Si të zgjerohet një trinom kuadratik. Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Ky kalkulator në internet është krijuar për të faktorizuar një funksion.

Për shembull, faktorizoni: x 2 /3-3x+12. Le ta shkruajmë si x^2/3-3*x+12. Ju gjithashtu mund të përdorni këtë shërbim, ku ruhen të gjitha llogaritjet Formati i fjalës.

Për shembull, zbërthehet në terma. Le ta shkruajmë si (1-x^2)/(x^3+x) . Për të parë përparimin e zgjidhjes, klikoni Shfaq hapat. Nëse keni nevojë të merrni rezultatin në formatin Word, përdorni këtë shërbim.

shënim: numri "pi" (π) shkruhet pi; rrënja katrore si sqrt , për shembull sqrt(3) , tangjenta tg shkruhet tan . Për të parë përgjigjen, shihni Alternativën.

Nëse jepet një shprehje e thjeshtë, për shembull, 8*d+12*c*d, atëherë faktorizimi i shprehjes nënkupton paraqitjen e shprehjes në formën e faktorëve. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni faktorë të përbashkët. Le ta shkruajmë këtë shprehje si: 4*d*(2+3*c) .
Paraqisni produktin në formën e dy binomeve: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Këtu tashmë duhet të gjeni disa faktorë të zakonshëm: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Nxjerrim (x+7z) dhe marrim: (x+7z)(x + 3y) .

shih gjithashtu Ndarja e polinomeve me një kënd (tregohen të gjitha hapat e pjesëtimit me një kolonë)

Do të jenë të dobishme kur studiohen rregullat e faktorizimit formulat e shkurtuara të shumëzimit, me ndihmën e së cilës do të jetë e qartë se si të hapni kllapa me një katror:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metodat e faktorizimit

Pasi mësoi disa truke faktorizimi Mund të bëhet klasifikimi i mëposhtëm i zgjidhjeve:

Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit.
Gjetja e një faktori të përbashkët.

Faktorizimi i trinomeve kuadratike është një nga detyrat shkollore me të cilën të gjithë përballen herët a vonë. Si ta bëjmë atë? Cila është formula për faktorizimin e një trinomi kuadratik? Le ta kuptojmë hap pas hapi duke përdorur shembuj.

Formula e përgjithshme

Trinomialet kuadratike faktorizohen duke zgjidhur një ekuacion kuadratik. Ky është një problem i thjeshtë që mund të zgjidhet me disa metoda - duke gjetur diskriminuesin, duke përdorur teoremën e Vietës, ekziston edhe një zgjidhje grafike. Dy metodat e para studiohen në shkollë të mesme.

Formula e përgjithshme duket si kjo:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritmi për përfundimin e detyrës

Për të faktorizuar trinomet kuadratike, duhet të dini teoremën e Vitës, të keni në dorë një program zgjidhjeje, të jeni në gjendje të gjeni një zgjidhje grafikisht ose të kërkoni rrënjët e një ekuacioni të shkallës së dytë duke përdorur formulën diskriminuese. Nëse jepet një trinom kuadratik dhe duhet të faktorizohet, algoritmi është si më poshtë:

1) Barazoni shprehjen origjinale me zero për të marrë një ekuacion.

2) Jepni terma të ngjashëm (nëse është e nevojshme).

3) Gjeni rrënjët e ndonjë në një mënyrë të njohur. Metoda grafike përdoret më së miri nëse dihet paraprakisht se rrënjët janë numra të plotë dhe të vegjël. Duhet mbajtur mend se numri i rrënjëve është i barabartë me shkallën maksimale të ekuacionit, domethënë, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.

4) Zëvendësoni vlerën X në shprehje (1).

5) Shkruani faktorizimin e trinomeve kuadratike.

Shembuj

Praktika ju lejon të kuptoni më në fund se si kryhet kjo detyrë. Shembujt ilustrojnë faktorizimin e një trinomi katror:

është e nevojshme të zgjerohet shprehja:

Le t'i drejtohemi algoritmit tonë:

1) x 2 -17x+32=0

2) termat e ngjashëm reduktohen

3) duke përdorur formulën e Vieta, është e vështirë të gjesh rrënjë për këtë shembull, kështu që është më mirë të përdoret shprehja për diskriminuesin:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Le të zëvendësojmë rrënjët që gjetëm në formulën bazë për zbërthimin:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Atëherë përgjigja do të jetë si kjo:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Le të kontrollojmë nëse zgjidhjet e gjetura nga diskriminuesi korrespondojnë me formulat Vieta:

14,845 . 2,155=32

Për këto rrënjë zbatohet teorema e Vietës, ato janë gjetur saktë, që do të thotë se faktorizimi që kemi marrë është gjithashtu i saktë.

