Studimi i algjebrës së klasës së 10-të duke përdorur tekstin shkollor nga A.G. Mordkovich dhe P.V. Semenov, nxënësit së pari kanë hasur në funksionin e pjesës së plotë të numrit y = [x]. Disa ishin të interesuar për të, por kishte shumë pak informacion teorik, madje edhe detyra që përmbanin një pjesë të plotë të një numri. Për të mbështetur interesin e fëmijëve për këtë temë, lindi ideja e krijimit të këtij manuali.
Zbatimi i programit të lëndës është projektuar për gjysmën e parë të klasës së 10-të për nxënësit e fizikës dhe matematikës.
Qëllimi i lëndës: të zgjerojë njohuritë e studentëve për funksionet matematikore dhe të zhvillojë aftësinë për të përdorur njohuritë për funksionet gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive të shkallëve të ndryshme të kompleksitetit. Teksti i paraqitur përmban informacione teorike të natyrës referuese. Ky është informacion për funksionin e pjesës së plotë të numrit y = [x] dhe funksionin e pjesës thyesore të numrit y = (x), grafikët e tyre. Shpjegohen shndërrimet e grafikëve që përmbajnë një pjesë të plotë të një numri. Shqyrtohen zgjidhjet e ekuacioneve dhe pabarazive më të thjeshta që përmbajnë një numër të plotë ose pjesë thyesore të një numri. Si dhe metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, thyesore - racionale dhe pabarazitë, sistemet e ekuacioneve që përmbajnë një numër të plotë ose pjesë thyesore të një numri.
Manuali përmban detyra për zgjidhje të pavarur.
Manuali përfshin pikat e mëposhtme:
Prezantimi.
§1. Hyrje në funksionet y = [x] dhe y = (x).
§2. Ekuacionet që përmbajnë një pjesë thyesore ose numër të plotë të një numri.
2.1 Ekuacionet më të thjeshta.
2.2 Zgjidhja e ekuacioneve të formës = g (x).
2.3 Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve.
2.4 Zgjidhja e ekuacioneve duke futur një ndryshore të re.
2.5 Sistemet e ekuacioneve.
§3. Konvertimi i grafikëve të funksioneve që përmbajnë një pjesë të plotë të një numri.
3.1 Vizatimi i grafikëve të funksioneve të formës y =
3.2 Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y = f ([x]).
§4. Pabarazitë që përmbajnë një pjesë të plotë ose të pjesshme të një numri.
§5. Pjesë të plota dhe thyesore të numrave në detyrat e olimpiadës.
Përgjigjet e detyrave për zgjidhje të pavarur.
Manuali siguron zhvillimin e ideve për funksionin dhe formimin e aftësive të aplikuara.
Drejtuar mësuesve që zgjidhin problemet e arsimit të specializuar.
Shkarko:
Pamja paraprake:
Rozina T.A
Problemet që përmbajnë një tërësi
ose pjesë thyesore e një numri
Mezhdurechensk 2011
Të dashur gjimnazistë!
Ju jeni gati të filloni një studim të thelluar të temës "Pjesë të plotë dhe thyesore të një numri". Ky manual do t'ju lejojë të zgjeroni njohuritë tuaja për funksionet matematikore kur zgjidhni ekuacione dhe pabarazi me shkallë të ndryshme kompleksiteti. Manuali i paraqitur përmban informacione teorike të natyrës referuese, shpjegon transformimet e grafikëve që përmbajnë një pjesë të plotë ose të pjesshme të një numri dhe shqyrton zgjidhjet e ekuacioneve më të thjeshta. Si dhe metodat për zgjidhjen e ekuacioneve racionale kuadratike, thyesore dhe pabarazitë, sistemet e ekuacioneve. Manuali përmban detyra për zgjidhje të pavarur. Teksti shkollor do t'ju ndihmojë të sistemoni dhe përgjithësoni njohuritë që keni marrë në temën "Pjesët e plota dhe thyesore të një numri".
Paç fat!
§1. Hyrje në funksionet y = [x] dhe y = (x)…………………………4
§2. Ekuacionet që përmbajnë një pjesë të plotë ose thyesore të një numri......7
- Ekuacionet më të thjeshta………………………………………7
- Zgjidhja e ekuacioneve të formës = g(x)……………………..8.
2.3 Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve………………10
- Zgjidhja e ekuacioneve duke futur një ndryshore të re……11
- Sistemet e ekuacioneve………………………………………….12
§3. Transformimet e grafikëve të funksioneve që përmbajnë një numër të plotë
Një pjesë e numrit…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
- 3.1 Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y = ……………13
- 3.2 Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y = f([x])………………15
§4. Pabarazitë që përmbajnë një pjesë të plotë ose thyesore të një numri...17
……
§5. Pjesë e plotë ose thyesore e një numri në detyrat e Olimpiadës......20
Përgjigjet e detyrave për zgjidhje të pavarur……………….23
Referencat……………………………………………………………………………………………………………….
§1. Hyrje në funksionet y = [x]
dhe y = (x)
Historia dhe përkufizimi i pjesëve të plota dhe thyesore të një numri
Koncepti i një pjese të plotë të një numri u prezantua nga matematikani gjerman Johann Carl Friedrich Gauss (1771-1855), autor i Transaksioneve mbi Teorinë e Numrave. Gausi gjithashtu avancoi teorinë e funksioneve speciale, seritë, metodat numerike, zgjidhjen e problemeve të fizikës matematikore dhe krijoi teorinë matematikore të potencialit.
Pjesa e plotë e një numri real x shënohet me simbolin [x] ose E(x).
Simboli [x] u prezantua nga K. Gauss në 1808.
Funksioni i pjesës së plotë të një numri u prezantua nga Adrien Marie Legendre ( 1752-1833). - Matematikan francez. Vepra e tij "Një përvojë në teorinë e numrave", e cila u botua në 1798, është një vepër themelore, rezultat i arritjeve aritmetike të shekullit të 18-të. Është për nder të tij që funksioni y = [x] quhet fjala franceze "Antier" (frëngjisht "entier" - e tërë) e shënuar E(x).
Përkufizimi: pjesa e plotë e një numri x është numri i plotë më i madh c që nuk e kalon x, d.m.th. nëse [x] = c, c ≤ x
Për shembull: = 2;
[-1,5] = -2.
Duke përdorur disa vlera të funksionit, mund të ndërtoni grafikun e tij. Duket kështu:
Vetitë e funksionit y = [x]:
1. Fusha e përkufizimit të funksionit y = [x] është bashkësia e të gjithë numrave realë R.
2. Gama e funksionit y = [x] është bashkësia e të gjithë numrave të plotë Z.
3. Funksioni y = [x] është pjesë-pjesë konstant, jo-zvogëlues.
4. Funksioni i përgjithshëm.
5. Funksioni nuk është periodik.
6. Funksioni nuk është i kufizuar.
7. Funksioni ka një pikë pushimi.
8. y=0, në x.
