Ne kuptuam se çfarë është në të vërtetë fuqia e një numri. Tani duhet të kuptojmë se si ta llogarisim saktë, d.m.th. ngriti numrat në fuqi. Në këtë material do të analizojmë rregullat bazë për llogaritjen e shkallëve në rastin e eksponentëve të plotë, natyrorë, thyesorë, racionalë dhe irracionalë. Të gjitha përkufizimet do të ilustrohen me shembuj.

Koncepti i fuqizimit

Le të fillojmë duke formuluar përkufizimet bazë.

Përkufizimi 1

Eksponentimi- kjo është llogaritja e vlerës së fuqisë së një numri të caktuar.

Kjo do të thotë, fjalët "llogaritja e vlerës së një fuqie" dhe "rritja në një fuqi" nënkuptojnë të njëjtën gjë. Pra, nëse problemi thotë "Ngritni numrin 0, 5 në fuqinë e pestë", kjo duhet të kuptohet si "llogaritni vlerën e fuqisë (0, 5) 5.

Tani ne paraqesim rregullat themelore që duhet të ndiqen kur bëni llogaritje të tilla.

Le të kujtojmë se çfarë është fuqia e një numri me një eksponent natyror. Për një fuqi me bazë a dhe eksponent n, ky do të jetë prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Kjo mund të shkruhet kështu:

Për të llogaritur vlerën e një shkalle, duhet të kryeni një veprim shumëzimi, domethënë të shumëzoni bazat e shkallës me numrin e caktuar të herë. Vetë koncepti i një shkalle me një eksponent natyror bazohet në aftësinë për t'u shumëzuar shpejt. Le të japim shembuj.

Shembulli 1

Gjendja: ngritja - 2 në fuqi 4.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, shkruajmë: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Më pas, ne vetëm duhet të ndjekim këto hapa dhe të marrim 16.

Le të marrim një shembull më të ndërlikuar.

Shembulli 2

Llogaritni vlerën 3 2 7 2

Zgjidhje

Kjo hyrje mund të rishkruhet si 3 2 7 · 3 2 7 . Më parë, ne shikuam se si të shumëzojmë saktë numrat e përzier të përmendur në kusht.

Le të kryejmë këto hapa dhe të marrim përgjigjen: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Nëse problemi tregon nevojën për të ngritur numrat irracionalë në një fuqi natyrore, do të duhet së pari të rrumbullakosim bazat e tyre në shifrën që do të na lejojë të marrim një përgjigje të saktësisë së kërkuar. Le të shohim një shembull.

Shembulli 3

Kryeni katrorin e π.

Zgjidhje

Së pari, le ta rrumbullakojmë atë në të qindtat. Pastaj π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Nëse π ≈ 3. 14159, atëherë marrim një rezultat më të saktë: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vini re se nevoja për të llogaritur fuqitë e numrave irracionalë lind relativisht rrallë në praktikë. Më pas mund ta shkruajmë përgjigjen si vetë fuqia (ln 6) 3, ose të konvertojmë nëse është e mundur: 5 7 = 125 5 .

Më vete, duhet të tregohet se cila është fuqia e parë e një numri. Këtu thjesht mund të mbani mend se çdo numër i ngritur në fuqinë e parë do të mbetet vetë:

Kjo duket qartë nga regjistrimi .

Nuk varet nga shkalla.

Shembulli 4

Pra, (− 9) 1 = − 9, dhe 7 3 e ngritur në fuqinë e parë do të mbetet e barabartë me 7 3.

Për lehtësi, do të shqyrtojmë tre raste veç e veç: nëse eksponenti është një numër i plotë pozitiv, nëse është zero dhe nëse është një numër i plotë negativ.

Në rastin e parë, kjo është njësoj si ngritja në një fuqi natyrore: në fund të fundit, numrat e plotë pozitiv i përkasin grupit të numrave natyrorë. Ne kemi folur tashmë më lart se si të punojmë me diploma të tilla.

