Бесконечно малые функции и их основные свойства. Определение бесконечно большой последовательности Является ли функция бесконечно большой при х

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x →0.

3. f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x →0.

4. f(x) = 1/x – бесконечно малая при x →∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство .

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α| . Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначим f(x) – b= α , то |α(x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдетсяδ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем | β(x)|< ε/ 2.

Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞ ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c= const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Примеры.

Установим следующее важное соотношение:

Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство .

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется |f(x)|< ε.

|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c= const, то .

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a .

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x , для которых |x – a|<δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a , то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .

Примеры.

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Доказательство . Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) , где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)) .

Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Доказательство . Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

Пример. .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Доказательство . Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) , где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.

Примеры.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b , то этот предел не может быть отрицательным: b≥0 .

Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a . Но тогда y не стремится к пределу b при x→a , что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c .

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0 , следовательно, по теореме 5 , или .

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a , слева или справа от a . Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a , оставаясь с одной стороны от а , слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a , то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

Определение числовой функции. Способы задания функций.

Пусть D – множество на числовой прямой R. Если каждому х принадлежащему D поставлено в соответствие единственное число y=f(x), то говорят, что задана функция f.

Способы задания функций:

1) табличный – для функций, заданных на конечном множестве.

2) аналитический

3) графический

2 и 3 – для функций, определенных на бесконечном множестве.

Понятие обратной функции.

Если функция y=f(x) такова, что разным значениям х аргумента соответствуют разные значения у функции, то переменную х можно выразить как функцию переменной у: x=g(y). Функцию g называют обратной к f и обозначают f^(-1).

Понятие сложной функции.

Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Пусть даны функции f(x) и g(x). Составим из них две сложные функции. Считая функцию f внешней (главной), а функцию g – внутренней, получаем сложную функцию u(x)=f(g(x)).

Определение предела последовательности.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного существует номер n0, начиная с которого все члены посл-ти отличаются от а по модулю меньше, чем на ε (т.е. попадают в ε-окрестность точки а):

Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.

1.Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. 2. Если все элементы последовательности {x n } равны С (постоянной), то предел последовательности {x n }, тоже равен С. 3. ; 4. ; 5. .

Определение ограниченной последовательности.

Посл-ть {x n } называется ограниченной, если множество чисел X={x n } ограниченно: .

Определение бесконечно малой последовательности.

Посл-ть {x n } наз-ют бесконечно малой, если для любого (сколь угодно малого) >0 найдется такой номер n 0 , что для всякого n>n 0 выполняется нерав-во |x n |< .

Определение бесконечно большой последовательности.

Посл-ть наз-ют бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) числа А>0 найдется такой номер n 0 , что для всякого номера n>n 0 выполняется нерав-во |x n |>A.

Определение монотонных последовательностей.

Монотонные посл-ти: 1) возрастающая, еслиx n x n +1 для всех n, 4) невозрастающей, еслиx n x n +1 для всех n.

Определение предела функции в точке.

Пределом ф-ии y=f(x) в точке x 0 (или при x x 0) наз-ют число а, если для любой посл-ти{x n } значений аргумента, сходящейся к х 0 (при этом все x n x 0), посл-ть {f(x n)} значений ф-ии сходится к пределу а.

Определение бесконечно малой функции.

Ф-ия f(x) наз-ся бесконечно малой при х→А, если .

Определение бесконечно большой функции.

Ф-ия f(x) наз-ся бесконечно большой при х→А, если .

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .

Бесконечно малая

Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x ) − a = α(x ) , .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a n называется бесконечно большой , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если либо .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия

Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин

Функция называется бесконечно малой при
или при
, если
или
.

Например: функция
бесконечно малая при
; функция
бесконечно малая при
.

Замечание 1. Никакую функцию без указания направления изменения аргумента бесконечно малой назвать нельзя. Так, функция
при
является бесконечно малой, а при
она уже не является бесконечно малой (
).

Замечание 2. Из определения предела функции в точке, для бесконечно малых функций выполняется неравенство
.Этим фактом мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться.

Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.

Теорема (о связи функции, её предела и бесконечно малой): Если функция
может быть представлена в виде суммы постоянного числаА и бесконечно малой функции
при
, то число

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что функция
.

Выразим отсюда
:
. Поскольку функция
бесконечно малая, для неё справедливо неравенство
, тогда для выражения (
) также выполняется неравенство

А это значит, что
.

Теорема (обратная): если
, то функция
может быть представлена в виде суммы числаА и бесконечно малой при
функции
, т.е.
.