Për shembull: (3.7) = 0.7
{-2,4} = 0,6.
Le të vizatojmë funksionin y = (x). Duket kështu:
Vetitë më të thjeshta të funksionit y = (x):
1. Fusha e përkufizimit të funksionit y = (x) është bashkësia e të gjithë numrave realë R.
2. Gama e vlerave të funksionit y = (x) është një gjysmë interval dhe y = (x) do t'ju ndihmojë të përfundoni disa detyra.
DETYRA PËR ZGJIDHJE TË PAVARUR
1) Ndërtoni grafikët e funksioneve:
A) y = [x] + 5;
B) y = (x) - 2;
B) y = |[x]|.
2) Sa mund të jenë numrat x dhe y nëse:
A) [x + y] = y;
B) [x - y] = x;
B) (x - y) = x;
D) (x + y) = y.
3) Çfarë mund të thuhet për madhësinë e ndryshimit x - y nëse:
A) [x] = [y];
B) (x) = (y).
4) Cila është më e madhe: [a] apo (a)?
§2. Ekuacionet që përmbajnë një pjesë të plotë ose të pjesshme të një numri
2.1. Ekuacionet më të thjeshta
Ekuacionet më të thjeshta përfshijnë ekuacione të formës [x] = a.
Ekuacionet e këtij lloji zgjidhen me përkufizim:
a ≤ x
Nëse a është një numër thyesor, atëherë një ekuacion i tillë nuk do të ketë rrënjë.
Le të shohim një shembull zgjidhjejenjë nga këto ekuacione:
[x + 1.3] = - 5. Sipas përkufizimit, një ekuacion i tillë shndërrohet në një pabarazi:
5 ≤ x + 1,3
Kjo do të jetë zgjidhja e ekuacionit.
Përgjigje: x[-6.3;-5.3).
Le të shqyrtojmë një ekuacion tjetër që i përket kategorisë më të thjeshtë:
[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2
Për të zgjidhur ekuacionet e këtij lloji, është e nevojshme të përdoret vetia e funksionit të numrit të plotë: Nëse p është një numër i plotë, atëherë barazia është e vërtetë.
[x ± p] = [x] ± p
Vërtetim: x = [x] + (x)
[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p
x = k + a, ku k = [x], a = (x)
[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ±p.
Le të zgjidhim ekuacionin e propozuar duke përdorur vetinë e provuar: Marrim [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Le të sjellim terma të ngjashëm dhe të marrim ekuacionin më të thjeshtë [x] = 6. Zgjidhja e tij është gjysma e intervalit x = 1
Le ta shndërrojmë ekuacionin në pabarazi: 1 ≤ x 2 -5x+6
x 2 - 5x + 6
x 2 - 5x + 6 ≥ 1 dhe zgjidhni atë;
x 2 - 5x + 4
x 2 - 5x + 5>0
Ne marrim x (1; 4)
Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),
X(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Përgjigje: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Zgjidh ekuacionet:
1) = 1
2) = 0,487
3) – = 2
4) [x 2] = 4
5) [x] 2 = 4
6) = - 5
7) [x 2 – x + 4] = 2
8) = - 1
9) = 4,2
10) (x) – [x] + x = 0
11) x + (x) + [x] = 0
12) [4x – 5] = 7
2.2 Zgjidhja e ekuacioneve të formës =g(x)
Një ekuacion i formës =g(x) mund të zgjidhet duke i reduktuar ato në ekuacion
[x] = a.
Le të shohim shembullin 1.
Zgjidhe ekuacionin
Le të zëvendësojmë anën e djathtë të ekuacionit me një ndryshore të re a dhe të shprehim nga këtu x
11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,
Pastaj = =
Tani le të zgjidhim ekuacionin për ndryshoren A .
Le të zgjerojmë shenjën e pjesës së plotë sipas përkufizimit dhe ta shkruajmë duke përdorur sistemin e pabarazive:
Nga intervali zgjedhim të gjitha vlerat e numrave të plotë a: 3;4;5;6;7 dhe kryejmë zëvendësimin e kundërt:
Përgjigje:
Shembulli 2.
Zgjidhe ekuacionin:
Ndani çdo term numërues në kllapa me emëruesin:
Nga përkufizimi i pjesës së plotë të një numri rezulton se (a+1) duhet të jetë një numër i plotë, që do të thotë a është një numër i plotë.Numrat a, (a+1), (a+2) janë tre numra të njëpasnjëshëm, që do të thotë se njëri prej tyre është domosdoshmërisht i pjesëtueshëm me 2, dhe një me 3. Prandaj, prodhimi i numrave pjesëtohet me 6.
Ky është një numër i plotë. Do të thotë
Le ta zgjidhim këtë ekuacion.
a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0
(a+1)(a(a+2) - 6) = 0
a + 1 = 0 ose a 2 + 2a - 6 = 0
a = -1 D = 28
A = -1 ± (nuk janë numra të plotë).
Përgjigje: -1.
Zgjidhe ekuacionin:
2.3. Mënyra grafike për zgjidhjen e ekuacioneve
Shembulli 1. [x] = 2(x)
Zgjidhje. Le ta zgjidhim këtë ekuacion grafikisht. Le të vizatojmë funksionet y = [x] dhe y = 2(x). Le të gjejmë abshisat e pikave të kryqëzimit të tyre.
Përgjigje: x = 0; x = 1,5.
Në disa raste, është më e përshtatshme të përdoret një grafik për të gjetur ordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikëve. Pastaj zëvendësoni vlerën që rezulton në një nga ekuacionet dhe gjeni vlerat e dëshiruara x.
DETYRA PËR ZGJIDHJE TË PAVARUR
Zgjidhini ekuacionet grafikisht:
- (x) = 1 – x;
- (x) + 1 = [x];
- = 3x;
- 3(x) = x;
- (x) = 5x + 2;
- [|x|] = x;
- [|x|] = x + 4;
- [|x|] = 3|x| - 1;
- 2(x) – 1 = [x] + 2;
10) Sa zgjidhje ka ekuacioni 2(x) = 1?.
2.4. Zgjidhja e ekuacioneve duke futur një ndryshore të re.
Le të shohim shembullin e parë:
(x) 2 -8(x)+7 = 0
Zëvendësoni (x) me a, 0 a
a 2 - 8a + 7 = 0, të cilën e zgjidhim duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vietës: Rrënjët që rezultojnë janë a = 7 dhe a = 1. Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt dhe të marrim dy ekuacione të reja: (x) = 7 dhe (x) = 1. Të dyja këto ekuacione nuk kanë rrënjë. Prandaj, ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Përgjigje: nuk ka zgjidhje.
