Vi kan inte alltid beräkna antiderivata funktioner, men differentieringsproblemet kan lösas för vilken funktion som helst. Det är därför det inte finns någon enskild integrationsmetod som kan användas för någon typ av beräkning.

I detta material kommer vi att titta på exempel på att lösa problem relaterade till att hitta den obestämda integralen, och se vilka typer av integrander varje metod är lämplig för.

Direkt integrationsmetod

Huvudmetoden för att beräkna antiderivatfunktionen är direkt integration. Denna åtgärd är baserad på egenskaperna hos den obestämda integralen, och för beräkningarna behöver vi en tabell med antiderivator. Andra metoder kan bara hjälpa till att få den ursprungliga integralen till tabellform.

Exempel 1

Beräkna mängden antiderivator för funktionen f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Lösning

Låt oss först ändra formen på funktionen till f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Vi vet att integralen av summan av funktioner kommer att vara lika med summan av dessa integraler, då:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Vi härleder den numeriska koefficienten bakom integraltecknet:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

För att hitta den första integralen måste vi hänvisa till tabellen över antiderivat. Vi tar från det värdet ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

För att hitta den andra integralen behöver du en tabell med antiderivator för kraftfunktion∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , samt regeln ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Därför, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Vi fick följande:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

med C = C 1 + 3 2 C 2

Svar:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Vi ägnade en separat artikel åt direkt integration med hjälp av tabeller med antiderivat. Vi rekommenderar att du bekantar dig med den.

Substitutionsmetod

Denna metod för integration består i att uttrycka integranden genom en ny variabel som introduceras specifikt för detta ändamål. Som ett resultat bör vi få en tabellform av integralen eller helt enkelt en mindre komplex integral.

Denna metod är mycket användbar när du behöver integrera funktioner med radikaler eller trigonometriska funktioner.

Exempel 2

Utvärdera den obestämda integralen ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Lösning

Låt oss lägga till ytterligare en variabel z = 2 x - 9 . Nu måste vi uttrycka x i termer av z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Vi tar tabellen över antiderivator och tar reda på att 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Nu måste vi gå tillbaka till variabeln x och få svaret:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Svar:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Om vi ​​måste integrera funktioner med irrationalitet av formen x m (a + b x n) p, där värdena m, n, p är rationella nummer, då är det viktigt att korrekt komponera uttrycket för att introducera en ny variabel. Läs mer om detta i artikeln om att integrera irrationella funktioner.

Som vi sa ovan är substitutionsmetoden bekväm att använda när du behöver integrera en trigonometrisk funktion. Till exempel, genom att använda en universell substitution, kan du reducera ett uttryck till en fraktionerad rationell form.

Denna metod förklarar integrationsregeln ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Vi lägger till ytterligare en variabel z = k x + b. Vi får följande:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Nu tar vi de resulterande uttrycken och lägger till dem till integralen som anges i villkoret:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Om vi ​​accepterar C 1 k = C och återgår till den ursprungliga variabeln x, så får vi:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Metod för att prenumerera på differentialtecknet

Denna metod bygger på att omvandla integranden till en funktion av formen f (g (x)) d (g (x)). Efter detta utför vi en substitution genom att introducera en ny variabel z = g (x), hitta dess antiderivata och återgå till den ursprungliga variabeln.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

För att lösa problem snabbare med den här metoden, ha en tabell med derivator i form av differentialer och en tabell med antiderivat till hands för att hitta det uttryck till vilket integranden måste reduceras.

Låt oss analysera ett problem där vi behöver beräkna mängden antiderivator av cotangensfunktionen.

Exempel 3

Beräkna den obestämda integralen ∫ c t g x d x .

Lösning

Låt oss omvandla det ursprungliga uttrycket under integralen med hjälp av grundläggande trigonometriska formler.

c t g x d x = cos s d x sin x

Vi tittar på tabellen över derivator och ser att täljaren kan subsumeras under differentialtecknet cos x d x = d (sin x), vilket betyder:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, dvs. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Låt oss anta att sin x = z, i detta fall ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Enligt tabellen över antiderivat, ∫ d z z = ln z + C . Låt oss nu återgå till den ursprungliga variabeln ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Hela lösningen kan kortfattat skrivas så här:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Svar: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Metoden för att prenumerera på differentialtecknet används mycket ofta i praktiken, så vi rekommenderar dig att läsa en separat artikel dedikerad till det.