Në mënyrë të ngjashme, ne zgjerojmë 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Në rastin e mëparshëm, zgjidhjet ishin numra jo të plotë, por realë, të cilët gjenden lehtësisht nëse keni para vetes një makinë llogaritëse. Tani le të shohim një shembull më kompleks, në të cilin rrënjët do të jenë komplekse: faktori x 2 + 4x + 9. Duke përdorur formulën e Vietës, rrënjët nuk mund të gjenden dhe diskriminuesi është negativ. Rrënjët do të jenë në planin kompleks.

D=-20

Në bazë të kësaj marrim rrënjët që na interesojnë -4+2i*5 1/2 dhe -4-2i * 5 1/2 që nga (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Ne marrim zbërthimin e dëshiruar duke zëvendësuar rrënjët në formulën e përgjithshme.

Një shembull tjetër: duhet të faktorizoni shprehjen 23x 2 -14x+7.

Ne kemi ekuacionin 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Kjo do të thotë se rrënjët janë 14+21.166i dhe 14-21.166i. Përgjigja do të jetë:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Le të japim një shembull që mund të zgjidhet pa ndihmën e një diskriminuesi.

Le të themi se duhet të zgjerojmë ekuacionin kuadratik x 2 -32x+255. Natyrisht, mund të zgjidhet edhe duke përdorur një diskriminues, por në këtë rast është më e shpejtë për të gjetur rrënjët.

x 1 = 15

x 2 =17

Do të thotë x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Le të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik. Duke përdorur formulat (59.8) për rrënjët e ekuacionit të mësipërm, marrim

(barazia e parë është e dukshme, e dyta merret pas një llogaritjeje të thjeshtë, të cilën lexuesi do ta kryejë në mënyrë të pavarur; është e përshtatshme të përdoret formula për shumëzimin e shumës së dy numrave me ndryshimin e tyre).

Më poshtë është vërtetuar

Teorema e Vietës. Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt dhe prodhimi i tyre është i barabartë me termin e lirë.

Në rastin e një ekuacioni kuadratik të pareduktuar, duhet të zëvendësohen shprehjet e formulës (60.1) në formula (60.1) dhe të marrin formën

Shembulli 1. Hartoni një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij:

Zgjidhje, a) Gjejmë se ekuacioni ka formën

Shembulli 2. Gjeni shumën e katrorëve të rrënjëve të ekuacionit pa zgjidhur vetë ekuacionin.

Zgjidhje. Dihet shuma dhe prodhimi i rrënjëve. Le të paraqesim shumën e rrënjëve në katror në formë

dhe marrim

Nga formula e Vieta-s është e lehtë të merret formula

duke shprehur rregullën për faktorizimin e një trinomi kuadratik.

Në të vërtetë, le të shkruajmë formulat (60.2) në formë

Tani kemi

që është ajo që na duhej të merrnim.

Derivimi i mësipërm i formulave të Vieta-s është i njohur për lexuesin nga një kurs algjebër gjimnaz. Një tjetër përfundim mund të jepet duke përdorur teoremën e Bezout dhe faktorizimin e polinomit (paragrafët 51, 52).

Lërini rrënjët e ekuacionit, atëherë, sipas rregullit të përgjithshëm (52.2), faktorizohet trinomi në anën e majtë të ekuacionit:

Duke hapur kllapat në anën e djathtë të kësaj barazie identike, marrim

dhe krahasimi i koeficientëve me të njëjtat fuqi do të na japë formulën Vieta (60.1).

Avantazhi i këtij derivimi është se ai mund të zbatohet në ekuacione të shkallëve më të larta për të marrë shprehje për koeficientët e ekuacionit në lidhje me rrënjët e tij (pa gjetur vetë rrënjët!). Për shembull, nëse rrënjët e ekuacionit të dhënë kubik

thelbi është se sipas barazisë (52.2) gjejmë

(në rastin tonë, duke hapur kllapat në anën e djathtë të barazisë dhe duke mbledhur koeficientët në shkallë të ndryshme, marrim

Zgjerimi i polinomeve për të marrë një produkt ndonjëherë mund të duket konfuz. Por nuk është aq e vështirë nëse e kuptoni procesin hap pas hapi. Artikulli përshkruan në detaje se si të faktorizoni një trinom kuadratik.

