Kallëzues (lat. praedicatum- deklaruar, përmendur, thënë) - çdo deklaratë matematikore në të cilën ka të paktën një ndryshore. Kallëzuesi është objekti kryesor i studimit në logjikën e rendit të parë.
Një kallëzues është një shprehje me ndryshore logjike që kanë kuptim për çdo vlerë të lejuar të këtyre variablave.
Shprehjet: x > 5, x > y – kallëzues.
Kallëzues ( n-lokale, ose n-ary) është një funksion me një grup vlerash (0,1) (ose "false" dhe "e vërtetë"), të përcaktuara në grup. Kështu, çdo grup elementësh të grupit M karakterizohet si "e vërtetë" ose "e rreme".
Një kallëzues mund të shoqërohet me një lidhje matematikore: nëse n-ka i përket relacionit, atëherë kallëzuesi do të kthejë 1 mbi të Në veçanti, një kallëzues unar përcakton marrëdhënien e anëtarësimit me një grup të caktuar.
Kallëzuesi është një nga elementët e logjikës së rendit të parë dhe më të lartë. Duke u nisur nga logjika e rendit të dytë, kuantifikuesit mund të vendosen në kallëzues në formula.
Kallëzuesi quhet identikisht e vërtetë dhe shkruani:
nëse në ndonjë grup argumentesh merr vlerën 1.
Kallëzuesi quhet në mënyrë identike të rreme dhe shkruani:
nëse në ndonjë grup argumentesh merr vlerën 0.
Kallëzuesi quhet e realizueshme, nëse merr vlerën 1 në të paktën një grup argumentesh.
Meqenëse kallëzuesit marrin vetëm dy kuptime, të gjitha veprimet e algjebrës së Bulit janë të zbatueshme për to, për shembull: mohimi, nënkuptimi, lidhja, disjunksioni, etj.
Kuantifikuesi është një emër i zakonshëm për operacionet logjike, duke kufizuar fushën e së vërtetës së çdo kallëzuesi. Më shpesh përmenden:
Kuantifikues universal(emërtimi: lexohet: "për të gjithë...", "për të gjithë..." ose "çdo...", "çdo...", "për çdo...").
Kuantifikues i ekzistencës(emërtimi: , lexohet: "ekziston..." ose "do të gjendet...").
Shembuj
Le të shënojmë P(x) kallëzues " x pjesëtueshëm me 5." Duke përdorur sasinë e përgjithshme, ne mund të shkruajmë zyrtarisht pohimet e mëposhtme (e rreme, natyrisht):
ndonjë numri natyror shumëfishi i 5;
çdo numër natyror është shumëfish i 5;
të gjithë numrat natyrorë janë shumëfish të 5;
në mënyrën e mëposhtme:
.
Deklaratat e mëposhtme (tashmë të vërteta) përdorin kuantifikuesin ekzistencial:
ka numra natyrorë që janë shumëfish të 5;
ekziston një numër natyror që është shumëfish i 5;
të paktën një numër natyror plotpjesëtohet me 5.
Shënimi i tyre zyrtar:
.Hyrje në koncept
Lëreni në setin X numrat e thjeshtë jepet kallëzuesi P(x): "Numri i thjeshtë x është tek." Le të zëvendësojmë fjalën "ndonjë" përpara këtij kallëzuesi. Marrim pohimin e rremë "çdo numër i thjeshtë x është tek" (ky pohim është i rremë, pasi 2 është numër i thjeshtë çift).
Duke zëvendësuar fjalën "ekziston" përpara kallëzuesit të dhënë P(x), marrim pohimin e vërtetë "Ka një numër të thjeshtë x që është tek" (për shembull, x = 3).
Kështu, ju mund ta ktheni një kallëzues në një pohim duke vendosur para kallëzuesit fjalët "gjithçka", "ekziston" etj., të quajtura kuantifikues në logjikë.
Kuantifikuesit në logjikën matematikore
Deklarata do të thotë se diapazoni i ndryshores x përfshihen në fushën e së vërtetës së kallëzuesit P(x).
("Për të gjitha vlerat e (x), deklarata është e vërtetë.")
Pohimi do të thotë se fusha e së vërtetës së kallëzuesit P(x) nuk është bosh.
("Ka një (x) për të cilën pohimi është i vërtetë").
Pyetja 31 Grafiku dhe elementet e tij. Konceptet bazë. Incidenca, shumëfishimi, laku, afërsia. Llojet e grafikëve. Rruga në grafik dhe gjatësia e saj. Klasifikimi i rrugëve. Matricat e fqinjësisë së grafëve të drejtuar dhe të padrejtuar.
Në teorinë matematikore të grafikëve dhe shkencën kompjuterike, një grafik është një koleksion i një grupi jo bosh kulmesh dhe një grupi çiftesh kulmesh.
Objektet përfaqësohen si kulme, ose nyje, të një grafi, dhe lidhjet përfaqësohen si harqe ose skaje. Për fusha të ndryshme aplikimi, llojet e grafikëve mund të ndryshojnë në drejtim, kufizime në numrin e lidhjeve dhe të dhëna shtesë rreth kulmeve ose skajeve.
Një shteg (ose zinxhir) në një grafik është një sekuencë e fundme kulmesh në të cilën çdo kulm (përveç të fundit) është i lidhur me tjetrin në sekuencën e kulmeve nga një skaj.
Një shteg i drejtuar në një digraf është një sekuencë e fundme kulmesh v i 
, për të cilën të gjitha çiftet ( v i,v i+ 1) janë skaje (të orientuara).
Një cikël është një shteg në të cilin kulmi i parë dhe i fundit përputhen. Në këtë rast, gjatësia e një shtegu (ose cikli) është numri i përbërësve të tij brinjët. Vini re se nëse kulmet u Dhe v janë skajet e ndonjë skaji, pastaj sipas këtë përkufizim, pasues ( u,v,u) është një cikël. Për të shmangur raste të tilla "degjeneruese", futen konceptet e mëposhtme.
Një shteg (ose cikël) quhet i thjeshtë nëse skajet e tij nuk përsëriten; elementare nëse është e thjeshtë dhe kulmet e saj nuk përsëriten. Është e lehtë të shihet se:
Çdo shteg që lidh dy kulme përmban një shteg elementar që lidh të njëjtat dy kulme.
Çdo e thjeshtë jo elementare rruga përmban elementare ciklit.
Çdo thjeshtë një cikël që kalon nëpër një kulm (ose buzë) përmban elementare(nën-)cikli që kalon nëpër të njëjtin kulm (ose buzë).
Një lak është një cikël elementar.
Grafiku ose grafiku i padrejtuar Gështë një çift i porositur G: = (V,E
V
E ky është një grup çiftesh (në rastin e një grafi të padrejtuar, të parenditur) kulmesh, të quajtura skaje.
V(dhe për këtë arsye E, përndryshe do të ishte një multiset) zakonisht konsiderohen grupe të fundme. Shumë rezultate të mira të marra për grafikë të fundëm nuk janë të vërteta (ose ndryshojnë në një farë mënyre). grafikët e pafund. Kjo është për shkak se një numër konsideratash bëhen të rreme në rastin e grupeve të pafundme.
Kulmet dhe skajet e një grafi quhen edhe elemente grafiku, numri i kulmeve në grafik | V| - renditja, numri i skajeve | E| - madhësia e grafikut.
Majat u Dhe v quhen kulmet (ose thjesht skajet) fundore të një skaji e = {u,v). Një skaj, nga ana tjetër, lidh këto kulme. Dy kulme fundore të së njëjtës skaj quhen ngjitur.
Dy skaje thuhet se janë ngjitur nëse kanë një kulm të përbashkët fundor.
Dy skaje quhen të shumëfishta nëse bashkësitë e kulmeve të tyre fundore përkojnë.
Një skaj quhet lak nëse skajet e tij përkojnë, d.m.th e = {v,v}.
gradë deg V majat V thirrni numrin e skajeve që bien në të (në këtë rast, sythe numërohen dy herë).
Një kulm thuhet se është i izoluar nëse nuk është fundi i ndonjë skaji; varur (ose fletë) nëse është fundi i saktësisht një skaji.