Metod för integrering av delar

Denna metod bygger på att omvandla integranden till en produkt av formen f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), varefter formeln ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Detta är en mycket bekväm och vanlig lösningsmetod. Ibland måste partiell integration i ett problem tillämpas flera gånger innan man erhåller önskat resultat.

Låt oss analysera ett problem där vi måste beräkna mängden antiderivator av arctangenten.

Exempel 4

Beräkna den obestämda integralen ∫ a r c t g (2 x) d x .

Lösning

Låt oss anta att u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, i detta fall:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

När vi beräknar värdet på funktionen v (x) ska vi inte lägga till en godtycklig konstant C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Vi beräknar den resulterande integralen med hjälp av metoden att subsumera differentialtecknet.

Eftersom ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , då 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2).

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Svar:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Den största svårigheten med att använda denna metod är behovet av att välja vilken del som ska användas som differential och vilken del som funktionen u (x). Artikeln om metoden för integration av delar ger några råd om denna fråga som du bör bekanta dig med.

Om vi ​​behöver hitta mängden antiderivator av en bråkrationell funktion, måste vi först representera integranden som en summa av enkla bråk och sedan integrera de resulterande bråken. För mer information, se artikeln om att integrera enkla bråk.

Om vi ​​integrerar ett potensuttryck av formen sin 7 x · d x eller d x (x 2 + a 2) 8, så kommer vi att dra nytta av återfallsformler som gradvis kan sänka potensen. De härleds med sekventiell upprepad integrering av delar. Vi rekommenderar att du läser artikeln ”Integration using recurrence formulas.

Låt oss sammanfatta. För att lösa problem är det mycket viktigt att känna till metoden för direkt integration. Andra metoder (substitution, substitution, integration med delar) låter dig också förenkla integralen och föra den till tabellform.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Denna metod är baserad på följande formel: (*)

Låta Och - funktioner av x med kontinuerliga derivator och .

Det är känt att eller ; eller .

Integraler och , eftersom funktionerna u och v är differentierbara och därför kontinuerliga.

Formel (*) kallas integration av delar-formel.

Metoden baserad på dess tillämpning kallas metoden för integration av delar.

Det reducerar beräkningen till en annan integral: .

Tillämpningen av metoden för integration av delar är att de försöker representera integraluttrycket av en given integral i form av en produkt , där och är några funktioner av x, och dessa funktioner är valda så att var lättare att beräkna än den ursprungliga integralen. När för beräkning hitta och .

(som "v" tar vi en av de ursprungliga antiderivaten som hittats från dv, så i framtiden när vi beräknar "v" kommer vi att utelämna konstanten C i notationen).

Kommentar. När du delar upp ett integrerat uttryck i faktorer måste du förstå det och måste innehålla.

Tyvärr är det omöjligt att ge generella regler för att sönderdela ett integrerat uttryck i faktorerna "u" och "dv". Mycket och genomtänkt övning kan lära ut detta.

Med allt detta bör man ha det i åtanke var enklare än den ursprungliga integralen.

Exempel 6.6.22.

Ibland, för att erhålla det slutliga resultatet, tillämpas regeln om integrering av delar flera gånger i följd.

Metoden för integrering av delar är naturligtvis inte bekväm att använda varje gång, och möjligheten att använda den beror på erfarenhet.

Vid beräkning av integraler är det viktigt att korrekt fastställa vilken integrationsmetod som ska användas (som i föregående exempel leder trigonometrisk substitution till målet snabbare).

Låt oss överväga de vanligaste integralerna, som beräknas genom integrering av delar.

1.Formens integraler :

där är ett heltal (relativt x) polynom; a är ett konstant tal.

Om det under integraltecknet finns en produkt av trigonometrisk eller exponentiell funktion algebraisk, så anses "u" vanligtvis vara en algebraisk funktion.

Exempel6.6.23.

Observera att ytterligare en uppdelning i faktorer: inte leder till målet.

Det har bevisats
.

Låt oss få en mer komplex integral.

2.Formens integraler :

var är ett polynom.

