Ne nuk mund të llogarisim gjithmonë funksione antiderivative, por problemi i diferencimit mund të zgjidhet për çdo funksion. Kjo është arsyeja pse nuk ka asnjë metodë të vetme integrimi që mund të përdoret për çdo lloj llogaritjeje.

Në këtë material, ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve që lidhen me gjetjen e integralit të pacaktuar dhe do të shohim se për çfarë lloje integrandësh është e përshtatshme secila metodë.

Metoda e integrimit të drejtpërdrejtë

Metoda kryesore për llogaritjen e funksionit antiderivativ është integrimi i drejtpërdrejtë. Ky veprim bazohet në vetitë e integralit të pacaktuar dhe për llogaritjet na nevojitet një tabelë e antiderivativëve. Metoda të tjera mund të ndihmojnë vetëm sjelljen e integralit origjinal në formën tabelare.

Shembulli 1

Njehsoni bashkësinë e antiderivativëve të funksionit f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Zgjidhje

Së pari, le të ndryshojmë formën e funksionit në f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Ne e dimë se integrali i shumës së funksioneve do të jetë e barabartë me shumën nga këto integrale, do të thotë:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Ne nxjerrim koeficientin numerik pas shenjës integrale:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Për të gjetur integralin e parë, do të duhet t'i referohemi tabelës së antiderivativëve. Ne marrim prej tij vlerën ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Për të gjetur integralin e dytë, do t'ju duhet një tabelë e antiderivativëve për funksioni i fuqisë∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , si dhe rregulli ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Prandaj, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Ne morëm sa vijon:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

me C = C 1 + 3 2 C 2

Përgjigje:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Ne i kushtuam një artikull të veçantë integrimit të drejtpërdrejtë duke përdorur tabelat e antiderivativëve. Ne ju rekomandojmë që të njiheni me të.

Metoda e zëvendësimit

Kjo metodë e integrimit konsiston në shprehjen e integrandit përmes një variabli të ri të prezantuar posaçërisht për këtë qëllim. Si rezultat, duhet të marrim një formë tabelare të integralit ose thjesht një integral më pak kompleks.

Kjo metodë është shumë e dobishme kur duhet të integroni funksione me radikale ose funksionet trigonometrike.

Shembulli 2

Vlerëso integralin e pacaktuar ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Zgjidhje

Le të shtojmë edhe një variabël z = 2 x - 9 . Tani duhet të shprehim x në terma z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 "d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Marrim tabelën e antiderivativëve dhe zbulojmë se 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Tani duhet të kthehemi te ndryshorja x dhe të marrim përgjigjen:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Përgjigje:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Nëse duhet të integrojmë funksione me irracionalitet të formës x m (a + b x n) p, ku vlerat m, n, p janë numrat racionalë, atëherë është e rëndësishme të kompozoni saktë shprehjen për futjen e një ndryshoreje të re. Lexoni më shumë rreth kësaj në artikullin mbi integrimin e funksioneve irracionale.

Siç thamë më lart, metoda e zëvendësimit është e përshtatshme për t'u përdorur kur duhet të integroni një funksion trigonometrik. Për shembull, duke përdorur një zëvendësim universal, mund të reduktoni një shprehje në një formë racionale të pjesshme.

Kjo metodë shpjegon rregullin e integrimit ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Shtojmë një variabël tjetër z = k x + b. Ne marrim sa vijon:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Tani marrim shprehjet që rezultojnë dhe i shtojmë ato në integralin e specifikuar në kusht:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Nëse pranojmë C 1 k = C dhe kthehemi në ndryshoren origjinale x, atëherë marrim:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Mënyra e nënshkrimit të shenjës diferenciale

Kjo metodë bazohet në shndërrimin e integrandit në një funksion të formës f (g (x)) d (g (x)). Pas kësaj, ne kryejmë një zëvendësim duke futur një ndryshore të re z = g (x), gjejmë një antiderivativ për të dhe kthehemi në variablin origjinal.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Për të zgjidhur problemet më shpejt duke përdorur këtë metodë, mbani në dispozicion një tabelë derivatesh në formën e diferencialeve dhe një tabelë antiderivativësh për të gjetur shprehjen në të cilën do të duhet të reduktohet integrandi.