Grafik i drejtuar (shkurtuar si digraf) Gështë një çift i porositur G: = (V,A), për të cilat plotësohen kushtet e mëposhtme:
Vështë një grup jo bosh kulmesh ose nyjesh,
Aështë një grup çiftesh (të renditura) kulmesh të dallueshme, të quajtura harqe ose skaje të drejtuara.
Arcështë një çift i renditur kulmesh (v, w), ku është kulmi v quhet fillimi dhe w- fundi i harkut. Mund të themi se harku të çon nga lart v ne krye w.
Grafik i përzier
Grafik i përzier Gështë një graf në të cilin disa skaje mund të drejtohen dhe disa mund të jenë të padrejtuara. Shkruar si treshe e porositur G: = (V,E,A), Ku V, E Dhe A përcaktuar njësoj si më sipër.
Grafikët e drejtuar dhe të padrejtuar janë raste të veçanta të grafëve të përzier.
Grafikët izomorfikë (?)
Grafiku G quhet izomorfik në grafik H, nëse ka një bijeksion f nga bashkësia e kulmeve të grafikut G te bashkësia e kulmeve të grafikut H, e cila ka vetinë e mëposhtme: nëse në grafik G ka një buzë nga kulmi A ne krye B, pastaj në grafik H f(A) ne krye f(B) dhe anasjelltas - nëse në grafik H ka një buzë nga kulmi A ne krye B, pastaj në grafik G duhet të ketë një buzë nga kulmi f − 1 (A) ne krye f − 1 (B). Në rastin e një grafiku të drejtuar, ky bijeksion duhet të ruajë edhe orientimin e skajit. Në rastin e një grafiku të peshuar, bijeksioni duhet të ruajë gjithashtu peshën e skajit.
Matrica e afërsisë së grafikut G me një numër të kufizuar kulmesh n(të numëruar nga 1 në n) - Kjo matricë katrore A madhësia n, në të cilën vlera e elementit një ij e barabartë me numrin e skajeve nga i kulmi i grafikut në j- maja e saj.
Ndonjëherë, veçanërisht në rastin e një grafi të padrejtuar, një lak (një skaj nga i kulmi në vetvete) llogaritet si dy skaje, domethënë vlera e elementit diagonal a ii në këtë rast është e barabartë me dyfishin e numrit të sytheve përreth i maja e th.
Matrica e fqinjësisë grafik i thjeshtë(që nuk përmban sythe ose skaje të shumta) është një matricë binare dhe përmban zero në diagonalen kryesore.
Pyetja 32 Funksioni. Metodat e caktimit. Klasifikimi i funksioneve. bazë funksionet elementare dhe oraret e tyre. Përbërja e funksioneve. Funksionet elementare.
Funksioni është një koncept matematikor që pasqyron marrëdhëniet midis elementeve të grupeve. Mund të themi se një funksion është një "ligj" sipas të cilit çdo element i një grupi (i quajtur fusha e përkufizimit ) vihet në korrespondencë me ndonjë element të një grupi tjetër (i quajtur varg vlerash ).
Koncepti matematikor i një funksioni shpreh idenë intuitive se si një sasi përcakton plotësisht vlerën e një sasie tjetër. Pra vlera e ndryshores x përcakton në mënyrë unike kuptimin e një shprehjeje x 2, dhe vlera e muajit përcakton në mënyrë unike vlerën e muajit pas tij, gjithashtu çdo person mund të krahasohet me një person tjetër - babain e tij. Në mënyrë të ngjashme, disa algoritëm të paramenduar prodhojnë të dhëna të caktuara dalëse bazuar në të dhëna të ndryshme hyrëse.
Metodat për përcaktimin e një funksioni
Metoda analitike
Funksioni që paraqet objekti matematikor lidhje binare, duke plotësuar disa kushte. Një funksion mund të specifikohet drejtpërdrejt si një grup çiftesh të renditura, për shembull: ekziston një funksion . Sidoqoftë, kjo metodë është plotësisht e papërshtatshme për funksionet në grupe të pafundme (që janë funksionet e zakonshme reale: fuqia, lineare, eksponenciale, logaritmike, etj.).
Për të specifikuar një funksion, përdorni shprehjen: . ku, xështë një variabël që kalon nëpër domenin e përkufizimit të funksionit, dhe y- varg vlerash. Kjo hyrje tregon praninë e një marrëdhënie funksionale midis elementeve të grupeve. X Dhe y mund të kalojë nëpër çdo grup objektesh të çdo natyre. Këto mund të jenë numra, vektorë, matrica, mollë, ngjyra të ylberit. Le të shpjegojmë me një shembull:
Le të ketë një grup mollë, aeroplan, dardhë, karrige dhe shumë njeri, lokomotivë, katror. Le të përcaktojmë funksionin f si më poshtë: (mollë, person), (aeroplan, lokomotivë), (dardhë, katror), (karrige, person). Nëse prezantojmë një ndryshore x që kalon nëpër grup dhe një ndryshore y që kalon nëpër grup, funksioni i specifikuar mund të përcaktohet në mënyrë analitike si: .
Funksionet numerike mund të specifikohen në mënyrë të ngjashme. Për shembull: ku x kalon nëpër grup numra realë përcakton një funksion f. Është e rëndësishme të kuptohet se vetë shprehja nuk është një funksion. Një funksion si objekt është një grup (çiftesh të renditura). Dhe kjo shprehje si objekt është barazia e dy ndryshoreve. Ai përcakton një funksion, por nuk është një.
Megjithatë, në shumë degë të matematikës, është e mundur të shënojmë me f(x) si vetë funksionin ashtu edhe shprehjen analitike që e përcakton atë. Kjo konventë sintaksore është jashtëzakonisht e përshtatshme dhe e justifikuar.
Metoda grafike
Funksionet numerike mund të vendoset edhe duke përdorur një grafik. Le të jetë një funksion real i n ndryshoreve.
Le të shqyrtojmë një hapësirë lineare (n+1)-dimensionale mbi fushën e numrave realë (pasi funksioni është real). Le të zgjedhim çdo bazë () në këtë hapësirë. Çdo pikë e funksionit shoqërohet me një vektor: . Pra do të kemi shumë vektorë hapësirë lineare, që korrespondon me pikat e këtij funksioni sipas rregullit të specifikuar. Pikat e hapësirës afine përkatëse do të formojnë një sipërfaqe të caktuar.
Nëse marrim hapësirën Euklidiane të lirë vektorët gjeometrikë(segmente të drejtuara), dhe numri i argumenteve të funksionit f nuk kalon 2, grupi i pikave të specifikuara mund të përshkruhet vizualisht në formën e një vizatimi (grafiku). Nëse, përveç kësaj, baza origjinale merret si ortonormale, marrim përkufizimin "shkollë" të grafikut të një funksioni.
Për funksionet me 3 argumente ose më shumë, kjo paraqitje nuk është e zbatueshme për shkak të mungesës së intuitës gjeometrike të hapësirave shumëdimensionale nga një person.
Sidoqoftë, për funksione të tilla mund të arrihet me një paraqitje vizuale gjysmë gjeometrike (për shembull, çdo vlerë e koordinatës së katërt të një pike mund të shoqërohet me një ngjyrë të caktuar në grafik)
Sasi proporcionale. Nëse variablat y Dhe x janë drejtpërdrejt proporcionale
y = k x,
Ku k- vlera konstante ( faktor proporcionaliteti).
Orari proporcionaliteti i drejtpërdrejtë– një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe që formon një vijë me boshtin X këndi tangjenta e të cilit është e barabartë me k: tan = k(Fig. 8). Prandaj quhet edhe koeficienti i proporcionalitetit shpat. Figura 8 tregon tre grafikë për k = 1/3, k= 1 dhe k = 3 .
Funksioni linear. Nëse variablat y Dhe x lidhen me ekuacionin e shkallës së parë:
A x + B y = C ,
ku të paktën një nga numrat A ose B nuk është e barabartë me zero, atëherë grafiku i kësaj varësie funksionale është vijë e drejtë. Nëse C= 0, pastaj kalon nga origjina, përndryshe nuk kalon. Grafikët funksionet lineare për kombinime të ndryshme A,B,C janë paraqitur në Fig.9.