Tani le të shohim se si të ngrihet saktë në fuqinë zero. Për një bazë të ndryshme nga zero, kjo llogaritje jep gjithmonë 1. Më parë shpjeguam se fuqia 0 e a mund të përcaktohet për çdo numër real jo të barabartë me 0, dhe a 0 = 1.

Shembulli 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nuk është përcaktuar.

Na mbetet vetëm rasti i një shkalle me një eksponent negativ numër të plotë. Ne kemi diskutuar tashmë se shkallë të tilla mund të shkruhen si një thyesë 1 a z, ku a është çdo numër dhe z është një numër i plotë negativ. Ne shohim se emëruesi i kësaj thyese nuk është gjë tjetër veçse një fuqi e zakonshme me një eksponent pozitiv të numrit të plotë dhe tashmë kemi mësuar se si ta llogarisim atë. Le të japim shembuj të detyrave.

Shembulli 6

Ngrini 2 në fuqi - 3.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, ne shkruajmë: 2 - 3 = 1 2 3

Le të llogarisim emëruesin e kësaj thyese dhe të marrim 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Atëherë përgjigja është: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Shembulli 7

Ngrini 1.43 në fuqinë -2.

Zgjidhje

Le të riformulojmë: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Njehsojmë katrorin në emërues: 1,43·1,43. Dhjetorët mund të shumëzohen në këtë mënyrë:

Si rezultat, morëm (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Gjithçka që duhet të bëjmë është ta shkruajmë këtë rezultat në formën e një thyese të zakonshme, për të cilën duhet ta shumëzojmë me 10 mijë (shiko materialin për shndërrimin e thyesave).

Përgjigje: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Një rast i veçantë është ngritja e një numri në fuqinë e parë minus. Vlera e kësaj shkalle është e barabartë me reciprocitetin e vlerës fillestare të bazës: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Shembulli 8

Shembull: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Si të ngrini një numër në një fuqi thyesore

Për të kryer një veprim të tillë, duhet të kujtojmë përkufizimin bazë të një shkalle me një eksponent thyesor: a m n = a m n për çdo a pozitiv, numër të plotë m dhe n natyror.

Përkufizimi 2

Kështu, llogaritja e një fuqie thyesore duhet të kryhet në dy hapa: ngritja në një fuqi numër të plotë dhe gjetja e rrënjës së fuqisë së n-të.

Kemi barazinë a m n = a m n , e cila, duke marrë parasysh vetitë e rrënjëve, zakonisht përdoret për zgjidhjen e problemeve në formën a m n = a n m . Kjo do të thotë që nëse e ngremë një numër në një fuqi thyesore m / n, atëherë së pari marrim rrënjën e n-të të a, pastaj e ngremë rezultatin në një fuqi me një eksponent numër të plotë m.

Le ta ilustrojmë me një shembull.

Shembulli 9

Llogaritni 8 - 2 3 .

Zgjidhje

Metoda 1: Sipas përkufizimit bazë, ne mund ta paraqesim këtë si: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Tani le të llogarisim shkallën nën rrënjë dhe nxjerrim rrënjën e tretë nga rezultati: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformoni barazinë bazë: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pas kësaj, nxjerrim rrënjën 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dhe katrore rezultatin: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Ne shohim se zgjidhjet janë identike. Ju mund ta përdorni atë në çdo mënyrë që ju pëlqen.

Ka raste kur shkalla ka një tregues të shprehur si një numër i përzier ose një thyesë dhjetore. Për të thjeshtuar llogaritjet, është më mirë ta zëvendësoni atë me një fraksion të zakonshëm dhe të llogarisni siç tregohet më sipër.

Shembulli 10

Ngrini 44, 89 në fuqinë 2, 5.

