Llogaritësi online.
Izolimi i katrorit të një binomi dhe faktorizimi i një trinomi katror.

Ky program matematikor dallon binomin katror nga trinomi katror, d.m.th. bën një transformim si:
$ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+p)^2+q $ dhe faktorizon një trinom kuadratik: $ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+n)(x+m) $

Ato. problemet përfundojnë në gjetjen e numrave $p, q$ dhe $n, m$

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e zgjidhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyre shtepie në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një trinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futet jo vetëm si një dhjetore, por edhe si një fraksion i zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të hyni dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultati: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, kur zgjidhet, fillimisht thjeshtohet shprehja e paraqitur.
Për shembull: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Shembull i një zgjidhjeje të detajuar

Izolimi i katrorit të një binomi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjetë a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\majtas( \frac(1)(2) \djathtas)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\majtas (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \djathtas)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2 \djathtas)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizimi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjeta a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\majtas(x^2+x-2 \djathtas) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \djathtas) = $$ $$ 2 \left(x \majtas(x +2 \djathtas) -1 \majtas(x +2 \djathtas ) \djathtas) = $$ $$ 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$

Vendosni

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Izolimi i katrorit të një binomi nga një trinom katror

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet si a(x+p) 2 +q, ku p dhe q janë numra realë, atëherë ata thonë se nga trinomi katror, vihet në pah katrori i binomit.

Nga trinomi 2x 2 +12x+14 nxjerrim katrorin e binomit.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Për ta bërë këtë, imagjinoni 6x si një prodhim të 2*3*x, dhe më pas shtoni dhe zbritni 3 2. Ne marrim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Se. ne nxjerr binomin katror nga trinomi katror, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet në formën a(x+n)(x+m), ku n dhe m janë numra real, atëherë thuhet se operacioni është kryer. faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Le të tregojmë me një shembull se si bëhet ky transformim.

Le të faktorizojmë trinomin kuadratik 2x 2 +4x-6.

Le të nxjerrim koeficientin a jashtë kllapave, d.m.th. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Le të transformojmë shprehjen në kllapa.
Për ta bërë këtë, imagjinoni 2x si ndryshim 3x-1x, dhe -3 si -1*3. Ne marrim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Se. ne faktorizoi trinomin kuadratik, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Vini re se faktorizimi i një trinomi kuadratik është i mundur vetëm nëse ekuacioni kuadratik që i korrespondon këtij trinomi ka rrënjë.
Ato. në rastin tonë, është e mundur të faktorizohet trinomi 2x 2 +4x-6 nëse ekuacioni kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 ka rrënjë. Në procesin e faktorizimit, konstatuam se ekuacioni 2x 2 + 4x-6 = 0 ka dy rrënjë 1 dhe -3, sepse me këto vlera, ekuacioni 2(x-1)(x+3)=0 kthehet në një barazi të vërtetë.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Janë dhënë 8 shembuj të faktorizimit të polinomeve. Ato përfshijnë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike dhe bikuadratike, shembuj të polinomeve reciproke dhe shembuj të gjetjes së rrënjëve të numrave të plotë të polinomeve të shkallës së tretë dhe të katërt.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Metodat për faktorizimin e polinomeve
Rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Zgjidhja e ekuacioneve kubike

1. Shembuj me zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik

Shembulli 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Ne nxjerrim x 2 jashtë kllapave:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rrënjët e ekuacionit:
, .

Shembulli 1.2

Faktoroni polinomin e shkallës së tretë:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Le të nxjerrim x nga kllapa:
.
Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminues i saj: .
Që nga diskriminuesi e barabartë me zero, atëherë rrënjët e ekuacionit janë shumëfish: ;
.

Nga këtu marrim faktorizimin e polinomit:
.

Shembulli 1.3

Faktoroni polinomin e shkallës së pestë:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Ne nxjerrim x 3 jashtë kllapave:
.
Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminues i saj: .
Meqenëse diskriminuesi është më i vogël se zero, rrënjët e ekuacionit janë komplekse: ;
, .

