Nga ekuacionet e lëvizjes së një sistemi mekanik konservator rreth një pozicioni të qëndrueshëm ekuilibri

në rastin e dy shkallëve të lirisë kemi:

(1)

(Sipas kriterit të Sylvesterit:

(1) sistemi i ekuacioneve diferenciale të lëkundjeve të vogla të lira të një sistemi mekanik me dy shkallë lirie pranë një pozicioni të qëndrueshëm ekuilibri. Zgjidhja e tij kërkohet në formën:

(2)

Zëvendësimi i kësaj zgjidhjeje në sistemin e ekuacioneve diferenciale të dridhjeve të vogla jep:

(3)

Në lidhje me A dhe B, ky është një sistem ekuacionesh homogjene algjebrike. Ka një zgjidhje jo të parëndësishme kur përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero:

(4)

Ky ekuacion bikuadratik quhet ekuacioni i frekuencës; ai ka dy rrënjë pozitive, të cilat korrespondojnë me dy zgjidhje të sistemit të ekuacioneve diferenciale të lëkundjeve të vogla:

Kështu, çdo koordinatë e përgjithësuar gjendet si shuma e dy lëkundjeve të frekuencave të ndryshme, të cilat quhen luhatjet kryesore . Në këtë rast, siç vijon nga sistemi (3), amplituda e dridhjeve kryesore lidhen me njëra-tjetrën si më poshtë:

(5)

ku - faktorët e formës luhatjet kryesore.

Si rezultat, zgjidhja e ekuacioneve të dridhjeve të lira (1) më në fund merr formën:

(6)

Inbox (6) amplituda dhe fazat fillestare, lëkundjet përcaktohen nga kushtet fillestare.

Dridhjet e detyruara të sistemeve mekanike me dy shkallë lirie. Amortizues dinamik i dridhjeve

Eliminimi i dridhjeve të padëshiruara në sistemet mekanike quhet mbrojtje nga dridhjet (shuarje). Pajisjet teknike të përdorura në këtë rast quhen amortizues dridhjesh (damper).

Parimi i funksionimit të një amortizuesi dinamik bazohet në përdorimin e fenomenit anti-rezonancë, kur veprimi i një force të përgjithshme shqetësuese që ndryshon periodikisht që korrespondon me një koordinatë neutralizohet nga veprimi i një force të gjeneralizuar potenciale që korrespondon me një koordinatë tjetër.

Një sistem mekanik, përveç forcave konservatore, le t'i nënshtrohet një force shqetësuese që ndryshon me kalimin e kohës sipas një ligji harmonik.

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së sistemit mekanik në këtë rast kanë formën:

Ne kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh diferenciale lineare johomogjene (në këtë rast) si shuma e dy zgjidhjeve: , - një zgjidhje e përgjithshme për një sistem ekuacionesh diferenciale homogjene; -zgjidhja e pjesshme e një sistemi ekuacionesh diferenciale johomogjene.

Duke marrë parasysh varësinë e forcës shqetësuese nga koha, një zgjidhje e veçantë kërkohet në formën

Zëvendësimi i tij në sistemin e ekuacioneve diferenciale jep:

Duke zgjidhur këtë sistem duke përdorur rregullin e Cramer, marrim

Meqenëse përkon me anën e majtë të ekuacionit të frekuencës dhe zhduket

kur frekuenca e forcës shqetësuese përkon me një nga frekuencat natyrore

lëkundjet ose Koeficientët A dhe B në këtë rast kthehen në pafundësi. Kështu, në rastin e lëkundjeve të një sistemi me dy shkallë lirie, ekzistojnë dy frekuenca rezonante

Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi ekuacionesh diferenciale të detyruara

dridhjet në ka formën:

Siç shihet, duke zgjedhur parametrat e sistemit oscilues, është e mundur të arrihet, për shembull, përmbushja e kushtit A = 0, d.m.th., amplituda e lëkundjeve të detyruara që korrespondojnë me koordinatën e parë të përgjithësuar bëhet zero.

