Figura 7.
,
,
,
Ku Unë x, unë y – momentet boshtore të inercisë në raport me boshtet e referencës;
Unë xy– momenti centrifugal i inercisë në lidhje me boshtet e referencës;
Unë xc, unë yc– momentet aksiale të inercisë në raport me boshtet qendrore;
Unë xcyc– momenti centrifugal i inercisë në raport me akset qendrore;
a, b– distanca ndërmjet akseve.
Përcaktimi i momenteve të inercisë së një seksioni gjatë rrotullimit të boshteve
Të gjitha karakteristikat gjeometrike të seksionit në lidhje me boshtet qendrore janë të njohura x C,në C(Fig. 8). Le të përcaktojmë momentet e inercisë rreth boshteve x 1,në 1, i rrotulluar në lidhje me ato qendrore me një kënd të caktuar a.
Figura 8
,
Ku Unë x 1, unë y 1 – momentet boshtore të inercisë rreth boshteve x 1,në 1 ;
Unë x 1 y 1– momenti centrifugal i inercisë në raport me boshtet x 1,në 1 .
Përcaktimi i pozicionit të akseve qendrore kryesore të inercisë
Pozicioni i akseve kryesore qendrore të inercisë së seksionit përcaktohet nga formula:
,
Ku a 0 – këndi ndërmjet boshtit qendror dhe atij kryesor të inercisë.
Përcaktimi i momenteve kryesore të inercisë
Momentet kryesore të inercisë së seksionit përcaktohen nga formula:
Sekuenca e llogaritjes së një seksioni kompleks
1) Ndani një seksion kompleks në forma të thjeshta gjeometrike [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]
2) Zgjidhni akset arbitrare XOY .
3) Përcaktoni pozicionin e qendrës së gravitetit të seksionit [x c, y c].
4) Vizatoni boshtet qendrore X c OY c.
5) Llogaritni momentet e inercisë IX shek, Iy c , duke përdorur teoremën e përkthimit paralel të boshteve.
6) Llogaritni momentin centrifugal të inercisë IX c y c.
7) Përcaktoni pozicionin e boshteve kryesore të inercisë tg2a 0.
8) Llogaritni momentet kryesore të inercisë Imax, Une jam ne.
SHEMBULL 2
Për figurën e paraqitur në figurën 13, përcaktoni pikat kryesore
inercia dhe pozicioni i boshteve kryesore të inercisë.
1) Ne e ndajmë seksionin kompleks në forma të thjeshta gjeometrike
S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200 mm 2, S= 3200 mm 2.
2) Zgjidhni akset arbitrare XOY.
3) Përcaktoni pozicionin e qendrës së gravitetit të seksionit
x c = 25 mm, y c= 35 mm.
4) Vizatimi i boshteve qendrore X c OY c
5) Llogaritni momentet e inercisë Ix c, Iy c
6) Llogaritni momentin centrifugal të inercisë IX c y c
7) Përcaktoni pozicionin e boshteve kryesore të inercisë
Nëse I x > I y Dhe a 0 > 0 , pastaj këndi a 0 zhvendosur nga boshti X s në drejtim të kundërt të orës.
8) Llogaritni momentet kryesore të inercisë Imax, Une jam ne
SHEMBULL 3
 |
Për figurën e paraqitur në Fig. 8 përcaktoni pozicionin e akseve kryesore
Figura 8.
inercia dhe momentet kryesore të inercisë.
1) Ne shkruajmë të dhënat bazë fillestare për secilën figurë
Kanali
S 1 = 10,9 cm 2
Unë x = 20,4 cm 4
Unë y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
Këndi i pabarabartë
S 3 = 6,36 cm 2
Unë x = 41,6 cm 4
Unë y = 12,7 cm 4
Unë min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x 0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Drejtkëndësh
S 2 = 40 cm 2
cm 4
cm 4
2) Vizatoni pjesën në shkallë
3) Vizatoni akset e koordinatave arbitrare
4) Përcaktoni koordinatat e qendrës së gravitetit të seksionit
5) Vizatoni boshtet qendrore
6) Përcaktoni momentet boshtore të inercisë në lidhje me boshtet qendrore
7) Përcaktoni momentin centrifugal të inercisë në lidhje me boshtet qendrore
Momenti centrifugal i inercisë për çelikun e mbështjellë me kënd në lidhje me qendrën e tij të gravitetit përcaktohet nga një nga formulat e mëposhtme:
-4
Shenja e momentit centrifugal të inercisë për çelik këndor të mbështjellë përcaktohet sipas Fig. 9, pra Unë xy 3= -13,17 cm 4.
8) Përcaktoni pozicionin e boshteve kryesore të inercisë
 |
a 0 = 21,84°
9) Përcaktoni momentet kryesore të inercisë
DETYRA 4
Për skemat e dhëna (Tabela 6) është e nevojshme:
1) Vizatoni një seksion kryq në një shkallë strikte.
2) Përcaktoni pozicionin e qendrës së gravitetit.
3) Gjeni vlerat e momenteve boshtore të inercisë në lidhje me boshtet qendrore.