Proporcionaliteti i anasjelltë. Nëse variablat y Dhe x janë në përpjesëtim të zhdrejtë, Kjo varësia funksionale ndërmjet tyre shprehet me ekuacionin:
y = k / x,
Ku k- vlerë konstante.
Grafiku proporcional i anasjelltë - hiperbolë(Fig. 10). Kjo kurbë ka dy degë. Hiperbolat fitohen kur një kon rrethor kryqëzohet me një plan (për seksionet konike, shihni seksionin "Koni" në kapitullin "Stereometria"). Siç tregohet në figurën 10, prodhimi i koordinatave të pikave të hiperbolës është një vlerë konstante, në shembullin tonë e barabartë me 1. Në rast i përgjithshëm kjo vlerë është e barabartë k, e cila rrjedh nga ekuacioni i hiperbolës: xy = k.
Karakteristikat dhe vetitë kryesore të hiperbolës:
x 0, diapazoni: y 0 ;
Funksioni është monoton (në rënie) në x< 0 dhe në x> 0, por jo
në përgjithësi monoton për shkak të pikës së thyerjes x = 0);
Funksion i pakufizuar, i ndërprerë në një pikë x= 0, tek, jo periodike;
- Funksioni nuk ka zero.
Funksioni kuadratik. Ky është funksioni: y = sëpatë 2 + bx + c, Ku a, b, c- e përhershme, a b=c= 0 dhe y = sëpatë 2. Grafiku i këtij funksioni parabola katrore - OY, e cila quhet boshti i parabolës.Pikë O kulmi i parabolës.
Funksioni kuadratik. Ky është funksioni: y = sëpatë 2 + bx + c, Ku a, b, c- e përhershme, a 0. Në rastin më të thjeshtë kemi: b=c= 0 dhe y = sëpatë 2. Grafiku i këtij funksioni parabola katrore - një kurbë që kalon nga origjina e koordinatave (Fig. 11). Çdo parabolë ka një bosht simetrie OY, e cila quhet boshti i parabolës.Pikë O kryqëzimi i një parabole me boshtin e saj quhet kulmi i parabolës.
Grafiku i një funksioni y = sëpatë 2 + bx + c- gjithashtu një parabolë katrore e të njëjtit lloj si y = sëpatë 2, por kulmi i tij nuk qëndron në origjinë, por në një pikë me koordinata:
Forma dhe vendndodhja e një parabole katrore në sistemin koordinativ varet tërësisht nga dy parametra: koeficienti a në x 2 dhe diskriminues D:D=b 2 – 4ac. Këto veti rrjedhin nga analiza e rrënjëve ekuacioni kuadratik(shih seksionin përkatës në kapitullin "Algjebra"). Të gjitha rastet e ndryshme të mundshme për një parabolë katrore janë paraqitur në Fig. 12.
Karakteristikat dhe vetitë kryesore të një parabole katrore:
Shtrirja e përkufizimit të funksionit: < x+ (d.m.th. x R), dhe zonën
vlerat: … (Ju lutemi përgjigjuni vetë kësaj pyetjeje!);
Funksioni në tërësi nuk është monoton, por në të djathtë ose në të majtë të kulmit
sillet si monoton;
Funksioni është i pakufizuar, i vazhdueshëm kudo, edhe kur b = c = 0,
dhe jo periodike;
- në D< 0 не имеет нулей.
Funksioni eksponencial. Funksioni y = një x, Ku a- quhet një numër konstant pozitiv funksioni eksponencial.Argumenti x pranon çdo vlerë të vlefshme; funksionet konsiderohen si vlera vetëm numra pozitivë, pasi përndryshe kemi një funksion me shumë vlera. Po, funksioni y = 81x ka në x= 1/4 katër kuptime të ndryshme: y = 3, y = 3, y = 3 i Dhe y = 3 i(Kontrollo, të lutem!). Por ne e konsiderojmë vetëm vlerën e funksionit y= 3. Grafikët funksioni eksponencial Për a= 2 dhe a= 1/2 janë paraqitur në figurën 17. Ata kalojnë nëpër pikën (0, 1). Në a= 1 kemi një grafik të drejtë, boshti paralel X, d.m.th. funksioni bëhet vlerë konstante, e barabartë me 1. Kur a> 1 funksioni eksponencial rritet, dhe në 0< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:
Shtrirja e përkufizimit të funksionit: < x+ (d.m.th. x R);
diapazoni: y> 0 ;
Funksioni është monoton: rritet me a> 1 dhe zvogëlohet në 0< a < 1;
- Funksioni nuk ka zero.
Funksioni logaritmik. Funksioni y= log një x, Ku a– quhet një numër pozitiv konstant jo i barabartë me 1 logaritmike. Ky funksion është inversi i funksionit eksponencial; grafiku i tij (Fig. 18) mund të merret duke rrotulluar grafikun e funksionit eksponencial rreth përgjysmuesit të këndit të 1-rë koordinativ.
Karakteristikat dhe vetitë kryesore të funksionit logaritmik:
Shtrirja e përkufizimit të funksionit: x> 0, dhe diapazoni i vlerave: < y+
(d.m.th. y R);
Ky është një funksion monoton: rritet si a> 1 dhe zvogëlohet në 0< a < 1;
Funksioni është i pakufizuar, i vazhdueshëm kudo, jo periodik;
Funksioni ka një zero: x = 1.
Funksionet trigonometrike. Gjatë ndërtimit funksionet trigonometrike ne përdorim radian masa e këndeve Më pas funksioni y= mëkat x paraqitet me një grafik (Fig. 19). Kjo kurbë quhet sinusoid.
Grafiku i një funksioni y=cos x paraqitur në Fig. 20; kjo është gjithashtu një valë sinus që rezulton nga lëvizja e grafikut y= mëkat x përgjatë boshtit X majtas nga 2
Nga këta grafikë, karakteristikat dhe vetitë e këtyre funksioneve janë të dukshme:
Domeni: < x+ gama e vlerave: 1 y +1;
Këto funksione janë periodike: periudha e tyre është 2;
Funksione të kufizuara (| y| , e vazhdueshme kudo, jo monotonike, por
duke pasur të ashtuquajturat intervalet e monotonisë, brenda së cilës ndodhen
sillen si funksione monotonike (shih grafikët në Fig. 19 dhe Fig. 20);
Funksionet kanë një numër të pafund zero (për më shumë detaje, shihni seksionin
"Ekuacionet trigonometrike").
Grafikët e funksioneve y= tan x Dhe y=krevat x janë paraqitur përkatësisht në Fig. 21 dhe Fig. 22.
Nga grafikët shihet qartë se këto funksione janë: periodike (periudha e tyre ,
të pakufizuara, përgjithësisht jo monotonike, por kanë intervale monotonie
(cilat?), të ndërprera (çfarë pikash ndërprerjeje kanë këto funksione?). Rajon
përkufizimet dhe diapazoni i vlerave të këtyre funksioneve:
Funksione y= Arcsin x(Fig.23) dhe y= Arccos x(Fig. 24) me shumë vlera, të pakufizuara; domeni i tyre i përkufizimit dhe diapazoni i vlerave, përkatësisht: 1 x+1 dhe < y+. Meqenëse këto funksione janë me shumë vlera, mos e bëni këtë
të konsideruara në matematikën elementare, vlerat e tyre kryesore konsiderohen si funksione trigonometrike të anasjellta: y= harksin x Dhe y= harqe x; Grafikët e tyre janë theksuar në figurën 23 dhe 24 me vija të trasha.
Funksione y= harksin x Dhe y= harqe x kanë karakteristikat dhe vetitë e mëposhtme:
Të dy funksionet kanë domenin e njëjtë të përkufizimit: 1 x +1 ;
vargu i vlerave të tyre: /2 y/2 për y= harksin x dhe 0 y Për y= harqe x;
(y= harksin x– funksioni në rritje; y= harqe x - në rënie);
Çdo funksion ka një zero ( x= 0 për funksionin y= harksin x Dhe
x= 1 për funksionin y= harqe x).