Ky fenomen quhet antirezonancë.

Në rastin në shqyrtim kjo ndodh nëse

Konceptet bazë dhe hipotezat e teorisë së ndikimit. Ekuacioni bazë i teorisë së ndikimit

Një fenomen në të cilin në një periudhë të shkurtër kohore, d.m.th. pothuajse menjëherë, shpejtësitë e pikave të objekteve materiale ndryshojnë në vlera të fundme, të quajtura goditje .

Meqenëse gjatë një goditjeje ndryshimi përfundimtar i shpejtësisë ndodh në një periudhë shumë të shkurtër kohore, lindin nxitime shumë të mëdha dhe për rrjedhojë forca shumë të mëdha. Këto forca veprojnë për një periudhë shumë të shkurtër kohore, por impulset e tyre gjatë kësaj periudhe kohore janë sasi të fundme.

Forcat që lindin gjatë një goditjeje për një periudhë të shkurtër kohore, por në të njëjtën kohë arrijnë një vlerë të madhe, kështu që impulset e tyre gjatë kësaj periudhe kohore janë vlera të fundme, quhen forcat e goditjes .

Periudha e shkurtër kohore gjatë së cilës zgjat goditja quhet koha e ndikimit. Impulset e forcave të goditjes gjatë goditjes quhen pulset e shokut .

Le të jepet MT e masës m, e cila lëviz nën veprimin e një force të zakonshme (jo goditëse). Në momentin kur MT e konsideruar ka një shpejtësi - shpejtësinë para goditjes, mbi të fillon të veprojë forca e goditjes, veprimi i së cilës pushon në këtë moment. Le të përcaktojmë lëvizjen e MT nën ndikimin e forcave dhe gjatë kohës së goditjes.

Duke zbatuar teoremën për ndryshimin e momentit të një pike, marrim:

,

ku është shpejtësia e pikës në momentin pas goditjes.

Duke përdorur teoremën mbi vlerën mesatare të një integrali të caktuar, mund të shkruajmë:

,

ku dhe janë vlerat mesatare të forcave dhe në një periudhë të caktuar kohore. Për më tepër, është një sasi e kufizuar; Forca e goditjes gjatë goditjes arrin një vlerë shumë të madhe (të rendit të ). Prandaj, produkti do të jetë i papërfillshëm në krahasim me produktin, i cili është një sasi e kufizuar.

Sistemet me dy shkallë lirie janë një rast i veçantë i sistemeve me disa shkallë lirie. Por këto sisteme janë më të thjeshtat, duke lejuar që dikush të marrë në formën përfundimtare formulat e llogaritjes për përcaktimin e frekuencave të dridhjeve, amplitudave dhe devijimeve dinamike.

y Devijimet e rrezeve për shkak të forcave inerciale:

P 2 = 1 (1)

Shenjat (-) në shprehjet (1) janë për faktin se forcat dhe njësitë inerciale. lëvizjet janë në drejtim të kundërt.

Ne besojmë se dridhjet masive ndodhin sipas ligjit harmonik:

(2)

Le të gjejmë përshpejtimin e lëvizjes së masës:

(3)

Duke zëvendësuar shprehjet (2) dhe (3) në ekuacionin (1) marrim:

(5)

Ne i konsiderojmë të panjohura amplitudat e lëkundjeve A 1 dhe A 2 dhe i transformojmë ekuacionet:

(6)

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve homogjene A 1 = A 2 = 0 nuk na përshtatet; për të marrë një zgjidhje jo zero, ne barazojmë përcaktuesit e sistemit (6) me zero:

(7)

Le të transformojmë ekuacionin (8), duke marrë parasysh frekuencën rrethore të lëkundjeve natyrore  të panjohur:

Ekuacioni (9) quhet ekuacioni biharmonik i lëkundjeve të lira të sistemeve me dy shkallë lirie.