Le të shqyrtojmë një rast tjetërzgjidhja e ekuacionit duke futur një të re
variabël:
3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0
Le të bëjmë ndryshimin [x] = a, az. dhe marrim një ekuacion të ri kub For 3 +2a 2 +5a-10=0. Rrënjën e parë të këtij ekuacioni do ta gjejmë duke zgjedhur: a=1 është rrënja e ekuacionit. Ne e ndajmë ekuacionin tonë me (a-1). Marrim ekuacionin kuadratik 3a 2
+ 5a +10=0. Ky ekuacion ka një diskriminues negativ, që do të thotë se nuk ka zgjidhje. Domethënë, a=1 është rrënja e vetme e ekuacionit. Kryejmë zëvendësimin e kundërt: [x]=a=1. E zgjidhim ekuacionin që rezulton duke përcaktuar pjesën e plotë të një numri: x 2 + 8[x]-9 = 0 10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0 2.5. Sistemet e ekuacioneve. Konsideroni sistemin e ekuacioneve: 2[x] + 3[y] = 8, 3[x] – [y] = 1. Mund të zgjidhet ose me shtim ose me zëvendësim. Le të përqendrohemi në metodën e parë. 2[x] + 3[y] = 8, 9[x] – 3[y] = 3. Pas mbledhjes së dy ekuacioneve marrim 11[x] = 11. Prandaj [x] = 1. Zëvendësoni këtë vlerë në ekuacionin e parë të sistemit dhe merrni [y] = 2. [x] = 1 dhe [y] = 2 janë zgjidhje të sistemit. Kjo është x
18-x-v
3) 3[x] – 2(y) = 6
[x] 2 – 4 (y) = 4
4) 3(x) – 4(y) = -6
6(x) – (y) 2 = 3.
§3. Transformimet e grafikëve të funksioneve që përmbajnë një pjesë të plotë të një numri
3.1. Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y =
Le të jetë një grafik i funksionit y = f(x). Për të vizatuar funksionin y =, veproni si më poshtë:
- Pikat e prerjes së drejtëzave y = n, y = n + 1 i shënojmë me grafikun e funksionit y = f(x). Këto pika i përkasin grafikut të funksionit y =, pasi ordinatat e tyre janë numra të plotë (në figurë janë pikat A, B, C, D).
Le të vizatojmë funksionin y = [x]. Për këtë
- Vizatoni vija të drejta y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... dhe merrni parasysh një nga vijat e formuara nga vijat e drejta y = n, y = n + 1.
- Pikat e prerjes së drejtëzave y = n, y = n + 1 i shënojmë me grafikun
Funksionet y = [x]. Këto pika i përkasin grafikut të funksionit y = [x],
Meqenëse koordinatat e tyre janë numra të plotë.
- Për të marrë pikat e mbetura të grafikut të funksionit y = [x] në shiritin e treguar, projektoni pjesën e grafikut y = x që bie në shiritin paralel me boshtin O. në në drejtëzën y = n, y = n + 1. Meqenëse çdo pikë M e kësaj pjese të grafikut të funksionit y = x ka një ordinatë të tillë y 0 që n 0 0 ] = n
- Në çdo shirit tjetër ku ka pika në grafikun e funksionit y = x, ndërtimi kryhet në mënyrë të ngjashme.
DETYRA PËR ZGJIDHJE TË PAVARUR
Grafikoni funksionet:
3.2. Vizatimi i një funksioni të formës y = f([x])
Le të jepet një grafik i një funksioni y = f(x). Grafiku i funksionit y = f([x]) është ndërtuar si më poshtë:
- Vizatoni vija të drejta x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
- Le të shqyrtojmë një nga shiritat e formuar nga drejtëzat y = n dhe y = n + 1. Pikat A dhe B të prerjes së grafikut të funksionit y = f(x) me këto vija i përkasin grafikut të funksionit y = f([x]), pasi abshisat e tyre janë numra të plotë.
- Për të marrë pikat e mbetura të grafikut të funksionit y = f([x]) në shiritin e treguar, ne projektojmë pjesën e grafikut të funksionit y = f(x) që bie në këtë shirit paralel me boshtin O. y në drejtëzën y = f(n).
- Në çdo shirit tjetër ku ka pika në grafikun e funksionit y = f(x), ndërtimi kryhet në mënyrë të ngjashme.
Merrni parasysh vizatimin e funksionit y =. Për ta bërë këtë, ne do të vizatojmë një grafik të funksionit y = me një vijë me pika. Me tutje
numrat.
3. Në çdo shirit tjetër ku ka pika në grafikun e funksionit y =, ndërtimi kryhet në mënyrë të ngjashme.
DETYRA PËR ZGJIDHJE TË PAVARUR
Grafikoni funksionet:
§4. Pabarazitë që përmbajnë pjesë të plota ose të pjesshme të një numri
Le t'i quajmë relacionet e mëposhtme jobarazimet kryesore me [x] dhe (x): [x] > b dhe (x) > b. Një metodë e përshtatshme për zgjidhjen e tyre është metoda grafike. Le ta shpjegojmë me dy shembuj.
Shembulli 1. [x] ≥ b
Zgjidhje. Le të prezantojmë dy funksione y = [x] dhe y = b dhe të vizatojmë grafikët e tyre në të njëjtin vizatim. Është e qartë se atëherë duhet të dallohen dy raste: b – numër i plotë dhe b – jo i plotë.
Rasti 1. b – numër i plotë
Nga figura mund të shihet se grafikët përkojnë në .
Prandaj, zgjidhja e pabarazisë [x] ≥ b do të jetë rrezja x ≥ b.
Rasti 2. b është jo numër i plotë.
Në këtë rast, grafikët e funksioneve y = [x] dhe y = b nuk kryqëzohen. Por pjesa e grafikut y = [x] që shtrihet mbi vijën fillon në pikën me koordinatat ([b] + 1; [b] + 1). Kështu, zgjidhja e pabarazisë [x] ≥ b është rrezja x ≥ [b] + 1.
Llojet e tjera të pabarazive bazë studiohen saktësisht në të njëjtën mënyrë. Rezultatet e këtyre studimeve janë përmbledhur në tabelën e mëposhtme.
[X] |
(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1 | Asnjë zgjidhje |
(x) ≥ b, (x) > b, b | (-∞; +∞) |
(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b | n + b ≤ x n+b |
(x) ≤ b, (x) | (-∞; +∞) |
(x) ≤ b, (x) | Asnjë zgjidhje |
(x) ≤ b, (x) | n≤x≤b+n |
Le të shohim një shembull zgjidhje për pabarazinë:
Le të zëvendësojmë [x] me ndryshoren a, ku a është një numër i plotë.
>1; >0; >0; >0.
Duke përdorur metodën e intervalit, gjejmë një > -4 [x] > -4
Për të zgjidhur pabarazitë e marra, përdorim tabelën e përpiluar:
x ≥ -3,
Përgjigje: [-3;1).
DETYRA PËR ZGJIDHJE TË PAVARUR.