Funksione y= Arktan x(Fig.25) dhe y= Arccot x(Fig. 26) - funksione me shumë vlera, të pakufizuara; fusha e tyre e përkufizimit: x+ . Kuptimi i tyre kryesor y= arktan x Dhe y= arkot x konsiderohen si funksione trigonometrike të anasjellta; grafikët e tyre janë theksuar në figurën 25 dhe 26 me degë të theksuara.
Funksione y= arktan x Dhe y= arkot x kanë karakteristikat dhe vetitë e mëposhtme:
Të dy funksionet kanë domenin e njëjtë të përkufizimit: x + ;
vargu i vlerave të tyre: /2<y < /2 для y= arktan x dhe 0< y < для y= harqe x;
Funksionet janë të kufizuara, jo periodike, të vazhdueshme dhe monotonike
(y= arktan x– funksioni në rritje; y= arkot x - në rënie);
Vetëm funksion y= arktan x ka një zero të vetme ( x= 0);
funksionin y= arkot x nuk ka zero.
Përbërja e funksioneve
Nëse jepen dy harta dhe , ku , atëherë ka kuptim “harta nga fundi në fund” nga në , e dhënë me formula , e cila quhet përbërja e funksioneve dhe dhe shënohet me .
Fig. 1.30 Ekrani nga fundi në fund
Logjika dhe argumentimi: Teksti mësimor. manual për universitetet. Ruzavin Georgy Ivanovich
4.2. Kuantifikuesit
4.2. Kuantifikuesit
Një ndryshim domethënës midis logjikës së kallëzuesit dhe logjikës propozicionale është gjithashtu se e para prezanton një karakteristikë sasiore të pohimeve ose, siç thonë ata në logjikë, i përcakton ato. Tashmë në logjikën tradicionale, gjykimet klasifikoheshin jo vetëm nga cilësia, por edhe nga sasia, d.m.th. gjykimet e përgjithshme ndryshonin nga ato të veçanta dhe individuale. Por nuk kishte asnjë teori për lidhjen mes tyre. Logjika moderne merr në konsideratë karakteristikat sasiore të pohimeve në një teori të veçantë të kuantifikimit, e cila është pjesë përbërëse e llogaritjes së kallëzuesit.
Për kuantifikimin (karakteristikat sasiore) të pohimeve, kjo teori prezanton dy kuantifikues kryesorë: sasiorin e përgjithshëm, të cilin do ta shënojmë me simbolin (x), dhe sasiorin ekzistencial, të shënuar me simbolin (Ex). Ato vendosen menjëherë përpara pohimeve ose formulave të cilave u referohen. Në rastin kur kuantifikuesit kanë një shtrirje më të gjerë, kllapat vendosen përpara formulës përkatëse.
Kuantifikuesi i përgjithshëm tregon se kallëzuesi i shënuar me një simbol të caktuar u përket të gjitha objekteve të një klase ose universi të caktuar arsyetimi.
Kështu, propozimi: "Të gjithë trupat materialë kanë masë" mund të përkthehet në gjuhën simbolike si më poshtë:
ku x - tregon trupin material:
M - masë;
(x) është një sasior i përgjithshëm.
Në mënyrë të ngjashme, një deklaratë në lidhje me ekzistencën e fenomeneve ekstrasensore mund të shprehet përmes një sasie të ekzistencës:
ku x tregon fenomene:
E - vetia e perceptimit jashtëshqisor të natyrshme në fenomene të tilla;
(Ex) është një sasior ekzistencial.
Duke përdorur sasinë e përgjithshme, mund të shprehni ligje empirike dhe teorike, përgjithësime në lidhje me lidhjen midis fenomeneve, hipoteza universale dhe deklarata të tjera të përgjithshme. Për shembull, ligji i zgjerimit termik të trupave mund të përfaqësohet simbolikisht si një formulë:
(x) (T(x) ? P(x)),
ku (x) është sasia e përgjithshme;
T (x) - temperatura e trupit;
P(x) është shtrirja e tij;
Shenjë e nënkuptimit.
Kuantifikuesi ekzistencial i referohet vetëm një pjese të caktuar të objekteve nga një univers i caktuar arsyetimi. Prandaj, për shembull, përdoret për të shkruar në mënyrë simbolike ligje statistikore që thonë se një veti ose relacion zbatohet vetëm për të karakterizuar një pjesë të caktuar të objekteve që studiohen.
Futja e kuantifikuesve bën të mundur, para së gjithash, shndërrimin e kallëzuesve në pohime të përcaktuara. Vetë kallëzuesit nuk janë as të vërteta as të rreme. Ato bëhen të tilla nëse pohimet konkrete ose zëvendësohen me variablat, ose nëse lidhen me kuantifikues, ato kuantifikohen. Mbi këtë bazë, prezantohet një ndarje e variablave në të lidhur dhe të lirë.
Variablat që bien nën ndikimin e shenjave të kuantifikuesve të përgjithësisë ose ekzistencës quhen të lidhur. Për shembull, formulat (x) A (x) dhe (x) (P (x) ? Q (x)) përmbajnë ndryshoren x. Në formulën e parë, kuantifikuesi i përgjithshëm qëndron menjëherë përpara kallëzuesit A(x), në të dytën, sasia e shtrin veprimin e tij në variablat e përfshirë në termat e mëparshëm dhe të mëvonshëm të nënkuptimit. Në mënyrë të ngjashme, sasia ekzistenciale mund t'i referohet si një kallëzuesi të veçantë ashtu edhe kombinimit të tyre, të formuar duke përdorur operacionet logjike të mohimit, lidhjes, ndarjes, etj.
Një ndryshore e lirë nuk i nënshtrohet shenjave sasiore, kështu që karakterizon një kallëzues ose funksion propozicional, jo një deklaratë.
Duke përdorur një kombinim të sasive, mund të shprehen fjali mjaft komplekse gjuhësore natyrore në gjuhën simbolike të logjikës. Në këtë rast, deklaratat ku flasim për ekzistencën e objekteve që plotësojnë një kusht të caktuar, futen duke përdorur kuantifikuesin e ekzistencës. Për shembull, një deklaratë për ekzistencën e elementeve radioaktive shkruhet duke përdorur formulën:
ku R tregon vetinë e radioaktivitetit.
Deklarata se ekziston rreziku që një duhanpirës të sëmuret nga kanceri mund të shprehet si më poshtë: (Ex) (K(x) ? P(x)), ku K tregon vetinë e "të qenit duhanpirës", dhe P - " duke u prekur nga kanceri”. Me rezerva të caktuara, e njëjta gjë mund të shprehet” me anë të një sasiore të përgjithshme: (x) (K(x) ? P(x)). Por pohimi se kushdo që pi duhan mund të sëmuret nga kanceri do të ishte i pasaktë, dhe kështu është më mirë të shkruhet duke përdorur një kuantifikues ekzistence dhe jo një sasior të përgjithshëm.
Kuantifikuesi i përgjithshëm përdoret për pohime që thonë se një kallëzues i caktuar A plotësohet nga çdo objekt në diapazonin e tij të vlerave. Në shkencë, siç u përmend tashmë, sasia e përgjithshme përdoret për të shprehur deklarata të një natyre universale, të cilat përfaqësohen verbalisht duke përdorur fraza të tilla si "për të gjithë", "secili", "çdo", "çdo", "çdo", etj. Duke mohuar kuantifikuesin e përgjithësisë, mund të shprehen pohime përgjithësisht negative, të cilat në gjuhën natyrore futen me fjalët "asnjë", "jo një", "askush" etj.
Natyrisht, gjatë përkthimit të thënieve të gjuhës natyrore në gjuhë simbolike, hasen disa vështirësi, por arrihet saktësia e nevojshme dhe shprehja e qartë e mendimit. Megjithatë, nuk mund të mendohet se gjuha formale është më e pasur se gjuha natyrore, në të cilën shprehet jo vetëm kuptimi, por edhe nuancat e ndryshme të saj. Prandaj, mund të flasim vetëm për një paraqitje më të saktë të shprehjeve të gjuhës natyrore si një mjet universal i shprehjes së mendimeve dhe i shkëmbimit të tyre në procesin e komunikimit.