Duke zëvendësuar ndryshoren  2 =Z, marrim

prej këtu përcaktojmë Z 1 dhe Z 2.

Si rezultat, mund të nxirren përfundimet e mëposhtme:

1. Dridhjet e lira të sistemeve me dy shkallë lirie ndodhin me dy frekuenca  1 dhe  2. Frekuenca më e ulët 1 quhet toni themelor ose themelor, frekuenca më e lartë 2 quhet frekuenca e dytë ose mbiton.

Dridhjet e lira të sistemeve me n-gradë lirie janë n-ton, të përbërë nga n-dridhje të lira.

2. Lëvizjet e masave m 1 dhe m 2 shprehen me formulat e mëposhtme:

d.m.th., nëse luhatjet ndodhin me një frekuencë  1, atëherë në çdo moment të kohës lëvizjet e masës kanë të njëjtat shenja.

Nëse lëkundjet ndodhin vetëm me një frekuencë  2, atëherë lëvizjet e masës në çdo kohë kanë shenja të kundërta.

Me lëkundjet e njëkohshme të masave me frekuenca  1 dhe  2, sistemi kryesisht lëkundet në frekuencën  1 dhe një mbiton me frekuencë  2 përshtatet në këto lëkundje.

Nëse një sistem me dy shkallë lirie i nënshtrohet një force lëvizëse me frekuencë , atëherë është e nevojshme që:

  0,7  1 .

Leksioni 9

Lëkundjet e sistemeve me një numër të pafundëm shkallësh lirie.

Teoria e dridhjeve mekanike ka aplikime të shumta dhe shumë të larmishme pothuajse në të gjitha fushat e teknologjisë. Pavarësisht nga qëllimi dhe zgjidhja e projektimit të sistemeve të ndryshme mekanike, dridhjet e tyre i nënshtrohen të njëjtave ligje fizike, studimi i të cilave është objekt i teorisë së dridhjeve të sistemeve elastike. Teoria lineare e lëkundjeve është zhvilluar më plotësisht. Teoria e lëkundjeve të sistemeve me disa shkallë lirie u dha në shekullin e 18-të nga Lagrange në veprën e tij klasike "Mekanika analitike".

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - profesor i matematikës në Torino nga mosha 19 vjeçare. Që nga viti 1759 - anëtar, dhe që nga viti 1766 - president i Akademisë së Shkencave të Berlinit; nga viti 1787 jetoi në Paris. Më 1776 u zgjodh anëtar nderi i huaj i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut.

Në fund të shekullit të 19-të, Rayleigh hodhi themelet e teorisë lineare të lëkundjeve të sistemeve me një shkallë të pafundme lirie (d.m.th., me një shpërndarje të vazhdueshme të masës në të gjithë vëllimin e sistemit të deformueshëm). Në shekullin e 20-të, teoria lineare mund të thuhet se ka përfunduar (metoda Bubnov-Galerkin, e cila gjithashtu bën të mundur përcaktimin e frekuencave më të larta të lëkundjeve duke përdorur përafrime të njëpasnjëshme).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) - fizikan anglez, autor i një numri veprash mbi teorinë e lëkundjeve.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - një nga themeluesit e mekanikës strukturore të anijeve. Profesor në Institutin Politeknik të Shën Peterburgut, që nga viti 1910 - në Akademinë Detare.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor në Institutin Politeknik të Leningradit.

Formula e Rayleigh është më e popullarizuara në teorinë e dridhjeve dhe stabilitetit të sistemeve elastike. Ideja që qëndron në themel të derivimit të formulës së Rayleigh zbret në vijim. Me lëkundjet e lira monoharmonike (një ton) të një sistemi elastik me frekuencë , lëvizjet e pikave të tij ndodhin në kohë sipas ligjit harmonik:

ku  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) janë funksione të koordinatave hapësinore të pikës që përcaktojnë formën e lëkundjes në fjalë (amplitudën).