4) Gjeni vlerën e momentit centrifugal të inercisë në raport me boshtet qendrore.
5) Përcaktoni pozicionin e boshteve kryesore të inercisë.
6) Gjeni momentet kryesore të inercisë.
Merrni të dhëna numerike nga tabela. 6.
Skemat llogaritëse për problemin nr.4
 |
|||
 | |||
 |
Tabela 6
Të dhënat fillestare për detyrën nr. 4
| № | Këndi i barabartë me kënd | Këndi i pabarabartë | I-rreze | Kanali | Drejtkëndësh | Skema Nr. |
| 30'5 | 50'32'4 | 100'30 | ||||
| 40'6 | 56'36'4 | 100'40 | ||||
| 50'4 | 63'40'8 | 100'20 | ||||
| 56'4 | 70'45'5 | 80'40 | ||||
| 63'6 | 80'50'6 | 14a | 80'60 | |||
| 70'8 | 90'56'6 | 80'100 | ||||
| 80'8 | 100´63´6 | 20a | 16a | 80'20 | ||
| 90'9 | 90'56'8 | 60'40 | ||||
| 75'9 | 140´90´10 | 22a | 18a | 60'60 | ||
| 100'10 | 160´100´12 | 60'40 | ||||
| d | A | b | V | G | d |
Udhëzime për problemin 5
Përkulja është një lloj deformimi në të cilin V.S.F. shfaqet në seksionin kryq të shufrës. – momenti i përkuljes.
Për të llogaritur një tra për përkulje, është e nevojshme të dihet vlera e momentit maksimal të përkuljes M dhe pozicionin e seksionit në të cilin ndodh. Në të njëjtën mënyrë, ju duhet të dini forcën maksimale të prerjes P. Për këtë qëllim ndërtohen diagramet e momenteve të përkuljes dhe forcave prerëse. Nga diagramet është e lehtë të gjykohet se ku do të jetë vlera maksimale e momentit ose forcës prerëse. Për të përcaktuar vlerat M Dhe P përdorni metodën e seksionit. Konsideroni qarkun e treguar në Fig. 9. Të përpilojmë shumën e forcave në bosht Y, duke vepruar në pjesën e prerë të traut.
 |
Figura 9.
Forca tërthore është e barabartë me shumën algjebrike të të gjitha forcave që veprojnë në njërën anë të seksionit.
Le të përpilojmë shumën e momenteve që veprojnë në pjesën e prerë të rrezes në lidhje me seksionin.
Momenti i përkuljes është i barabartë me shumën algjebrike të të gjitha momenteve që veprojnë në pjesën e prerë të rrezes në lidhje me qendrën e gravitetit të seksionit.
Për të qenë në gjendje të kryeni llogaritjet nga çdo skaj i rrezes, është e nevojshme të miratohet rregulli i shenjës për faktorët e forcës së brendshme.
Për forcën prerëse P.
Figura 10.
Nëse një forcë e jashtme e rrotullon pjesën e prerë të rrezes në drejtim të akrepave të orës, atëherë forca është pozitive; nëse një forcë e jashtme rrotullon pjesën e prerë të rrezes në drejtim të kundërt, atëherë forca është negative.
Për momentin e përkuljes M.
Figura 11.
Nëse, nën ndikimin e një force të jashtme, boshti i lakuar i traut merr formën e një tasi konkave, i tillë që shiu që vjen nga lart do ta mbushë me ujë, atëherë momenti i përkuljes është pozitiv (Fig. 11a). Nëse, nën ndikimin e një force të jashtme, boshti i lakuar i traut merr formën e një tasi konveks, i tillë që shiu që vjen nga lart nuk do ta mbushë me ujë, atëherë momenti i përkuljes është negativ (Fig. 11b).
Ndërmjet intensitetit të ngarkesës së shpërndarë q, forca prerëse P dhe momenti i përkuljes M, duke vepruar në një seksion të caktuar, ekzistojnë varësitë diferenciale të mëposhtme:
Varësitë diferenciale të treguara gjatë përkuljes bëjnë të mundur vendosjen e disa veçorive të diagrameve të forcave tërthore dhe momenteve të përkuljes.
1) Në ato zona ku nuk ka ngarkesë të shpërndarë, diagrami P kufizohet me vija të drejta paralele me boshtin e diagramit, dhe diagramin M , në rastin e përgjithshëm, me vija të drejta të pjerrëta (Fig. 19).
2) Në ato zona ku një ngarkesë e shpërndarë në mënyrë uniforme aplikohet në rreze, diagrami P kufizohet nga vijat e drejta të pjerrëta, dhe diagrami M – parabolat kuadratike (Fig. 20). Gjatë ndërtimit të një diagrami M në fibrat e ngjeshura, konveksiteti i parabolës përballet në drejtim të kundërt me veprimin e ngarkesës së shpërndarë (Fig. 21a, b).
Figura 12.
Figura 13.