1) [x]
2) [x] ≤ 2
3) [x] > 2.3
4) [x] 2
5) [x] 2 -5 [x] -6
6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0
7) 30[x] 2 -121[x] + 80
8) [x] 2 + 3[x]-4 0
9) 3 (x) 2 -8 (x) -4
10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0
11) > 2
12) > 1
13) 0
14) 0
§5. Pjesë e plotë ose thyesore e një numri në detyrat e Olimpiadës
Shembulli 1.
Vërtetoni se një numër pjesëtohet me 5 për çdo numër natyror n.
Vërtetim: Le të jetë n numër çift, d.m.th. n=2m, ku m N,
Kjo është arsyeja pse.
Atëherë kjo shprehje duket si:
ato. pjesëtohet me 5 për çdo n çift.
Nëse, n = 2m -1, atëherë
atëherë kjo shprehje duket si kjo:
Ky numër pjesëtohet me 5 për çdo n tek.
Pra, kjo shprehje është e pjesëtueshme me 5 për çdo n natyrore.
Shembulli 2.
Gjeni të gjithë numrat e thjeshtë të formës, ku n N.
Zgjidhje. Le te jete. Nëse n=3k atëherë p=3k 2 . Ky numër do të jetë i thjeshtë dhe i barabartë me 3, me k=1.
Nëse n=3k+1, k0, atëherë
Se
Ky numër do të jetë i thjeshtë dhe i barabartë me 5 kur k=1.
Nëse n = 3k + 2, k 0, atëherë
Numër i përbërë për çdo kN.
Përgjigje: 3; 5
Shembulli 3.
Numrat shkruhen në një rresht që janë shumëfish të dy, tre dhe gjashtë. Gjeni numrin që do të jetë në vendin e mijë në këtë seri.
Zgjidhja:
Le të jetë x numri i dëshiruar, atëherë një seri numrash që janë shumëfish të dy në këtë seri - , janë shumëfisha të tre - , janë shumëfisha të gjashtë - . Por numrat janë shumëfish të gjashtë, shumëfish të dy dhe tre, d.m.th. do të numërohen tre herë. Prandaj, nga shuma e numrave. Për shumëfishat e dy, tre, gjashtë, ju duhet të zbrisni dyfishin e numrit të shumëfishave të gjashtë. Atëherë ekuacioni për zgjidhjen e këtij problemi është:
Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:
Atëherë a+b-c=1000 (*) dhe me përcaktimin e pjesës së plotë të një numri kemi:
Duke shumëzuar çdo term të pabarazisë me 6, marrim:
6a3x
6b2x
Duke mbledhur dy pabarazitë e para dhe duke zbritur pabarazinë e tretë prej tyre, marrim:
6(a+b+c) 4x
Le të përdorim barazinë (*), atëherë: 60004x
1500x
Zgjidhjet e ekuacionit do të jenë numrat: 1500 dhe 1501, por sipas kushteve të problemit është i përshtatshëm vetëm numri 1500.
Përgjigje: 1500
Shembulli 4.
Mësohet se vëllai i vogël nuk është më shumë se 8, por jo më pak se 7 vjeç. Nëse numri i viteve të plota të vëllait të vogël dyfishohet dhe numri i viteve të pjesshme (d.m.th. muajve) të moshës së tij trefishohet, atëherë totali do të jetë mosha e vëllait të madh. Shënoni moshën e secilit prej vëllezërve, me saktësi në muaj, nëse dihet se mosha totale e tyre është 21 vjeç e 8 muaj.
Zgjidhja:
Le të jetë x (vjet) mosha e vëllait të vogël, atëherë(muaj) të moshës së tij. Sipas kushteve të problemit(vjet) – mosha e vëllait të madh. Mosha totale e të dy vëllezërve është:
(i vitit).
3 ( , 3x + ,
Meqenëse (x)=x - [x], atëherë. (Ekuacioni i formës = bx + c, ku a,b,c R)
N=6, n=7.
Kur n=6, x = - nuk i plotëson kushtet e problemit.
Kur n=7, x = .
Mosha e vëllait të vogël është 7 vjeç e 2 muaj.
Mosha e vëllait të madh është 14 vjeç e 6 muaj.
Përgjigje: mosha e vëllait të vogël është 7 vjet e 2 muaj,
Mosha e vëllait të madh është 14 vjeç e 6 muaj.
Detyrat për zgjidhje të pavarur.
1. Zgjidh barazimet: a) x+2[x] = 3,2; b) x 3 –[x] =3
2. Numrat natyrorë m dhe n janë të dyfishtë dhe n
Ose
3. Jepet një numër x më i madh se 1. A është i nevojshëm barazia?
Zgjidheni sistemin e ekuacioneve: x+[y]+(z) = 1.1
Y+[z]+(x)=2.2
Z+[x]+(y)=3.3.
4. Dihet se numri i njehsorëve të plotë në një shirit është 4 herë më i madh se numri i metrave të pjesshëm (d.m.th. centimetra). Përcaktoni gjatësinë maksimale të mundshme të shiritit.
Përgjigjet e detyrave për zgjidhje të pavarur.
§1 2. a) xЄ d) x Є Z; y Є >(a), nëse a ≥ 1, (a) ≥ [a], nëse a
§2. 2.1 1), nЄ Z
3), n Z
6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z
§5. 1. a) x = 1.2
Nëse (x) është pjesa thyesore e numrit x, atëherë [x] + (x) = x.
Atëherë [x] + (x) + 2[x] = 3.2. 3[x] + (x) = 3.2. Meqenëse 3[x] është një numër i plotë dhe 0 ≤ (x)
B) x =.
Shënim. [x] = x- (x), ku 0 ≤ (x)
X 3 - x + (x) = 3, prej nga 2 2 - 1) ≤ 3.
- Shuma e parë është më e madhe se e dyta për m – n.
- Domosdoshmërisht.
Shënim. Nëse [√] = n, atëherë n 4 ≤ x 4 . Tani është e lehtë
Vërtetoni se [√ ] = n.
- (1; 0,2; 2,1)
- 3m 75 cm.
Bibliografi
- Alekseeva V., Uskova N. Probleme që përmbajnë pjesë të plota dhe thyesore të një numri // Matematikë. 1997. Nr 17. Fq.59-63.
- Voronova A.N. Ekuacioni me një ndryshore nën shenjën e pjesës së plotë ose thyesore // Matematika në shkollë. 2002.Nr.4. fq 58-60.
- Voronova A.N. Pabarazitë me një ndryshore nën shenjën e pjesës së plotë // Matematika në shkollë. 2002. Nr. 2. Fq.56-59.
- Galkin E.V. Probleme jo standarde në matematikë. Algjebra: Libër mësuesi. manual për nxënësit 7-11 klasa. Chelyabinsk: "Vzglyad", 2004.
- Kapituj plotësues për lëndën e matematikës në klasën e 10-të për orë me zgjedhje: Një manual për nxënësit / Komp. MBRAPA. Eunuk. M.: Arsimi, 1979.