Më shpesh, sasitë e përgjithshme dhe të ekzistencës shfaqen së bashku. Për shembull, për të shprehur në mënyrë simbolike pohimin: "Për çdo numër real x, ka një numër y të tillë që x do të jetë më i vogël se y", ne shënojmë kallëzuesin "të jetë më i vogël" me simbolin.<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.
Nga vetë përkufizimi i kuantifikuesve të përgjithësisë dhe ekzistencës rrjedh menjëherë se ekziston një lidhje e caktuar midis tyre, e cila zakonisht shprehet duke përdorur ligjet e mëposhtme.
1. Ligjet e ndërrimit të kuantifikuesve:
(x) (y) A ~ (y) (x) A;
(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;
(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;
2. Ligjet e mohimit të kuantifikuesve:
¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;
¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;
3. Ligjet e shprehshmërisë së ndërsjellë të kuantifikuesve:
(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;
(Psh) A ~ ¬ (x) ¬ A.
Këtu, A tregon çdo formulë të një gjuhe të objektit (subjektit). Kuptimi i mohimit të sasive është i qartë: nëse nuk është e vërtetë që për çdo x A vlen, atëherë ka x për të cilat A nuk vlen. Nga kjo rrjedh gjithashtu se nëse ndonjë x ka A, atëherë nuk ka x që nuk ka-A, gjë që përfaqësohet simbolikisht në ligjin e parë të ndërshprehshmërisë.
Në logjikën e kallëzuesit konsiderohen dy veprime që shndërrojnë një kallëzues njëvendësh në një pohim, për këtë qëllim përdoren fjalë të veçanta që vendosen para kallëzuesit; Në logjikë quhen kuantifikues.
Ekzistojnë dy lloje të kuantifikuesve:
1. Kuantifikues i përgjithshëm;
2. Kuantifikues i ekzistencës.
1. Kuantifikues i përgjithshëm.
Le të jetë një kallëzues P(x) i përcaktuar në bashkësinë M
Simboli quhet sasior universal(bashkësi). Kjo është shkronja e parë e përmbysur e fjalës angleze All - gjithçka. Ata lexojnë "të gjithë", "të gjithë", "çdo", "të gjithë". Variabli x in kallëzues P(x) quhet falas ( mund t'i jepen kuptime të ndryshme nga M), tek deklaratë ata e quajnë x të lidhura sasior universal.
Shembulli nr. 1: P(x) - "Numri i thjeshtë x është tek"
Le të shtojmë një sasior të përgjithshëm - "Çdo numër i thjeshtë x është tek" - një deklaratë e rreme.
Një shprehje është një pohim që është i vërtetë kur P(x) është e vërtetë për çdo element x nga bashkësia M dhe e gabuar përndryshe. Ky pohim nuk varet më nga x.
2. Kuantifikues i ekzistencës.
Le të P(x) - kallëzues të përcaktuara në bashkësinë M. Me shprehje kuptojmë deklaratë, e cila është e vërtetë nëse ka një element për të cilin P(x) është e vërtetë, dhe e gabuar ndryshe. Ky pohim nuk varet më nga x. Shprehja verbale përkatëse është: "Ka një x të tillë që P(x) është e vërtetë." Simboli quhet sasior i ekzistencës. Në një deklaratë, ndryshorja x është e lidhur nga ky sasior (një sasior i bashkëngjitet asaj).
(Lexoni: "Ka një x në M të tillë që P në x është e vërtetë")
Një shprehje është një pohim që është i vërtetë nëse ka një element x€M (të paktën një) për të cilin P(x) është e vërtetë, dhe e gabuar përndryshe.
Shembulli nr. 2: P(x) "Numri x është shumëfish i 5"
Çdo numër natyror është shumëfish i 5"
Çdo numër natyror është një shumëfish i pohimeve të rreme 5".
Të gjithë numrat natyrorë janë shumëfish të 5"
Ekziston një numër natyror i pjesëtueshëm me 5
Gjeni një numër natyror të pjesëtueshëm me 5 pohime të vërteta
Të paktën një numër natyror plotpjesëtohet me 5
Operacionet sasiore zbatohen gjithashtu për kallëzuesit shumëvendësh. Le të jepet, për shembull, një kallëzues me dy vende P(x,y) në bashkësinë M. Zbatimi i një operacioni sasior në kallëzuesin P(x,y) në lidhje me ndryshoren x vendos në korrespondencë me kallëzuesin dyvendësh P(x,y) një kallëzues me një vend (ose kallëzues njëvendësh) në varësi të ndryshorja y dhe jo në varësi të ndryshores x. Ju mund të aplikoni operacione sasiore ndaj tyre në variablin y, i cili do të çojë në deklarata të llojeve të mëposhtme:
Për të ndërtuar negacione me kuantifikues ju nevojiten:
1) të zëvendësojë kuantifikuesin e përgjithësisë me një sasior të ekzistencës dhe të zëvendësojë kuantifikuesin e ekzistencës me një sasior të përgjithshëm;
2) zëvendësojë kallëzuesin me mohimin e tij.
Kështu, formulat e mëposhtme janë të vlefshme:
Mohimi i një fjalie duhet të shkruhet si , dhe mohimi i një fjalie si . Është e qartë se fjalia ka të njëjtin kuptim, dhe për rrjedhojë të njëjtën vlerë të vërtetë, si fjalia, dhe fjalia ka të njëjtin kuptim si . Me fjalë të tjera, është ekuivalente me ; ekuivalente
SHEMBULL Nr. 3. Ndërtoni një mohim të pohimit "Disa numra dyshifrorë janë të pjesëtueshëm me 12".
Zgjidhje Le të zëvendësojmë kuantifikuesin e ekzistencës (shprehet me fjalën "disa") me kuantifikuesin e përgjithësisë "të gjithë" dhe të ndërtojmë mohimin e fjalisë pas fjalës "disa", duke vendosur grimcën "jo" përpara. të foljes. Marrim deklaratën "Të gjithë numrat dyshifrorë nuk janë të pjesëtueshëm me 12".
SHEMBULL Nr. 4. Formuloni mohimin e pohimit "Në çdo klasë të paktën një student ka dështuar në test".
Zgjidhja: Ky pohim përmban një kuantifikues të përgjithshëm të shprehur me fjalën "secili" dhe një sasior të ekzistencës të shprehur me fjalët "të paktën një". Sipas rregullit për ndërtimin e mohimeve të pohimeve me kuantifikues, është e nevojshme të zëvendësohet kuantifikuesi i përgjithësisë me një sasior të ekzistencës, dhe sasia e ekzistencës me një kuantifikues i përgjithësisë dhe të hiqet pjesëza "jo" nga folja. Ne marrim: "Ka një klasë në të cilën të gjithë studentët e kaluan testin."
Në çdo gjuhë kombëtare, në të folurit e zakonshëm përdoren lidhëzat "dhe", "ose", "nëse ..., atëherë ...", "nëse dhe vetëm nëse ...", etj. ju lejon të ndërtoni pohime të reja komplekse nga deklaratat e dhëna tashmë. E vërteta ose falsiteti i pohimeve të marra në këtë mënyrë varet nga vërtetësia dhe falsiteti i pohimeve origjinale dhe atyre përkatëse interpretimi i lidhjeve si operacione mbi deklarata. Një operacion logjik mund të përshkruhet plotësisht tabela e së vërtetës, duke treguar se çfarë kuptimesh merr një pohim kompleks për të gjitha kuptimet e mundshme të pohimeve të thjeshta.
Operacioni logjikështë një metodë e ndërtimit të një deklarate komplekse nga thëniet elementare, në të cilën vlera e së vërtetës së deklaratës komplekse përcaktohet plotësisht nga vlerat e vërteta të pohimeve origjinale (shih artikullin " ”).
