Klassen av irrationella funktioner är mycket bred, så det kan helt enkelt inte finnas ett universellt sätt att integrera dem. I den här artikeln kommer vi att försöka identifiera de mest karakteristiska typerna av irrationella integrandfunktioner och associera integrationsmetoden med dem.

Det finns fall då det är lämpligt att använda metoden för att prenumerera på differentialtecknet. Till exempel när man hittar obestämda integraler av formen, var sid– rationell bråkdel.

Exempel.

Hitta den obestämda integralen .

Lösning.

Det är inte svårt att märka det. Därför lägger vi det under differentialtecknet och använder tabellen över antiderivat:

Svar:

.

13. Bråkdel linjär substitution

Integraler av typen där a, b, c, d är reella tal, a, b,..., d, g är naturliga tal, reduceras till integraler av en rationell funktion genom substitution, där K är den minsta gemensamma multipeln av bråkens nämnare

Det följer faktiskt av ersättningen

dvs x och dx uttrycks genom rationella funktioner av t. Dessutom uttrycks varje grad av fraktionen genom rationell funktion från t.

Exempel 33.4. Hitta integralen

Lösning: Den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för bråken 2/3 och 1/2 är 6.

Därför sätter vi x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Därför,

Exempel 33.5. Ange ersättningen för att hitta integraler:

Lösning: För I 1-substitution x=t 2, för I 2-substitution

14. Trigonometrisk substitution

Integraler av typ reduceras till integraler av funktioner som rationellt är beroende av trigonometriska funktioner med hjälp av följande trigonometriska substitutioner: x = en sint för den första integralen; x=a tgt för den andra integralen;

Exempel 33.6. Hitta integralen

Lösning: Låt oss sätta x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Sedan

Här är integranden en rationell funktion med avseende på x och Genom att välja en komplett kvadrat under radikalen och göra en substitution reduceras integraler av den angivna typen till integraler av den typ som redan betraktats, d.v.s. till integraler av typen Dessa integraler kan beräknas med hjälp av lämpliga trigonometriska substitutioner.

Exempel 33.7. Hitta integralen

Lösning: Eftersom x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, då x+1=t, x=t-1, dx=dt. Det är därför Låt oss sätta

Obs: Integral typ Det är lämpligt att hitta med hjälp av substitutionen x=1/t.

15. Bestämd integral

Låt en funktion definieras på ett segment och ha en antiderivata på sig. Skillnaden kallas bestämd integral funktioner längs segmentet och betecknar. Så,

Skillnaden skrivs alltså i formen . Nummer kallas integrationens gränser .

Till exempel ett av antiderivaten för en funktion. Det är därför

16 . Om c är ett konstant tal och funktionen ƒ(x) är integrerbar på , då

det vill säga konstantfaktorn c kan tas ur den bestämda integralens tecken.

▼Låt oss komponera integralsumman för funktionen med ƒ(x). Vi har:

Sedan följer att funktionen c ƒ(x) är integrerbar på [a; b] och formeln (38.1) är giltig.▲

2. Om funktionerna ƒ 1 (x) och ƒ 2 (x) är integrerbara på [a;b], så integrerbara på [a; b] deras summa u

dvs summans integral är lika med summan av integralerna.

▼
▲

Egenskap 2 gäller summan av valfritt ändligt antal termer.

3.

Denna egenskap kan accepteras per definition. Denna egenskap bekräftas också av Newton-Leibniz formel.

4. Om funktionen ƒ(x) är integrerbar på [a; b] och a< с < b, то

det vill säga integralen över hela segmentet är lika med summan av integralerna över delarna av detta segment. Denna egenskap kallas additiviteten för en bestämd integral (eller additivitetsegenskapen).

När vi delar upp segmentet [a;b] i delar inkluderar vi punkt c i antalet divisionspunkter (detta kan göras på grund av oberoendet av gränsen för integralsumman från metoden för att dividera segmentet [a;b] i delar). Om c = x m, kan integralsumman delas upp i två summor:

Var och en av de skrivna summorna är integral, respektive, för segmenten [a; b], [a; s] och [s; b]. Går vi till gränsen i den sista likheten som n → ∞ (λ → 0), får vi likhet (38.3).

Egenskap 4 är giltig för vilken plats som helst av punkterna a, b, c (vi antar att funktionen ƒ (x) är integrerbar på det största av de resulterande segmenten).

Så, till exempel, om en< b < с, то

(egenskaperna 4 och 3 användes).