Nëse këto funksione dihen, atëherë frekuenca  e dridhjeve të lira mund të gjendet nga kushti që shuma e energjisë kinetike dhe potenciale të trupit të jetë konstante. Ky kusht çon në një ekuacion që përmban vetëm një sasi të panjohur.

Megjithatë, këto funksione nuk njihen paraprakisht. Ideja udhëzuese e metodës Rayleigh është të specifikojë këto funksione, duke përputhur zgjedhjen e tyre me kushtet kufitare dhe formën e pritur të dridhjeve.

Le të shqyrtojmë më në detaje zbatimin e kësaj ideje për dridhjet e përkuljes së rrafshët të një shufre; forma e dridhjeve përshkruhet me funksionin =(x). Lëkundjet e lira përshkruhen nga varësia

energjia potenciale e një shufre të përkulur

(2)

energjia kinetike

(3)

Ku l- gjatësia e shufrës, m=m(x) intensiteti i masës së shpërndarë të shufrës;

Lakimi i boshtit të lakuar të shufrës; - shpejtësia e dridhjeve tërthore.

E dhënë (1)

.

(4)

(5)

Me kalimin e kohës, secila prej këtyre madhësive ndryshon vazhdimisht, por, sipas ligjit të ruajtjes së energjisë, shuma e tyre mbetet konstante, d.m.th.

ose duke zëvendësuar shprehjet (4), (5) këtu

(7)

Kjo çon në formulën e Rayleigh:

(8)

Nëse ngarkesat e përqendruara me masa M i shoqërohen me një shufër me masë të shpërndarë m, atëherë formula e Rayleigh merr formën:

(9)

E gjithë rrjedha e derivimit tregon se, brenda kuadrit të supozimeve të pranuara (vlefshmëria e teorisë teknike të lakimit të shufrave, mungesa e rezistencës joelastike), kjo formulë është e saktë nëse  (x) është forma e vërtetë e dridhjeve. . Megjithatë, funksioni(x) është i panjohur paraprakisht. Rëndësia praktike e formulës së Rayleigh është se ajo mund të përdoret për të gjetur frekuencën natyrore, duke pasur parasysh formën e vibrimit(x). Në të njëjtën kohë, në vendim futet një element pak a shumë serioz i afërsisë. Për këtë arsye, formula e Rayleigh quhet ndonjëherë një formulë e përafërt.

m=kosto Le të marrim si formë vibrimi funksionin:(x)=ax 2, i cili plotëson kushtet kufitare kinematike të problemës.

Ne përcaktojmë:

Sipas formulës (8)

Ky rezultat ndryshon dukshëm nga ai i saktë

Më e saktë është formula Grammel, e cila ende nuk është bërë aq e njohur sa formula Rayleigh (ndoshta për shkak të "rinisë" së saj relative - ajo u propozua në 1939).

Le të ndalemi përsëri në të njëjtin problem të dridhjeve të përkuljes së lirë të një shufre.

Le të jetë (x) forma e specifikuar e lëkundjeve të lira të shufrës. Pastaj intensiteti i forcave inerciale maksimale përcaktohet nga shprehja m 2 , ku, si më parë, m=m(x) është intensiteti i masës së shpërndarë të shufrës; 2 është katrori i frekuencës natyrore. Këto forca arrijnë vlerën e caktuar në momentin kur devijimet janë maksimale, d.m.th. përcaktohen nga funksioni(x).

Le të shkruajmë shprehjen për energjinë më të lartë potenciale të përkuljes për sa i përket momenteve të përkuljes të shkaktuara nga forcat maksimale inerciale:

. (10)

Këtu - momentet e përkuljes të shkaktuara nga ngarkesa m 2 . Le të shënojmë momentin e lakimit të shkaktuar nga ngarkesa e kushtëzuar m, d.m.th.  2 herë më pak se forca inerciale.