Faktorizimi i polinomit ka formën:
.

Nëse jemi të interesuar për faktorizimin me koeficientë realë, atëherë:
.

Shembuj të faktorizimit të polinomeve duke përdorur formula

Shembuj me polinome bikuadratike

Shembulli 2.1

Faktoroni polinomin bikuadratik:
x 4 + x 2 - 20.

Le të zbatojmë formulat:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Shembulli 2.2

Faktoroni polinomin që zvogëlohet në një dykuadratik:
x 8 + x 4 + 1.

Le të zbatojmë formulat:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Shembulli 2.3 me polinom të përsëritur

Faktoroni polinomin reciprok:
.

Një polinom reciprok ka shkallë tek. Prandaj ka rrënjë x = - 1 . Pjestojeni polinomin me x - (-1) = x + 1. Si rezultat marrim:
.
Le të bëjmë një zëvendësim:
, ;
;

;
.

Shembuj të faktorizimit të polinomeve me rrënjë të plota

Shembulli 3.1

Faktoroni polinomin:
.

Le të supozojmë se ekuacioni

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Pra, gjetëm tre rrënjë:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Meqenëse polinomi origjinal është i shkallës së tretë, ai nuk ka më shumë se tre rrënjë. Meqenëse gjetëm tre rrënjë, ato janë të thjeshta. Pastaj
.

Shembulli 3.2

Faktoroni polinomin:
.

Le të supozojmë se ekuacioni

ka të paktën një rrënjë e tërë. Atëherë është pjesëtues i numrit 2 (anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
-2, -1, 1, 2 .
Ne i zëvendësojmë këto vlera një nga një:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Pra, gjetëm një rrënjë:
x 1 = -1 .
Pjestojeni polinomin me x - x 1 = x - (-1) = x + 1:

Pastaj,
.

Tani duhet të zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë:
.
Nëse supozojmë se ky ekuacion ka një rrënjë numër të plotë, atëherë ai është pjesëtues i numrit 2 (anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
1, 2, -1, -2 .
Le të zëvendësojmë x = -1 :
.

Pra, ne kemi gjetur një rrënjë tjetër x 2 = -1 . Do të ishte e mundur, si në rastin e mëparshëm, të ndajmë polinomin me , por ne do të grupojmë termat:
.

Trinomi katror quhet polinom i formës sëpatë 2 +bx +c, Ku x- e ndryshueshme, a,b,c- disa numra dhe a ≠ 0.

Koeficient A thirrur koeficienti i lartë, c – anëtar i lirë trinomi katror.

Shembuj të trinomeve kuadratike:

2 x 2 + 5x+4(Këtu a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Këtu a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(Këtu a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficient b ose koeficienti c ose të dy koeficientët mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Për shembull:

5 x 2 + 3x(Këtua = 5,b = 3,c = 0, pra nuk ka vlerë për c në ekuacion).

6 x 2 - 8 (Këtua = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Këtua = 2, b = 0, c = 0)

Quhet vlera e ndryshores në të cilën zhduket polinomi rrënja e polinomit.

Për të gjetur rrënjët e një trinomi kuadratiksëpatë 2 + bx + c, duhet ta barazojmë me zero -
pra zgjidh ekuacionin kuadratiksëpatë 2 + bx + c = 0 (shih seksionin "Ekuacioni kuadratik").

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Shembull:

Le të faktorizojmë trinomin 2 x 2 + 7x - 4.

Shohim: koeficient A = 2.

Tani le të gjejmë rrënjët e trinomit. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero dhe zgjidhim ekuacionin

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Si të zgjidhni një ekuacion të tillë - shihni në seksionin "Formulat e rrënjëve ekuacioni kuadratik. Diskriminuese”. Këtu do të deklarojmë menjëherë rezultatin e llogaritjeve. Trinomi ynë ka dy rrënjë:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Le të zëvendësojmë vlerat e rrënjëve në formulën tonë, duke hequr vlerën e koeficientit nga kllapat A, dhe marrim:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Rezultati i marrë mund të shkruhet ndryshe duke shumëzuar koeficientin 2 me binomin x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Problemi është zgjidhur: trinomi faktorizohet.