5. "Sat om medelvärden." Om funktionen ƒ(x) är kontinuerlig på intervallet [a; b], så finns det en tonka med є [a; b] sådan att

▼Med Newton-Leibniz formel vi har

där F"(x) = ƒ(x). Genom att tillämpa Lagrangesatsen (satsen om det finita inkrementet av en funktion) på skillnaden F(b)-F(a) får vi

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Egenskap 5 ("medelvärdessats") för ƒ (x) ≥ 0 har en enkel geometrisk betydelse: värdet på den bestämda integralen är lika, för vissa c є (a; b), med arean av en rektangel med höjden ƒ (c) och basen b-a (se fig. 170). siffra

kallas medelvärdet för funktionen ƒ(x) på intervallet [a; b].

6. Om funktionen ƒ (x) bibehåller sitt tecken på segmentet [a; b], där a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Med "medelvärdessatsen" (egenskap 5)

där c є [a; b]. Och eftersom ƒ(x) ≥ 0 för alla x О [a; b], då

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Därför ƒ(с) (b-а) ≥ 0, dvs. ▲

7. Olikhet mellan kontinuerliga funktioner på intervallet [a; b], (a

▼Eftersom ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, då när en< b, согласно свойству 6, имеем

Eller, enligt fastighet 2,

Observera att det är omöjligt att särskilja ojämlikheter.

8. Uppskattning av integralen. Om m och M är respektive de minsta och största värdena för funktionen y = ƒ (x) på segmentet [a; b], (a< b), то

▼Eftersom vi för valfri x є [a;b] har m≤ƒ(x)≤М, så har vi enligt egenskap 7

Genom att tillämpa egenskap 5 på de extrema integralerna får vi

▲

Om ƒ(x)≥0, så illustreras egenskap 8 geometriskt: arean av en krökt trapets är innesluten mellan områdena av rektanglar vars bas är , och vars höjder är m och M (se fig. 171).

9. Modulen för en bestämd integral överstiger inte integralen för integrandens modul:

▼ Genom att tillämpa egenskap 7 på de uppenbara ojämlikheterna -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)| får vi

Det följer att

▲

10. Derivatan av en bestämd integral med avseende på en variabel övre gräns är lika med den integrand i vilken integrationsvariabeln ersätts av denna gräns, dvs.

Att beräkna arean av en figur är ett av de svåraste problemen inom areateorin. På skolans geometrikurs lärde vi oss att hitta områdena för geometriska grundformer, till exempel en cirkel, triangel, romb osv. Men mycket oftare måste du ta itu med att beräkna arean för mer komplexa figurer. När man löser sådana problem måste man tillgripa integralkalkyl.

I den här artikeln kommer vi att överväga problemet med att beräkna arean av en krökt trapets, och vi kommer att närma oss det i geometrisk mening. Detta kommer att tillåta oss att ta reda på den direkta kopplingen mellan den bestämda integralen och området för en krökt trapets.

Låt funktionen y = f(x) kontinuerligt på segmentet och ändrar inte tecknet på den (det vill säga icke-negativ eller icke-positiv). Figur G, avgränsad av linjer y = f(x), y = 0, x = a Och x = b, ringde böjd trapets. Låt oss beteckna dess område S(G).

Låt oss närma oss problemet med att beräkna arean av en kurvlinjär trapets enligt följande. I avsnittet om kvadratiska figurer fick vi reda på att en böjd trapets är en kvadratisk figur. Om du delar upp segmentet på n delar med prickar för att indikera , och välj poäng så att för , då siffrorna som motsvarar de nedre och övre Darboux-summorna kan anses inkluderade P och omfattande F polygonala former för G.

Således även med en ökning av antalet partitionspunkter n, vi kommer till ojämlikheten , där är ett godtyckligt litet positivt tal, och s Och S– lägre och övre Darboux-summor för en given del av segmentet . I ett annat inlägg . När vi därför vänder oss till begreppet en bestämd Darboux-integral får vi .

Den sista likheten innebär att den bestämda integralen för en kontinuerlig och icke-negativ funktion y = f(x) representerar i geometrisk mening arean av motsvarande krökta trapets. Det här är vad geometrisk betydelse av en bestämd integral.

Det vill säga, genom att beräkna den bestämda integralen, kommer vi att hitta arean av figuren avgränsad av linjerna y = f(x), y = 0, x = a Och x = b.

Kommentar.

Om funktionen y = f(x) icke-positiv på segmentet , då kan området för en krökt trapets hittas som .

Exempel.

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer .

Lösning.

Låt oss bygga en figur på ett plan: rak linje y = 0 sammanfaller med x-axeln, raka linjer x = -2 Och x = 3är parallella med ordinataaxeln, och kurvan kan konstrueras med hjälp av geometriska transformationer av funktionens graf.

