Понятие Мерности в аспекте пространственно-временного континуума Мы с вами уже имеем понятие о таких аспектах, как Мерность Сознания и Мерность Пространства. Пришел черед разобраться в том, как понятие Мерности стыкуется с понятием времени. С точки зрения времени наше

R всех действительных чисел, 2) множество всех точек интервала (0, 1); 3) множество всех иррациональных чисел из этого интервала, 4) множество всех точек пространства R n , где п- натуральное; 5) множество всех трансцендентных чисел; 6) множество всех непрерывных функций действительного переменного К. м. нельзя представить в виде счетной суммы меньших кардинальных чисел. Для любого кардинального числа а такого, что выполняется

В частности,

Континуум-гипотеза утверждает, что К. м. является первым несчетным кардинальным числом, т. е.

Лит. : Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.

Б. А. Ефимов.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "КОНТИНУУМА МОЩНОСТЬ" в других словарях:

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo главное обстоятельство, стержень, сердцевина) характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного… … Википедия

Задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами множеств теории (См. Множеств теория) следующее утверждение, называемое континуум гипотезой (К. г.): мощность Континуума есть первая мощность, превосходящая мощность… …

Кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… … Математическая энциклопедия

Филос. категории, характеризующие как структуру материи, так и процесс её развития. Прерывность означает «зернистость», дискретность пространственно временного строения и состояния материи, составляющих её элементов, видов и форм… … Философская энциклопедия

- (Gödel) Курт (1906 1978) математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества, автор фундаментального открытия ограниченности аксиоматического метода и основополагающих работ в таких направлениях… …

Математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества, автор фундаментального открытия ограниченности аксиоматического метода и основополагающих работ в таких направлениях математической логики, как теория… … История Философии: Энциклопедия

Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… … Википедия

Филос. категория, характеризующая неисчерпаемость материи и движения, многообразие явлений и предметов материального мира, форм и тенденций его развития. Признавая объективное существование Б. в природе, диалектич. материализм отвергает… … Философская энциклопедия

Учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно… … Большая советская энциклопедия

Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение – с. Любое множество имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue – продолжаться).

Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.

1. Существует ли множество мощностью больше чем с?

2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?

На первый взгляд множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива

ТЕОРЕМА. Открытый единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x, y). Пусть в десятичном представлении x = 0,a 1 a 2 a 3 ..., а y = 0,b 1 b 2 b 3 ... . Образуем число z = f(x, y) = = 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону. Ясно что это отображение инъективно, т.е. если мы берем точки А = (x 1 , y 1) и B = (x 2 , y 2), такие, что А ¹ В, и определим z A = f(A), z B = f(B), то получим z A ¹ z B , т.е. две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Действительно, пусть А ¹ В. Значит x 1 ¹ x 2 или y 1 ¹ y 2 , а раз так, то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит z A ¹ z B .

Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно-однозначно.

Тем не менее, множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива

ТЕОРЕМА. Для любого множества А существует множество В большей мощности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1 в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.

Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу

где aÎА. Поставим каждой точке аÎА в соответствие функция f a (x)ÎВ и рассмотрим полученное множество

B 1 = { f a (x)ÎB | aÎA }Ì B.

Очевидно, что нами установлено взаимно однозначное отображение А « В 1 . Следовательно, | A | = | B 1 |, а значит | A | £ | B 1 |.

Покажем, что | A | ¹ | B 1 |. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В. Предположим противное, что существует биективное отображение j: А ® В, которое каждому аÎА ставит в соответствие элемент bÎВ и каждой функции из B – элемент множества A. Обозначим j(a) = f (a) (x), и рассмотрим функцию

g(x) = 1 – f (а) (x).

По свойствам элементов множества В имеем, что значение f (а) (x) равно 0 или 1, тогда это свойство выполнено и для функции g(x). Следовательно, g(x)ÎВ. Значит, по предположению, существует такая точка bÎА, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x) = f (b) (x). Возьмем х = b, тогда получим

g(b) = 1 – f (b) (b) = f (b) (b).