Një zgjerim i tillë mund të merret për çdo trinom kuadratik që ka rrënjë.

KUJDES!

Nëse diskriminuesi i një trinomi kuadratik është zero, atëherë ky trinom ka një rrënjë, por kur zbërthehet trinomi, kjo rrënjë merret si vlerë e dy rrënjëve - domethënë si vlerë e njëjtë. x 1 dhex 2 .

Për shembull, një trinom ka një rrënjë të barabartë me 3. Pastaj x 1 = 3, x 2 = 3.

Në këtë mësim do të mësojmë se si të faktorizojmë trinomet kuadratike në faktorë linearë. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë teoremën e Vietës dhe të kundërtën e saj. Kjo aftësi do të na ndihmojë të zgjerojmë shpejt dhe me lehtësi trinomet kuadratike në faktorë linearë, dhe gjithashtu do të thjeshtojë reduktimin e thyesave që përbëhen nga shprehje.

Pra, le të kthehemi te ekuacioni kuadratik, ku .

Ajo që kemi në anën e majtë quhet trinom kuadratik.

Teorema është e vërtetë: Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik, atëherë identiteti qëndron

Ku është koeficienti kryesor, janë rrënjët e ekuacionit.

Pra, kemi një ekuacion kuadratik - një trinom kuadratik, ku rrënjët e ekuacionit kuadratik quhen edhe rrënjët e trinomit kuadratik. Prandaj, nëse kemi rrënjët e një trinomi katror, atëherë ky trinom mund të zbërthehet në faktorë linearë.

Dëshmi:

Vërtetimi i këtij fakti kryhet duke përdorur teoremën e Vieta, të cilën e diskutuam në mësimet e mëparshme.

Le të kujtojmë se çfarë na thotë teorema e Vietës:

Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik për të cilin , atëherë .

Pohimi i mëposhtëm rrjedh nga kjo teoremë:

Shohim që, sipas teoremës së Vietës, d.m.th., duke i zëvendësuar këto vlera në formulën e mësipërme, marrim shprehjen e mëposhtme

Q.E.D.

Kujtojmë që vërtetuam teoremën se nëse janë rrënjët e një trinomi katror, atëherë zgjerimi është i vlefshëm.

Tani le të kujtojmë një shembull të një ekuacioni kuadratik, të cilit i kemi zgjedhur rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s. Nga ky fakt mund të marrim barazinë e mëposhtme falë teoremës së provuar:

Tani le të kontrollojmë korrektësinë e këtij fakti thjesht duke hapur kllapat:

Shohim që faktorizuam saktë dhe çdo trinom, nëse ka rrënjë, mund të faktorizohet sipas kësaj teoreme në faktorë linearë sipas formulës.

Sidoqoftë, le të kontrollojmë nëse një faktorizim i tillë është i mundur për ndonjë ekuacion:

Merrni, për shembull, ekuacionin . Së pari, le të kontrollojmë shenjën diskriminuese

Dhe kujtojmë se për të përmbushur teoremën që mësuam, D duhet të jetë më i madh se 0, kështu që në këtë rast faktorizimi sipas teoremës që mësuam është i pamundur.

Prandaj, ne formulojmë një teoremë të re: nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë ai nuk mund të zbërthehet në faktorë linearë.

Pra, ne kemi parë teoremën e Vietës, mundësinë e zbërthimit të një trinomi kuadratik në faktorë linearë, dhe tani do të zgjidhim disa probleme.

Detyra nr. 1

Në këtë grup ne do ta zgjidhim problemin në të kundërt me atë të shtruar. Ne kishim një ekuacion dhe gjetëm rrënjët e tij duke e faktorizuar atë. Këtu do të bëjmë të kundërtën. Le të themi se kemi rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Problemi i anasjelltë është ky: shkruani një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij.

Ka 2 mënyra për të zgjidhur këtë problem.

Meqenëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë është një ekuacion kuadratik, rrënjëve të të cilit janë dhënë numra. Tani le të hapim kllapat dhe të kontrollojmë:

Kjo ishte mënyra e parë me të cilën krijuam një ekuacion kuadratik rrënjë të dhëna, e cila nuk ka rrënjë të tjera, pasi çdo ekuacion kuadratik ka më së shumti dy rrënjë.

Kjo metodë përfshin përdorimin e teoremës së kundërt Vieta.

Nëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë ato plotësojnë kushtin që .

Për ekuacionin kuadratik të reduktuar , , dmth në këtë rast, dhe .

Kështu, ne kemi krijuar një ekuacion kuadratik që ka rrënjët e dhëna.

Detyra nr. 2

Është e nevojshme të zvogëlohet fraksioni.

Ne kemi një trinom në numërues dhe një trinom në emërues, dhe trinomët mund ose nuk mund të faktorizohen. Nëse faktorizohen edhe numëruesi edhe emëruesi, atëherë midis tyre mund të ketë faktorë të barabartë që mund të reduktohen.

Para së gjithash, duhet të faktorizoni numëruesin.

Së pari, duhet të kontrolloni nëse ky ekuacion mund të faktorizohet, le të gjejmë diskriminuesin. Meqenëse , shenja varet nga produkti (duhet të jetë më pak se 0), në në këtë shembull, d.m.th. ekuacioni i dhënë ka rrënjë.

Për të zgjidhur, ne përdorim teoremën e Vieta:

Në këtë rast, duke qenë se kemi të bëjmë me rrënjë, do të jetë mjaft e vështirë të zgjedhim thjesht rrënjët. Por ne shohim që koeficientët janë të balancuar, domethënë, nëse supozojmë se , dhe e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacion, marrim sistemin e mëposhtëm: , d.m.th. 5-5=0. Kështu, ne kemi zgjedhur një nga rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Ne do të kërkojmë rrënjën e dytë duke zëvendësuar atë që tashmë dihet në sistemin e ekuacioneve, për shembull, , d.m.th. .

Kështu, ne kemi gjetur të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik dhe mund t'i zëvendësojmë vlerat e tyre në ekuacionin origjinal për ta faktorizuar atë:

Le të kujtojmë problemin origjinal, na duhej të reduktonim thyesën .

Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin duke zëvendësuar .

Është e nevojshme të mos harrohet se në këtë rast emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me 0, d.m.th., .

Nëse plotësohen këto kushte, atëherë ne kemi reduktuar thyesën origjinale në formën .

Problemi nr. 3 (detyrë me një parametër)

Në cilat vlera të parametrit është shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik

Nëse rrënjët ekuacioni i dhënë ekzistojnë, atëherë , pyetja: kur.

Kjo është një nga mënyrat më themelore për të thjeshtuar një shprehje. Për të zbatuar këtë metodë, le të kujtojmë ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me mbledhjen (mos kini frikë nga këto fjalë, ju patjetër e dini këtë ligj, thjesht mund ta keni harruar emrin e tij).

Ligji thotë: për të shumëzuar shumën e dy numrave me një numër të tretë, duhet të shumëzoni çdo term me këtë numër dhe të shtoni rezultatet që rezultojnë, me fjalë të tjera, .

Ju gjithashtu mund të bëni operacionin e kundërt, kjo është pikërisht ajo operacion i kundërt kjo është ajo që na intereson. Siç mund të shihet nga mostra, shumëzues i përbashkët ah, mund të hiqet nga kllapa.

Një veprim i ngjashëm mund të bëhet si me variabla, si dhe, për shembull, dhe me numra: .