3) Në ato seksione ku P= 0, tangjente me diagramin M paralel me boshtin e diagramit (Fig. 12, 13). Momenti i përkuljes në seksione të tilla të rrezes është ekstrem në madhësi ( M max,Mmin).
4) Në zonat ku P> 0, M rrit, pra nga e majta në të djathtë ordinatat pozitive të diagramit M rriten, ato negative ulen (Fig. 12, 13); në ato zona ku P < 0, M zvogëlohet (Fig. 12, 13).
5) Në ato seksione ku forcat e përqendruara aplikohen në rreze:
a) në diagram P do të ketë kërcime për nga madhësia dhe në drejtim të forcave të aplikuara (Fig. 12, 13).
b) në diagram M do të ketë thyerje (Fig. 12, 13), maja e thyerjes është e drejtuar kundër veprimit të forcës.
6) Në ato seksione ku momentet e përqendruara aplikohen në rreze, në diagram M do të ketë kërcime në madhësinë e këtyre momenteve në diagram P nuk do të ketë ndryshime (Fig. 14).
Figura 14.
Figura 15.
7) Nëse një i përqendruar
momenti, atëherë në këtë seksion momenti i përkuljes është i barabartë me momentin e jashtëm (seksioni C Dhe B në Fig. 15).
8) Diagrami P paraqet një diagramë të derivatit të grafikut M. Pra ordinatat P proporcionale me tangjenten e këndit të prirjes së tangjentes me diagramin M(Fig. 14).
Rendi i komplotit P Dhe M:
1) Është hartuar një diagram i projektimit të rrezes (në formën e një boshti) që tregon ngarkesat që veprojnë mbi të.
2) Ndikimi i mbështetësve në rreze zëvendësohet nga reagimet përkatëse; tregohen emërtimet e reaksioneve dhe drejtimet e tyre të pranuara.
3) Përpilohen ekuacionet e bilancit për rreze, zgjidhja e të cilave përcakton vlerat e reaksioneve mbështetëse.
4) Trau ndahet në seksione, kufijtë e të cilave janë pikat e zbatimit të forcave dhe momenteve të përqendruara të jashtme, si dhe pikat e fillimit dhe mbarimit të veprimit ose ndryshimit të natyrës së ngarkesave të shpërndara.
5) Përpilohen shprehjet për momentet e përkuljes M dhe forcat prerëse P për çdo seksion të traut. Diagrami i llogaritjes tregon fillimin dhe drejtimin e matjes së distancës për çdo seksion.
6) Duke përdorur shprehjet e marra, ordinatat e diagrameve llogariten për një numër seksionesh të rrezes në një sasi të mjaftueshme për të shfaqur këto diagrame.
7) Përcaktohen seksione në të cilat forcat tërthore janë të barabarta me zero dhe në të cilat, për rrjedhojë, veprojnë momentet Mmax ose Mmin për një seksion të caktuar të rrezes; llogariten vlerat e këtyre momenteve.
8) Diagramet ndërtohen duke përdorur vlerat e ordinatave të marra.
9) Diagramet e ndërtuara kontrollohen duke i krahasuar me njëra-tjetrën.
Diagramet e faktorëve të forcës së brendshme gjatë përkuljes janë ndërtuar për të përcaktuar seksionin e rrezikshëm. Pasi të jetë gjetur seksioni i rrezikshëm, trau llogaritet për forcën. Në rastin e përgjithshëm të përkuljes tërthore, kur një moment përkuljeje dhe forca tërthore veprojnë në seksionet e një shufre, streset normale dhe prerëse lindin në seksionin e traut. Prandaj, është logjike të merren parasysh dy kushte të forcës:
a) sipas tensioneve normale
b) nga sforcimet tangjenciale
Meqenëse faktori kryesor shkatërrues për trarët janë sforcimet normale, dimensionet e seksionit kryq të një trau të formës së pranuar përcaktohen nga gjendja e forcës për sforcimet normale:
Më pas kontrollohet nëse seksioni i përzgjedhur i traut plotëson gjendjen e rezistencës së tensionit në prerje.
Megjithatë, kjo qasje për llogaritjen e trarëve nuk e karakterizon ende forcën e rrezes. Në shumë raste, ka pika në seksionet e trarëve në të cilat streset e mëdha normale dhe prerëse veprojnë njëkohësisht. Në raste të tilla, bëhet e nevojshme të kontrollohet forca e rrezes duke përdorur sforcimet kryesore. Teoria e tretë dhe e katërt e forcës janë më të zbatueshme për testime të tilla:
, 
.
SHEMBULL 1
Ndërtoni diagrame të forcës prerëse P dhe momenti i përkuljes M për rrezen e treguar në Fig. 16 nëse: F 1= 3 kN, F 2= 1.5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = = 2 kN/m, A = 2 m, b = 1 m, Me = 3 m.
Figura 16.
1) Përcaktoni reagimet mbështetëse.
;
;
Ekzaminimi:
Reagimet u gjetën saktë
2) Ne e ndajmë rrezen në seksione C.A.,pas Krishtit,DE,E.K.,K.B..