Därför måste vi hitta området för en krökt trapets. Den geometriska betydelsen av en bestämd integral indikerar för oss att den önskade arean uttrycks av en bestämd integral. Därav, . Denna bestämda integral kan beräknas med hjälp av Newton-Leibniz formel.

Formens integraler (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - heltal). I dessa integraler är integranden rationell med avseende på integrationsvariabeln och radikalerna i x. De beräknas genom att ersätta x=t s, där s är den gemensamma nämnaren för bråken, ... Med en sådan ersättning av variabeln är alla relationer = r 1, = r 2, ... heltal, d.v.s. integralen är reducerad till en rationell funktion av variabeln t:

Formens integraler (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - heltal). Dessa integraler är genom substitution:

där s är den gemensamma nämnaren för bråken, ..., reduceras till en rationell funktion av variabeln t.

Formens integraler För att beräkna integralen I 1, välj en komplett kvadrat under det radikala tecknet:

och ersättningen tillämpas:

Som ett resultat reduceras denna integral till en tabellform:

I täljaren för integralen I 2 markeras differentialen för uttrycket under det radikala tecknet, och denna integral representeras som summan av två integraler:

där I 1 är den ovan beräknade integralen.

Beräkningen av integralen I 3 reduceras till beräkningen av integralen I 1 genom substitution:

Formens integral Särskilda fall av beräkning av integraler av denna typ behandlas i föregående stycke. Det finns flera olika metoder för att beräkna dem. Låt oss överväga en av dessa tekniker, baserad på användningen av trigonometriska substitutioner.

Den kvadratiska trinomialaxeln 2 +bx+c genom att isolera hela kvadraten och ändra variabeln kan representeras i formen. Det räcker alltså med att begränsa oss till att betrakta tre typer av integraler:

Integral genom substitution

u=ksint (eller u=kcost)

reducerar till integralen av en rationell funktion med avseende på sint och kostnad.

Integraler av formen (m, n, p є Q, a, b є R). Integralerna i fråga, kallade integraler av en differentialbinomial, uttrycks endast genom elementära funktioner i följande tre fall:

1) om p є Z, så tillämpas substitutionen:

där s är den gemensamma nämnaren för bråk m och n;

2) om Z, så används substitutionen:

där s är bråkets nämnare

3) om Z, så tillämpas substitutionen:

där s är bråkets nämnare

Det finns inget universellt sätt att lösa irrationella ekvationer, eftersom deras klass skiljer sig åt i kvantitet. Artikeln kommer att belysa karakteristiska typer av ekvationer med substitution med hjälp av integrationsmetoden.

För att använda den direkta integrationsmetoden är det nödvändigt att beräkna obestämda integraler av typen ∫ k x + b p d x , där p är en rationell bråkdel, k och b är reella koefficienter.

Exempel 1

Hitta och beräkna antiderivatorna för funktionen y = 1 3 x - 1 3 .

Lösning

Enligt integrationsregeln är det nödvändigt att tillämpa formeln ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, och tabellen över antiderivator indikerar att det finns en färdig lösning för denna funktion . Det förstår vi

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 23 + C

Svar:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Det finns fall då det är möjligt att använda metoden för att subsumera differentialtecknet. Detta löses genom principen att hitta obestämda integraler av formen ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , när värdet av p anses vara ett rationellt bråktal.

Exempel 2

Hitta den obestämda integralen ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Lösning

Observera att d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Sedan är det nödvändigt att subsumera differentialtecknet med hjälp av tabeller med antiderivator. Vi finner att

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Svar:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Att lösa obestämda integraler innebär en formel av formen ∫ d x x 2 + p x + q, där p och q är reella koefficienter. Sedan måste du välja en komplett kvadrat under roten. Det förstår vi

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Genom att tillämpa formeln i tabellen över obestämda integraler får vi:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Därefter beräknas integralen:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Exempel 3

Hitta den obestämda integralen av formen ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Lösning

För att beräkna måste du ta ut siffran 2 och placera den framför radikalen:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Välj en hel fyrkant i radikalt uttryck. Det förstår vi

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Då får vi en obestämd integral av formen 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 12 + C

Svar: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrering av irrationella funktioner utförs på liknande sätt. Tillämplig för funktioner av formen y = 1 - x 2 + p x + q.

