste si zapamätali tento vzorec:
i =∑ε ijk a j b k
Kde ε ijk- symbol Levi-Civita.

Použijeme tabuľku krížových produktov vektory i,j andk:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech sú dané dva vektory a=axi +ayj +azk a b =bxi +byj +bzk. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):
Výsledný vzorec možno napísať ešte stručnejšie: keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu

Stanovenie kolinearity vektorov.
Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície vektorového súčinu vektorov a a b |a xb | = |a| * |b |sing, teda S párov = |a x b |. A preto DS = 1/2|a x b |.

Určenie momentu sily okolo bodu

Nech v bode A pôsobí sila F =AB a nech O je nejaký bod v priestore Z fyziky je známe, že moment sily F vzhľadom na bod O je vektor M, ktorý prechádza bodom O a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) sa číselne rovná súčinu sily ramena 3) tvorí pravostrannú trojicu s vektormi OA a A B.

Preto M = OA x F. Hľadanie lineárna rýchlosť rotácia

Rýchlosť v bodu M pevný, rotujúci uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v =w xr, kde r =OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

Uhol medzi vektormi

Z definície skalárneho súčinu dvoch vektorov vyplýva, že Ak sú vektory a špecifikované súradnicami a , potom sa vzorec (1.6.3.1) zapíše ako:

Oblasť rovnobežníka postavená na vektoroch

Problémy merania dĺžok úsečiek, vzdialeností medzi bodmi, povrchových plôch a objemov telies patria do dôležitej triedy problémov, ktoré sa zvyčajne nazývajú metrické. V predchádzajúcej časti sme sa naučili, ako použiť vektorovú algebru na výpočet dĺžok úsečiek a vzdialeností medzi bodmi. Teraz budeme hľadať spôsoby, ako vypočítať plochy a objemy. Vektorová algebra vám umožňuje klásť a riešiť takéto problémy iba v pomerne jednoduchých prípadoch. Na výpočet plôch ľubovoľných povrchov a objemov ľubovoľných telies sú potrebné analytické metódy. Ale metódy analýzy sa zasa výrazne spoliehajú na výsledky, ktoré poskytuje vektorová algebra.

Na vyriešenie problému sme si vybrali pomerne dlhú a náročnú cestu, ktorú navrhol Hilbert Strang, spojenú s mnohými geometrickými transformáciami a starostlivými algebraickými výpočtami. Túto cestu sme zvolili aj napriek tomu, že existujú aj iné prístupy, ktoré vedú k cieľu rýchlejšie, pretože nám to prišlo priame a prirodzené. Priama cesta vo vede nie je vždy najjednoduchšia. Skúsení ľudia o tom vedia a uprednostňujú kruhové objazdy, ale ak sa nepokúšate ísť rovno, môžete zostať ignorantmi niektorých jemností teórie.

Na nami zvolenej ceste sa prirodzene objavujú také pojmy ako priestorová orientácia, determinant, vektor a zmiešané produkty. Geometrický význam determinantu a jeho vlastnosti sú obzvlášť jasne odhalené, akoby pod mikroskopom. Tradične sa v teórii sústav lineárnych rovníc zavádza pojem determinant, no práve na riešenie takýchto sústav je determinant takmer zbytočný. Geometrický význam determinantu je podstatný pre vektorovú a tenzorovú algebru.

Teraz buďme trpezliví a začnime s najjednoduchšími a najzrozumiteľnejšími prípadmi.

1. Vektory sú orientované pozdĺž súradnicových osí karteziánskeho súradnicového systému.

Nech vektor a smeruje pozdĺž osi x a vektor b pozdĺž osi y. Na obr. Obrázok 21 zobrazuje štyri rôzne možnosti umiestnenia vektorov vo vzťahu k súradnicovým osám.

Vektory a a b v súradnicovom tvare: kde a a b označujú veľkosť zodpovedajúceho vektora a a je znamienko vektorovej súradnice.

Keďže vektory sú ortogonálne, rovnobežníky na nich zostrojené sú obdĺžniky. Ich plochy sú jednoducho produktom ich strán. Vyjadrime tieto produkty pomocou vektorových súradníc pre všetky štyri prípady.

Všetky štyri vzorce na výpočet plochy sú rovnaké okrem znamienka. Mohol by si zavrieť oči a napísať, že vo všetkých prípadoch. Iná možnosť sa však ukazuje ako produktívnejšia: dať znameniu nejaký význam. Pozrime sa pozorne na obr. 21. V prípadoch, keď sa rotácia vektora k vektoru vykonáva v smere hodinových ručičiek. V tých prípadoch, keď sme nútení použiť vo vzorci znamienko mínus, rotácia vektora k vektoru sa vykonáva proti smeru hodinových ručičiek. Toto pozorovanie nám umožňuje spojiť znamienko vo výrazoch pre oblasť s orientáciou roviny.