Om det under integraltecknet finns en produkt av logaritmen för en funktion eller en invers trigonometrisk funktion och en algebraisk, bör funktionerna tas som "u".

Exempel6.6.23.

3.Formens integraler:

Här kan du använda vilken som helst av två möjliga uppdelningar av integraluttrycket i faktorer: för "u" kan du ta både , och .

Dessutom leder beräkningen av sådana integraler med användning av metoden för integration av delar till den ursprungliga integralen, det vill säga en ekvation erhålls med avseende på den önskade integralen.

Exempel 6.6.24. Beräkna .

.

Vid integration är det ofta nödvändigt att successivt tillämpa substitutionsmetoden och metoden för integrering av delar.

Exempel 6.6.25.

Integration av vissa funktioner som innehåller ett kvadratiskt trinomium

1)

.

och dessa är tabellintegraler.

2) reella talkoefficienter

i täljaren väljer vi derivatan av nämnaren.

a,b,c – reella tal

A); då har vi:

b) . I det här fallet är det vettigt att överväga endast när diskriminerande trinomial positiv:

Nu har vi:

Kommentar. I praktiken använder de vanligtvis inte färdiga resultat, utan föredrar att utföra liknande beräkningar igen.

Exempel.

4)

Låt oss transformera täljaren så att vi kan extrahera derivatan från den kvadratisk trinomial:

På grund av det faktum att det i praktiken inte finns någon lämplig generell metod för att beräkna obestämda integraler, är det nödvändigt, tillsammans med särskilda metoder för integration (se föregående föreläsning), att även överväga metoder för att integrera vissa speciella klasser av funktioner, integralerna av som man ofta möter i praktiken.

Den viktigaste klassen bland dem är klassen av rationella funktioner.

"Integration rationella bråkfunktioner»

Integration av en egentlig rationell bråkdel baseras på sönderdelningen av en rationell bråkdel till en summa av elementära bråk.

Elementära (enklaste) bråk och deras integration.

Definition. Bråkdelar av formen: ; (1)

(2), var

(det vill säga att trinomialets rötter är komplexa) kallas elementära.

Tänk på integrationen av elementära bråk

2)

(där låts).

Låt oss beräkna integralen

(*)

Den sista integralen beräknas med hjälp av en återkommande formel.

Ibland tillåter integration av delar oss att erhålla ett samband mellan en obestämd integral som innehåller graden av någon funktion och en liknande integral, men med en mindre grad av samma funktion. Sådana relationer kallas återkommande formler.

Låt oss beteckna med .

Vi har:

I den sista integralen lägger vi:

Det är därför

var

Således har vi kommit fram till en återkommande formel: upprepad tillämpning av vilken i slutändan leder till en "tabellformig" integral:

Sedan istället för "t" och "k" ersätter vi deras värden.

Exempel6.6.26.

(enligt återfallsformeln).=

.

Ett rationellt bråk är en funktion som kan representeras i formen ; där och är polynom med reella koefficienter.

Ett rationellt bråk kallas egentlig om graden av täljaren är mindre än graden av nämnaren.

Varje egentlig rationell bråkdel kan representeras som summan av ett ändligt antal elementära bråk.

Nedbrytningen av en egen bråkdel till elementära bestäms av följande teorem, som vi kommer att överväga utan bevis.

Sats . Om bråkdelen är korrekt och , (där trinomialet inte har några riktiga rötter), då gäller identiteten:

(jag)

Observera att alla riktig rot, till exempel a, multipliciteten " " av polynomet i denna expansion motsvarar summan av elementära bråkdelar av formen (1), och varje par av komplexa konjugerade rötter och (så att ) multipliciteten " " - summan av elementär bråkdelar av formen (2).

För att utföra expansion (I) måste du lära dig hur man bestämmer koefficienterna .

Existera olika sätt deras plats. Vi kommer att titta på metoden för obestämda koefficienter och metoden för partiella värden.

Låt U(x) och V(x) vara differentierbara funktioner. Då d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Därför U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Genom att beräkna integralen för båda sidor av den sista likheten, med hänsyn till det faktum att ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, får vi sambandet

Kallas integration by parts formel. Det förstås på det sättet att uppsättningen av antiderivat på vänster sida sammanfaller med uppsättningen av antiderivat erhållen från höger sida.