Shumë njerëz nuk e kuptojnë se si të faktorizojnë një trinom katror dhe pse bëhet kjo. Në fillim mund të duket si një ushtrim i kotë. Por në matematikë asgjë nuk bëhet për asgjë. Transformimi është i nevojshëm për të thjeshtuar shprehjen dhe lehtësinë e llogaritjes.

Një polinom i formës – ax²+bx+c, quhet trinom kuadratik. Termi "a" duhet të jetë negativ ose pozitiv. Në praktikë, kjo shprehje quhet ekuacion kuadratik. Prandaj, ndonjëherë ata e thonë ndryshe: si të zgjerohet një ekuacion kuadratik.

Interesante! Një polinom quhet katror për shkak të shkallës së tij më të madhe, katrorit. Dhe një trinom - për shkak të 3 komponentëve.

Disa lloje të tjera polinomesh:

binomi linear (6x+8);
kadrinomi kub (x³+4x²-2x+9).

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Së pari, shprehja është e barabartë me zero, atëherë duhet të gjeni vlerat e rrënjëve x1 dhe x2. Mund të mos ketë rrënjë, mund të ketë një ose dy rrënjë. Prania e rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi. Ju duhet ta dini përmendësh formulën e tij: D=b²-4ac.

Nëse rezultati D është negativ, nuk ka rrënjë. Nëse pozitive, ka dy rrënjë. Nëse rezultati është zero, rrënja është një. Rrënjët gjithashtu llogariten duke përdorur formulën.

Nëse, kur llogaritni diskriminuesin, rezultati është zero, mund të përdorni ndonjë nga formulat. Në praktikë, formula thjesht shkurtohet: -b / 2a.

Formulat për vlera të ndryshme diskriminuese janë të ndryshme.

Nëse D është pozitiv:

Nëse D është zero:

Llogaritësi në internet

Ekziston një kalkulator në internet në internet. Mund të përdoret për të kryer faktorizimin. Disa burime ofrojnë mundësinë për të parë zgjidhjen hap pas hapi. Shërbime të tilla ndihmojnë për të kuptuar më mirë temën, por duhet të përpiqeni ta kuptoni mirë.

Video e dobishme: Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Shembuj

Ne sugjerojmë të shikoni shembuj të thjeshtë se si të faktorizoni një ekuacion kuadratik.

Shembulli 1

Kjo tregon qartë se rezultati është dy x sepse D është pozitiv. Ato duhet të zëvendësohen në formulë. Nëse rrënjët rezultojnë negative, shenja në formulë ndryshon në të kundërtën.

Ne e dimë formulën për faktorizimin e një trinomi kuadratik: a(x-x1)(x-x2). Vlerat i vendosim në kllapa: (x+3)(x+2/3). Nuk ka asnjë numër përpara një termi në një fuqi. Kjo do të thotë se ka një atje, ai zbret.

Shembulli 2

Ky shembull tregon qartë se si të zgjidhet një ekuacion që ka një rrënjë.

Ne zëvendësojmë vlerën që rezulton:

Shembulli 3

E dhënë: 5x²+3x+7

Së pari, le të llogarisim diskriminuesin, si në rastet e mëparshme.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminuesi është negativ, që do të thotë se nuk ka rrënjë.

Pas marrjes së rezultatit, duhet të hapni kllapat dhe të kontrolloni rezultatin. Duhet të shfaqet trinomi origjinal.

Zgjidhje alternative

Disa njerëz nuk mundën kurrë të miqësoheshin me diskriminuesin. Ekziston një mënyrë tjetër për të faktorizuar një trinom kuadratik. Për lehtësi, metoda tregohet me një shembull.

Jepet: x²+3x-10

Ne e dimë se duhet të marrim 2 kllapa: (_)(_). Kur shprehja duket kështu: x²+bx+c, në fillim të çdo kllapa vendosim x: (x_)(x_). Dy numrat e mbetur janë prodhimi që jep "c", pra në këtë rast -10. Mënyra e vetme për të zbuluar se cilët janë numrat është me përzgjedhje. Numrat e zëvendësuar duhet të korrespondojnë me termin e mbetur.

Për shembull, duke shumëzuar numrat e mëposhtëm jep -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Përshtatet.

Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes x2+3x-10 duket kështu: (x-2)(x+5).

E rëndësishme! Duhet të keni kujdes që të mos ngatërroni shenjat.

Zgjerimi i një trinomi kompleks

Nëse "a" është më e madhe se një, fillojnë vështirësitë. Por gjithçka nuk është aq e vështirë sa duket.