Oblasť obdĺžnika postavená na vektoroch a a b so znamienkom plus alebo mínus sa bude považovať za orientovanú oblasť a znamienko bude spojené s orientáciou určenou vektormi. Pre orientovanú oblasť môžeme napísať jeden vzorec pre všetky štyri uvažované prípady: . Čiarový znak „vektor“ nad písmenom S je uvedený na odlíšenie obyčajnej plochy, ktorá je vždy kladná, od orientovanej.

Okrem toho je zrejmé, že rovnaké vektory v inom poradí určujú opačnú orientáciu, teda . Budeme pokračovať v označovaní oblasti písmenom S, a teda .

Teraz, keď by sa zdalo, že za cenu rozšírenia pojmu plocha sme dostali všeobecný výraz, pozorný čitateľ si povie, že sme nezvážili všetky možnosti. V skutočnosti, okrem štyroch možností umiestnenia vektorov uvedených na obr. 21 sú ďalšie štyri (obr. 22) Zapíšme vektory opäť v súradnicovom tvare: Vyjadrime oblasti cez súradnice vektorov. 4. Znaky v nových výrazoch sa nezmenili, zmenila sa však, žiaľ, orientácia vo vzťahu k predchádzajúcim štyrom pádom. Preto sme pre orientovanú oblasť nútení napísať: . Hoci nádej na geniálnu jednoduchosť nebola oprávnená, aj tak si môžeme zapísať všeobecný výraz pre všetky štyri prípady.

To znamená, že orientovaná oblasť obdĺžnika postavená na vektoroch, ako na stranách, sa rovná determinantu zloženému zo súradníc vektorov, ako na stĺpcoch.

Veríme, že čitateľ je oboznámený s teóriou determinantov, preto sa týmto pojmom podrobne nezaoberáme. Uvádzame však vhodné definície, aby sme zmenili dôraz a ukázali, že k tomuto pojmu možno dospieť z čisto geometrických úvah. , , sú rôzne formy zápisu pre ten istý pojem - determinant zložený z vektorových súradníc, ako sú stĺpce. Rovnosť možno brať ako jeho definíciu pre dvojrozmerný prípad.

2. Vektor b nie je rovnobežný s osou x; vektor a/ je ľubovoľný vektor.

Aby sme tento prípad zredukovali na už známe, uvažujme o niektorých geometrických transformáciách rovnobežníka postaveného na vektoroch a (obr. zmiešané produkty vektorov a jeho vlastnosti

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a, b a c v uvedenom poradí tvoria pravotočivý triplet, ak od konca tretieho vektora c najkratší obrat z prvého vektora a do druhého vektora b byť proti smeru hodinových ručičiek a ľavotočivá trojica v smere hodinových ručičiek (pozri obr. 16).

Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka skonštruovaného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.

3. Vektory a, b a c tvoria pravotočivú trojicu.

Krížový súčin sa označuje axb alebo [a,b]. Nasledujúce vzťahy medzi jednotkovými vektormi priamo vyplývajú z definície vektorového súčinu, j A k(pozri obr. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokážme to napríklad i xj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektory i, ja k tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).

7.2. Vlastnosti krížového produktu

1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmeny znamienka, t.j. a xb = (b xa) (pozri obr. 19).

Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). Teda axb = -(b xa).

2. Vektorový súčin má kombinačná vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l (a xb) = (la) x b = a x (l b).

Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a)x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l ale ležia v rovnakej rovine). To znamená, že vektory l(a xb) a ( l a)x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:

Preto l(a xb)= l a xb. Dokazuje sa to podobným spôsobom pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a b sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b<=>a xb = 0.

Konkrétne i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Prijmeme bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového súčinu pomocou súradníc

Použijeme tabuľku krížových súčinov vektorov i, j a k:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech sú dané dva vektory a =a x i +a y j+a z k a b = b x i+b y j+b z k. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte stručnejšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu

Stanovenie kolinearity vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície vektorového súčinu vektorov A a b |a xb | =|a | * |b |sin g, teda S párov = |a x b |. A preto D S = 1/2|a x b |.

Určenie momentu sily okolo bodu

Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že moment sily F vzhľadom na bod O nazývaný vektor M, ktorý prechádza cez bod O a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily na rameno

3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B.

Preto M = OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v =w xr, kde r =OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

ZMIEŠANÝ PRODUKT TROCH VEKTOROV A JEHO VLASTNOSTI

Zmiešaná práca tri vektory sa nazýva číslo rovné . Určené . Tu sa prvé dva vektory vynásobia vektorovo a výsledný vektor sa potom skalárne vynásobí tretím vektorom. Je zrejmé, že takýto produkt je určitý počet.

Uvažujme o vlastnostiach zmiešaného produktu.

Geometrický význam zmiešaná práca. Zmiešaný súčin 3 vektorov až po znamienko sa rovná objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch, ako na hranách, t.j. .
Takto a .