Në algjebrën e logjikës, veprimet logjike dhe lidhjet logjike përkatëse kanë emra të veçantë dhe shënohen si më poshtë:
Lidhja është një operacion logjik që lidh çdo dy pohime elementare me një pohim të ri, i cili është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse të dy pohimet origjinale janë të vërteta 7 . Operacion logjik lidhja
Konsideroni dy deklarata: fq = “Nesër do të ketë acar"Dhe q = “Nesër do të bjerë borë" Natyrisht një thënie e re fq & q = “Nesër do të jetë me ngrica dhe nesër me borë” është e vërtetë vetëm nëse pohimet janë të vërteta në të njëjtën kohë fq Dhe q, përkatësisht se nesër do të ketë ngrica dhe borë. deklaratë fq & q do të jetë false në të gjitha rastet e tjera: do të bjerë borë, por do të ketë një shkrirje (d.m.th. nuk do të ketë ngrica); do të ketë ngrica, por nuk do të ketë borë; nuk do të ketë ngrica dhe nuk do të ketë borë.
Disjunksion- një operacion logjik që lidh çdo dy pohime elementare me një pohim të ri, i cili është i rremë nëse dhe vetëm nëse të dy pohimet fillestare janë false, dhe i vërtetë kur të paktën njëri nga dy pohimet që e formojnë është i vërtetë 8. Operacioni logjik ndarje përcaktohet nga tabela e mëposhtme e së vërtetës:
Konsideroni dy deklarata: fq = “Kolombi ishte në Indi"Dhe q = “Kolombi ishte në Egjipt fq q = “Kolombi ishte në Indi ose ishte në Egjipt” është e vërtetë edhe nëse Kolombi ishte në Indi, por nuk ishte në Egjipt, dhe nëse ai nuk ishte në Indi, por ishte në Egjipt, dhe gjithashtu nëse ai ishte në Indi dhe Egjipt. Por kjo deklaratë do të ishte e rreme nëse Kolombi nuk do të ishte as në Indi dhe as në Egjipt.
Lidhja "ose" mund të përdoret në të folur në një kuptim tjetër "ekskluziv". Pastaj korrespondon me një deklaratë tjetër - një ndarje të ndarë, ose të rreptë.
E rreptë, ose duke ndarë,ndarje- një veprim logjik që lidh dy pohime elementare me një pohim të ri që është i vërtetë vetëm kur vetëm njëri prej pohimeve është i vërtetë. Operacion logjik fjali veçuese përcaktohet nga tabela e mëposhtme e së vërtetës:
Konsideroni dy deklarata: fq = “Macja po gjuan për minj"Dhe q = “Macja fle në divan" Është e qartë se deklarata e re fqq e vërtetë vetëm në dy raste - kur macja është duke gjuajtur për minj ose kur macja fle e qetë. Kjo deklaratë do të jetë e rreme nëse macja nuk bën as njërën dhe as tjetrën, d.m.th. kur të dyja ngjarjet nuk ndodhin. Por kjo deklaratë do të jetë e rreme edhe kur supozohet se të dy deklaratat do të ndodhin njëkohësisht. Meqenëse kjo nuk mund të ndodhë, deklarata është e rreme.
Në logjikë, lidhjeve "ose" dhe "ose" u jepen kuptime të ndryshme, por në rusisht lidhëza "ose" përdoret ndonjëherë në vend të lidhësit "ose". Në këto raste, paqartësia e përkufizimit të veprimit logjik të përdorur shoqërohet me analizën e përmbajtjes së deklaratës. Për shembull, analiza e deklaratës " Petya ulet në podiumin A ose në podiumin B"zëvendësuar nga" Petya ulet në podiumin A ose B”, atëherë analiza e deklaratës së fundit do të tregojë qartë një operacion logjik duke ndarë ndarje, sepse një person nuk mund të jetë në dy vende të ndryshme në të njëjtën kohë.
Implikimi- një operacion logjik që lidh çdo dy pohime elementare me një pohim të ri që është i rremë nëse dhe vetëm nëse gjendje(premisë) - e vërtetë, dhe pasojë(përfundimi) është i rremë. Numri dërrmues i varësive midis ngjarjeve mund të përshkruhet duke përdorur implikimin. Për shembull, me deklaratën " Nëse shkojmë në Shën Petersburg gjatë pushimeve, do të vizitojmë Katedralen e Shën Isakut” Pohojmë se nëse gjatë pushimeve vijmë në Shën Petersburg, do të vizitojmë patjetër Katedralen e Shën Isakut.
Operacion logjik nënkuptim
Një nënkuptim do të jetë i rremë vetëm nëse premisa është e vërtetë dhe përfundimi është i rremë, dhe sigurisht do të jetë i vërtetë nëse gjendja e tij fq i rremë. Për më tepër, për një matematikan kjo është krejt e natyrshme. Në fakt, duke u nisur nga një premisë e rreme, mund të merret si një pohim i vërtetë ashtu edhe i rremë përmes arsyetimit të saktë.
Le të themi 1 = 2, pastaj 2 = 1. Duke shtuar këto barazi, marrim 3 = 3, d.m.th. nga një premisë e rreme, përmes transformimeve identike, ne morëm një pohim të vërtetë.
Implikimi i formuar nga deklaratat A Dhe NË, mund të shkruhet duke përdorur fjalitë e mëposhtme: “Nëse A, Kjo NË", "Nga A duhet NË”, “A përfshin NË", "Në mënyrë që A, është e nevojshme që NË", "Në mënyrë që NË, mjaftueshem per A”.
Ekuivalenca- një veprim logjik që lidh dy pohime elementare me një të ri, i cili është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse të dy pohimet fillestare janë njëkohësisht të vërteta ose njëkohësisht të gabuara. Operacion logjik ekuivalencë jepet nga tabela e mëposhtme e së vërtetës:
Le të shqyrtojmë kuptimet e mundshme të një deklarate komplekse që është një ekuivalencë: " Mësuesi do t'i japë studentit një 5 në tremujor nëse dhe vetëm nëse studenti merr një 5 në test.”.
1) Nxënësi ka marrë 5 në test dhe 5 në tremujor, d.m.th. mësuesi e përmbushi premtimin e tij, prandaj pohimi është i vërtetë.
2) Nxënësi nuk ka marrë 5 në test dhe mësuesi nuk i ka dhënë 5 në tremujor, d.m.th. mësuesi e mbajti premtimin, pohimi është i vërtetë.
3) Nxënësi nuk ka marrë 5 në test, por mësuesi i ka dhënë 5 në tremujor, d.m.th. mësuesi nuk e mbajti premtimin, deklarata është e rreme.
4) Nxënësi mori 5 në test, por mësuesi nuk i dha 5 në tremujor, d.m.th. mësuesi nuk e mbajti premtimin, deklarata është e rreme.
Vini re se në teoremat matematikore ekuivalenca shprehet me lidhjen "e nevojshme dhe e mjaftueshme".
Operacionet e diskutuara më sipër ishin të dyfishta (binare), d.m.th. u kryen në dy operandë (pohime). Në algjebrën e logjikës, operacioni me një vend (unar) është përcaktuar dhe përdoret gjerësisht mohim.
Negacion- një veprim logjik që lidh çdo pohim elementar me një pohim të ri, kuptimi i të cilit është i kundërt me atë origjinal. Operacion logjik mohim jepet nga tabela e mëposhtme e së vërtetës:
Në rusisht, lidhorja "nuk është e vërtetë që..." përdoret për të ndërtuar një mohim. Ndonëse lidhëza “nuk është e vërtetë se …” nuk lidh asnjë dy pohim në një, ai interpretohet nga logjikuesit si një veprim logjik, pasi, kur vendoset përballë një deklarate arbitrare, formon një të re prej saj.
Duke mohuar deklaratën "Unë kam një kompjuter në shtëpi" do të ketë një deklaratë “Nuk është e vërtetë që kam kompjuter në shtëpi” ose, që është e njëjta në rusisht, “Nuk kam kompjuter në shtëpi”. Duke mohuar deklaratën "Unë nuk e di kinezisht" do të ketë një deklaratë “Nuk është e vërtetë që nuk di kinezisht” ose, që është e njëjta gjë në rusisht, "Unë di kinezisht".