Zgjidhje

Le ta kthejmë vlerën e treguesit në një fraksion të zakonshëm: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Tani kryejmë me radhë të gjitha veprimet e treguara më sipër: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107

Përgjigje: 13 501, 25107.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një eksponenti thyesor përmbajnë numra të mëdhenj, atëherë llogaritja e eksponentëve të tillë me eksponentë racionalë është një punë mjaft e vështirë. Zakonisht kërkon teknologji kompjuterike.

Le të ndalemi veçmas në fuqitë me një bazë zero dhe një eksponent thyesor. Një shprehje e formës 0 m n mund t'i jepet kuptimi i mëposhtëm: nëse m n > 0, atëherë 0 m n = 0 m n = 0; nëse m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Si të ngrini një numër në një fuqi joracionale

Nevoja për të llogaritur vlerën e një fuqie, eksponenti i së cilës është një numër irracional nuk lind aq shpesh. Në praktikë, detyra zakonisht kufizohet në llogaritjen e një vlere të përafërt (deri në një numër të caktuar të numrave dhjetorë). Kjo zakonisht llogaritet në një kompjuter për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve të tilla, kështu që ne nuk do të ndalemi në këtë në detaje, ne do të tregojmë vetëm dispozitat kryesore.

Nëse duhet të llogarisim vlerën e një fuqie a me një eksponent irracional a, atëherë marrim përafrimin dhjetor të eksponentit dhe numërojmë prej tij. Rezultati do të jetë një përgjigje e përafërt. Sa më i saktë të jetë përafrimi dhjetor, aq më e saktë është përgjigja. Le të tregojmë me një shembull:

Shembulli 11

Llogaritni përafrimin e 2 me fuqinë 1,174367....

Zgjidhje

Le të kufizohemi në përafrimin dhjetor a n = 1, 17. Le të bëjmë llogaritjet duke përdorur këtë numër: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Nëse marrim, për shembull, përafrimin a n = 1, 1743, atëherë përgjigja do të jetë pak më e saktë: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Formulat e diplomës përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:

Operacionet me gradë.

1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, shtohen treguesit e tyre:

jam·a n = a m + n .

2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:

3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n /b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n Fuqia e th është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si ai i pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:

Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jo të barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallën m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.

Kur numri shumëfishohet vetë per veten time, puna thirrur shkallë.

Pra, 2.2 = 4, katror ose fuqia e dytë e 2
2.2.2 = 8, kub ose fuqi e tretë.
2.2.2.2 = 16, shkalla e katërt.

Gjithashtu, 10.10 = 100, fuqia e dytë e 10.
10.10.10 = 1000, fuqia e tretë.
10.10.10.10 = 10000 fuqia e katërt.

Dhe a.a = aa, fuqia e dytë e a
a.a.a = aaa, fuqia e tretë e a
a.a.a.a = aaaa, fuqia e katërt e a

Telefonohet numri origjinal rrënjë fuqitë e këtij numri sepse është numri nga i cili janë krijuar fuqitë.

Megjithatë, nuk është krejtësisht e përshtatshme, veçanërisht në rastin e fuqive të larta, të shënohen të gjithë faktorët që përbëjnë pushtetet. Prandaj, përdoret një metodë e shënimit stenografi. Rrënja e shkallës shkruhet vetëm një herë, dhe në të djathtë dhe pak më lart pranë saj, por me një font pak më të vogël, shkruhet sa herë. rrënja vepron si faktor. Ky numër ose shkronjë quhet eksponent ose shkallë numrat. Pra, a 2 është e barabartë me a.a ose aa, sepse rrënja a duhet të shumëzohet me vetveten dy herë për të marrë fuqinë aa. Gjithashtu, një 3 do të thotë aaa, domethënë këtu a përsëritet tri herë si shumëzues.

Eksponenti i shkallës së parë është 1, por zakonisht nuk shkruhet. Pra, një 1 shkruhet si a.