- Erovenko V.A., O.V. Mikhaskova O.V. Parimi metodologjik i Occam duke përdorur shembullin e funksioneve të pjesëve të plota dhe thyesore të një numri // Matematika në shkollë. 2003. Nr. 3. Fq.58-66.
7. Kirzimov V. Zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve që përmbajnë një numër të plotë dhe
Pjesa thyesore e një numri // Matematikë. 2002.№30. fq 26-28.
8. Shreiner A.A. “Detyrat e olimpiadave rajonale të matematikës
Rajoni i Novosibirsk". Novosibirsk 2000.
9. Drejtoria "Matematika", Moskë "AST-PRESS" 1997.
10. Raikmisti R.B. “Grafikët e funksioneve. Detyra dhe ushtrime”. Moska.
“Shkolla – shtyp” 1997.
11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. e të tjera.“Algjebra dhe fillimet e analizës. 10
Klasa. Pjesa 2. Libri i problemeve. Niveli i profilit" Smolensk
"Mnemosyne" 2007.
y=b(bZ)
y=b(bZ)
Johann Gauss
Adrien Lezhandrit
Lojëra matematikore dhe argëtim
Të preferuarat
Redaktori Kopylova A.N.
Teknike. Redaktori Murashova N.Ya.
Korrektori Secheiko L.O.
Dorëzuar për rekrutim më 26 shtator 2003. Nënshkruar për botim më 14 dhjetor 2003. Formati 34×103¼. Fiz. furrë l. 8.375. E kushtëzuar furrë l. 13.74. Uch. ed. l. 12.88. Tirazhi 200 000 kopje. Porosia nr. 279. Çmimi i librit 50 rubla.
Domoryad A.P.
Lojëra matematikore dhe argëtim. Të preferuarat. – Volgograd: VSPU, 2003, - 20 f.
Libri paraqet probleme të zgjedhura nga monografia e Domoryad A.P. "Lojërat matematikore dhe argëtimet", e cila u botua në 1961 nga Shtëpia Botuese Shtetërore e Letërsisë Fizike dhe Matematikore në Moskë.
ISBN 5-09-001292-X BBK 22.1я2я72
©Shtëpia Botuese VSPU, 2003
Përcaktimi i numrit të synuar duke përdorur tre tabela
Përhapni numrat nga 1 në 60 me radhë në secilën nga tre tabelat në mënyrë që në tabelën e parë të qëndrojnë në tre kolona me nga njëzet numra secila, në të dytën - në katër kolona me nga 15 numra secila dhe në të tretën - në pesë. kolona me nga 12 numra secila (shih Fig. 1), është e lehtë të përcaktohet shpejt numri N (N≤) i konceptuar nga dikush nëse numrat α, β, γ të kolonave që përmbajnë numrin e konceptuar në 1, 2 dhe 3-të tregohen në tabela: N do të jetë e barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit të numrit 40α+45β+36γ me 60 ose me shumën (40α+45β+36γ) modulin 60. Për shembull, me α=3, β=2, γ=1:
40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), d.m.th. N=6
| Ι | II | III |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| I | II | III | IV |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| I | II | III | IV | V |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
Fig.1
Një pyetje e ngjashme mund të lindë për numrat deri në 420, të vendosur në katër tabela me tre, katër, pesë dhe shtatë kolona: nëse α, β, γ janë numrat e kolonave në të cilat shfaqet numri i synuar, atëherë është i barabartë me pjesa e mbetur e pjesëtimit të numrit 280α+ 105β+336+120δ me 420.
Shirit
Një lojë e quajtur shirit luhet në një tabelë me tridhjetë e tre katrorë.
Një tabelë e tillë mund të merret lehtësisht duke mbuluar tabelën e shahut me një fletë kartoni me një prerje në formë kryqi.
Në figurë, çdo qelizë tregohet nga një palë numrash që tregojnë numrat e rreshtave horizontale dhe vertikale në kryqëzimin e të cilave ndodhet qeliza. Në fillim të lojës, të gjitha qelizat, me përjashtim të njërës, janë të zëna nga damë.
Kërkohet të hiqen 31 damë dhe specifikohet një qelizë "nisëse" e zbrazët ( a,b) dhe "përfundimtar" ( c,d), mbi të cilën duhet të vendoset çeki që mbijetoi në fund të lojës. Rregullat e lojës janë
janë: çdo damë mund të hiqet nga tabela nëse pranë saj (në drejtim horizontal ose vertikal) ka një damë në njërën anë (“duke hequr”), dhe në anën e kundërt ka një katror bosh në të cilin “heqja ” Kontrolluesi duhet të transferohet në të njëjtën kohë.
Nga teoria e lojës rezulton se do të ketë një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse a c(mod3) dhe b d(mod3).
Le të japim një shembull të një problemi në të cilin qeliza (44) është qeliza fillestare dhe përfundimtare.
- 64-44
- 56-54
- 44-64
- 52-54
- 73-53
- 75-73
- 43-63
- 73-53
- 54-52
- 35-55
- 65-45
- 15-35
- 45-25
- 37-35
- 57-37
- 34-36
- 37-35
- 25-45
- 46-44
- 23-43
- 31-33
- 43-23
- 51-31
- 52-32
- 31-33
- 14-34
- 34-32
- 13-33
- 32-34
- 34-54
- 64-44
Këtu, në regjistrimin e çdo lëvizjeje, numrat e kontrolluesit origjinal tregohen për kontrolluesin "hequr".
Qelizat dhe numri i qelizës në të cilën është vendosur (në këtë rast, një kontrollues hiqet nga tabela,
duke qëndruar në një shesh të ndërmjetëm)
Provoni të hiqni 31 damë:
a) Qeliza fillestare (5,7) dhe qeliza përfundimtare (2,4);
b) Qeliza fillestare (5,5) dhe qeliza mbaruese (5,2).
Mbledhja dhe zbritja në vend të shumëzimit
Para shpikjes së tabelave të logaritmit, për të lehtësuar shumëzimin e numrave shumëshifrorë, të ashtuquajturat. prostasferike tabela (nga fjalët greke "aphairesis" - heqje), të cilat janë tabela të vlerave të funksionit
Për vlerat natyrore të Z. Meqenëse për numrat e plotë a dhe b (numrat a+b dhe a-b janë ose të drejtë ose të dy tek; në rastin e fundit, pjesët thyesore të y dhe janë identike), atëherë shumëzimi i a me b zvogëlon përkufizimin e a+b dhe a-b dhe, në fund, dallimet e numrave 
,tavolina te marra.
Për të shumëzuar tre numra mund të përdorni identitetin
nga e cila rezulton se nëse keni një tabelë të vlerave të funksionit, llogaritja e prodhimit abc mund të reduktohet në përcaktimin e numrave a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a dhe mbani mend - duke përdorur tabelën - anën e djathtë të barazisë (*).
Le të japim si shembull një tabelë të tillë për .