Tillämpning av metoden för integration av delar

På grund av särdragen med att hitta vissa kvantiteter, används integreringsformeln för delar mycket ofta i följande problem:

1. Matematisk förväntan på en kontinuerlig stokastisk variabel. Formel för att hitta matematiska förväntningar och dispersion kontinuerlig slumpvariabel inkluderar två faktorer: en polynomfunktion av x och fördelningsdensiteten f(x).
2. Fourier-seriens expansion. Vid sönderdelning är det nödvändigt att bestämma koefficienterna, som hittas genom att integrera produkten av funktionen f(x) och den trigonometriska funktionen cos(x) eller sin(x).

Typiska nedbrytningar av delar

När du använder integrationen efter delar-formeln måste du framgångsrikt välja U och dV så att integralen som erhålls på höger sida av formeln är lättare att hitta. Låt oss sätta i det första exemplet U=e x , dV=xdx . Då dU=e x dx , och Det är osannolikt att integralen ∫ x 2 e x dx kan anses vara enklare än den ursprungliga.
Ibland är det nödvändigt att tillämpa formeln för integration med delar flera gånger, till exempel när man beräknar integralen ∫ x 2 sin(x)dx.

Integralerna ∫ e ax cos(bx)dx och ∫ e ax sin(bx)dx kallas cyklisk och beräknas med hjälp av integrationen av delar-formeln två gånger.

Exempel nr 1. Beräkna ∫ xe x dx .
Låt oss sätta U=x, dV=e x dx. Då dU=dx, V=e x . Därför ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

Exempel nr 2. Beräkna ∫ xcos(x)dx .
Vi antar U=x, dV=cos(x)dx. Då dU=dx , V=sin(x) och ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Exempel nr 3. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Lösning:

Svar: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

En metod för att integrera den obestämda integralen med delar presenteras. Exempel på integraler som beräknas med denna metod ges. Exempel på lösningar diskuteras.

Innehåll

Se även: Metoder för att beräkna obestämda integraler
Tabell över obestämda integraler
Grundläggande elementära funktioner och deras egenskaper

Formeln för integration efter delar ser ut så här:
.

Metoden för integrering av delar består av att tillämpa denna formel. På praktisk applikation Det är värt att notera att u och v är funktioner av integrationsvariabeln. Låt integrationsvariabeln betecknas som x (symbolen efter differentialtecknet d i slutet av integralnotationen). Då är u och v funktioner av x: u(x) och v(x) .
Sedan
, .
Och formeln för integrering av delar tar formen:
.

Det vill säga, integrandfunktionen måste bestå av produkten av två funktioner:
,
en av dem betecknar vi som u: g(x) = u, och för den andra måste integralen beräknas (mer exakt måste antiderivatan hittas):
, då dv = f(x) dx .

I vissa fall f(x) = 1 . Det vill säga i integralen
,
vi kan sätta g(x) = u, x = v .

Sammanfattning

Så i den här metoden bör formeln för integration av delar komma ihåg och tillämpas i två former:
;
.

Integraler beräknade genom integrering av delar

Integraler som innehåller logaritmer och inversa trigonometriska (hyperboliska) funktioner

Integraler som innehåller logaritmer och inversa trigonometriska eller hyperboliska funktioner integreras ofta av delar. I detta fall betecknas delen som innehåller logaritmen eller invers trigonometriska (hyperboliska) funktioner med u, den återstående delen med dv.

Här är exempel på sådana integraler, som beräknas med metoden för integration av delar:
, , , , , , .

Integraler som innehåller produkten av ett polynom och sin x, cos x eller e x

Med hjälp av integreringsformeln efter delar hittas integraler av formen:
, , ,
där P(x) är ett polynom i x. Vid integration betecknas polynomet P(x) med u, och e ax dx, cos ax dx eller sin ax dx- via dv.

Här är exempel på sådana integraler:
, , .

Exempel på beräkning av integraler med metoden för integrering av delar

Exempel på integraler som innehåller logaritmer och inversa trigonometriska funktioner

Exempel

Beräkna integralen:

Detaljerad lösning

Här innehåller integranden en logaritm. Att göra byten
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Sedan
,
.