Exempel 4

Hitta den obestämda integralen ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Lösning

Först måste du härleda kvadraten på uttryckets nämnare från under roten.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Tabellintegralen har formen ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, då får vi att ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 23 +C

Svar:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Processen att hitta antiderivativa irrationella funktioner av formen y = M x + N x 2 + p x + q, där de befintliga M, N, p, q är reella koefficienter och liknar integrationen av enkla fraktioner av den tredje typen . Denna omvandling har flera steg:

summera differentialen under roten, isolera hela kvadraten av uttrycket under roten, med hjälp av tabellformler.

Exempel 5

Hitta antiderivatorna för funktionen y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Lösning

Från villkoret har vi att d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x och x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, sedan (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Låt oss beräkna integralen: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Svar:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Sökandet efter obestämda integraler av funktionen ∫ x m (a + b x n) p d x utförs med hjälp av substitutionsmetoden.

För att lösa det är det nödvändigt att introducera nya variabler:

1. När p är ett heltal anses x = z N och N är den gemensamma nämnaren för m, n.
2. När m + 1 n är ett heltal, då är a + b x n = z N, och N är nämnaren för p.
3. När m + 1 n + p är ett heltal krävs variabeln a x - n + b = z N, och N är nämnaren för talet p.

Exempel 6

Hitta den bestämda integralen ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Lösning

Vi får att ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Det följer att m = - 1, n = 1, p = - 1 2, då är m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 ett heltal. Du kan introducera en ny variabel av formen - 9 + 2 x = z 2. Det är nödvändigt att uttrycka x i termer av z. Som utgång får vi det

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Det är nödvändigt att göra en substitution i den givna integralen. Det har vi

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Svar:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

För att förenkla lösningen av irrationella ekvationer används grundläggande integrationsmetoder.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

De grundläggande metoderna för att integrera irrationella funktioner (rötter) ges. De inkluderar: integration av linjär bråk-irrationalitet, differentiell binomial, integraler med kvadratroten av ett kvadrattrinomial. Trigonometriska substitutioner och Euler substitutioner anges. Vissa elliptiska integraler uttryckta genom elementära funktioner beaktas.

Innehåll

Integraler från differentialbinomialer

Integraler från differentialbinomialer har formen:
,
där m, n, p är rationella tal, a, b är reella tal.
Sådana integraler reduceras till integraler av rationella funktioner i tre fall.

1) Om p är ett heltal. Substitution x = t N, där N är den gemensamma nämnaren för bråken m och n.
2) Om - ett heltal. Substitution a x n + b = t M, där M är nämnaren för talet p.
3) Om - ett heltal. Substitution a + b x - n = t M, där M är nämnaren för talet p.

I andra fall uttrycks inte sådana integraler genom elementära funktioner.

Ibland kan sådana integraler förenklas med hjälp av reduktionsformler:
;
.

Integraler som innehåller kvadratroten ur ett kvadrattrinomial

Sådana integraler har formen:
,
där R är en rationell funktion. För varje sådan integral finns det flera metoder för att lösa den.
1) Att använda transformationer leder till enklare integraler.
2) Använd trigonometriska eller hyperboliska substitutioner.
3) Använd Euler-substitutioner.

Låt oss titta på dessa metoder mer i detalj.

1) Transformation av integrandfunktionen

Genom att tillämpa formeln och utföra algebraiska transformationer reducerar vi integrandfunktionen till formen:
,
där φ(x), ω(x) är rationella funktioner.

Typ I

Integral av formuläret:
,
där P n (x) är ett polynom av grad n.

Sådana integraler hittas med metoden för obestämda koefficienter med hjälp av identiteten:

.
Genom att differentiera denna ekvation och likställa vänster och höger sida hittar vi koefficienterna A i.

Typ II

Integral av formuläret:
,
där P m (x) är ett polynom med grad m.

Substitution t = (x - a) -1 denna integral reduceras till den tidigare typen. Om m ≥ n, så bör bråket ha en heltalsdel.

III typ

Här gör vi bytet:
.
Därefter kommer integralen att ta formen:
.
Därefter måste konstanterna α, β väljas så att koefficienterna för t i nämnaren blir noll:
B = 0, Bi = 0.
Sedan sönderfaller integralen till summan av integraler av två typer:
,
,
som är integrerade genom substitutioner:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v2 = Ai + Cit-2.

2) Trigonometriska och hyperboliska substitutioner

För integraler av formen, a > 0 ,
vi har tre huvudsakliga ersättningar:
;
;
;

För integraler, a > 0 ,
vi har följande ersättningar:
;
;
;

Och slutligen, för integralerna, en > 0 ,
ersättningarna är som följer:
;
;
;

3) Euler-substitutioner

Dessutom kan integraler reduceras till integraler av rationella funktioner av en av tre Euler-substitutioner:
för a > 0;
för c > 0;
, där x 1 är roten till ekvationen a x 2 + b x + c = 0. Om denna ekvation har verkliga rötter.