Tabela tregon: numrat e mëdhenj - vlerat dhe numrat e vegjël - kuptimi k, ku
| NJËSITË | |||||||||||
| dhjetëra | 1 3 | 2 16 | 5 5 | 9 0 | 14 7 | 21 8 | 30 9 | ||||
| 55 11 | 72 0 | 91 13 | 114 8 | 140 15 | 170 16 | 204 17 | 243 0 | 285 19 | |||
| 333 8 | 385 21 | 443 16 | 506 23 | 576 0 | 651 1 | 732 8 | 820 3 | 914 16 | 1016 5 |
Nuk është e vështirë, duke përdorur formulën (*) dhe tabelën, për të marrë:
9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,
17 8 4 = 1016 5 –385 21 – 91 13 + 5 5 = 544 (Kontrollo!!)
Funksioni [x] (pjesë e plotë e x)
Funksioni [x] është i barabartë me numrin e plotë më të madh që nuk e kalon x (x është çdo numër real). Për shembull:
| |
Figura 2 tregon një grafik të këtij funksioni, dhe fundi i majtë i secilit prej segmenteve horizontale i përket grafikut (pika të theksuara), dhe fundi i djathtë jo.
diagonalet e një katrori janë të barabartë me të njëjtin numër 
Nëse vetëm shumat e numrave në çdo horizontale dhe vertikale janë të njëjta, atëherë quhet katrori gjysmë magjike.
Katrori magjik 4 mban emrin e Dürer, një matematikan dhe artist i shekullit të 16-të, i cili përshkroi sheshin në pikturën e famshme "Melankolia".
Nga rruga, dy numrat e mesëm të poshtëm të këtij sheshi formojnë numrin 1514 - data e krijimit të pikturës.
Ka tetë katrorë magjikë me nëntë qeliza. Dy prej tyre, të cilat janë imazhe pasqyre të njëra-tjetrës, janë paraqitur në figurë; Gjashtët e mbetura mund të merren nga këto katrorë duke i rrotulluar rreth qendrës me 90,180,270.
Objektivat e mësimit: njohin nxënësit me konceptin e pjesëve të plota dhe thyesore të një numri; të formulojë dhe vërtetojë disa veti të pjesës së plotë të një numri; njohin nxënësit me një gamë të gjerë përdorimesh të pjesëve të plota dhe thyesore të një numri; të përmirësojë aftësinë për të zgjidhur ekuacionet dhe sistemet e ekuacioneve që përmbajnë pjesë të plota dhe thyesore të një numri.
Pajisjet: poster “Kushdo që bën dhe mendon vetë që në moshë të re më vonë bëhet më i besueshëm, më i fortë, më i zgjuar” (V. Shukshin).
Projektor, tabelë magnetike, libër referimi algjebër.
Plani i mësimit.
- Koha e organizimit.
- Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.
- Mësimi i materialit të ri.
- Zgjidhja e problemeve në temë.
- Përmbledhja e mësimit.
- Detyre shtepie.
Gjatë orëve të mësimit
I. Momenti organizativ: mesazhi i temës së mësimit; vendosja e qëllimit të mësimit; mesazhi i fazave të mësimit.
II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.
Përgjigjuni pyetjeve të nxënësve për detyrat e shtëpisë. Zgjidh problemet që shkaktuan vështirësi gjatë kryerjes së detyrave të shtëpisë.
III. Mësimi i materialit të ri.
Në shumë probleme algjebër, duhet të merrni parasysh numrin e plotë më të madh që nuk e kalon një numër të caktuar. Një numër i tillë i plotë ka marrë një emër të veçantë "pjesë e plotë e një numri".
1. Përkufizimi.
Pjesa e plotë e një numri real x është numri i plotë më i madh që nuk e kalon x. Pjesa e plotë e numrit x shënohet me simbolin [x] ose E(x) (nga frëngjishtja Entier "antier" ─ "e tërë"). Për shembull, = 5, [π ] = 3,
Nga përkufizimi del se [x] ≤ x, pasi pjesa e plotë nuk e kalon x.
Nga ana tjetër, sepse [x] është numri i plotë më i madh që plotëson pabarazinë, pastaj [x] +1>x. Kështu, [x] është një numër i plotë i përcaktuar nga pabarazitë [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.
Numri α = υ ─ [x] quhet pjesa thyesore e numrit x dhe caktohet (x). Atëherë kemi: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.
2. Disa veti të antie.
1. Nëse Z është një numër i plotë, atëherë = [x] + Z.
2. Për çdo numër real x dhe y: ≥ [x] + [y].
Vërtetim: meqenëse x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.
Nëse 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].
Nëse 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и
= [x] + [y]+1>[x] + [y].
Kjo veti shtrihet në çdo numër të kufizuar termash:
≥ + + + … + .
Aftësia për të gjetur pjesën e plotë të një sasie është shumë e rëndësishme në llogaritjet e përafërta. Në fakt, nëse dimë të gjejmë pjesën e plotë të vlerës x, atëherë, duke marrë [x] ose [x]+1 si vlerë të përafërt të vlerës x, do të bëjmë një gabim, vlera e të cilit nuk është më e madhe se një. , pasi
≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.
Për më tepër, vlera e pjesës së plotë të sasisë ju lejon të gjeni vlerën e saj me një saktësi prej 0.5. Për këtë vlerë mund të merrni [x] + 0,5.
Aftësia për të gjetur të gjithë pjesën e një numri ju lejon të përcaktoni këtë numër me çdo shkallë saktësie. Në të vërtetë, që nga
≤ Nx ≤ +1, atëherë
Për N më të madh gabimi do të jetë i vogël.
IV. Zgjidhja e problemeve.
(Përftohen me nxjerrjen e rrënjëve me saktësi 0,1 me mangësi dhe tepricë). Duke shtuar këto pabarazi, marrim
1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.
Ato. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.
Vini re se numri 3.25 ndryshon nga x jo më shumë se 0.15.
Detyra 2. Gjeni numrin më të vogël natyror m për të cilin
Kontrolli tregon se për k = 1 dhe k = 2, pabarazia që rezulton nuk vlen për asnjë m natyrore, dhe për k = 3 ka një zgjidhje m = 1.
Kjo do të thotë se numri i kërkuar është 11.
Përgjigje: 11.
Antje në barazimet.
Zgjidhja e ekuacioneve me një ndryshore nën shenjën "pjesa e plotë" zakonisht zbret në zgjidhjen e pabarazive ose sistemeve të pabarazive.
Detyra 3. Zgjidhe ekuacionin:
Detyra 4. Zgjidhe ekuacionin
Sipas përcaktimit të pjesës së plotë, ekuacioni që rezulton është i barabartë me pabarazinë e dyfishtë
Detyra 5. Zgjidhe ekuacionin 
Zgjidhje: nëse dy numra kanë të njëjtën pjesë të plotë, atëherë ndryshimi i tyre në vlerë absolute është më i vogël se 1, dhe për këtë arsye pabarazia rrjedh nga ky ekuacion.