, (11)

dhe shprehja (10) mund të shkruhet si:

. (12)

Energjia kinetike më e lartë, e njëjtë si më sipër

. (13)

Duke barazuar shprehjet (12) dhe (13) arrijmë në formulën Grammel:

(14)

Për të llogaritur duke përdorur këtë formulë, fillimisht duhet të specifikoni një funksion të përshtatshëm (x). Pas kësaj, përcaktohet ngarkesa me kusht m=m(x)(x) dhe shkruhen shprehjet për përkuljen e shkaktuar nga ngarkesa me kusht m. Duke përdorur formulën (14), përcaktohet frekuenca natyrore e lëkundjeve të sistemit.

Shembull: (konsideroni atë të mëparshmen)

y

m(x)·(x)=maksimumi 2

Le të shqyrtojmë lëkundjet e vogla të një sistemi me dy shkallë lirie, i cili i nënshtrohet forcave të një fushe potenciale dhe forcave që ndryshojnë periodikisht në kohë. Lëvizjet që rezultojnë të sistemit quhen lëkundje të detyruara.

Lërini forcat e përgjithësuara shqetësuese të ndryshojnë sipas një ligji harmonik me kohën, duke pasur periudha të barabarta dhe fazën fillestare. Atëherë ekuacionet e lëvizjes së sistemit në shqyrtim do të jenë të formës:

Ekuacionet e lëvizjes në rastin në shqyrtim janë një sistem ekuacionesh diferenciale lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante dhe një anë të djathtë.

Shkoni te koordinatat kryesore

Për lehtësinë e studimit të ekuacioneve të lëvizjes, le të kalojmë te koordinatat kryesore të sistemit.Marrëdhënia ndërmjet koordinatave përcaktohet nga formulat e paragrafit të mëparshëm të formularit:

Le të shënojmë përkatësisht forcat e përgjithësuara që u korrespondojnë koordinatave normale.Meqenëse forcat e përgjithësuara paraqesin koeficientë për variacionet përkatëse të koordinatave të përgjithësuara në shprehjen e punës elementare të forcave që veprojnë në sistem, atëherë

Prandaj:

Kështu, ekuacionet e lëvizjes në koordinatat kryesore marrin formën:

Ekuacionet e lëkundjeve të detyruara të një sistemi me dy shkallë lirie në koordinata normale janë të pavarura nga njëra-tjetra dhe mund të integrohen veçmas.

Frekuencat kritike të forcës shqetësuese

Ekuacioni për ose përcakton natyrën lëkundëse të ndryshimit në koordinatat normale, i studiuar në detaje kur merret parasysh lëkundja e detyruar e një pike përgjatë një vije të drejtë, pasi ekuacionet diferenciale të lëvizjes janë të njëjta në të dy rastet. Në veçanti, nëse frekuenca e forcës shqetësuese është e barabartë me frekuencën e një prej lëkundjeve natyrore të sistemit, ose atëherë zgjidhja do të përfshijë kohën t si faktor. Rrjedhimisht, një nga koordinatat normale të përgjithësuara për një t mjaftueshëm të madhe do të jetë arbitrarisht i madh, ose kemi fenomenin e rezonancës.

Siç e dini, një trup që nuk është i kufizuar në asnjë mënyrë në lëvizjet e tij quhet i lirë, pasi mund të lëvizë në çdo drejtim. Prandaj, çdo trup i lirë i ngurtë ka gjashtë shkallë lirie të lëvizjes. Ai ka aftësinë të prodhojë lëvizjet e mëposhtme: tre lëvizje përkthimore, që korrespondojnë me tre sisteme kryesore të koordinatave dhe tre lëvizje rrotulluese rreth këtyre tre akseve koordinative.