3) Përcaktoni vlerat P Dhe M në çdo vend.
SA
, ; 
, .
pas Krishtit
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Le të gjejmë momentin maksimal të përkuljes në zonë K.B..
Le të barazojmë ekuacionin P në këtë seksion zero dhe shpreh koordinatën z max , me të cilat P= 0, dhe momenti ka një vlerë maksimale. Më pas ne zëvendësojmë z max në ekuacionin e momentit në këtë seksion dhe gjeni Mmax.
EK
, 
.
4) Ne ndërtojmë diagrame (Fig. 16)
SHEMBULL 2
Për traun e treguar në Fig. 16 përcaktoni përmasat e një raundi, drejtkëndëshe ( h/b = 2) dhe seksioni I. Kontrolloni forcën e rrezes I nga sforcimet kryesore, nëse [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Ne përcaktojmë momentin e kërkuar të rezistencës nga gjendja e forcës
2) Përcaktoni dimensionet e seksionit rrethor
3) Përcaktoni dimensionet e seksionit drejtkëndor
4) Ne zgjedhim rreze I nr. 10 sipas asortimentit (GOST 8239-89)
W X= 39,7 cm 3, S X * =23 cm 3, Unë X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
Për të kontrolluar forcën e një trau bazuar në sforcimet kryesore, është e nevojshme të ndërtohen diagrame të sforcimeve normale dhe tangjenciale në një seksion të rrezikshëm. Meqenëse madhësia e sforcimeve kryesore varet nga sforcimet normale dhe tangjenciale, testi i forcës duhet të kryhet në seksionin e traut ku M Dhe P mjaftueshem i madh. Në një mbështetje NË(Fig. 16) forca prerëse P ka një vlerë maksimale, megjithatë këtu M= 0. Prandaj, ne e konsiderojmë seksionin mbi suportin si të rrezikshëm A, ku momenti i përkuljes është maksimal dhe forca prerëse është relativisht e madhe.
Sforcimet normale, duke ndryshuar përgjatë lartësisë së seksionit, i binden një ligji linear:
Ku y– koordinata e pikës së seksionit (Fig. 24).
në në= 0, s = 0;
në ymax
, 
Ligji i ndryshimeve në sforcimet prerëse përcaktohet nga ligji i ndryshimeve në momentin statik të zonës, i cili, nga ana tjetër, ndryshon përgjatë lartësisë së seksionit sipas ligjit parabolik. Pasi të kemi llogaritur vlerën për pikat karakteristike të seksionit, do të ndërtojmë një diagram të sforcimeve tangjenciale. Gjatë llogaritjes së vlerave të t, ne do të përdorim përcaktimet për dimensionet e seksioneve të miratuara në Fig. 17.
Kushti i forcës për shtresën 3-3 është plotësuar.
DETYRA 5
Për skemat e dhëna të trarëve (Tabela 12), ndërtoni diagrame të forcave tërthore P dhe momenti i përkuljes M. Zgjidhni prerjen tërthore për diagramin a) të rrumbullakët [s]= 10 MPa; b) rreze I [s]= 150 MPa.
Merrni të dhëna numerike nga tabela. 7.
Tabela 7
Të dhënat fillestare për problemin nr. 6
| № | jam | q 1 =q 3, kN/m | q 2, kN/m | F 1, kN | F 2, kN | F 3, kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | Skema Nr. | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| Vazhdimi i tabelës 12 | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
Boshtet që kalojnë nëpër qendrën e gravitetit të një figure të rrafshët quhen boshtet qendrore.
Momenti i inercisë rreth boshtit qendror quhet momenti qendror i inercisë.
Teorema
Momenti i inercisë rreth çdo boshti është i barabartë me shumën e momentit të inercisë rreth boshtit qendror paralel me atë të dhënë dhe produktin e sipërfaqes së figurës dhe katrorit të distancës midis boshteve.
Për të vërtetuar këtë teoremë, merrni parasysh një figurë të rrafshët arbitrare sipërfaqja e së cilës është e barabartë me A
, qendra e gravitetit ndodhet në pikën ME
, dhe momenti qendror i inercisë rreth boshtit x
do IX
.
Le të llogarisim momentin e inercisë së figurës në lidhje me një bosht të caktuar x 1
, paralel me boshtin qendror dhe i ndarë prej tij në një distancë A
(oriz).
I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.
Duke analizuar formulën që rezulton, vërejmë se termi i parë është momenti boshtor i inercisë në lidhje me boshtin qendror, termi i dytë është momenti statik i zonës së kësaj figure në lidhje me boshtin qendror (pra, është i barabartë me zero), dhe termi i tretë pas integrimit mund të përfaqësohet si produkt a 2 A , d.m.th., si rezultat marrim formulën:
I x1 = I x + a 2 A- vërtetohet teorema.
Bazuar në teoremën, mund të konkludojmë se në një seri boshtesh paralele, momenti boshtor i inercisë së një figure të sheshtë do të jetë më i vogli në raport me boshtin qendror .