Për të faktorizuar, së pari duhet të shikoni nëse diçka mund të faktorizohet.

Për shembull, jepet shprehja: 3x²+9x-30. Këtu numri 3 është hequr nga kllapa:

3 (x²+3x-10). Rezultati është trinomi tashmë i njohur. Përgjigja duket si kjo: 3(x-2)(x+5)

Si të zbërthehet nëse termi që është në katror është negativ? Në këtë rast, numri -1 hiqet nga kllapat. Për shembull: -x²-10x-8. Shprehja do të duket kështu:

Skema ndryshon pak nga ajo e mëparshme. Ka vetëm disa gjëra të reja. Le të themi se është dhënë shprehja: 2x²+7x+3. Përgjigja shkruhet gjithashtu në 2 kllapa që duhet të plotësohen (_)(_). Në kllapin e dytë shkruhet x, dhe në të parën ajo që ka mbetur. Duket kështu: (2x_)(x_). Përndryshe, skema e mëparshme përsëritet.

Numri 3 jepet nga numrat:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Ne i zgjidhim ekuacionet duke i zëvendësuar këta numra. Opsioni i fundit është i përshtatshëm. Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes 2x²+7x+3 duket kështu: (2x+1)(x+3).

Raste të tjera

Nuk është gjithmonë e mundur të konvertohet një shprehje. Me metodën e dytë, zgjidhja e ekuacionit nuk kërkohet. Por mundësia e shndërrimit të termave në produkt kontrollohet vetëm përmes diskriminuesit.

Vlen të praktikoni zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në mënyrë që kur përdorni formulat të mos ketë vështirësi.

Video e dobishme: faktorizimi i një trinomi

konkluzioni

Mund ta përdorni në çdo mënyrë. Por është më mirë t'i praktikoni të dyja derisa të bëhen automatike. Gjithashtu, mësimi i zgjidhjes së mirë të ekuacioneve kuadratike dhe polinomeve të faktorëve është i nevojshëm për ata që planifikojnë të lidhin jetën e tyre me matematikën. Të gjitha temat e mëposhtme matematikore janë ndërtuar mbi këtë.

Në kontakt me

Për të faktorizuar, është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet. Kjo është e nevojshme në mënyrë që të mund të reduktohet më tej. Zgjerimi i një polinomi ka kuptim kur shkalla e tij nuk është më e ulët se dy. Një polinom me shkallën e parë quhet linear.

Artikulli do të mbulojë të gjitha konceptet e dekompozimit, bazat teorike dhe metodat e faktorizimit të një polinomi.

Teoria

Teorema 1

Kur çdo polinom me shkallë n, që ka formën P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, përfaqësohen si një produkt me një faktor konstant me shkallën më të lartë a n dhe n faktorë linearë (x - x i), i = 1, 2, ..., n, pastaj P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , ku x i, i = 1, 2, …, n janë rrënjët e polinomit.

Teorema është menduar për rrënjët e tipit kompleks x i, i = 1, 2, ..., n dhe për koeficientët kompleks a k, k = 0, 1, 2, ..., n. Kjo është baza e çdo dekompozimi.

Kur koeficientët e formës a k, k = 0, 1, 2, ..., n janë numra realë, atëherë rrënjët komplekse do të shfaqen në çifte të konjuguara. Për shembull, rrënjët x 1 dhe x 2 lidhen me një polinom të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 konsiderohen të konjuguara komplekse, atëherë rrënjët e tjera janë reale, nga të cilat marrim se polinomi merr formën P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, ku x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Komentoni

Rrënjët e një polinomi mund të përsëriten. Le të shqyrtojmë vërtetimin e teoremës së algjebrës, pasojë e teoremës së Bezout.

Teorema themelore e algjebrës

Teorema 2

Çdo polinom me shkallë n ka të paktën një rrënjë.

Teorema e Bezout

Pas pjesëtimit të një polinomi të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s), atëherë marrim mbetjen, e cila është e barabartë me polinomin në pikën s, atëherë marrim

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , ku Q n - 1 (x) është një polinom me shkallë n - 1.

Përfundim i teoremës së Bezout

Kur rrënja e polinomit P n (x) konsiderohet të jetë s, atëherë P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Kjo përfundim është e mjaftueshme kur përdoret për të përshkruar zgjidhjen.

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Një trinom katror i formës a x 2 + b x + c mund të faktorizohet në faktorë linearë. atëherë marrim se a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , ku x 1 dhe x 2 janë rrënjë (komplekse ose reale).