Le të analizojmë një problem në të cilin duhet të llogarisim grupin e antiderivativëve të funksionit kotangjent.

Shembulli 3

Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ c t g x d x.

Zgjidhje

Le të transformojmë shprehjen origjinale nën integral duke përdorur formulat bazë trigonometrike.

c t g x d x = cos s d x sin x

Ne shikojmë tabelën e derivateve dhe shohim se numëruesi mund të nënshtrohet nën shenjën diferenciale cos x d x = d (sin x), që do të thotë:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, d.m.th. ∫ c t g x d x = ∫ d mëkat x sin x.

Le të supozojmë se sin x = z, në këtë rast ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Sipas tabelës së antiderivativëve, ∫ d z z = ln z + C . Tani le të kthehemi te ndryshorja origjinale ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

E gjithë zgjidhja mund të shkruhet shkurtimisht si më poshtë:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = mëkat x = ln mëkat x + C

Përgjigje: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Metoda e abonimit në shenjën diferenciale përdoret shumë shpesh në praktikë, kështu që ju këshillojmë të lexoni një artikull të veçantë kushtuar asaj.

Mënyra e integrimit sipas pjesëve

Kjo metodë bazohet në transformimin e integrandit në një produkt të formës f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), pas së cilës formula ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Kjo është një metodë shumë e përshtatshme dhe e zakonshme zgjidhjeje Ndonjëherë integrimi i pjesshëm në një problem duhet të aplikohet disa herë përpara se të merret rezultatin e dëshiruar.

Le të analizojmë një problem në të cilin duhet të llogarisim grupin e antiderivativëve të arktangjentit.

Shembulli 4

Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ a r c t g (2 x) d x .

Zgjidhje

Le të supozojmë se u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, në këtë rast:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Kur llogarisim vlerën e funksionit v (x), nuk duhet të shtojmë një konstante arbitrare C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Ne llogarisim integralin që rezulton duke përdorur metodën e nënshtrimit të shenjës diferenciale.

Meqenëse ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , atëherë 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Përgjigje:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Vështirësia kryesore në përdorimin e kësaj metode është nevoja për të zgjedhur se cila pjesë të merret si diferencial dhe cila pjesë si funksion u (x). Artikulli mbi metodën e integrimit sipas pjesëve ofron disa këshilla për këtë çështje me të cilat duhet të njiheni.

Nëse na duhet të gjejmë grupin e antiderivativëve të një funksioni racional thyesor, atëherë së pari duhet të paraqesim integrandin si një shumë të thyesave të thjeshta dhe më pas të integrojmë thyesat që rezultojnë. Për më shumë informacion, shihni artikullin mbi integrimin e thyesave të thjeshta.

Nëse integrojmë një shprehje fuqie të formës sin 7 x · d x ose d x (x 2 + a 2) 8, atëherë do të përfitojmë nga formulat e përsëritjes që mund të ulin gradualisht fuqinë. Ato rrjedhin duke përdorur integrimin e përsëritur vijues sipas pjesëve. Ne ju rekomandojmë të lexoni artikullin "Integrimi duke përdorur formulat e përsëritjes.

Le të përmbledhim. Për të zgjidhur problemet, është shumë e rëndësishme të njihni metodën e integrimit të drejtpërdrejtë. Metoda të tjera (zëvendësimi, zëvendësimi, integrimi sipas pjesëve) ju lejojnë gjithashtu të thjeshtoni integralin dhe ta sillni atë në formë tabelare.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Kjo metodë bazohet në formulën e mëposhtme: (*)

Le Dhe - funksionet e x që kanë derivate të vazhdueshme dhe .

Dihet se ose ; ose .

Integrale dhe , meqenëse sipas kushtit funksionet u dhe v janë të diferencueshëm, pra të vazhdueshëm.

Formula (*) quhet formula e integrimit sipas pjesëve.

Metoda e bazuar në aplikimin e saj quhet metoda e integrimit sipas pjesëve.

Ai redukton llogaritjen në një integral tjetër: .

Zbatimi i metodës së integrimit sipas pjesëve është se ato përpiqen të paraqesin shprehjen integrale të një integrali të dhënë në formën e një produkti, ku dhe janë disa funksione të x, dhe këto funksione janë zgjedhur në mënyrë që ishte më e lehtë për t'u llogaritur sesa integrali origjinal. Kur për llogaritje gjeni dhe .