Dhe prandaj, së pari, x≥ 0, dhe së dyti, në shumën në mes të pabarazisë së dyfishtë që rezulton, të gjithë termat, duke filluar nga i treti, janë të barabartë me 0, pra x < 7 .
Meqenëse x është një numër i plotë, mbetet vetëm të kontrolloni vlerat nga 0 në 6. Zgjidhjet e ekuacionit janë numrat 0.4 dhe 5.
c) shënimi.
VI. Detyre shtepie.
Detyrë shtesë (opsionale).
Dikush mati gjatësinë dhe gjerësinë e një drejtkëndëshi. Ai e shumëzoi të gjithë pjesën e gjatësisë me të gjithë pjesën e gjerësisë dhe mori 48; shumëzoi të gjithë pjesën e gjatësisë me pjesën thyesore të gjerësisë dhe mori 3,2; shumëzoi pjesën thyesore të gjatësisë me të gjithë pjesën e gjerësisë dhe mori 1.5. Përcaktoni sipërfaqen e drejtkëndëshit.
Shtëpia Botuese Shkolnik
Volgograd, 2003
A.P.Domoryad
BBK 22.1я2я72
Domoryad Alexander Petrovich
Lojëra matematikore dhe argëtim
Të preferuarat
Redaktori Kopylova A.N.
Teknike. redaktori Murashova N.Ya.
Korrektori Secheiko L.O.
Dorëzuar për rekrutim më 26 shtator 2003. Nënshkruar për botim më 14 dhjetor 2003. Formati 84x108 ¼.Phys.print.l. 8.375. Furrë me kusht 13.74. Akademik-ed.l. 12.82. Tirazhi 200 000 kopje. Urdhri nr 979. Çmimi i librit është 50 rubla.
Domoryad A.P.
Lojëra matematikore dhe argëtim: Të preferuarat - Volgograd: VSPU, 2003. - 20 f.
Libri paraqet probleme të zgjedhura nga monografia e Domoryad A.P. "Lojërat matematikore dhe argëtimet", e cila u botua në 1961 nga shtëpia botuese shtetërore e letërsisë fizike dhe matematikore në Moskë.
ISBN5-09-001292-Х BBK22.1я2я72
© Shtëpia botuese "VGPU", 2003
Parathënie 6
Përcaktimi i numrit të synuar duke përdorur tre tabela 7
Diamant 8
Mbledhja dhe zbritja në vend të shumëzimit të 11
Funksioni [x] (pjesë e plotë e x) 12
Figurat nga copa katrore 14
Sheshe magjike 16
Shtojca 17
Parathënie
Nga materiali i larmishëm i bashkuar nga autorë të ndryshëm nën emrin e përgjithshëm të lojërave dhe argëtimeve matematikore, mund të dallohen disa grupe të "argëtimit klasik", të cilat kanë tërhequr prej kohësh vëmendjen e matematikanëve:
Argëtim në lidhje me kërkimin e zgjidhjeve origjinale për problemet që lejojnë një shumëllojshmëri pothuajse të pashtershme zgjidhjesh; Zakonisht ata janë të interesuar të vendosin numrin e zgjidhjeve, të zhvillojnë metoda që japin grupe të mëdha zgjidhjesh ose zgjidhje që plotësojnë disa kërkesa të veçanta.
Lojëra matematikore, d.m.th. lojëra në të cilat dy "lëvizje" duke luajtur krah për krah, të bëra në mënyrë alternative në përputhje me rregullat e specifikuara, përpiqen drejt një qëllimi të caktuar, dhe rezulton të jetë e mundur që çdo pozicion fillestar të paracaktojë fituesin dhe të tregojë se si - me çdo lëvizje të kundërshtari - ai mund të arrijë fitoren.
"Lojërat e një personi", d.m.th. argëtim në të cilin, përmes një sërë operacionesh të kryera nga një lojtar në përputhje me këto rregulla, është e nevojshme të arrihet një qëllim i caktuar, i paracaktuar; këtu ata janë të interesuar për kushtet në të cilat mund të arrihet qëllimi dhe kërkojnë numrin më të vogël të lëvizjeve të nevojshme për ta arritur atë.
Të gjithë mund të përpiqen, duke treguar këmbëngulje dhe zgjuarsi, të marrin rezultate interesante (të tyre!).
Nëse një argëtim i tillë klasik, si, për shembull, kompozimi i "kuadrateve magjike" mund të tërheqë një rreth relativisht të ngushtë njerëzish, atëherë kompozimi, për shembull, figura simetrike nga detajet e një katrori të prerë, kërkimi i kurioziteteve numerike, etj., pa kërkuar çdo trajnim matematikor, mund të sjellë kënaqësi si për amatorët ashtu edhe për jodashësit e matematikës. E njëjta gjë mund të thuhet edhe për argëtimin që kërkon përgatitje në klasat 9-11 të shkollës së mesme.
Shumë argëtime dhe madje edhe probleme individuale mund të sugjerojnë tema për kërkime të pavarura për adhuruesit e matematikës.
Në përgjithësi, libri është i dedikuar për lexuesit me njohuri matematikore në klasat 10-11, megjithëse pjesa më e madhe e materialit është e aksesueshme për nxënësit e klasës së nëntë, madje disa pyetje janë të aksesueshme për nxënësit e klasave 5-8.
Shumë paragrafë mund të përdoren nga mësuesit e matematikës për të organizuar aktivitete jashtëshkollore.
Kategori të ndryshme lexuesish mund ta përdorin këtë libër në mënyra të ndryshme: njerëzit që nuk janë të prirur për matematikën mund të njihen me vetitë kurioze të numrave, shifrave etj., pa u thelluar në arsyetimin e lojërave dhe zbavitjes, duke marrë pohime individuale mbi besimin; I këshillojmë adhuruesit e matematikës që të studiojnë pjesë të veçanta të librit me laps dhe letër, duke zgjidhur problemet e propozuara dhe duke iu përgjigjur pyetjeve individuale të propozuara për reflektim.
Përcaktimi i numrit të synuar duke përdorur tre tabela
Duke vendosur numrat nga 1 deri në 60 me radhë në secilën nga tre tabelat në mënyrë që në tabelën e parë të jenë në tre kolona me nga njëzet numra secila, në të dytën - në katër kolona me nga 15 numra secila dhe në të tretën - pesë kolona. nga 12 numra secili (shih Fig. 1), është e lehtë të përcaktohet shpejt numri N (N≤60) i konceptuar nga dikush nëse numrat α, β, γ të kolonave që përmbajnë numrin e konceptuar në 1, 2 dhe Tabelat e treta tregohen: N do të jetë saktësisht pjesa e mbetur e pjesëtimit të numrit 40α+45β+36γ me 60 ose, me fjalë të tjera, N do të jetë saktësisht numri pozitiv më i vogël i krahasueshëm me shumën (40α+45β+36γ) modulin 60. Për shembull, me α=3, β =2, γ=1:40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), d.m.th. N=6.
| I | II | III | IV | V |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
| 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| I | II | III |
|||
| 1 | 2 | 3 |
|||
| 4 | 5 | 6 |
|||
| 7 | 8 | 9 |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| 55 | 56 | 57 |
|||
| 58 | 59 | 60 |
|||
| I | II | III | IV |
||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
||
| 5 | 6 | 7 | 8 |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| 53 | 54 | 55 | 56 |
||
| 57 | 58 | 59 | 60 |
||
Një pyetje e ngjashme mund të zgjidhet për numrat deri në 420, të vendosura në katër tabela me tre, katër, pesë dhe shtatë kolona: nëse - numrat e kolonave në të cilat është numri i synuar, atëherë ai është i barabartë me pjesën e mbetur pas pjesëtimit të numri 280α+105β+336γ+120δ në 420.