Nuk duhet të ngatërroni gradën me koeficientët. Koeficienti tregon se sa shpesh merret vlera Pjesë e gjitha. Fuqia tregon se sa shpesh merret një sasi faktor në punë.
Pra, 4a = a + a + a + a. Por a 4 = a.a.a.a

Skema e shënimit të fuqisë ka avantazhin e veçantë që na lejon të shprehemi i panjohur shkallë. Për këtë qëllim, në vend të një numri shkruhet eksponenti letër. Në procesin e zgjidhjes së një problemi, ne mund të marrim një sasi që dimë se është disa shkallë e një madhësie tjetër. Por deri tani nuk e dimë nëse është një katror, ​​një kub apo një shkallë tjetër, më e lartë. Pra, në shprehjen a x, eksponenti do të thotë që kjo shprehje ka disa shkallë, edhe pse e papërcaktuar çfarë shkalle. Pra, b m dhe d n janë ngritur në fuqitë e m dhe n. Kur të gjendet eksponenti, numri zëvendësohet në vend të shkronjës. Pra, nëse m=3, atëherë b m = b 3 ; por nëse m = 5, atëherë b m =b 5.

Metoda e shkrimit të vlerave duke përdorur fuqi është gjithashtu një avantazh i madh gjatë përdorimit shprehjet. Kështu, (a + b + d) 3 është (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), domethënë kubi i trinomit (a + b + d) . Por nëse e shkruajmë këtë shprehje pasi e ngremë në një kub, do të duket si
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Nëse marrim një seri fuqish, eksponentët e të cilëve rriten ose zvogëlohen me 1, gjejmë se produkti rritet me shumëzues i përbashkët ose zvogëlohet me pjesëtues i përbashkët, dhe ky faktor ose pjesëtues është numri origjinal që është ngritur në një fuqi.

Pra, në serialin aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ose një 5, një 4, një 3, një 2, një 1;
treguesit, nëse numërohen nga e djathta në të majtë, janë 1, 2, 3, 4, 5; dhe ndryshimi midis vlerave të tyre është 1. Nëse fillojmë në të djathtë shumohen me a, do të marrim me sukses vlera të shumta.

Pra a.a = a 2, termi i dytë. Dhe një 3.a = a 4
a 2 .a = a 3, termi i tretë. a 4 .a = a 5 .

Nëse fillojmë majtas ndajnë tek një,
marrim një 5:a = a 4 dhe një 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Por ky proces i ndarjes mund të vazhdojë më tej, dhe ne marrim një grup të ri vlerash.

Pra, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rreshti i plotë do të ishte: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ose një 5, një 4, një 3, një 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Këtu janë vlerat në të djathtë nga një ka e kundërta vlerat në të majtë të njërës. Prandaj këto gradë mund të quhen fuqitë e anasjellta a. Mund të themi gjithashtu se fuqitë në të majtë janë të kundërta të fuqive në të djathtë.

Pra, 1: (1/a) = 1.(a/1) = a. Dhe 1: (1/a 3) = a 3.

Mund të zbatohet i njëjti plan regjistrimi polinomet. Pra, për a + b, marrim grupin,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Për lehtësi, përdoret një formë tjetër e shkrimit të fuqive reciproke.

Sipas kësaj forme, 1/a ose 1/a 1 = a -1. Dhe 1/aaa ose 1/a 3 = a -3 .
1/aa ose 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ose 1/a 4 = a -4 .

Dhe për të bërë një seri të plotë me 1 si diferencë totale me eksponentë, a/a ose 1 konsiderohet si diçka që nuk ka shkallë dhe shkruhet si 0 .

Pastaj, duke marrë parasysh fuqitë e drejtpërdrejta dhe të kundërta
në vend të aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
ju mund të shkruani një 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Ose a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Dhe një seri vetëm gradash individuale do të duket si:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rrënja e një shkalle mund të shprehet me më shumë se një shkronjë.