Po, ky është një shembull shumë elementar, ashtu si shembulli i dhënë më parë, me zbërthimin e një numri, sepse të gjithë e dinë që numrat janë të pjesëtueshëm me, por çfarë nëse merrni një shprehje më të ndërlikuar:

Si të zbuloni se me çfarë pjestohet një numër për shembull? Jo, kushdo mund ta bëjë këtë me një makinë llogaritëse, por pa të është e vështirë? Dhe për këtë ka shenja të pjesëtueshmërisë, këto shenja me të vërtetë ia vlen të njihen, ato do t'ju ndihmojnë të kuptoni shpejt nëse faktori i përbashkët mund të hiqet nga kllapa.

Shenjat e pjesëtueshmërisë

Nuk është aq e vështirë t'i mbash mend; ka shumë të ngjarë, shumica prej tyre ishin tashmë të njohur për ju, dhe disa do të jenë një zbulim i ri i dobishëm, më shumë detaje në tabelë:

Shënim: Tabelës i mungon testi i pjesëtueshmërisë me 4. Nëse dy shifrat e fundit pjesëtohen me 4, atëherë i gjithë numri pjesëtohet me 4.

Epo, si ju pëlqen shenja? Unë ju këshilloj ta mbani mend!

Epo, të kthehemi te shprehja, mbase mund ta nxjerrë nga kllapa dhe mjafton? Jo, matematikanët priren të thjeshtojnë, kështu që në maksimum, duro GJITHÇKA qe durohet!

Dhe kështu, gjithçka është e qartë me lojën, por ç'të themi për pjesën numerike të shprehjes? Të dy numrat janë tek, kështu që nuk mund të pjesëtosh me

Ju mund të përdorni testin e pjesëtueshmërisë: shuma e shifrave, dhe, që përbëjnë numrin është e barabartë, dhe e pjesëtueshme me, do të thotë e pjesëtueshme me.

Duke e ditur këtë, ju mund të ndaheni me siguri në një kolonë, dhe si rezultat i ndarjes me marrim (shenjat e pjesëtueshmërisë janë të dobishme!). Kështu, ne mund ta nxjerrim numrin nga kllapa, ashtu si y, dhe si rezultat kemi:

Për t'u siguruar që gjithçka është zgjeruar saktë, mund të kontrolloni zgjerimin duke shumëzuar!

Faktori i përbashkët mund të shprehet edhe në terma të fuqisë. Këtu, për shembull, a e shihni shumëzuesin e përbashkët?

Të gjithë anëtarët e kësaj shprehjeje kanë xes - i nxjerrim, të gjithë ndahen nga - i nxjerrim përsëri, shiko çfarë ndodhi: .

2. Formulat e shkurtuara të shumëzimit

Formulat e shkurtuara të shumëzimit janë përmendur tashmë në teori; nëse keni vështirësi të mbani mend se cilat janë ato, atëherë duhet të rifreskoni kujtesën tuaj.

Epo, nëse e konsideroni veten shumë të zgjuar dhe jeni shumë dembel për të lexuar një re të tillë informacioni, atëherë thjesht lexoni, shikoni formulat dhe merrni menjëherë shembujt.

Thelbi i këtij dekompozimi është të vëreni në shprehjen para jush një lloj një formulë të caktuar, zbatojeni dhe kështu merrni produktin e diçkaje dhe diçkaje, kjo është e gjitha zbërthimi. Më poshtë janë formulat:

Tani provoni, faktorizoni shprehjet e mëposhtme duke përdorur formulat e mësipërme:

Ja çfarë duhet të kishte ndodhur:

Siç e keni vënë re, këto formula janë një mënyrë shumë efektive e faktorizimit; nuk është gjithmonë e përshtatshme, por mund të jetë shumë e dobishme!

3. Metoda e grupimit ose grupimit

Këtu është një shembull tjetër për ju:

Pra, çfarë do të bëni me të? Duket se diçka është e ndarë në dhe në, dhe diçka në dhe në

Por ju nuk mund të ndani gjithçka së bashku në një gjë, mirë këtu nuk ka asnjë faktor të përbashkët, sido që të dukesh, çfarë duhet ta lesh kështu, pa e faktorizuar?

Këtu ju duhet të tregoni zgjuarsi, dhe emri i kësaj zgjuarsie është grupimi!