Kjo tregon se vetë zgjerimi reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik më pas.

Shembulli 1

Faktoroni trinomin kuadratik.

Zgjidhje

Është e nevojshme të gjenden rrënjët e ekuacionit 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e diskriminuesit duke përdorur formulën, atëherë marrim D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Nga këtu e kemi atë

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Nga kjo marrim se 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Për të kryer kontrollin, duhet të hapni kllapat. Pastaj marrim një shprehje të formës:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Pas kontrollit, arrijmë në shprehjen origjinale. Kjo do të thotë, mund të konkludojmë se dekompozimi është kryer në mënyrë korrekte.

Shembulli 2

Faktoroni trinomin kuadratik të formës 3 x 2 - 7 x - 11 .

Zgjidhje

Ne konstatojmë se është e nevojshme të llogaritet ekuacioni kuadratik që rezulton i formës 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Për të gjetur rrënjët, duhet të përcaktoni vlerën e diskriminuesit. Ne e kuptojmë atë

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Nga kjo marrim se 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Shembulli 3

Faktoroni polinomin 2 x 2 + 1.

Zgjidhje

Tani duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik 2 x 2 + 1 = 0 dhe të gjejmë rrënjët e tij. Ne e kuptojmë atë

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Këto rrënjë quhen konjugate komplekse, që do të thotë se vetë zgjerimi mund të përshkruhet si 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Shembulli 4

Zbërthehet trinomi kuadratik x 2 + 1 3 x + 1 .

Zgjidhje

Së pari ju duhet të zgjidhni një ekuacion kuadratik të formës x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dhe të gjeni rrënjët e tij.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Pasi kemi marrë rrënjët, ne shkruajmë

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentoni

Nëse vlera diskriminuese është negative, atëherë polinomet do të mbeten polinome të rendit të dytë. Nga kjo rezulton se ne nuk do t'i zgjerojmë ato në faktorë linearë.

Metodat për faktorizimin e një polinomi me shkallë më të lartë se dy

Kur dekompozohet, supozohet një metodë universale. Shumica e të gjitha rasteve bazohen në një përfundim të teoremës së Bezout. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni vlerën e rrënjës x 1 dhe të zvogëloni shkallën e saj duke e ndarë me një polinom me 1 duke e ndarë me (x - x 1). Polinomi që rezulton duhet të gjejë rrënjën x 2 dhe procesi i kërkimit është ciklik derisa të marrim një zgjerim të plotë.

Nëse rrënja nuk gjendet, atëherë përdoren metoda të tjera të faktorizimit: grupimi, termat shtesë. Kjo temë përfshin zgjidhjen e ekuacioneve me fuqi më të larta dhe koeficientë të plotë.

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Shqyrtoni rastin kur termi i lirë është i barabartë me zero, atëherë forma e polinomit bëhet P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Mund të shihet se rrënja e një polinomi të tillë do të jetë e barabartë me x 1 = 0, atëherë polinomi mund të përfaqësohet si shprehja P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Kjo metodë konsiderohet se po nxjerr nga kllapat faktorin e përbashkët.

Shembulli 5

Faktoroni polinomin e shkallës së tretë 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Zgjidhje

Shohim se x 1 = 0 është rrënja e polinomit të dhënë, atëherë mund të heqim x nga kllapat e të gjithë shprehjes. Ne marrim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Le të kalojmë në gjetjen e rrënjëve të trinomit katror 4 x 2 + 8 x - 1. Le të gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Pastaj rrjedh se

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Për të filluar, le të marrim në konsideratë një metodë dekompozimi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, ku koeficienti i shkallës më të lartë është 1.

Kur një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato konsiderohen pjesëtues të termit të lirë.

Shembulli 6

Zbërthe shprehjen f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Zgjidhje

Le të shqyrtojmë nëse ka rrënjë të plota. Është e nevojshme të shkruani pjesëtuesit e numrit - 18. Marrim se ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Nga kjo rezulton se ky polinom ka rrënjë të plota. Ju mund të kontrolloni duke përdorur skemën e Horner. Është shumë i përshtatshëm dhe ju lejon të merrni shpejt koeficientët e zgjerimit të një polinomi:

Nga kjo rrjedh se x = 2 dhe x = - 3 janë rrënjët e polinomit origjinal, i cili mund të përfaqësohet si produkt i formës:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Ne vazhdojmë me zgjerimin e një trinomi kuadratik të formës x 2 + 2 x + 3.