Kuantifikuesit
Në logjikën matematikore, krahas veprimeve logjike, përdoren edhe kuantifikuesit. Kuantifikues(nga lat. kuantike- sa) është një operacion logjik që jep një karakteristikë sasiore të zonës së objekteve me të cilat lidhet shprehja e marrë si rezultat i zbatimit të saj.
Në gjuhën e zakonshme, fjalë si Të gjitha, çdo, disa, ndonjë, ndonjë, pafundësisht shumë, ekziston, në dispozicion, i vetmi, disa, final numri, si dhe të gjithë numrat kardinalë. Në gjuhët e formalizuara, një pjesë integrale e të cilave është llogaritja e kallëzuesit, mjaftojnë dy lloje kuantifikuesish për të shprehur të gjitha këto karakteristika: sasior i përgjithshëm Dhe sasior i ekzistencës.
Kuantifikuesit lejojnë nga një formë specifike shprehëse (shih " Deklarata. Vlerat Boolean") për të marrë një formë shprehëse me një numër më të vogël parametrash, në veçanti, për të marrë një deklaratë 9 nga një formë shprehëse me një vend.
Kuantifikues i përgjithshëm lejon nga një formë e dhënë deklaratë me një ndryshore të vetme të lirë x merrni një deklaratë duke përdorur lidhjen "Për të gjithë x…”. Rezultati i aplikimit të sasisë së përgjithshme në formën propozuese A( x) tregojnë x A( x). deklaratë x A( x) do të jetë e vërtetë nëse dhe vetëm nëse, pas zëvendësimit në A( x) në vend të një ndryshoreje të lirë x për çdo objekt nga diapazoni i vlerave të mundshme, gjithmonë merret një deklaratë e vërtetë. deklaratë x A( x) mund të lexohet si më poshtë: “Për çdo x A( x)", "A( x) për arbitrare x", "Per te gjithe x e vertete A( x)", "Çdo x ka pronë A( x)" dhe kështu me radhë.
Kuantifikuesi ekzistencial lejon nga një formë e dhënë shprehëse me një ndryshore të vetme të lirë x merrni një deklaratë duke përdorur lidhësin “Ka të tilla x, Çfarë …". Rezultati i aplikimit të sasisë së përgjithshme në formën propozuese A( x) tregojnë x A( x). deklaratë
x A( x) është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse, në rangun e vlerave të mundshme të ndryshores x ekziston një objekt i tillë që kur zëvendësohet emri i tij në vend të shfaqjes së një ndryshoreje të lirë x ne nje( x) rezulton të jetë një deklaratë e vërtetë. deklaratë x A( x) mund të lexohet si më poshtë: “Për disa x A( x)”, “Për të përshtatshme x e vertete A( x)", "Ekziston x, per te cilen A( x)”, “Të paktën për një x e vertete A( x)" dhe kështu me radhë.
Kuantifikuesit luajnë për gjuhët e formalizuara të logjikës matematikore të njëjtin rol që luajnë fjalët e ashtuquajtura "sasiore" ("sasifikuese") për gjuhën natyrore - ata përcaktojnë shtrirjen e zbatueshmërisë së një deklarate të caktuar (ose formë shprehëse).
Kur ndërtohet një mohim ndaj një deklarate që përmban një sasior, zbatohet rregulli i mëposhtëm: grimca "jo" i shtohet kallëzuesit, sasia e përgjithshme zëvendësohet nga një sasior i unitetit dhe anasjelltas. Le të shohim një shembull. Mohimi i pohimit “Të gjithë djemtë e klasës së 11-të janë nxënës të shkëlqyer” është pohimi “Nuk është e vërtetë që të gjithë djemtë e klasës së 11-të janë nxënës të shkëlqyer” ose “Disa djem të klasës së 11-të nuk janë nxënës të shkëlqyer”.
Në shkencën kompjuterike, sasiorët përdoren në gjuhët logjike të programimit (shih " Gjuhët e programimit”) dhe gjuhët e pyetjeve të bazës së të dhënave.
Aftësia për të ndërtuar deklarata komplekse kërkohet kur punoni me bazat e të dhënave, kur ndërtoni një pyetje kërkimi në internet, kur ndërtoni algoritme dhe shkruani programe në çdo gjuhë algoritmike. Për më tepër, kjo aftësi mund të klasifikohet si aftësi e përgjithshme shkollore, sepse shoqërohet me ndërtimin e konkluzioneve komplekse (arsyetimi, nxjerrja e përfundimeve). Kjo aftësi bazohet në njohuritë e operacioneve bazë logjike dhe aftësinë për të përcaktuar vërtetësinë e pohimeve komplekse.
Nxënësit e shkollës njihen me operacionet logjike disjunkcioni, lidhja dhe mohimi në shkollën fillore. Koncepti i një tabele të së vërtetës prezantohet gjithashtu atje. Me shumë mundësi, njohja me këto koncepte lind në gjuhët e programimit, por ato mund të përdoren gjithashtu në spreadsheets - atje operacionet logjike zbatohen përmes funksioneve përkatëse OSE, DHE, JO.
Operacione më komplekse logjike mund të mbulohen në shkollën e mesme. Problemet me përdorimin e nënkuptimit gjenden në secilin prej versioneve të publikuara të Provimit të Unifikuar të Shtetit në shkenca kompjuterike. Për shembull: për cilin numër X deklaratë e vërtetë (( X > 3) (X < 3)) –> (X < 1)? (Versioni demonstrues i Provimit të Unifikuar të Shtetit, 2007)
Kur studiojnë veprimin e nënkuptimit, studentët duhet t'i kushtojnë vëmendje faktit se shumica e teoremave matematikore janë implikime. Megjithatë, ato implikime në të cilat premisat (kushtet) dhe përfundimet (pasojat) janë fjali pa lidhje (në thelb) reciproke nuk mund të luajnë një rol pak a shumë të rëndësishëm në shkencë. Janë propozime krejtësisht të pafrytshme, sepse... mos të çojnë në përfundime më të thella. Në të vërtetë, në matematikë, asnjë teoremë e vetme nuk është një implikim në të cilin gjendja dhe përfundimi nuk janë të lidhura në përmbajtje. Përveç lidhores “nëse,... atëherë...”, në teoremat matematikore nënkuptimet janë formulime vetëm të kushteve të nevojshme ose vetëm të mjaftueshme.
Detyrat për krijimin e kushteve të mjaftueshme dhe të nevojshme për nxënësit e shkollave rezultojnë të vështira. Kur zhvilloni këtë aftësi, duhet të theksohen veçanërisht tre pika:
a) forma “e nevojshme dhe e mjaftueshme” e përdorur në pohimet matematikore korrespondon me lidhorin “nëse dhe vetëm atëherë” (ekuivalenca);
b) lidhorja “me qëllim që të…( A), është e nevojshme që...( B)” realizohet me nënkuptim të drejtpërdrejtë A B. (Në mënyrë që një ekuacion kuadratik të ketë një zgjidhje, diskriminuesi duhet të jetë jo negativ);
c) një kusht i mjaftueshëm realizohet nga nënkuptimi i anasjelltë B ® A dhe mund të shprehet në rusisht, për shembull, si kjo: "në mënyrë që të ... (A), mjafton që ... (B)."
Në shkollën e mesme (klasat 10-11), është e dobishme që studentët të zhvillojnë aftësinë për të ndërtuar një mohim të një deklarate në Rusisht. Kjo aftësi është e nevojshme, për shembull, për të vërtetuar teoremat duke përdorur metodën "me kontradiktë". Ndërtimi i një mohimi edhe për pohime të thjeshta nuk është gjithmonë i lehtë. Për shembull, në deklaratë Në parking ka të kuqe“Zhiguli Fjalitë e mëposhtme nuk do të jenë negative:
1) Ata në parking nuk janë të kuq “Zhiguli”;
2) Ka një të bardhë në parking “Mercedes”;
3) Të kuqtë“Zhiguli” nuk janë të parkuara.