Boshtet kryesore dhe momentet kryesore të inercisë
Le të imagjinojmë një figurë të sheshtë, momentet e inercisë së së cilës në lidhje me boshtet koordinative IX Dhe Unë y , dhe momenti polar i inercisë në lidhje me origjinën është i barabartë me I ρ . Siç u vendos më herët,
I x + I y = I ρ.
Nëse boshtet e koordinatave rrotullohen në planin e tyre rreth origjinës së koordinatave, atëherë momenti polar i inercisë do të mbetet i pandryshuar, dhe momentet boshtore do të ndryshojnë, ndërsa shuma e tyre do të mbetet konstante. Meqenëse shuma e variablave është konstante, njëri prej tyre zvogëlohet dhe tjetri rritet, dhe anasjelltas.
Rrjedhimisht, në një pozicion të caktuar të akseve, njëri prej momenteve boshtore do të arrijë vlerën maksimale, dhe tjetri - minimumin.
Boshtet rreth të cilave momentet e inercisë kanë vlera minimale dhe maksimale quhen boshtet kryesore të inercisë.
Momenti i inercisë rreth boshtit kryesor quhet momenti kryesor i inercisë.
Nëse boshti kryesor kalon nëpër qendrën e gravitetit të një figure, ai quhet boshti kryesor qendror, dhe momenti i inercisë rreth një boshti të tillë quhet momenti kryesor qendror i inercisë.
Mund të konkludojmë se nëse një figurë është simetrike për çdo bosht, atëherë ky bosht do të jetë gjithmonë një nga boshtet kryesore qendrore të inercisë së kësaj figure.
Momenti centrifugal i inercisë
Momenti centrifugal i inercisë së një figure të sheshtë është shuma e produkteve të zonave elementare të marra në të gjithë zonën dhe distanca në dy boshte reciprokisht pingul:
I xy = Σ xy dA,
Ku x
, y
- distancat nga vendi dA
te boshtet x
Dhe y
.
Momenti centrifugal i inercisë mund të jetë pozitiv, negativ ose zero.
Momenti centrifugal i inercisë përfshihet në formulat për përcaktimin e pozicionit të akseve kryesore të seksioneve asimetrike.
Tabelat standarde të profileve përmbajnë një karakteristikë të quajtur rrezja e rrotullimit të seksionit
, llogaritur me formulat:
i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (në tekstin e mëtejmë shenja"√"- shenja e rrënjës)
Ku Unë x, unë y
- momentet aksiale të inercisë së seksionit në lidhje me akset qendrore; A
- sipërfaqja e prerjes tërthore.
Kjo karakteristikë gjeometrike përdoret në studimin e tensionit ose ngjeshjes ekscentrike, si dhe përkuljes gjatësore.
Deformim përdredhës
Konceptet themelore rreth rrotullimit. Përdredhje e një trau të rrumbullakët.
Përdredhja është një lloj deformimi në të cilin ndodh vetëm një çift rrotullues në çdo seksion kryq të rrezes, d.m.th. një faktor force që shkakton një lëvizje rrethore të seksionit në lidhje me një bosht pingul me këtë seksion, ose parandalon një lëvizje të tillë. Me fjalë të tjera, deformimet përdredhëse ndodhin nëse një palë ose çifte forcash aplikohen në një rreze të drejtë në plane pingul me boshtin e tij.
Momentet e këtyre çifteve të forcave quhen përdredhëse ose rrotulluese. Çift rrotullues shënohet me T
.
Ky përkufizim i ndan në mënyrë konvencionale faktorët e forcës së deformimit përdredhës në ata të jashtëm (përdredhës, çift rrotullues T
) dhe të brendshëm (çift rrotullues M kr
).
Në makina dhe mekanizma, boshtet e rrumbullakëta ose tuba i nënshtrohen më shpesh rrotullimit, kështu që llogaritjet e forcës dhe ngurtësisë bëhen më shpesh për njësi dhe pjesë të tilla.
Merrni parasysh rrotullimin e një boshti cilindrik rrethor.
Imagjinoni një bosht cilindrik gome në të cilin njëri nga skajet është i fiksuar fort, dhe në sipërfaqe ka një rrjet vijash gjatësore dhe rrathë tërthor. Ne do të zbatojmë disa forca në skajin e lirë të boshtit, pingul me boshtin e këtij boshti, d.m.th. do ta kthejmë atë përgjatë boshtit. Nëse shqyrtoni me kujdes linjat e rrjetës në sipërfaqen e boshtit, do të vini re se:
- boshti i boshtit, i cili quhet bosht i rrotullimit, do të mbetet i drejtë;
- diametrat e rrathëve do të mbeten të njëjta, dhe distanca midis rrathëve ngjitur nuk do të ndryshojë;
- vijat gjatësore në bosht do të kthehen në vija spirale.
Nga kjo mund të konkludojmë se kur një tra cilindrik i rrumbullakët (bosht) është i përdredhur, hipoteza e seksioneve të sheshta është e vlefshme dhe gjithashtu mund të supozojmë se rrezet e rrathëve mbeten drejt gjatë deformimit (pasi diametrat e tyre nuk kanë ndryshuar). Dhe meqenëse nuk ka forca gjatësore në seksionet e boshtit, distanca midis tyre ruhet.