Përdoret pikërisht kur pjesëtuesit e përbashkët Jo të gjithë anëtarët e kanë atë. Për grupimin ju nevojitet gjeni grupe termash që kanë faktorë të përbashkët dhe riorganizoni ato në mënyrë që të mund të merret i njëjti faktor nga secili grup.

Sigurisht, nuk është e nevojshme t'i riorganizoni ato, por kjo jep qartësi; për qartësi, mund të vendosni pjesë individuale të shprehjes në kllapa; nuk është e ndaluar t'i vendosni ato sa të doni, gjëja kryesore është të mos ngatërroni shenjat.

A nuk është shumë e qartë e gjithë kjo? Më lejoni të shpjegoj me një shembull:

Në një polinom - vendosim termin - pas termit - marrim

ne grupojmë dy termat e parë së bashku në një kllapa të veçantë dhe gjithashtu grupojmë termat e tretë dhe të katërt, duke hequr shenjën minus nga kllapa, marrim:

Tani shikojmë veçmas secilën nga dy "grumbullat" në të cilat kemi ndarë shprehjen me kllapa.

Truku është ta zbërthejmë atë në grumbuj nga të cilët mund të hiqet faktori më i madh, ose, si në këtë shembull, të përpiqemi të grupojmë termat në mënyrë që pasi të kemi hequr faktorët nga grumbujt nga kllapat, të kemi ende të njëjtat shprehje brenda kllapave.

Nga të dy kllapat nxjerrim faktorët e përbashkët të termave, nga kllapa e parë, dhe nga e dyta, marrim:

Por kjo nuk është dekompozim!

Pgomar dekompozimi duhet të mbetet vetëm shumëzim, por tani për tani polinomi ynë është thjesht i ndarë në dy pjesë...

POR! Ky polinom ka një faktor të përbashkët. Kjo

përtej kllapave dhe marrim produktin përfundimtar

Bingo! Siç mund ta shihni, tashmë ka një produkt këtu dhe jashtë kllapave nuk ka mbledhje ose zbritje, zbërthimi është i plotë, sepse Nuk kemi çfarë të nxjerrim më nga kllapat.

Mund të duket si një mrekulli që pas nxjerrjes së faktorëve nga kllapa, na mbetën me shprehje identike në kllapa, të cilat i vendosëm përsëri jashtë kllapave.

Dhe kjo nuk është aspak një mrekulli, fakti është se shembujt në tekstet shkollore dhe në Provimin e Bashkuar të Shtetit janë bërë posaçërisht në mënyrë që shumica e shprehjeve në detyra për thjeshtim ose faktorizimi me qasjen e duhur ndaj tyre, ato thjeshtohen lehtësisht dhe shemben ashpër si një çadër kur shtypni një buton, prandaj kërkoni pikërisht atë buton në çdo shprehje.

U hutova, çfarë po bëjmë me thjeshtimin? Polinomi i ndërlikuar mori një formë më të thjeshtë: .

Dakord, nuk është aq i rëndë sa ishte?

4. Zgjedhja e një katrori të plotë.

Ndonjëherë, për të aplikuar formula të shkurtuara të shumëzimit (përsëritni temën), është e nevojshme të transformoni një polinom ekzistues, duke paraqitur një nga termat e tij si shumë ose diferencë të dy termave.

Në cilin rast duhet ta bëni këtë, do të mësoni nga shembulli:

Një polinom në këtë formë nuk mund të zgjerohet duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, kështu që ai duhet të transformohet. Ndoshta në fillim nuk do të jetë e qartë për ju se cili term duhet të ndahet në cilin term, por me kalimin e kohës do të mësoni të shihni menjëherë formulat për shumëzimin e shkurtuar, edhe nëse ato nuk janë plotësisht të pranishme, dhe shpejt do të përcaktoni se çfarë mungon këtu përpara formulë e plotë, ndërkohë, studio, student, ose më mirë nxënës.