Imponimi i lidhjeve (fiksimit) zvogëlon numrin e shkallëve të lirisë. Kështu, nëse një trup është i fiksuar në një pikë, ai nuk mund të lëvizë përgjatë boshteve koordinative; lëvizjet e tij kufizohen vetëm në rrotullimin rreth këtyre boshteve, d.m.th. trupi ka tre shkallë lirie. Në rastin kur dy pika janë të fiksuara, trupi ka vetëm një shkallë lirie; ai mund të rrotullohet vetëm rreth një vije (boshti) që kalon nëpër të dyja këto pika. Dhe së fundi, me tre pika fikse që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, numri i shkallëve të lirisë është zero dhe nuk mund të ndodhin lëvizje të trupit. Tek njerëzit, aparati pasiv i lëvizjes përbëhet nga pjesë të trupit të tij të quajtura lidhje. Ata janë të gjithë të lidhur me njëri-tjetrin, kështu që humbasin aftësinë për të kryer tre lloje lëvizjesh përgjatë boshteve koordinative. Ata kanë vetëm aftësinë të rrotullohen rreth këtyre boshteve. Kështu, numri maksimal i shkallëve të lirisë që një lidhje trupore mund të ketë në lidhje me një lidhje tjetër ngjitur me të është tre.

Kjo i referohet nyjeve më të lëvizshme të trupit të njeriut, të cilat kanë një formë sferike.

Lidhjet sekuenciale ose të degëzuara të pjesëve (lidhjeve) të trupit formojnë zinxhirë kinematikë.

Tek njerëzit ekzistojnë:

• - zinxhirë të hapur kinematikë që ka një fund të lirë të lëvizshëm, të fiksuar vetëm në një skaj (për shembull, një krah në lidhje me trupin);
• - zinxhirë kinematikë të mbyllur, fiksuar në të dy skajet (për shembull, rruaza - brinjë - sternum - brinjë - rruazë).

Duhet të theksohet se kjo ka të bëjë me gamën e mundshme të lëvizjeve në nyje. Në realitet, në një person të gjallë, këta tregues janë gjithmonë më të ulët, gjë që është vërtetuar nga punime të shumta të studiuesve vendas - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin, etj. Mbi sasinë e lëvizshmërisë në nyjet e kockave në një të gjallë personi, ndikohet nga një sërë faktorësh që lidhen me moshën, gjininë, karakteristikat individuale, gjendjen funksionale të sistemit nervor, shkallën e shtrirjes së muskujve, temperaturën e ambientit, kohën e ditës dhe, së fundi, atë që është e rëndësishme për atletët, shkalla e trajnimit. Kështu, në të gjitha lidhjet kockore (të ndërprera dhe të vazhdueshme), shkalla e lëvizshmërisë tek të rinjtë është më e madhe se tek të moshuarit; Mesatarisht, gratë kanë më shumë se burrat. Sasia e lëvizshmërisë ndikohet nga shkalla e shtrirjes së atyre muskujve që janë në anën e kundërt me lëvizjen, si dhe nga forca e muskujve që prodhojnë këtë lëvizje. Sa më elastik të jetë i pari nga këta muskuj dhe sa më i fortë të jetë i dyti, aq më i madh është diapazoni i lëvizjeve në një lidhje të caktuar kockore dhe anasjelltas. Dihet se në një dhomë të ftohtë lëvizjet kanë një shtrirje më të vogël se në një dhomë të ngrohtë; në mëngjes ato janë më pak se në mbrëmje. Përdorimi i ushtrimeve të ndryshme ka efekte të ndryshme në lëvizshmërinë e kyçeve. Kështu, stërvitja sistematike me ushtrime “fleksibiliteti” rrit diapazonin e lëvizjes në nyje, ndërsa ushtrimet “forcë”, përkundrazi, e zvogëlojnë atë, duke çuar në “ngurtësim” të kyçeve. Sidoqoftë, një rënie në diapazonin e lëvizjes në nyje gjatë përdorimit të ushtrimeve të forcës nuk është absolutisht e pashmangshme. Mund të parandalohet nga kombinimi i duhur i stërvitjes së forcës dhe ushtrimeve shtrënguese për të njëjtat grupe muskujsh.