Dôkaz. Nechajme bokom vektory zo spoločného počiatku a postavme na nich rovnobežnosten. Označme a všimnime si, že . Podľa definície skalárneho súčinu

Za predpokladu, že a označovať tým h nájdite výšku rovnobežnostena.

Teda, kedy

Ak, tak áno. Preto, .

Kombináciou oboch týchto prípadov dostaneme alebo .

Z dôkazu tejto vlastnosti predovšetkým vyplýva, že ak je trojica vektorov pravotočivá, potom zmiešaný súčin je , a ak je ľavotočivý, potom .
Pre všetky vektory , platí rovnosť
Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z vlastnosti 1. V skutočnosti je ľahké preukázať, že a . Okrem toho sa znamienka „+“ a „–“ berú súčasne, pretože uhly medzi vektormi a a a sú ostré aj tupé.
Keď sú akékoľvek dva faktory preusporiadané, zmiešaný produkt zmení znamienko.
Ak totiž uvažujeme o zmiešanom produkte, tak napr
Zmiešaný súčin vtedy a len vtedy, ak sa jeden z faktorov rovná nule alebo sú vektory koplanárne.
Dôkaz.

Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre koplanaritu 3 vektorov je teda to, že ich zmiešaný súčin je rovný nule. Okrem toho z toho vyplýva, že tri vektory tvoria základ v priestore, ak .

Ak sú vektory uvedené v súradnicovej forme, potom je možné ukázať, že ich zmiešaný produkt sa nachádza podľa vzorca:

.

Zmiešaný súčin sa teda rovná determinantu tretieho rádu, ktorý má súradnice prvého vektora v prvom riadku, súradnice druhého vektora v druhom riadku a súradnice tretieho vektora v treťom riadku.

Príklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIA V PRIESTORE

Rovnica F(x, y, z)= 0 definuje v priestore Oxyz nejaký povrch, t.j. lokus bodov, ktorých súradnice x, y, z splniť túto rovnicu. Táto rovnica sa nazýva povrchová rovnica a x, y, z– aktuálne súradnice.

Často však povrch nie je špecifikovaný rovnicou, ale ako množina bodov v priestore, ktoré majú tú či onú vlastnosť. V tomto prípade je potrebné nájsť rovnicu povrchu na základe jeho geometrických vlastností.

PLANE (lietadlo).

NORMÁLNY ROVINNÝ VEKTOR.

ROVNICE LETADLA PRECHÁDZAJÚCEHO CEZ DANÝ BOD

Uvažujme ľubovoľnú rovinu σ v priestore. Jeho poloha je určená určením vektora kolmého na túto rovinu a nejakého pevného bodu M0(x 0, y 0, z 0), ležiace v rovine σ.

Vektor kolmý na rovinu σ sa nazýva normálne vektor tejto roviny. Nech má vektor súradnice.

Odvoďme rovnicu roviny σ prechádzajúcej týmto bodom M0 a majúci normálny vektor. Za týmto účelom zoberte ľubovoľný bod v rovine σ M(x, y, z) a zvážte vektor .

Za akýkoľvek bod MО σ je vektor Preto sa ich skalárny súčin rovná nule. Táto rovnosť je podmienkou, že bod MО σ. Platí pre všetky body tejto roviny a porušuje sa hneď po bode M bude mimo roviny σ.

Ak body označíme polomerovým vektorom M, – vektor polomeru bodu M0, potom môže byť rovnica napísaná v tvare

Táto rovnica sa nazýva vektor rovinná rovnica. Napíšme to v súradnicovom tvare. Odvtedy

Získali sme teda rovnicu roviny prechádzajúcej týmto bodom. Na vytvorenie rovnice roviny teda potrebujete poznať súradnice normálového vektora a súradnice nejakého bodu ležiaceho v rovine.

Všimnite si, že rovnica roviny je rovnicou 1. stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice x, y A z.

Príklady.

VŠEOBECNÁ ROVNICE LIETADLA

Dá sa ukázať, že akákoľvek rovnica prvého stupňa vzhľadom na karteziánske súradnice x, y, z predstavuje rovnicu určitej roviny. Táto rovnica je napísaná takto:

Ax+By+Cz+D=0

a volá sa všeobecná rovnica rovinu a súradnice A, B, C tu sú súradnice normálového vektora roviny.

Uvažujme o špeciálnych prípadoch všeobecnej rovnice. Poďme zistiť, ako je rovina umiestnená vzhľadom na súradnicový systém, ak sa jeden alebo viac koeficientov rovnice stane nulou.

A je dĺžka segmentu odrezaného rovinou na osi Vôl. Podobne sa dá ukázať, že b A c– dĺžky segmentov odrezaných uvažovanou rovinou na osiach Oj A Oz.

Na konštrukciu rovín je vhodné použiť rovnicu roviny v segmentoch.