Shirit
| 737773 | 747774 | 757775 | ||||
| 636663 | 642264 | 656665 | ||||
| 515551 | 555252 | 535553 | 544554 | 554455 | 555556 | 555557 |
| 414441 | 424442 | 434443 | 444444 | 454445 | 464446 | 474447 |
| 313331 | 323332 | 333333 | 343334 | 353335 | 363336 | 373337 |
| 232223 | 242224 | 252225 | ||||
| 131113 | 141114 | 111115 |
Një lojë e quajtur shirit luhet në një tabelë me tridhjetë e tre katrorë. Kjo tabelë mund të merret lehtësisht duke e mbuluar tabelën e shahut me një fletë kartoni me një prerje në formë kryqi.
Argëtimi i dobishëm dhe emocionues përfshin kompozimin e figurave nga shtatë pjesë të një katrori, të prera në përputhje me Fig. 3, (a), dhe gjatë kompozimit të figurave të dhëna, duhet të përdoren të shtatë pjesët, dhe ato duhet të mbivendosen, qoftë edhe pjesërisht, me secilën tjera.
Në Fig. Figura 4 tregon figurat simetrike 1. Mundohuni t'i bashkoni këto figura së bashku nga pjesët e katrorit të paraqitur në Fig. 3, (a).
(a) (b)
Fig.3
Oriz. 4
Nga të njëjtat vizatime mund të krijoni shumë figura të tjera (për shembull, imazhe të objekteve të ndryshme, kafshëve, etj.).
Një version më pak i zakonshëm i lojës është krijimi i figurave nga pjesët e katrorit të paraqitur në Fig. 3, (b).
Sheshe magjike
Sheshi magjik "n 2 - katror" le të quajmë një katror të ndarë me n 2 qelizat mbushen së pari n 2 numrat natyrorë në mënyrë që shumat e numrave në çdo rresht horizontal ose vertikal, si dhe në cilëndo nga diagonalet e katrorit, të jenë të barabarta me të njëjtin numërNëse vetëm shumat e numrave në çdo rresht horizontal dhe vertikal janë të njëjta, atëherë quhet katrori gjysmë magjike.
Funksioni [ x] është e barabartë me numrin më të madh të plotë më të madh se x (x- çdo numër real). Për shembull:
Funksioni [ x] ka “pikat e ndërprerjes”: për vlerat e plota x ajo "ndryshon befas".
Figura 2 tregon një grafik të këtij funksioni, dhe fundi i majtë i secilit prej segmenteve horizontale i përket grafikut (pika të theksuara), dhe fundi i djathtë jo.
Mundohuni të vërtetoni se nëse zbërthimi kanonik i një numri n! ka atëherë 
Formula të ngjashme vlejnë për
Duke e ditur këtë, është e lehtë të përcaktohet, për shembull, me sa zero përfundon numri 100! Vërtet, le të jetë. Pastaj
Dhe 
.
Prandaj, 100! E ndarë me, d.m.th. përfundon me njëzet e katër zero.
Figurat nga copa katrore
Argëtimi i dobishëm dhe emocionues përfshin kompozimin e figurave nga shtatë pjesë të një katrori, të prera në përputhje me Fig. 3, (a), dhe gjatë kompozimit të figurave të dhëna, duhet të përdoren të shtatë pjesët, dhe ato duhet të mbivendosen, qoftë edhe pjesërisht, me secilën tjera.
Në Fig. Figura 4 tregon figurat simetrike 1. Mundohuni t'i bashkoni këto figura së bashku nga pjesët e katrorit të paraqitur në Fig. 3, (a).
Nga të njëjtat vizatime mund të krijoni shumë figura të tjera (për shembull, imazhe të objekteve të ndryshme, kafshëve, etj.).
Një version më pak i zakonshëm i lojës është krijimi i figurave nga pjesët e katrorit të paraqitur në Fig. 3, (b).
Sheshe magjike
Sheshi magjik "n 2 - katror" le të quajmë një katror të ndarë me n 2 qelizat mbushen së pari n 2 numrat natyrorë në mënyrë që shumat e numrave në çdo rresht horizontal ose vertikal, si dhe në cilëndo nga diagonalet e katrorit, të jenë të barabarta me të njëjtin numër
Nëse vetëm shumat e numrave në çdo rresht horizontal dhe vertikal janë të njëjta, atëherë quhet katrori gjysmë magjike.
Sheshi magjik 4 2 mban emrin e Dürer, një matematikan dhe artist i shekullit të 16-të, i cili përshkroi një katror në pikturën e famshme "Melankolia".
Meqë ra fjala, dy numrat e mesëm të poshtëm të këtij sheshi formojnë numrin 1514, data e krijimit të pikturës.
Ka vetëm tetë sheshe magjike me nëntë qeliza. Dy prej tyre, të cilat janë pasqyrë e njëra-tjetrës, janë paraqitur në figurë; Gjashtët e mbetura mund të merren nga këto katrorë duke i rrotulluar rreth qendrës me 90°, 180°, 270°
2. Nuk është e vështirë të hetosh plotësisht çështjen e katrorëve magjikë për n=3
Në të vërtetë, S 3 = 15, dhe ka vetëm tetë mënyra për të paraqitur numrin 15 si një shumë numrash të ndryshëm (nga një në nëntë):
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
Vini re se secili nga numrat 1, 3, 7, 9 përfshihet në dy, dhe secili nga numrat 2, 4, 6, 8 përfshihet në tre shuma të specifikuara dhe vetëm numri 5 përfshihet në katër shuma. Nga ana tjetër, nga tetë rreshtat me tre qeliza: tre horizontale, tre vertikale dhe dy diagonale, tre rreshta kalojnë nëpër secilën prej qelizave qoshe të sheshit, katër nëpër qelizën qendrore dhe dy rreshta nëpër secilën nga qelizat e mbetura. . Prandaj, numri 5 duhet të jetë domosdoshmërisht në qelizën qendrore, numrat 2, 4, 6, 8 - në qelizat e qosheve, dhe numrat 1, 3, 7, 9 - në qelizat e mbetura të sheshit.
Artikuj të ngjashëm