Vi beräknar den återstående integralen:
.
Sedan
.
I slutet av beräkningarna är det nödvändigt att lägga till konstanten C, eftersom den obestämda integralen är mängden av alla antiderivator. Det skulle också kunna läggas till i mellanberäkningar, men det skulle bara röra upp beräkningarna.

Kortare lösning

Du kan presentera lösningen i en kortare version. För att göra detta behöver du inte göra substitutioner med u och v, men du kan gruppera faktorerna och tillämpa integreringsformeln i den andra formen.

.

Andra exempel

Exempel på integraler som innehåller produkten av ett polynom och sin x, cos x eller ex

Exempel

Beräkna integralen:
.

Låt oss introducera exponenten under differentialtecknet:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Låt oss integrera med delar.
.
Vi använder också metoden för integration av delar.
.
.
.
Äntligen har vi.

Begreppet antiderivat och obestämd integral. Teorem om samlingen av antiderivat. Egenskaper hos den obestämda integralen. Tabell över integraler.

Funktionen F(x) kallas antiderivata för funktionen f(x) på ett givet intervall om funktionen F(x) är kontinuerlig på detta intervall, och i varje inre punkt intervall gäller följande likhet: F’(x) = f(x)

Sats 1. Om en funktion F(x) har en antiderivata F(x) på ett intervall, så kommer alla funktioner av formen F(x)+C att vara antiderivator för den på samma intervall. Omvänt kan vilken antiderivata Ф(x) som helst för funktionen y = f(x) representeras som Ф(x) = F(x)+C, där F(x) är en av antiderivatans funktioner och C är en godtycklig konstant.

Bevis:

Per definition av ett antiderivat har vi F’(x) = f(x). Med tanke på att derivatan av konstanten är lika med noll får vi

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). Det betyder att F(x)+C är en antiderivata för y = f(x) Låt oss nu visa att om funktionen y = f(x) ges på ett visst intervall och F(x) är en av dess antiderivator. , då kan Ф (x) representeras som

I själva verket, enligt definitionen av ett antiderivat vi har

Ф'(x) = F(x)+C och F'(x) = f(x).

Men två funktioner som har lika derivator på ett intervall skiljer sig från varandra endast med en konstant term. Det betyder att Ф(x) = F(x)+C, vilket är det som behövde bevisas.

Definition.

Mängden av alla antiderivator för funktionen y = f(x) på ett givet intervall kallas den obestämda integralen av denna funktion och betecknas ∫f(x)dx = F(x)+C

Funktionen f(x) kallas integranden, och produkten f(x)*dx kallas integranden.

De säger ofta: "ta en obestämd integral" eller "beräkna en obestämd integral", vilket betyder följande: hitta mängden av alla antiderivator för integranden,

Egenskaper hos den obestämda integralen

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Tabell över integraler

Integration genom substitution och genom delar i den obestämda integralen.

Integrationsmetod genom substitution består i att introducera en ny integrationsvariabel (dvs substitution). I det här fallet reduceras den givna integralen till en ny integral, som är tabellformad eller reducerbar till den (vid en "lyckad" substitution). Vanliga metoder det finns inget urval av ersättningar.

Låt det vara nödvändigt att beräkna integralen ∫f(x)dx. Låt oss göra substitutionen x =φ(t), där φ(t) är en funktion som har en kontinuerlig derivata. Då dx=φ"(t) dt och baserat på invariansegenskapen för integrationsformeln för den obestämda integralen, får vi integrationsformeln genom substitution ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Denna formel kallas även substitutionsformelvariablerna i den obestämda integralen. Efter att ha hittat integralen för den högra sidan av denna likhet bör vi gå tillbaka från den nya integrationsvariabeln t till variabeln x.

Metod för integrering av delar

Låt u=u(x) och ν=v(x) vara funktioner som har kontinuerliga derivator. Då d(uv)=u dv+v du.

Genom att integrera denna likhet får vi ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu eller

∫udv =uv - ∫vdu

Den resulterande formeln kallas integrationen av delar-formeln. Det gör det möjligt att reducera beräkningen av integralen ∫udv till beräkningen av integralen ∫vdu, vilket kan visa sig vara betydligt enklare än den ursprungliga.

Liknande artiklar