Kështu, aa.aa ose (aa) 2 është fuqia e dytë e aa.
Dhe aa.aa.aa ose (aa) 3 është fuqia e tretë e aa.

Të gjitha fuqitë e numrit 1 janë të njëjta: 1.1 ose 1.1.1. do të jetë e barabartë me 1.

Shpejtësia është gjetja e vlerës së çdo numri duke e shumëzuar atë numër me vetveten. Rregulla për fuqizimin:

Shumëzojeni sasinë në vetvete aq herë sa tregohet në fuqinë e numrit.

Ky rregull është i përbashkët për të gjithë shembujt që mund të lindin gjatë procesit të fuqizimit. Por është e drejtë të jepet një shpjegim se si zbatohet në raste të veçanta.

Nëse vetëm një term është ngritur në një fuqi, atëherë ai shumëzohet në vetvete aq herë sa tregohet nga eksponenti.

Fuqia e katërt e a është 4 ose aaaa. (Neni 195.)
Fuqia e gjashtë e y është y 6 ose yyyyyy.
Fuqia e N e x është x n ose xxx..... n herë përsëritet.

Nëse është e nevojshme të ngrihet një shprehje e disa termave në një fuqi, parimi që fuqia e produktit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e këtyre faktorëve të ngritur në një fuqi.

Pra (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Por ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Pra, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prandaj, në gjetjen e fuqisë së një produkti, ne ose mund të operojmë me të gjithë produktin në të njëjtën kohë, ose mund të operojmë me secilin faktor veç e veç dhe më pas t'i shumëzojmë vlerat e tyre me fuqitë.

Shembulli 1. Fuqia e katërt e dhy është (dhy) 4, ose d 4 h 4 y 4.

Shembulli 2. Fuqia e tretë është 4b, ka (4b) 3, ose 4 3 b 3, ose 64b 3.

Shembulli 3. Fuqia e N-të e 6ad është (6ad) n ose 6 n a n d n.

Shembulli 4. Fuqia e tretë e 3m.2y është (3m.2y) 3, ose 27m 3 .8y 3.

Shkalla e një binomi, i përbërë nga terma të lidhur me + dhe -, llogaritet duke shumëzuar termat e tij. Po,

(a + b) 1 = a + b, shkalla e parë.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, fuqia e dytë (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, fuqia e tretë.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fuqia e katërt.

Katrori i a - b është a 2 - 2ab + b 2.

Katrori i a + b + h është a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Ushtrimi 1. Gjeni kubin a + 2d + 3

Ushtrimi 2. Gjeni fuqinë e katërt të b + 2.

Ushtrimi 3. Gjeni fuqinë e pestë të x + 1.

Ushtrimi 4. Gjeni fuqinë e gjashtë 1 - b.

Katrore shumës shumat Dhe dallimet binomet ndodhin aq shpesh në algjebër saqë është e nevojshme t'i njohim shumë mirë.

Nëse shumëzojmë a + h me vete ose a - h me vete,
marrim: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 gjithashtu, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Kjo tregon se në çdo rast, termat e parë dhe të fundit janë katrorët e a dhe h, dhe termi i mesëm është dyfishi i prodhimit të a dhe h. Nga këtu, katrori i shumës dhe ndryshimit të binomeve mund të gjendet duke përdorur rregullin e mëposhtëm.

Katrori i një binomi, të dy anëtarët e të cilit janë pozitiv, është i barabartë me katrorin e anëtarit të parë + dyfishin e produktit të të dy anëtarëve + katrorin e anëtarit të fundit.

Sheshi dallimet binomet është e barabartë me katrorin e anëtarit të parë minus dyfishin e produktit të të dy anëtarëve plus katrorin e anëtarit të dytë.

Shembulli 1. Katrori 2a + b, ka 4a 2 + 4ab + b 2.

Shembulli 2. Katrori ab + cd, ka një 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Shembulli 3. Katrori 3d - h, ka 9d 2 + 6dh + h 2.