Rrjedhimisht, deformimi rrotullues i një boshti të rrumbullakët konsiston në rrotullimin e seksioneve kryq në lidhje me njëri-tjetrin rreth boshtit të rrotullimit, dhe këndet e rrotullimit të tyre janë drejtpërdrejt proporcionale me distancat nga seksioni fiks - aq më larg çdo seksion nga fundi fiks. e boshtit, aq më i madh është këndi në lidhje me boshtin e boshtit që ai rrotullohet.
Për çdo seksion të boshtit, këndi i rrotullimit është i barabartë me këndin e rrotullimit të pjesës së boshtit të mbyllur midis këtij seksioni dhe vulës (fundi i fiksuar).
këndi ( oriz. 1) rrotullimi i skajit të lirë të boshtit (seksioni fundor) quhet këndi i plotë i rrotullimit të traut cilindrik (boshtit).
Këndi relativ i kthesës φ 0
quhet raporti i këndit të rrotullimit φ 1
në distancë l 1
nga një seksion i caktuar në embedment (seksion fiks).
Nëse trau cilindrik (boshti) është i gjatë l
ka një seksion kryq konstant dhe është i ngarkuar me një moment rrotullues në skajin e lirë (d.m.th., përbëhet nga një seksion gjeometrik homogjen), atëherë pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konst
- vlera është konstante.
Nëse marrim parasysh një shtresë të hollë në sipërfaqen e shiritit cilindrik të gomës së mësipërme ( oriz. 1), i kufizuar nga një qelizë rrjeti cdef , atëherë vërejmë se kjo qelizë deformohet gjatë deformimit dhe ana e saj, e largët nga seksioni fiks, zhvendoset drejt kthesës së rrezes, duke zënë pozicionin cde 1 f 1 .
Duhet të theksohet se një pamje e ngjashme vërehet gjatë deformimit në prerje, vetëm në këtë rast sipërfaqja deformohet për shkak të lëvizjes përkthimore të seksioneve në raport me njëri-tjetrin, dhe jo për shkak të lëvizjes rrotulluese, si në deformimin përdredhës. Bazuar në këtë, mund të konkludojmë se gjatë rrotullimit në seksione tërthore, lindin vetëm forca të brendshme tangjenciale (sforcime), duke formuar një çift rrotullues.
Pra, çift rrotullimi është momenti që rezulton në lidhje me boshtin e rrezes së forcave të brendshme tangjenciale që veprojnë në seksion kryq.
Le të përcaktojmë marrëdhënien midis momenteve të ndryshme të inercisë së seksionit në lidhje me dy boshtet paralele (Fig. 6.7), të lidhura nga varësitë
1. Për momentet statike të inercisë
Së fundi,
2. Për momentet boshtore të inercisë
prandaj,
Nëse boshti z kalon nëpër qendrën e gravitetit të seksionit, pastaj
Nga të gjitha momentet e inercisë rreth boshteve paralele, momenti boshtor i inercisë ka vlerën më të vogël rreth boshtit që kalon nëpër qendrën e gravitetit të seksionit.
E njëjta gjë për boshtin
Kur boshti y kalon nëpër qendrën e gravitetit të seksionit
3. Për momentet centrifugale të inercisë fitojmë
Më në fund mund të shkruajmë
Në rastin kur origjina e sistemit koordinativ yzështë në qendër të gravitetit të seksionit, marrim
Në rastin kur një ose të dy boshtet janë boshte simetrie,
6.7. Ndryshimi i momenteve të inercisë gjatë rrotullimit të boshteve
Le të jepen momentet e inercisë së seksionit në lidhje me boshtet koordinative z y.
Këndi konsiderohet pozitiv nëse sistemi i vjetër i koordinatave duhet të rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës për të kaluar në atë të ri (për një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian me dorën e djathtë). Të reja dhe të vjetra z y Sistemet e koordinatave janë të lidhura me varësi që vijojnë nga Fig. 6.8:
1. Le të përcaktojmë shprehjet për momentet boshtore të inercisë në lidhje me boshtet e sistemit të ri të koordinatave:
Po kështu në lidhje me boshtin
Nëse mbledhim vlerat e momenteve të inercisë rreth boshteve dhe, marrim
domethënë kur boshtet rrotullohen, shuma e momenteve boshtore të inercisë është një vlerë konstante.
2. Le të nxjerrim formulat për momentet centrifugale të inercisë.
.
6.8. Momentet kryesore të inercisë. Boshtet kryesore të inercisë
Vlerat ekstreme të momenteve boshtore të inercisë së seksionit quhen momentet kryesore të inercisë.
Dy akset reciprokisht pingul, rreth të cilëve momentet boshtore të inercisë kanë vlera ekstreme, quhen boshtet kryesore të inercisë.