Meqenëse diskriminuesi është negativ, do të thotë se nuk ka rrënjë të vërteta.

Përgjigje: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentoni

Lejohet të përdoret zgjedhja e rrënjës dhe ndarja e një polinomi me një polinom në vend të skemës së Hornerit. Le të kalojmë në shqyrtimin e zgjerimit të një polinomi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, më e larta prej të cilave është e barabartë me një.

Ky rast ndodh për thyesat racionale.

Shembulli 7

Faktorizoni f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Zgjidhje

Është e nevojshme të zëvendësohet ndryshorja y = 2 x, duhet të kaloni në një polinom me koeficientë të barabartë me 1 në shkallën më të lartë. Ju duhet të filloni duke shumëzuar shprehjen me 4. Ne e kuptojmë atë

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kur funksioni rezultues i formës g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ka rrënjë të plota, atëherë vendndodhja e tyre është ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Hyrja do të duket si kjo:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Le të kalojmë në llogaritjen e funksionit g (y) në këto pika në mënyrë që të marrim zero si rezultat. Ne e kuptojmë atë

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Gjejmë se y = - 5 është rrënja e një ekuacioni të formës y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, që do të thotë x = y 2 = - 5 2 është rrënja e funksionit origjinal.

Shembulli 8

Është e nevojshme të ndahet me një kolonë 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 me x + 5 2.

Zgjidhje

Le ta shkruajmë dhe të marrim:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrollimi i pjesëtuesve do të marrë shumë kohë, kështu që është më e dobishme të faktorizoni trinomin kuadratik që rezulton i formës x 2 + 7 x + 3. Duke u barazuar me zero gjejmë diskriminuesin.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Nga kjo rrjedh se

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Teknika artificiale për faktorizimin e një polinomi

Rrënjët racionale nuk janë të natyrshme në të gjitha polinomet. Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni në mënyra të veçanta për të gjetur faktorë. Por jo të gjithë polinomet mund të zgjerohen ose paraqiten si produkt.

Metoda e grupimit

Ka raste kur mund të gruponi termat e një polinomi për të gjetur një faktor të përbashkët dhe për ta vendosur atë jashtë kllapave.

Shembulli 9

Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Zgjidhje

Për shkak se koeficientët janë numra të plotë, atëherë rrënjët me sa duket mund të jenë gjithashtu numra të plotë. Për të kontrolluar, merrni vlerat 1, - 1, 2 dhe - 2 për të llogaritur vlerën e polinomit në këto pika. Ne e kuptojmë atë

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Kjo tregon se nuk ka rrënjë, është e nevojshme të përdoret një metodë tjetër e zgjerimit dhe zgjidhjes.

Është e nevojshme të grupohen:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Pas grupimit të polinomit origjinal, duhet ta përfaqësoni atë si produkt i dy trinomeve katrore. Për ta bërë këtë, ne duhet të faktorizojmë. ne e marrim atë

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentoni

Thjeshtësia e grupimit nuk do të thotë se zgjedhja e termave është mjaft e lehtë. Nuk ka një metodë specifike zgjidhjeje, prandaj është e nevojshme të përdoren teorema dhe rregulla të veçanta.

Shembulli 10

Faktoroni polinomin x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Zgjidhje

Polinomi i dhënë nuk ka rrënjë numër të plotë. Termat duhet të grupohen. Ne e kuptojmë atë

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Pas faktorizimit e marrim atë

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe binomit të Njutonit për të faktorizuar një polinom

Pamja shpesh nuk e bën të qartë se cila metodë duhet të përdoret gjatë dekompozimit. Pasi të jenë bërë transformimet, mund të ndërtoni një vijë të përbërë nga trekëndëshi i Paskalit, përndryshe ato quhen binomi i Njutonit.

Shembulli 11

Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Zgjidhje

Është e nevojshme të konvertohet shprehja në formë

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sekuenca e koeficientëve të shumës në kllapa tregohet me shprehjen x + 1 4 .

Kjo do të thotë se kemi x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Pas aplikimit të diferencës së katrorëve, marrim

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Merrni parasysh shprehjen që është në kllapin e dytë. Është e qartë se atje nuk ka kalorës, ndaj duhet të aplikojmë sërish formulën e diferencës së katrorëve. Marrim një shprehje të formës

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Shembulli 12

Faktorizo x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Zgjidhje

Le të fillojmë të transformojmë shprehjen. Ne e kuptojmë atë

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të diferencës së kubeve. Ne marrim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3