(si "v" marrim një nga antiderivativët origjinalë të gjetur nga dv, kështu që në të ardhmen kur llogaritim "v" do të heqim konstantën C në shënim).

Komentoni. Kur ndani një shprehje integrale në faktorë, duhet ta kuptoni atë dhe duhet ta përmbajë.

Fatkeqësisht, është e pamundur të jepen rregulla të përgjithshme për zbërthimin e një shprehjeje integrale në faktorët "u" dhe "dv". Një praktikë e madhe dhe e menduar mund ta mësojë këtë.

Me gjithë këtë, duhet pasur parasysh se ishte më i thjeshtë se integrali origjinal.

Shembulli 6.6.22.

Ndonjëherë, për të marrë rezultatin përfundimtar, rregulli i integrimit sipas pjesëve zbatohet disa herë radhazi.

Metoda e integrimit sipas pjesëve, natyrisht, nuk është e përshtatshme për t'u përdorur çdo herë, dhe aftësia për ta përdorur varet nga përvoja.

Gjatë llogaritjes së integraleve, është e rëndësishme të përcaktohet saktë se cila metodë e integrimit duhet të përdoret (si në shembullin e mëparshëm, zëvendësimi trigonometrik çon në qëllimin më shpejt).

Le të shqyrtojmë integralet më të zakonshme, të cilat llogariten me integrim sipas pjesëve.

1.Integrale të formës :

ku është një polinom numër i plotë (në lidhje me x); a është një numër konstant.

Nëse nën shenjën integrale ka një prodhim të trigonometrike ose funksioni eksponencial algjebrik, atëherë "u" zakonisht merret si një funksion algjebrik.

Shembulli 6.6.23.

Vini re se një ndarje tjetër në faktorë: nuk çon te qëllimi.

Është vërtetuar
.

Le të marrim një integral më kompleks.

2.Integrale të formës :

ku është një polinom.

Nëse nën shenjën integrale ka një produkt të logaritmit të një funksioni ose një funksioni trigonometrik të anasjelltë dhe një algjebrik, atëherë funksionet duhet të merren si "u".

Shembulli 6.6.23.

3.Integralet e formës:

Këtu mund të përdorni cilindo nga 2 ndarjet e mundshme të shprehjes integrale në faktorë: për "u" mund të merrni të dyja, dhe .

Për më tepër, llogaritja e integraleve të tillë duke përdorur metodën e integrimit sipas pjesëve çon në integralin origjinal, domethënë, merret një ekuacion në lidhje me integralin e dëshiruar.

Shembulli 6.6.24.Llogarit .

.

Gjatë integrimit, shpesh është e nevojshme të zbatohet në mënyrë të njëpasnjëshme metoda e zëvendësimit dhe metoda e integrimit sipas pjesëve.

Shembulli 6.6.25.

Integrimi i disa funksioneve që përmbajnë një trinom kuadratik

1)

.

dhe këto janë integrale të tabelës.

2) koeficientët e numrave realë

në numërues zgjedhim derivatin e emëruesit.

a,b,c – numra realë

A) ; atëherë kemi:

b) . Në këtë rast, ka kuptim të merret parasysh vetëm kur diskriminuesi trinom pozitive:

Tani kemi:

Komentoni. Në praktikë, ata zakonisht nuk përdorin rezultate të gatshme, por preferojnë të kryejnë llogaritje të ngjashme përsëri.

Shembull.

4)

Le të transformojmë numëruesin në mënyrë që të nxjerrim derivatin prej tij trinomi kuadratik:

Për shkak të faktit se në praktikë nuk ekziston një metodë e përgjithshme e përshtatshme për llogaritjen e integraleve të pacaktuara, është e nevojshme, së bashku me metodat e veçanta të integrimit (shih leksionin e mëparshëm), të shqyrtohen edhe metodat për integrimin e disa klasave të veçanta të funksioneve, integralet e të cilat hasen shpesh në praktikë.

Klasa më e rëndësishme midis tyre është klasa e funksioneve racionale.

“Integrimi funksionet racionale thyesore»

Integrimi i një thyese të duhur racionale bazohet në zbërthimin e një thyese racionale në një shumë të thyesave elementare.

Thyesat elementare (më të thjeshta) dhe integrimi i tyre.

Përkufizimi. Thyesat e formës: ; (1)

(2), ku

(domethënë rrënjët e trinomit janë komplekse) quhen elementare.

Le të shqyrtojmë integrimin e thyesave elementare

2)

(ku le).

Le të llogarisim integralin

(*)

Integrali i fundit llogaritet duke përdorur një formulë të përsëritjes.

Ndonjëherë integrimi sipas pjesëve na lejon të marrim një marrëdhënie midis një integrali të pacaktuar që përmban shkallën e një funksioni dhe një integrali të ngjashëm, por me një shkallë më të vogël të të njëjtit funksion. Marrëdhënie të tilla quhen formula të përsëritura.

Le të shënojmë me .

Ne kemi:

Në integralin e fundit vendosim:

Kjo është arsyeja pse

ku

Kështu, kemi arritur në një formulë të përsëritur: zbatimi i përsëritur i së cilës përfundimisht çon në një integral "tabelor":

Pastaj në vend të "t" dhe "k" ne zëvendësojmë vlerat e tyre.

Shembulli 6.6.26.

(sipas formulës së përsëritjes).=

.

Një thyesë racionale është një funksion i përfaqësuar në formë ; ku dhe janë polinome me koeficientë realë.

Një thyesë racionale quhet e duhur nëse shkalla e numëruesit është më e vogël se shkalla e emëruesit.

Çdo thyesë e duhur racionale mund të paraqitet si shuma e një numri të kufizuar thyesash elementare.

Zbërthimi i një thyese të duhur në ato elementare përcaktohet nga teorema e mëposhtme, të cilën do ta shqyrtojmë pa prova.

Teorema . Nëse thyesa është e saktë dhe , (ku trinomi nuk ka rrënjë reale), atëherë identiteti qëndron:

(Unë)

Vini re se të gjithë rrënjë e vërtetë, për shembull a, shumësia " " e polinomit në këtë zgjerim korrespondon me shumën e fraksioneve elementare të formës (1), dhe çdo çift të rrënjëve komplekse të konjuguara dhe (të tilla që ) shumësinë " " - shumën e elementeve thyesat e formës (2).

Për të kryer zgjerimin (I), duhet të mësoni se si të përcaktoni koeficientët .

ekzistojnë mënyra të ndryshme vendndodhjen e tyre. Do të shikojmë metodën e koeficientëve të pacaktuar dhe metodën e vlerave të pjesshme.

Le të jenë funksione të diferencueshme U(x) dhe V(x). Atëherë d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Prandaj U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Duke llogaritur integralin e të dy anëve të barazisë së fundit, duke marrë parasysh faktin se ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, fitojmë relacionin

Quhet formula e integrimit sipas pjesëve. Kuptohet në kuptimin që grupi i antiderivativëve në anën e majtë përkon me grupin e antiderivativëve të marrë nga ana e djathtë.

Zbatimi i metodës së integrimit sipas pjesëve

Për shkak të veçorive të gjetjes së sasive të caktuara, formula e integrimit sipas pjesëve përdoret shumë shpesh në problemet e mëposhtme:

1. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Formula për gjetjen pritje matematikore dhe dispersioni i vazhdueshëm ndryshore e rastësishme përfshin dy faktorë: një funksion polinom të x dhe densitetin e shpërndarjes f(x).
2. Zgjerimi i serisë Furier. Gjatë zbërthimit është e nevojshme të përcaktohen koeficientët, të cilët gjenden duke integruar produktin e funksionit f(x) dhe funksionit trigonometrik cos(x) ose sin(x).

Zbërthimet tipike sipas pjesëve

Kur përdorni formulën e integrimit sipas pjesëve, duhet të zgjidhni me sukses U dhe dV në mënyrë që integrali i marrë në anën e djathtë të formulës të jetë më i lehtë për t'u gjetur. Le të vendosim U=e x, dV=xdx në shembullin e parë. Atëherë dU=e x dx , dhe Nuk ka gjasa që integrali ∫ x 2 e x dx të mund të konsiderohet më i thjeshtë se ai origjinal.
Ndonjëherë është e nevojshme të zbatohet formula e integrimit sipas pjesëve disa herë, për shembull, kur llogaritet integrali ∫ x 2 sin(x)dx.

Integralet ∫ e ax cos(bx)dx dhe ∫ e ax sin(bx)dx quhen ciklike dhe llogariten duke përdorur formulën e integrimit sipas pjesëve dy herë.

Shembulli nr. 1. Njehsoni ∫ xe x dx.
Le të vendosim U=x, dV=e x dx. Atëherë dU=dx , V=e x . Prandaj ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

Shembulli nr. 2. Njehsoni ∫ xcos(x)dx .
Supozojmë U=x, dV=cos(x)dx. Atëherë dU=dx , V=sin(x) dhe ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Shembulli nr. 3. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Zgjidhja:

Përgjigje: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

Është paraqitur një metodë për integrimin e integralit të pacaktuar sipas pjesëve. Janë dhënë shembuj të integraleve të llogaritur me këtë metodë. Diskutohen shembuj zgjidhjesh.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Metodat për llogaritjen e integraleve të pacaktuara
Tabela e integraleve të pacaktuara
Funksionet elementare themelore dhe vetitë e tyre

Formula e integrimit sipas pjesëve duket si kjo:
.

Metoda e integrimit sipas pjesëve konsiston në zbatimin e kësaj formule. Në aplikim praktik Vlen të përmendet se u dhe v janë funksione të ndryshores së integrimit. Lëreni variablin e integrimit të caktohet si x (simboli pas shenjës diferenciale d në fund të shënimit integral). Atëherë u dhe v janë funksione të x: u(x) dhe v(x) .
Pastaj
, .
Dhe formula për integrimin sipas pjesëve merr formën:
.

Kjo do të thotë, funksioni integrand duhet të përbëhet nga produkti i dy funksioneve:
,
njërën prej të cilave e shënojmë si u: g(x) = u, dhe për tjetrën duhet llogaritur integrali (më saktë duhet gjetur antiderivati):
, atëherë dv = f(x) dx .

Në disa raste f(x) = 1 . Domethënë në integral
,
mund të vendosim g(x) = u, x = v.

Përmbledhje

Pra, në këtë metodë, formula e integrimit sipas pjesëve duhet të mbahet mend dhe të zbatohet në dy forma:
;
.

Integrale të llogaritura me integrim sipas pjesëve

Integrale që përmbajnë logaritme dhe funksione të anasjellta trigonometrike (hiperbolike).

Integralet që përmbajnë logaritme dhe funksione të anasjellta trigonometrike ose hiperbolike shpesh integrohen nga pjesë. Në këtë rast, pjesa që përmban logaritmin ose funksionet e anasjellta trigonometrike (hiperbolike) shënohet me u, pjesa e mbetur me dv.

Këtu janë shembuj të integraleve të tillë, të cilët llogariten me metodën e integrimit sipas pjesëve:
, , , , , , .

Integrale që përmbajnë produktin e një polinomi dhe sin x, cos x ose e x

Duke përdorur formulën e integrimit sipas pjesëve, gjenden integralet e formës:
, , ,
ku P(x) është një polinom në x. Kur integrohet, polinomi P(x) shënohet me u dhe e ax dx, cos sëpatë dx ose mëkat sëpatë dx- nëpërmjet dv.

Këtu janë shembuj të integraleve të tillë:
, , .

Shembuj të llogaritjes së integraleve duke përdorur metodën e integrimit sipas pjesëve

Shembuj të integraleve që përmbajnë logaritme dhe funksione të anasjellta trigonometrike

Shembull

Llogarit integralin:

Zgjidhje e detajuar

Këtu integrandi përmban një logaritëm. Bërja e zëvendësimeve
u = në x,
dv = x 2 dx.
Pastaj
,
.

Ne llogarisim integralin e mbetur:
.
Pastaj
.
Në fund të llogaritjeve, është e nevojshme të shtohet konstantja C, pasi integrali i pacaktuar është bashkësia e të gjithë antiderivativëve. Mund të shtohet edhe në llogaritjet e ndërmjetme, por kjo vetëm do të rrëmbejë llogaritjet.

Zgjidhje më e shkurtër

Ju mund ta paraqisni zgjidhjen në një version më të shkurtër. Për ta bërë këtë, nuk keni nevojë të bëni zëvendësime me u dhe v, por mund të gruponi faktorët dhe të aplikoni formulën e integrimit sipas pjesëve në formën e dytë.

.

Shembuj të tjerë

Shembuj të integraleve që përmbajnë produktin e një polinomi dhe sin x, cos x ose ex

Shembull

Llogarit integralin:
.

Le të prezantojmë eksponentin nën shenjën diferenciale:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Le të integrohemi sipas pjesëve.
.
Ne përdorim gjithashtu metodën e integrimit sipas pjesëve.
.
.
.
Më në fund kemi.

Koncepti i integralit antiderivativ dhe i pacaktuar. Teorema mbi mbledhjen e antiderivativëve. Vetitë e integralit të pacaktuar. Tabela e integraleve.

Funksioni F(x) quhet antiderivativ për funksionin f(x) në një interval të caktuar nëse funksioni F(x) është i vazhdueshëm në këtë interval, dhe në secilin pikë e brendshme intervali vlen barazia e mëposhtme: F’(x) = f(x)

Teorema 1. Nëse një funksion F(x) ka një antiderivativ F(x) në një interval, atëherë të gjitha funksionet e formës F(x)+C do të jenë antiderivativë për të në të njëjtin interval. Në të kundërt, çdo antiderivativ Ф(x) për funksionin y = f(x) mund të përfaqësohet si Ф(x) = F(x)+C, ku F(x) është një nga funksionet antiderivative dhe C është një arbitrar. konstante.

Dëshmi:

Nga përkufizimi i një antiderivati ​​kemi F’(x) = f(x). Duke marrë parasysh që derivati ​​i konstantës është i barabartë me zero, marrim

(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). Kjo do të thotë se F(x)+C është një antiderivativ për y = f(x) nëse funksioni y = f(x) është dhënë në një interval të caktuar dhe F(x) është një nga antiderivativët e tij. , atëherë Ф (x) mund të paraqitet si

Në fakt, me përkufizimin e një antiderivativ kemi

Ф'(x) = F(x)+C dhe F'(x) = f(x).

Por dy funksione që kanë derivate të barabartë në një interval ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga një term konstant. Kjo do të thotë se Ф(x) = F(x)+C, që është ajo që duhej vërtetuar.

Përkufizimi.

Bashkësia e të gjithë antiderivativëve për funksionin y = f(x) në një interval të caktuar quhet integral i pacaktuar i këtij funksioni dhe shënohet ∫f(x)dx = F(x)+C.

Funksioni f(x) quhet integrand dhe prodhimi f(x)*dx quhet integrand.

Ata shpesh thonë: "merr integralin e pacaktuar" ose "llogarit integralin e pacaktuar", duke nënkuptuar me këtë si vijon: gjeni grupin e të gjithë antiderivativëve për integrandin,

Vetitë e integralit të pacaktuar

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Tabela e integraleve

Integrimi me zëvendësim dhe me pjesë në integralin e pacaktuar.

Metoda e integrimit me zëvendësim konsiston në prezantimin e një variabli të ri integrimi (d.m.th., zëvendësimi). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të (në rastin e një zëvendësimi "të suksesshëm"). Metodat e zakonshme nuk ka përzgjedhje të zëvendësimeve.

Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali ∫f(x)dx. Le të bëjmë zëvendësimin x =φ(t), ku φ(t) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm. Pastaj dx=φ"(t) dt dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Kjo formulë quhet edhe variablat e formulës së zëvendësimit në integralin e pacaktuar.

Mënyra e integrimit sipas pjesëve

Le të jenë u=u(x) dhe ν=v(x) funksione që kanë derivate të vazhdueshme. Atëherë d(uv)=u dv+v du.

Duke integruar këtë barazi, marrim ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu ose

∫udv =uv - ∫vdu

Formula që rezulton quhet formula e integrimit sipas pjesëve. Bën të mundur reduktimin e llogaritjes së integralit ∫udv në llogaritjen e integralit ∫vdu, i cili mund të rezultojë dukshëm më i thjeshtë se ai origjinal.

Artikuj të ngjashëm