Për të gjetur momentet kryesore të inercisë dhe pozicionin e boshteve kryesore të inercisë, përcaktojmë derivatin e parë në lidhje me këndin e momentit të inercisë, të përcaktuar me formulën (6.27)
Le ta barazojmë këtë rezultat me zero:
ku është këndi me të cilin duhet të rrotullohen boshtet koordinative y Dhe z në mënyrë që ato të përkojnë me akset kryesore.
Duke krahasuar shprehjet (6.30) dhe (6.31), mund ta vërtetojmë atë
,
Rrjedhimisht, në lidhje me boshtet kryesore të inercisë, momenti centrifugal i inercisë është zero.
Akset reciproke pingule, një ose të dy prej të cilëve përkojnë me boshtet e simetrisë së seksionit, janë gjithmonë boshtet kryesore të inercisë.
Le të zgjidhim ekuacionin (6.31) për këndin:
.
Nëse >0, atëherë për të përcaktuar pozicionin e njërit prej boshteve kryesore të inercisë për sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian djathtas (majtas), nevojitet një bosht z kthehuni në një kënd kundër drejtimit të rrotullimit (në drejtim të rrotullimit) në drejtim të akrepave të orës. Nëse<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz kthehu në një kënd në drejtim të rrotullimit (në drejtim të kundërt) në drejtim të akrepave të orës.
Boshti maksimal bën gjithmonë një kënd më të vogël me atë të boshteve ( y ose z), në raport me të cilin momenti boshtor i inercisë ka një vlerë më të madhe (Fig. 6.9).
Boshti maksimal drejtohet në një kënd me boshtin(), if() dhe ndodhet në çerekun çift (tek) të boshteve, if().
Le të përcaktojmë momentet kryesore të inercisë dhe. Duke përdorur formulat nga trigonometria që lidhin funksionet,,, me funksionet,, nga formula (6.27) fitojmë
,
Le të njihen edhe Ix, Iy, Ixy. Le të vizatojmë një bosht të ri x 1, y 1 paralel me boshtet xy.
Dhe le të përcaktojmë momentin e inercisë së të njëjtit seksion në lidhje me boshtet e reja.
X 1 = x-a; y 1 =y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Nëse boshti x kalon nëpër qendrën e gravitetit të seksionit, atëherë momenti statik Sx =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
Ngjashëm me boshtin e ri y 1, do të kemi formulën I y 1 = Iy + a 2 A
Momenti centrifugal i inercisë rreth boshteve të reja
Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.
Nëse boshtet xy kalojnë nëpër qendrën e gravitetit të seksionit, atëherë Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Nëse seksioni është simetrik, të paktën një nga boshtet qendrore përkon me boshtin e simetrisë, atëherë Ixy =0, që do të thotë Ix 1 y 1 = abA
Ndryshimi i momenteve të inercisë gjatë rrotullimit të boshteve.
Le të dihen momentet boshtore të inercisë rreth boshteve xy.
Ne marrim një sistem të ri të koordinatave xy duke rrotulluar sistemin e vjetër me një kënd (a > 0), nëse rrotullimi është në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Le të vendosim marrëdhënien midis koordinatave të vjetra dhe të reja të faqes
y 1 =ab = ac – bc = ab- de
nga trekëndëshi acd:
ac/ad =cos α ac= ad*cos α
nga trekëndëshi oed:
de/od =sin α dc = od*sin α
Le t'i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për y
y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.
Po kështu
x 1 = x cos α + y sin α.
Le të llogarisim momentin boshtor të inercisë në lidhje me boshtin e ri x 1
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
Në mënyrë të ngjashme, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Le të shtojmë anën e majtë dhe të djathtë të shprehjeve që rezultojnë:
Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
Shuma e momenteve boshtore të inercisë gjatë rrotullimit nuk ndryshon.
Le të përcaktojmë momentin centrifugal të inercisë në lidhje me boshtet e reja. Le të imagjinojmë vlerat x 1, y 1.
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .
Momentet kryesore dhe boshtet kryesore të inercisë.
Momentet kryesore të inercisë ato quhen vlera ekstreme.
Akset rreth të cilave janë marrë vlerat ekstreme quhen boshtet kryesore të inercisë. Ata janë gjithmonë pingul reciprokisht.
Momenti centrifugal i inercisë në lidhje me boshtet kryesore është gjithmonë i barabartë me 0. Meqenëse dihet se ka një bosht simetrie në seksion, momenti centrifugal është i barabartë me 0, që do të thotë boshti i simetrisë është boshti kryesor. Nëse marrim derivatin e parë të shprehjes I x 1, atëherë e barazojmë me "0", fitojmë vlerën e këndit = që korrespondon me pozicionin e boshteve kryesore të inercisë.
tan2 α 0 = - 
Nëse α 0 >0, atëherë për një pozicion të caktuar të akseve kryesore, boshti i vjetër duhet të rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Një nga akset kryesore është max, dhe tjetri është min. Në këtë rast, boshti maksimal korrespondon gjithmonë me një kënd më të vogël me atë bosht të rastësishëm në lidhje me të cilin ai ka një moment boshtor më të madh të inercisë. Vlerat ekstreme të momentit boshtor të inercisë përcaktohen me formulën:
Kapitulli 2. Konceptet bazë të rezistencës së materialeve. Objektivat dhe metodat.