Отсюда f (b) (b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f (b) (x) множеству В. Поэтому, такого отображения j не существует. Значит, мощность В строго больше мощности А.

Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.

Эквивалентный способ построения множества большей мощности получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Множество всех подмножеств некоторого множества A называется булеаном и обозначается 2 A (2 A ={ C | C Í A}). Тогда m(2 A) = 2 | A | .

Множество, мощность которого равна 2 c , называется множеством мощности гиперконтинуума.

Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Определить мощности следующих множеств:

а) множество всех треугольников на плоскости, координаты вершин которых выражаются рациональными числами;

б) множество корней многочленов с целыми коэффициентами;

в) множество вещественных чисел от 0 до 1, в десятичном представлении которых 7 стоит на 3-м месте (т.е. числа вида 0.ab7cd...).

2. На числовой прямой задано неограниченное счетное множество Е. Доказать, что всегда существует вещественное число z, что сдвинув множество Е на z вправо, получим новое множество Е 1 , которое будет иметь пустое пересечение с Е.

3*. Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке имеет мощность континуума.

4. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка?

5. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке ?

6. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке ?

7. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда N имеет мощность континуума.

8. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

9. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?

Примеры решения

Рассмотрим множество Q всех рациональных точек отрезка , занумерованных произвольным образом, т.е. Q= = {r 1 , r 2 , ...}. Поставим в соответствие каждой непрерывной на функции f последовательность действительных чисел f(r 1), f(r 2), ... Так как непрерывная функция на полностью определяется своими значениями в точках множества Q, то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных функций на и частью множества всех последовательностей действительных чисел. Значит, в силу результатов задач 11–13 п. 4, мощность множества всех непрерывных функций на не больше мощности континуума. С другой стороны, она не может быть меньше мощности континуума, так как все функции, постоянные на , уже образуют множество мощности континуума. Для завершения доказательcтва остается применить теорему Кантора-Бернштейна.

Нечеткие множества. Основные понятия

Классическая теория множеств зародилась в начале XX века в трудах Кантора, а в 1965 году профессор Калифорнийского университера (Беркли) Лотфи А. Заде опубликовал работу “Нечеткие множества” ("Fuzzy Sets"), в которой он расширил классическое понятие множества и заложил основы моделирования ин-теллектуальной деятельности человека.

Во многих прикладных задачах, решаемых с помощью теории множеств, бывает сложно однозначно и четко ограничить набор элементов, принадлежащих данному множеству, т.к. возникает противоречие между формальной природой математики и привычкой человека мыслить неопределенными, расплывчатыми погятиями. (Куча камней это сколько штук? 5 слонов – это много, 10 муравьев – это мало и т.д.). Заде удалось в определенной мере преодолеть это противоречие.

Дальнейшие работы профессора Л. Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику. Уже к 1990 году по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200 - 300 человек, около 1000 – в Японии, 2000 - 3000 – в Индии и около 5000 исследователей в Китае. В последние 5 – 7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсов и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане любопытна точка зрения Л. Заде: "Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными".

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Пусть Е – универсальное множество, x – элемент E, а Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяется как множество упорядоченных пар A= {m A (х) / х} , где m A (х) – характеристическая функция, прини-мающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в про-тивном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A= {m A (х) /х}, где m A (х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M= [ 0,1] ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M= { 0,1} , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E= {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 }, M= [ 0,1] ; A – нечеткое множество, для которого m A (x 1)=0,3; m A (x 2)=0; m A (x 3)=1; m A (x 4)=0,5; m A (x 5)=0,9. Тогда A можно представить в виде:
A = { 0,3 / x 1 ; 0 / x 2 ; 1 / x 3 ; 0,5 / x 4 ; 0,9 / x 5 } или
A= 0,3/x 1 È 0/x 2 È 1/x 3 È 0,5/x 4 È 0,9/x 5 , или

Похожие статьи

Образец заявления на возврат имущественного налогового вычета

Красные в гражданской войне

Суточные сверх нормы: страховые взносы и налогообложение Командировочные налогообложение

Характеристика и совместимость женщины рак-бык Когда рак ведает река быка понимает быка