Në zinxhirët e hapur kinematikë të trupit të njeriut, lëvizshmëria llogaritet në dhjetëra shkallë lirie. Për shembull, lëvizshmëria e kyçit të dorës në lidhje me skapulën dhe lëvizshmëria e tarsusit në lidhje me legenin kanë shtatë shkallë lirie, dhe majat e gishtërinjve të dorës në raport me gjoksin kanë 16 gradë lirie. Nëse përmbledhim të gjitha shkallët e lirisë së gjymtyrëve dhe kokës në raport me trupin, atëherë kjo do të shprehet me numrin 105, i përbërë nga pozicionet e mëposhtme:

• - kokë - 3 shkallë lirie;
• - krahët - 14 gradë lirie;
• - këmbët - 12 gradë lirie;
• - duart dhe këmbët - 76 gradë lirie.

Për krahasim, theksojmë se shumica dërrmuese e makinave kanë vetëm një shkallë lirie të lëvizjes.

Në nyjet e topit dhe folesë, rrotullimet rreth tre boshteve pingule reciproke janë të mundshme. Numri i përgjithshëm i akseve rreth të cilave janë të mundshme rrotullimet në këto nyje është pafundësisht i madh. Për rrjedhojë, në lidhje me nyjet sferike, mund të themi se lidhjet e artikuluara në to, nga gjashtë shkallët e mundshme të lirisë së lëvizjes, kanë tre shkallë lirie dhe tre shkallë bashkimi.

Lidhjet me dy shkallë lirie lëvizjeje dhe katër shkallë bashkimi kanë më pak lëvizshmëri. Këto përfshijnë nyje të formës vezake ose eliptike dhe shalë, d.m.th. biaksiale. Ato lejojnë lëvizjet rreth këtyre dy boshteve.

Lidhjet e trupit në ato nyje që kanë një bosht rrotullimi, d.m.th., kanë një shkallë lirie lëvizshmërie dhe në të njëjtën kohë pesë shkallë lidhjeje. kanë dy pika fikse.

Shumica e nyjeve në trupin e njeriut kanë dy ose tre shkallë lirie. Me disa shkallë lirie të lëvizjes (dy ose më shumë), një numër i pafund i trajektoreve është i mundur. Lidhjet e kockave të kafkës kanë gjashtë shkallë lidhjeje dhe janë të palëvizshme. Lidhja e kockave me ndihmën e kërcit dhe ligamenteve (sinkondroza dhe sindesmoza) në disa raste mund të ketë lëvizshmëri të konsiderueshme, e cila varet nga elasticiteti dhe nga madhësia e formacioneve kërcore ose të indit lidhës që ndodhen midis këtyre kockave.

Lëkundjet e një sistemi me disa shkallë lirie, të cilat kanë zbatime të rëndësishme praktike, ndryshojnë nga lëkundjet e një sistemi me një shkallë lirie në një numër karakteristikash domethënëse. Për të dhënë një ide mbi këto veçori, le të shqyrtojmë rastin e lëkundjeve të lira të një sistemi me dy shkallë lirie.

Le të përcaktohet pozicioni i sistemit me koordinata të përgjithësuara dhe le të jetë sistemi në ekuilibër të qëndrueshëm. Pastaj energjitë kinetike dhe potenciale të sistemit, të sakta në katrorët e sasive të vogla, mund të gjenden në të njëjtën mënyrë siç u gjetën barazitë (132), (133) dhe u paraqitën në formën:

ku koeficientët inercialë dhe koeficientët kuazi-elastikë janë sasi konstante. Nëse përdorim dy ekuacione të Lagranzhit të formës (131) dhe zëvendësojmë këto vlera të T dhe P në to, marrim ekuacionet diferenciale të mëposhtme për lëkundjet e vogla të një sistemi me dy shkallë lirie.

Ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionet (145) në formën:

ku A, B, k, a janë konstante. Zëvendësimi i këtyre vlerave në ekuacionet (145) dhe zvogëlimi me marrim

Në mënyrë që ekuacionet (147) të japin zgjidhje për A dhe B që janë të ndryshme nga korriku, përcaktori i këtij sistemi duhet të jetë i barabartë me zero ose, në të kundërt, koeficientët për A dhe B në ekuacione duhet të jenë proporcional, d.m.th.