Për formulën e plotë për diferencën në katror, këtu ju nevojitet në vend të kësaj. Le të imagjinojmë termin e tretë si një ndryshim, marrim: Për shprehjen në kllapa, mund të aplikoni formulën për katrorin e diferencës (të mos ngatërrohet me ndryshimin e katrorëve!!!), kemi: , për këtë shprehje mund të zbatojmë formulën e ndryshimit të katrorëve (të mos ngatërrohet me diferencën në katror!!!), duke imagjinuar si, marrim: .

Një shprehje e faktorizuar nuk duket gjithmonë më e thjeshtë dhe më e vogël se sa ishte përpara zgjerimit, por në këtë formë ajo bëhet më fleksibël, në kuptimin që nuk duhet të shqetësoheni për ndryshimin e shenjave dhe marrëzitë e tjera matematikore. Epo, që ju të vendosni vetë, shprehjet e mëposhtme duhet të faktorizohen.

Shembuj:

Përgjigjet:

5. Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Për zbërthimin e një trinomi kuadratik në faktorë, shihni shembuj të mëtejshëm të zbërthimit.

Shembuj të 5 metodave për faktorizimin e një polinomi

1. Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave. Shembuj.

A ju kujtohet se çfarë është ligji shpërndarës? Ky është rregulli:

Shembull:

Faktoroni polinomin.

Zgjidhja:

Një shembull tjetër:

Faktorojeni atë.

Zgjidhja:

Nëse i gjithë termi hiqet nga kllapat, një njësi mbetet në kllapa!

2. Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shembuj.

Formulat që përdorim më shpesh janë ndryshimi i katrorëve, ndryshimi i kubeve dhe shuma e kubeve. Ju kujtohen këto formula? Nëse jo, përsërisni temën urgjentisht!

Shembull:

Faktoroni shprehjen.

Zgjidhja:

Në këtë shprehje është e lehtë të zbulohet ndryshimi i kubeve:

Shembull:

Zgjidhja:

3. Metoda e grupimit. Shembuj

Ndonjëherë mund të ndërroni termat në mënyrë që i njëjti faktor të mund të nxirret nga çdo çift termash ngjitur. Ky faktor i përbashkët mund të hiqet nga kllapa dhe polinomi origjinal do të kthehet në një produkt.

Shembull:

Faktoroni polinomin.

Zgjidhja:

Le t'i grupojmë termat si më poshtë:
.

Në grupin e parë nxjerrim faktorin e përbashkët jashtë kllapave, dhe në të dytin - :
.

Tani faktori i përbashkët mund të hiqet edhe nga kllapat:
.

4. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë. Shembuj.

Nëse polinomi mund të paraqitet si diferencë e katrorëve të dy shprehjeve, mbetet vetëm të zbatohet formula e shkurtuar e shumëzimit (diferenca e katrorëve).

Shembull:

Faktoroni polinomin.

Zgjidhja:Shembull:

\fillim(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\nënbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(katror\ shuma\ ((\majtas (x+3 \djathtas))^(2)))-9-7=((\majtas(x+3 \djathtas))^(2))-16= \\
=\ majtas (x + 3 + 4 \ djathtas) \ majtas (x + 3-4 \ djathtas) = \ majtas (x + 7 \ djathtas) \ majtas (x-1 \ djathtas) \\
\fund (arresë)

Faktoroni polinomin.

Zgjidhja:

\fillim(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\nënbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(katror\ diferencat((\majtas(((x)^(2))-2 \djathtas))^(2))-4-1=((\majtas(((x)^ (2))-2 \djathtas))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \djathtas)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \djathtas) \\
\fund (arresë)

5. Faktorizimi i një trinomi kuadratik. Shembull.

Një trinom katror është një polinom i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Vlerat e ndryshores që bëjnë të zhduket trinomi kuadratik quhen rrënjët e trinomit. Prandaj, rrënjët e një trinomi janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik.

Teorema.

Shembull:

Të faktorizojmë trinomin kuadratik: .

Së pari, le të zgjidhim ekuacionin kuadratik: Tani mund të shkruajmë faktorizimin e këtij trinomi kuadratik: