С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .
В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .
Навигация по странице.
Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.
Кратко остановимся на основных определениях.
Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
На отрезке
На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .
На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .
Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
- Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
- Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
- Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
- Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.
Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
- на отрезке ;
- на отрезке [-4;-1] .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по :
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):
Решение.
Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Продифференцируем функцию:
Очевидно, производная существует на всей области определения функции.
Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2) .
А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.
На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.
§ Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных - страница №1/1
§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.
1. Экстремумы функций нескольких переменных.
плоскости
,
– точка этой области.
Точка
называется точкой максимума
функции
, если для любой точки
выполняется неравенство
.
Аналогично точка
называется точкой минимума
функции
, если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
.
Замечания
. 1) По смыслу определений функция
должна быть определена в некоторой окрестности точки
. Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции
могут быть только внутренние точки области
.
2) Если существует окрестность точки
, в которой для любой точки
отличной от
выполняется неравенство
(
), то точку
называют точкой строгого максимума
(соответственно точкой строгого минимума
) функции
. В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума . Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами , или, короче, экстремумами этой функции.
Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке
сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.
Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
– точка максимума функции
. Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки
такая, что
для любой точки
из этой окрестности. В частности,
(1)
где
,
, и
(2)
где
,
. Но (1) означает, что функция одной переменной
имеет в точке максимум или является на интервале
постоянной. Следовательно,
или
– не существует,
⇒
или
– не существует.
Аналогично из (2) получаем, что
или
– не существует.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.
Геометрически теорема 8.1 означает, что если
– точка экстремума функции
, то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости
, либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).
Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками
функции
. Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.
ПРИМЕР.
Рассмотрим функцию
. Точка
является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка
и
равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно,
, но в любой окрестности точки
есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.
Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть
– критическая точка функции
и в некоторой окрестности точки
функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим
,
,
.
Тогда 1) если
, то точка
не является точкой экстремума;
Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку
не удалось (т.е. если
или функция вообще не имеет в окрестности точки
непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке
экстремума даст знак приращения функции в этой точке.
Действительно, из определения следует, что если функция
имеет в точке
строгий максимум, то
для всех точек
из некоторой окрестности точки
, или, иначе
при всех достаточно малых
и
. Аналогично, если
– точка строгого минимума, то при всех достаточно малых
и
будет выполняться неравенство
.
Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых
и
оно будет сохранять знак, то в точке
функция имеет строгий экстремум (минимум, если
, и максимум, если
).
Замечание
. Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях
и
приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:
1)
; 2)
.
1) Функция
и
тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем две критические точки
и
.
Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:
,
,
.
Исследуем точку
:
,
,
,
;
.
Следовательно, в точке
данная функция имеет минимум, а именно
.
Исследуем критическую точку
:
,
,
,
.
Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.
2) Функция
определена всюду. Ее частные производные первого порядка
и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем единственную критическую точку
.
Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:
,
,
,
,
,
,
.
Установить наличие или отсутствие экстремума в точке
с помощью теоремы 8.2 не удалось.
Исследуем знак приращения функции в точке
:
Если
, то
;
если
, то
.
Поскольку
не сохраняет знак в окрестности точки
, то в этой точке функция не имеет экстремума.
Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции (
) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек в этом случае мы будем по знаку приращения функции.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция двух переменныхопределена в некоторой области
плоскости
,
,
– точки этой области. Значение функции в точке
называется наибольшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство
.
Аналогично значение функции в точке
называется наименьшим
, если для любой точки
из области
выполняется неравенство
.
Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область
– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки
и
могут лежать как внутри области
, так и на ее границе. Если точка
(или
) лежит внутри области
, то это будет точка максимума (минимума) функции
, т.е. критическая точка функции внутри области
. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
в области
нужно:
.
Экстремум функции – это свойство местного, локального характера (см. определение). Не следует смешивать максимум (минимум) с наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнутой области D .
Определение. Допустим, функция z = f (x, y ) определена и непрерывна в некоторой области D , имеет в этой области конечные частные производные. Тогда в этой области найдутся точки, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения остальных значений. Эти точки могут лежать внутри области или на ее границе.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, нужно:
1) Найти стационарные точки, расположенные внутри области, и вычислить значения функции в этих точках.
Замечание. Присоединить к стационарным точкам точки, в которых производные бесконечны или не существуют (если такие имеются).
2) Найти стационарные точки на границе области и вычислить значения функции в этих точках.
3) Найти значения функции в угловых точках – точках пересечения граничных линий.
4) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1.22. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
z = 2x 2 – xy + + y 2 + 7x в замкнутой области D : –3 x 3, –3 y 3 (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Область исследования D
Решение. 1) Находим стационарные точки
Отсюда у = –1, х = –2, стационарная точка М 0 (–2, –1) D , z (М 0) = –7.
2) Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезков AB, DC, CB, AD .
а) На прямой AB : у = 3, а функция имеет вид
z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =
= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].
Эта функция одной независимой переменной.
Определим стационарные точки данной функции:
следовательно, х = –2,5.
Определяем z при х = –2,5, а также на концах отрезка [-3, 3]:
z (–2,5; –3) = –3,5; z (– 3, –3) = –3; z (3, –3) = 57,
значит = 3,5, а = 57.
б) Рассмотрим отрезок ВС : х = 3.
z = у 2 – 3у + 39; у [–3, 3],
= 2у – 3; 2у – 3 = 0 у = 3/2.
Находим z (3, 3/2) = , z (– 3, 3) = 15, z (3, 3) = 39.
в) На отрезке CD : у = 3, z = 2x 2 + 4x + 9; у [–3, 3],
= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z (–1, 3) = 7, z (– 3, 3) = 15, z (3, 3) = 39;
Наибольшее и наименьшее значения
Функция, ограниченная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции необходимо:
1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить в них значение функции.
2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области.
3. Сравнить все полученные значения функции: самые большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.
Пример 2 . Найти наибольшее (наименьшее) значение функции: в круге .
Решение .
точка стационарная; .
2 .Границей данной замкнутой области является окружность или , где .
Функция на границе области становится функцией одной переменной: , где . Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции.
При x=0 ; (0,-3) и (0,3)- критические точки.
Вычислим значения функции на концах отрезка
3 . Сравнивая между собой значения получаем,
В точках Aи B.
В точках C и D.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенством:
Решение . Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=1.
1. Находим стационарные точки внутри области:
; ; у = - 1/ 8 ; х = 1/ 8.
Стационарная точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение z в ней не вычисляем.
2 .Исследуем функцию на границе. Так как граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то исследуем функцию на каждом участке отдельно:
а ) на участке 0A: y=0- уравнение 0A, тогда ; из уравнения видно, что функция возрастает на 0A от 0 до 1. Значит .
б ) на участке 0B: x=0 - уравнение 0B, тогда ; –6y+1=0; - критическая точка.
в ) на прямой x+y = 1: y=1-x, тогда получим функцию
Вычислим значение функции z в точке B(0,1).
3 .Сравнивая числа получаем, что
На прямой AB.
В точке B.
Тесты для самоконтроля знаний.
1 . Экстремум функции - это
а) ее производные первого порядка
б) ее уравнение
в) ее график
г) ее максимум или минимум
2. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться:
а) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка больше нуля
б) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка меньше нуля
в) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
г) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка равны нулю
3. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений:
а) в стационарных точках
б) или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области
в) в точках, лежащих на границе области
г) во всех точках
4. Стационарными точками для функции нескольких переменных называются точки:
а) в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
б) в которых все частные производные первого порядка больше нуля
в) в которых все частные производные первого порядка равны нулю
г) в которых все частные производные первого порядка меньше нуля
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке . Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при =a или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :
1) найти критические точки функции на интервале (a,b);
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечания:
1. Если функция y=f(x) на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.
2. Если функция y=f(x) на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.
60. Комплексные числа. Формулы Муавра.
Комплексным числом
назыв. выражение вида z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i – так назыв. мнимая единица, . Если x=0, то число 0+iy=iy назыв. числом мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действит. чисел явл. подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. . Число х назыв. действительной частью z, . Два комплексных числа и называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число Z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа z=x+iy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M(x,y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, т.к. на ней лежат действительные числа z = x + 0i = x. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z = 0 + iy. Комплексное число Z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора r=OM=(x,y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положит. Направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа Z=0 не определен. Аргумент комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (), т.е. - (иногда в кач-ве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку (0; )).
Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Действия над комплексными числами
Сложение. Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Вычитание. Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1. Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Умножение. Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Отсюда, в частности, и следует: . Если числа заданы в тригонометрической форме: .
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула Муавра (если есть n множителей и все они одинаковые): .
Похожие статьи