Gjatë projektimit të strukturave të ndryshme, është e nevojshme të zgjidhen çështje të ndryshme të forcës, ngurtësisë dhe stabilitetit.
Forcë– aftësia e një trupi të caktuar për të përballuar ngarkesa të ndryshme pa shkatërrim.
Ngurtësia– aftësia e një strukture për të thithur ngarkesa pa deformime (zhvendosje) të mëdha. Vlerat paraprake të lejuara të deformimit rregullohen nga kodet dhe rregulloret e ndërtimit (SNIP).
Qëndrueshmëria
Merrni parasysh ngjeshjen e një shufre fleksibël
Nëse ngarkesa rritet gradualisht, shufra së pari do të shkurtohet. Kur forca F arrin një vlerë të caktuar kritike, shufra do të shtrëngohet. - shkurtim absolut.
Në këtë rast, shufra nuk shembet, por ndryshon ashpër formën e saj. Ky fenomen quhet humbje e stabilitetit dhe çon në shkatërrim.
Sopromat- këto janë bazat e shkencave të forcës, ngurtësisë dhe qëndrueshmërisë së strukturave inxhinierike. Materialet e forcës përdorin metoda të mekanikës teorike, fizikës dhe matematikës. Ndryshe nga mekanika teorike, rezistenca e forcës merr parasysh ndryshimet në madhësinë dhe formën e trupave nën ndikimin e ngarkesës dhe temperaturës.
Le të z Me, y s– boshtet qendrore të seksioneve, – momentet e inercisë së seksionit në lidhje me këto akse. Le të përcaktojmë momentet e inercisë së seksionit në lidhje me boshtet e reja z 1, në 1, paralel me akset qendrore dhe të zhvendosur në lidhje me to sipas distancave a Dhe d. Le dA– një zonë elementare në afërsi të një pike M me koordinata y Dhe z në sistemin qendror të koordinatave. Nga Fig. 4.3 është e qartë se koordinatat e pikës C në sistemin e ri të koordinatave do të jenë të barabarta me, .
Le të përcaktojmë momentin e inercisë së seksionit në lidhje me boshtin y 1 :
|
| z c |
| y c |
| z 1 |
| y 1 |
| d |
| a |
| C |
Kështu,
Po kështu
Ndryshimi i momenteve të inercisë së seksionit gjatë rrotullimit të boshteve
Le të gjejmë marrëdhënien midis momenteve të inercisë rreth boshteve y, z dhe momentet e inercisë rreth boshteve y 1, z 1, i rrotulluar në një kënd a. Le Jy> Jz dhe kënd pozitiv a matur nga boshti y në drejtim të kundërt të orës. Lëri koordinatat e pikës M para kthesës - y, z, pas kthimit - y 1, z 1(Fig. 4.4).
Nga figura vijon:
Tani le të përcaktojmë momentet e inercisë rreth boshteve y 1 Dhe z 1:
|
| M |
| z |
| z 1 |
| y 1 |
| y |
| a |
| y |
| y 1 |
| z 1 |
| z |
Po kështu:
Duke shtuar ekuacionet (4.13) dhe (4.14) term pas termi, marrim:
ato. shuma e momenteve të inercisë rreth çdo boshti reciprokisht pingul mbetet konstante dhe nuk ndryshon kur sistemi i koordinatave rrotullohet.
Boshtet kryesore të inercisë dhe momentet kryesore të inercisë
Me ndryshimin e këndit të rrotullimit të boshteve a Secila nga sasitë ndryshon, por shuma e tyre mbetet e pandryshuar. Prandaj, ekziston një kuptim i tillë
a = a 0, në të cilën momentet e inercisë arrijnë vlera ekstreme, d.m.th. njëri prej tyre arrin vlerën e tij maksimale dhe tjetri arrin minimumin e tij. Për të gjetur vlerën a 0 merrni derivatin e parë të (ose) dhe barazoni atë me zero:
Le të tregojmë se në lidhje me boshtet e fituara momenti centrifugal i inercisë është i barabartë me zero. Për ta bërë këtë, ne barazojmë anën e djathtë të ekuacionit (4.15) me zero: , nga ku, d.m.th. mori të njëjtën formulë për a 0 .
Boshtet rreth të cilave momenti centrifugal i inercisë është zero dhe momentet boshtore të inercisë marrin vlera ekstreme quhen boshtet kryesore. Nëse këto akse janë edhe qendrore, atëherë quhen akse qendrore kryesore. Momentet boshtore të inercisë rreth boshteve kryesore quhen momente kryesore të inercisë.
Le t'i shënojmë boshtet kryesore me y 0 Dhe z 0. Pastaj
Nëse një seksion ka një bosht simetrie, atëherë ky bosht është gjithmonë një nga boshtet kryesore qendrore të inercisë së seksionit.
Artikuj të ngjashëm