Доказательство:

Так как
, то для
выполняется неравенство
(*) Рассмотрим функцию
как единую и неравенство (*) перепишем в виде

Из последнего неравенства следует, что величина (
) является бесконечно малой при
. Обозначим её
.

Откуда
. Теорема доказана.

Теорема 1 . Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.

Пусть
и
бесконечно малые при
функции и
– сумма этих функций. Докажем, что для
, существует такое
, что для всехх , удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая функция,
, что для всех
выполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая функция,
, а следовательно существует такое, что для всех
выполняется неравенство
.

Возьмём равным меньшему из чисели, тогда в–окрестности точкиа будут выполняться неравенства
,
.

Составим модуль функции
и оценим его значение.

То есть
, тогда функция бесконечно малая, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции
при
на ограниченную функцию
есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Так как функция
ограниченная, то существует такое положительное число
, что для всехвыполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая при
, то существует такая–окрестность точки, что для всехих этой окрестности выполняется неравенство
.

Рассмотрим функцию
и оценим её модуль

Итак
, а тогда
– бесконечно малая.

Теорема доказана.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

Доказательство:

Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.

Пусть
,
.

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой, функции
и
можно представить в виде
где
и
– бесконечно малые при
.

Найдём сумму функций
и

Величина
есть постоянная величина,
– величина бесконечно малая. Таким образом, функция
представлена в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой функции.

Тогда число
является пределом функции
, т.е.

Теорема доказана.

Теорема 2 . Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

Доказательство:

Не нарушая общности рассуждений, проведём доказательство для двух функций
и
.

Пусть , тогда
,

Найдём произведение функций
и

Величина
есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно, число
является пределом функции
, то есть справедливо равенство

Следствие:
.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля

Доказательство: Пусть
,

Тогда
,
.

Найдём частное и проделаем над ним некоторые тождественные преобразования

Величина постоянная, дробь
бесконечно малая. Следовательно, функцияпредставлена в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой функции.

Тогда
.

Замечание. Теоремы 1–3 доказаны для случая
. Однако, они могут быть применимы при
, поскольку доказательство теорем в этом случае проводится аналогично.

Например. Найти пределы:

Первый и второй замечательные пределы.

Функция не определена при
. Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при
. Этот предел носит названиепервого замечательного предела .

Он имеет вид:
.

Например . Найти пределы: 1.
. Обозначают
, если
, то
.
; 2.
. Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу.
; 3..

Рассмотрим переменную величину вида
, в которойпринимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадимразличные значения: если

Давая следующие значения из множества
, нетрудно увидеть, что выражение
при
будет
. Более того, доказывается, что
имеет предел. Этот предел обозначается буквой:
.

Число иррациональное:
.

Теперь рассмотрим предел функции
при
. Этот предел называетсявторым замечательным пределом

Он имеет вид
.

Например.

а)
. Выражение
заменим произведениемодинаковых сомножителей
, применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел; б)
. Положим
, тогда
,
.

Второй замечательный предел используется взадаче о непрерывном начислении процентов

При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:

где - первоначальный вклад,

- ежегодный банковский процент,

- число начислений процентов в год,

- время, в годах.

Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста

Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов

Непрерывность функций.

Рассмотрим функцию
определённую в некоторой точкеи некоторой окрестности точки. Пусть в указанной точке функция имеет значение
.

Определение 1. Функция
называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки, включая саму точку и
.

Определение непрерывности можно сформулировать иначе.

Пусть функция
определена при некотором значении,
. Если аргументудать приращение
, то функция получит приращение

Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),

То есть, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента
в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Определение 2. Функция
называется непрерывной при
(в точке), если она определена в этой точке и некоторой её окрестности и если
.

Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:

или
, но
, тогда
.

Следовательно, для того чтобы найти предел непрерывной функции при
достаточно в аналитическое выражение функции вместо аргументаподставить его значение.

Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Например:

Пример 1. Доказать, что функция
непрерывна во всех точках области определения.

Воспользуемся вторым определением непрерывности функции в точке. Для этого возьмём любое значение аргумента и дадим ему приращение
. Найдём соответствующее приращение функции

Пример 2. Доказать, что функция
непрерывна во всех точкахиз
.

Дадим аргументу приращение
, тогда функция получит приращение

Найдём так как функция
, то есть ограничена.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Определение 4. Если функция
непрерывна в каждой точке некоторого интервала
, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.