Shembulli 4. Katrori a - 1 është 2 - 2a + 1.

Për një metodë për gjetjen e fuqive më të larta të binomeve, shihni seksionet e mëposhtme.

Në shumë raste është efektive për të shkruar gradë pa shumëzim.

Pra, katrori i a + b është (a + b) 2.
Fuqia e N-të e bc + 8 + x është (bc + 8 + x) n

Në raste të tilla, kllapat mbulojnë Të gjitha anëtarë nën diplomë.

Por nëse rrënja e shkallës përbëhet nga disa shumëzuesit, kllapat mund të mbulojnë të gjithë shprehjen ose mund të aplikohen veçmas për faktorët në varësi të komoditetit.

Kështu, katrori (a + b) (c + d) është ose [(a + b).(c + d)] 2 ose (a + b) 2 .(c + d) 2.

Për të parën nga këto shprehje, rezultati është katrori i produktit të dy faktorëve, dhe për të dytën, rezultati është prodhimi i katrorëve të tyre. Por ata janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Kubi a.(b + d), është 3, ose a 3.(b + d) 3.

Duhet të merret parasysh edhe shenja përpara anëtarëve të përfshirë. Është shumë e rëndësishme të mbani mend se kur rrënja e një diplome është pozitive, të gjitha fuqitë e saj pozitive janë gjithashtu pozitive. Por kur rrënja është negative, vlerat me i çuditshëm fuqitë janë negative, ndërsa vlerat madje gradat janë pozitive.

Shkalla e dytë (- a) është +a 2
Shkalla e tretë (-a) është -a 3
Fuqia e katërt (-a) është +a 4
Fuqia e pestë (-a) është -a 5

Prandaj ndonjë i çuditshëm shkalla ka të njëjtën shenjë me numrin. Por madje shkalla është pozitive pavarësisht nëse numri ka shenjë negative apo pozitive.
Pra, +a.+a = +a 2
Dhe -a.-a = +a 2

Një sasi që tashmë është ngritur në një fuqi rritet përsëri në një fuqi duke shumëzuar eksponentët.

Fuqia e tretë e një 2 është një 2.3 = a 6.

Për një 2 = aa; kubi aa është aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; që është fuqia e gjashtë e a, por fuqia e tretë e a 2.

Fuqia e katërt e a 3 b 2 është a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Fuqia e tretë e 4a 2 x është 64a 6 x 3.

Fuqia e pestë e (a + b) 2 është (a + b) 10.

Fuqia e N-të e një 3 është një 3n

Fuqia e N-të e (x - y) m është (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Rregulli zbatohet njëlloj për negativ gradë.

Shembulli 1. Fuqia e tretë e a -2 është a -3.3 =a -6.

Për një -2 = 1/aa, dhe fuqia e tretë e kësaj
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Fuqia e katërt e një 2 b -3 është një 8 b -12 ose a 8 /b 12.

Katrori është b 3 x -1, ka b 6 x -2.

Fuqia e N-të e ax -m është x -mn ose 1/x.

Megjithatë, këtu duhet të kujtojmë se nëse shenja e mëparshme shkalla është "-", atëherë duhet të ndryshohet në "+" sa herë që shkalla është numër çift.

Shembulli 1. Katrori -a 3 është +a 6. Katrori i -a 3 është -a 3 .-a 3, i cili, sipas rregullave të shenjave në shumëzim, është +a 6.

2. Por kubi -a 3 është -a 9. Për -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Fuqia e N-të -a 3 është një 3n.

Këtu rezultati mund të jetë pozitiv ose negativ në varësi të faktit nëse n është çift apo tek.

Nëse fraksioniështë ngritur në një fuqi, atëherë numëruesi dhe emëruesi janë ngritur në një fuqi.

Katrori i a/b është a 2 /b 2 . Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Fuqitë e dytë, të tretë dhe të n-të të 1/a janë 1/a 2, 1/a 3 dhe 1/a n.