Mohimi i kësaj deklarate do të ishte "Nuk ka Zhigula të kuqe në parking". Kjo mund t'u shpjegohet nxënësve në këtë mënyrë: mohimi i një fjalie duhet të përjashtojë plotësisht të vërtetën e deklaratës origjinale. Nëse në parking ka një Mercedes të bardhë, atëherë asgjë nuk e pengon të parkojë edhe Zhiguli i kuq.
Ju mund të lexoni për algoritmin për ndërtimin e një mohimi të një deklarate komplekse në librin "Bazat matematikore të shkencës kompjuterike" nga E. Andreeva, L. Bosova, I. Falina.
Deri më tani, studimi i sasive nuk ka qenë tradicional për kurset e shkencave kompjuterike në shkolla. Megjithatë, tani ato janë përfshirë në standardin e shkollës së specializuar. Mënyra më e lehtë është të demonstroni rolin e matësit në ndërtimin e të njëjtave mohime të pohimeve në rusisht, si ato matematikore ashtu edhe arbitrare. Rregulli për zëvendësimin e një sasior të përgjithshëm me një sasior ekzistencial dhe anasjelltas mund të justifikohet lehtësisht duke përdorur ligjet e De Morgan (shih. "Shprehje logjike").
6 Nga fjalët latine idem- e njëjta dhe potens- i fortë; fjalë për fjalë ekuivalente.
7 Ky përkufizim shtrihet lehtësisht në rastin n deklarata ( n > 2, n- numri natyror).
8 Ky përkufizim, si ai i mëparshmi, vlen për rastin n deklarata ( n > 2, n- numri natyror).
9 Uspensky V.A., Vereshchagin N.K., Plisko V.E. Kursi hyrës i logjikës matematikore. M.: Fizmatlit, 2002.
Përveç operacioneve të diskutuara më sipër, ne do të përdorim edhe dy operacione të reja që lidhen me veçoritë e logjikës së kallëzuesit. Këto operacione shprehin deklarata të bashkësisë dhe ekzistencës.
Kuantifikues- një mënyrë për t'i atribuar praninë e ndonjë vetie në një grup të tërë objektesh: (kuantifikues i përgjithshëm) ose thjesht (), (kuantifikues i ekzistencës).
1. Kuantifikues i përgjithshëm. Le të jetë R (x) një kallëzues i përcaktuar mirë që merr vlerën I ose A për çdo element x të një fushe M. Më pas me shprehjen (x)R(x) nënkuptojmë një pohim që është i vërtetë kur R(x) është e vërtetë për çdo element x të fushës M, dhe e gabuar përndryshe. Ky pohim nuk varet më nga x. Shprehja foljore përkatëse do të jetë: "për çdo x R (x) është e vërtetë."
Tani le të jetë U(x) një formulë e logjikës së kallëzuesit që merr një vlerë të caktuar nëse objektet e ndryshueshme dhe kallëzuesit e ndryshueshëm të përfshirë në të zëvendësohen në një mënyrë plotësisht të përcaktuar. Formula I(x) mund të përmbajë variabla të tjerë përveç x. Atëherë shprehja I(x), kur zëvendëson të gjitha ndryshoret e objekteve dhe kallëzuesve, përveç x, paraqet një kallëzues specifik që varet vetëm nga x. Dhe formula (x)I(x) bëhet një pohim plotësisht i përcaktuar. Rrjedhimisht, kjo formulë përcaktohet plotësisht duke specifikuar vlerat e të gjitha variablave përveç x, dhe, për rrjedhojë, nuk varet nga x. Simboli (x) quhet sasior i përgjithshëm .
2. Kuantifikues i ekzistencës. Le të jetë R(x) një kallëzues. Ne e lidhim formulën (x)R(x) me të, duke e përcaktuar vlerën e saj si të vërtetë nëse ekziston një element i fushës M për të cilin R(x) është e vërtetë, dhe si false ndryshe. Atëherë nëse unë (x) - formulë specifike logjika e kallëzuesit, atëherë është përcaktuar edhe formula (x)И(x) dhe nuk varet nga vlera e x. Shenja (x) quhet sasior i ekzistencës .
Quantifikuesit (x) dhe (x) quhen e dyfishtë njëri tjetrin.
Do të themi se në formulat (x)I(x) dhe (x)I(x) sasiorët (x) dhe (x) i referohen ndryshores x ose se ndryshorja x lidhet me sasinë përkatëse.
Ne do të quajmë një ndryshore objekti që nuk shoqërohet me ndonjë sasior variabla të lirë. Kështu, ne kemi përshkruar të gjitha formulat e logjikës së kallëzuesit.
Nëse dy formula I dhe B, të lidhura me një fushë të caktuar M, me të gjitha zëvendësimet e kallëzuesve të variablave, pohimeve të variablave dhe ndryshoreve të objektit të lirë, përkatësisht, nga kallëzues individualë të përcaktuar në M, pohime individuale dhe objekte individuale nga M, marrin të njëjtat vlera Dhe ose A, atëherë do të themi se këto formula janë ekuivalente në fushën M. (Kur zëvendësojmë kallëzuesit, deklaratat dhe objektet e ndryshueshme, ne, natyrisht, zëvendësojmë ato që janë përcaktuar në të njëjtën mënyrë në formulat I dhe B në njëjtën mënyrë).
Nëse dy formula janë ekuivalente në çdo fushë M, atëherë thjesht do t'i quajmë ekuivalente. Formulat ekuivalente mund të zëvendësohen me njëra-tjetrën.
Ekuivalenca e formulave lejon që ato të reduktohen në raste të ndryshme në një formë më të përshtatshme.
Në veçanti, vlen sa vijon: I → B është ekuivalente me AND B.
Duke përdorur këtë, ne mund të gjejmë një formulë ekuivalente për çdo formulë në të cilën, midis veprimeve të algjebrës propozicionale, ekzistojnë vetëm &, dhe -.
Shembull: (x)(A(x)→(y)B(y)) është ekuivalente me (x)(A(x)(y)B(y)).
Për më tepër, për logjikën e kallëzuesit ekzistojnë ekuivalenca të lidhura me kuantifikuesit.
Ekziston një ligj që lidh kuantifikuesit me shenjën negative. Merrni parasysh shprehjen (x)I(x).
Pohimi "(x)I(x) është i rremë" është ekuivalent me pohimin: "ekziston një element y për të cilin U(y) është i rremë" ose, e njëjta gjë, "ka një element y për të cilin U (y) është e vërtetë.” Prandaj, shprehja (x)I(x) është ekuivalente me shprehjen (y)I(y).
Le të shqyrtojmë shprehjen (x)I(x) në të njëjtën mënyrë.
Ky është pohimi "(x) DHE (x) është i rremë." Por një deklaratë e tillë është e barabartë me pohimin: "për të gjithë, unë (y) është e rreme" ose "për të gjithë, unë (y) është e vërtetë". Pra, (x)I(x) është ekuivalente me shprehjen (y)I(y).
Kështu marrim rregullin e mëposhtëm:
Shenja e mohimit mund të futet nën shenjën sasiore, duke zëvendësuar kuantifikuesin me një të dyfishtë.
Ne kemi parë tashmë se për çdo formulë ekziston një formulë ekuivalente, cila nga veprimet e algjebrës propozicionale përmban vetëm &, dhe -.
Duke përdorur ekuivalencat për secilën formulë, mund të gjeni një ekuivalente në të cilën shenjat e mohimit u referohen pohimeve elementare dhe kallëzuesve elementare.
Llogaritja e kallëzuesit është menduar për një përshkrim aksiomatik të logjikës së kallëzuesit.
Njehsimi i kallëzuesit - disa sisteme aksiomatike të krijuara për të modeluar një mjedis të caktuar dhe për të testuar çdo hipotezë në lidhje me vetitë e këtij mjedisi duke përdorur modelin e zhvilluar. Hipotezat pohojnë praninë ose mungesën e vetive të caktuara në objekte të caktuara dhe shprehen në formën e një formule logjike. Arsyetimi i hipotezës reduktohet kështu në vlerësimin e deduktueshmërisë dhe kënaqshmërisë së formulës logjike.
Artikuj të ngjashëm