Prej këtu, për përkufizim, marrim ekuacionin e mëposhtëm, i quajtur ekuacioni i frekuencës.

Rrënjët e këtij ekuacioni janë reale dhe pozitive; kjo vërtetohet matematikisht, por mund të justifikohet edhe me faktin se përndryshe ekuacionet (145) nuk do të jenë reale dhe nuk do të kenë zgjidhje të formës (146), gjë që nuk mund të jetë rasti për një sistem në ekuilibër të qëndrueshëm (pasi e prish atë duhet të lëvizë pranë pozicionit

Pasi përcaktuam (149), gjejmë dy grupe zgjidhjesh të pjesshme të formës (146). Duke pasur parasysh se sipas këtyre vendimeve do të ketë:

ku dhe janë vlerat që marr nga (148) në dhe përkatësisht.

Lëkundjet e përcaktuara nga ekuacionet (150) dhe (151) quhen lëkundjet kryesore, dhe frekuencat e tyre dhe kg janë frekuencat natyrore të sistemit. Në këtë rast, një lëkundje me një frekuencë (gjithmonë më pak) quhet lëkundje e parë kryesore, dhe me një frekuencë - lëkundje e dytë kryesore. Numrat që përcaktojnë raportet e amplitudave (ose vetë koordinatat, d.m.th.) në secilën prej këtyre lëkundjeve quhen koeficientë të formës.

Meqenëse ekuacionet (145) janë lineare, shumat e zgjidhjeve të pjesshme (150) dhe (151) do të jenë gjithashtu zgjidhje për këto ekuacione:

Barazimet (152), që përmbajnë katër konstante arbitrare të përcaktuara nga kushtet fillestare, japin një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionet (145) dhe përcaktojnë ligjin e lëkundjeve të vogla të sistemit. lëkundjet përbëhen nga dy lëkundje kryesore me frekuenca dhe nuk janë harmonike. Në raste të veçanta, në kushte fillestare të përshtatshme, sistemi mund të kryejë një nga lëkundjet kryesore (për shembull, i pari, nëse) dhe lëkundjet do të jenë harmonike.

Frekuencat natyrore dhe koeficientët e formës nuk varen nga kushtet fillestare dhe janë karakteristikat kryesore të lëkundjeve të vogla të sistemit; zgjidhja e problemeve specifike zakonisht zbret në përcaktimin e këtyre karakteristikave.

Duke krahasuar rezultatet e këtij dhe të paragrafëve të mëparshëm, mund të merret një ide se çfarë do të zbresë studimi i lëkundjeve të lagura dhe të detyruara të një sistemi me dy shkallë lirie. Ne nuk do ta konsiderojmë këtë; do të vërejmë vetëm se gjatë lëkundjeve të detyruara, rezonanca në një sistem të tillë mund të ndodhë dy herë: në dhe në ( është frekuenca e forcës shqetësuese). Së fundi, vërejmë se lëkundjet e një sistemi me s shkallë lirie do të përbëhen nga s oscilime me frekuenca që duhet të përcaktohen nga ekuacioni i shkallës s në lidhje me këtë. Kjo shoqërohet me vështirësi të konsiderueshme matematikore, të cilat mund të kapërcehen me ndihmën e kompjuterëve elektronikë (apo makinave analoge).

Problemi 185. Përcaktoni frekuencat natyrore dhe koeficientët e formës së lëkundjeve të vogla të një lavjerrësi fizik të dyfishtë të formuar nga shufra dhe 2 të së njëjtës masë dhe gjatësi l (Fig. 374, a).

Zgjidhje. Le të zgjedhim kënde të vogla si koordinata të përgjithësuara. Pastaj , ku dhe, me saktësinë e kërkuar të llogaritjes, . Përfundimisht

Artikuj të ngjashëm