Shembuj binomet, në të cilin një nga termat është një thyesë.

1. Gjeni katrorin x + 1/2 dhe x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Katrori i a + 2/3 është një 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Katrori x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Katrori i x - b/m është x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Më parë u tregua se koeficienti i pjesshëm mund të zhvendoset nga numëruesi në emërues ose nga emëruesi në numërues. Duke përdorur skemën për shkrimin e kompetencave reciproke, është e qartë se ndonjë shumëzues gjithashtu mund të zhvendoset, nëse ndryshohet shenja e gradës.

Pra, në thyesën ax -2 /y, ne mund ta zhvendosim x nga numëruesi në emërues.
Pastaj ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Në thyesën a/nga 3, mund të kalojmë y nga emëruesi në numërues.
Pastaj a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Në të njëjtën mënyrë, ne mund të zhvendosim një faktor që ka një eksponent pozitiv në numërues ose një faktor me një eksponent negativ në emërues.

Pra, sëpatë 3 /b = a/bx -3. Për x 3 anasjelltas është x -3 , që është x 3 = 1/x -3 .

Prandaj, emëruesi i çdo thyese mund të hiqet plotësisht, ose numëruesi mund të reduktohet në një, pa ndryshuar kuptimin e shprehjes.

Pra, a/b = 1/ba -1, ose ab -1.

Llogaritësi ju ndihmon të ngrini shpejt një numër në fuqi në internet. Baza e shkallës mund të jetë çdo numër (si numra të plotë ashtu edhe real). Eksponenti mund të jetë gjithashtu një numër i plotë ose real, dhe gjithashtu mund të jetë pozitiv ose negativ. Mbani në mend se për numrat negativ, ngritja në një fuqi jo të plotë është e papërcaktuar, kështu që kalkulatori do të raportojë një gabim nëse e provoni.

Llogaritësi i diplomës

Ngritja në pushtet

Shprehjet: 94722

Cila është fuqia natyrore e një numri?

Numri p quhet fuqia n e një numri nëse p është i barabartë me numrin a të shumëzuar me vetveten n herë: p = a n = a·...·a
n - thirri eksponent, dhe numri a është bazën e shkallës.

Si të ngrihet një numër në një fuqi natyrore?

Për të kuptuar se si të ngrini numra të ndryshëm në fuqi natyrore, merrni parasysh disa shembuj:

Shembulli 1. Ngrini numrin tre në fuqinë e katërt. Kjo do të thotë, është e nevojshme të llogaritet 3 4
Zgjidhje: siç u përmend më lart, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Përgjigju: 3 4 = 81 .

Shembulli 2. Ngrini numrin pesë në fuqinë e pestë. Kjo do të thotë, është e nevojshme të llogaritet 5 5
Zgjidhje: në mënyrë të ngjashme, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Përgjigju: 5 5 = 3125 .

Kështu, për të ngritur një numër në një fuqi natyrore, ju vetëm duhet ta shumëzoni atë në vetvete n herë.

Cila është fuqia negative e një numri?

Fuqia negative -n e a është një pjesëtuar me a në fuqinë e n: a -n = .

Në këtë rast, një fuqi negative ekziston vetëm për numrat jo zero, pasi përndryshe do të ndodhte ndarja me zero.

Si të ngrihet një numër në një fuqi numër të plotë negativ?

Për të ngritur një numër jo zero në një fuqi negative, duhet të llogarisni vlerën e këtij numri në të njëjtën fuqi pozitive dhe të ndani një me rezultatin.

Shembulli 1. Ngrini numrin dy në fuqinë e katërt negative. Kjo është, ju duhet të llogaritni 2 -4

Zgjidhje: siç u tha më sipër, 2 -4 = = = 0,0625.

Përgjigju: 2 -4 = 0.0625 .

Artikuj të ngjashëm