Elliptiska integraler

Sammanfattningsvis, överväg integraler av formen:
,
där R är en rationell funktion, . Sådana integraler kallas elliptiska. I allmänhet uttrycks de inte genom elementära funktioner. Det finns dock fall när det finns samband mellan koefficienterna A, B, C, D, E, där sådana integraler uttrycks genom elementära funktioner.

Nedan är ett exempel relaterat till reflexiva polynom. Beräkningen av sådana integraler utförs med hjälp av substitutioner:
.

Exempel

Beräkna integralen:
.

Låt oss göra ett byte.

.
Här vid x > 0 (u > 0 ) ta det övre tecknet ′+′. Vid x< 0 (u< 0 ) - lägre "-".

.

Referenser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problem i högre matematik, "Lan", 2003.

Se även:

Planen:

1. Integration av enkla rationella bråk.
2. Integrering av några irrationella funktioner.
3. Universell trigonometrisk substitution.

1. Integrering av enkla rationella bråk

Kom ihåg att en funktion av formen P(x)=a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +...+ a n-1 x n + a n, Var , a o, a 1 ...a p – konstanta koefficienter kallas polynom eller rationell funktion . siffra P kallad grad av polynom .

Bråkdel rationell funktion kallas en funktion lika med förhållandet mellan två polynom, dvs. .

Låt oss överväga några enkla integraler av rationella bråkfunktioner:

1.1. För att hitta integraler av formen (A - konst) kommer vi att använda integraler av några komplexa funktioner: = .

Exempel 20.1. Hitta integralen.

Lösning. Låt oss använda ovanstående formel = . Vi får det = .

1.2. För att hitta integraler av formen (A - konst) kommer vi att använda metoden att välja en hel kvadrat i nämnaren. Som ett resultat av transformationer kommer den ursprungliga integralen att reduceras till en av två tabellintegraler: eller .

Låt oss överväga beräkningen av sådana integraler med ett specifikt exempel.

Exempel 20.2. Hitta integralen.

Lösning. Låt oss försöka isolera hela kvadraten i nämnaren, dvs. komma till en formel (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2.

För detta 4 X representera det som dubbla produkten 2∙2∙ X. Därför till uttrycket X 2 + 4X för att få en komplett kvadrat ska du lägga till kvadraten av talet två, d.v.s. 4: X 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 subtrahera 4. Vi får följande kedja av transformationer:

x + 2 = Och, Sedan . Låt oss ersätta Och Och dx in i den resulterande integralen: = = . Låt oss använda tabellintegralen: , Var A=3. Vi får det = . Låt oss ersätta istället Och uttryck x+ 2:

Svar: = .

1.3. För att hitta integraler av formen (M, N - konst) kommer vi att använda följande algoritm :

1. Välj en hel ruta i nämnaren.

2. Vi betecknar uttrycket inom parentes som en ny variabel t. Vi hittar X, dx och sätt ihop dem med t till den ursprungliga integralen (vi får en integral som endast innehåller variabeln t).

3. Vi delar upp den resulterande integralen i summan av två integraler, som var och en beräknas separat: en integral löses med substitutionsmetoden, den andra reduceras till en av formlerna eller .

Exempel 20.3. Hitta integralen.

Lösning. 1. Låt oss försöka isolera hela kvadraten i nämnaren . För denna 6 X representera det som dubbelt så mycket som produkten 2∙3∙ X. Sedan till uttrycket X 2 - 6X du ska lägga till kvadraten av talet tre, dvs. nummer 9: X 2 – 6X + 9 = (X - 3) 2 . Men för att uttrycket i nämnaren inte ska förändras krävs det från ( X- 3) 2 subtrahera 9. Vi får en kedja av transformationer:

2. Låt oss införa följande ersättning: let x-3=t(Betyder , X=t+ 3), sedan . Låt oss ersätta t, x, dx in i integralen:

3. Låt oss föreställa oss den resulterande integralen som summan av två integraler:

Låt oss hitta dem separat.

3.1 Den första integralen beräknas med substitutionsmetoden. Låt oss beteckna bråkets nämnare, då . Härifrån. Låt oss ersätta Och Och dt in i integralen och för den till formen: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C. Det återstår att återgå till variabeln X. Sedan dess ln|t 2+16|+C = ln|x 2 - 6X+25|+C.

3.2 Den andra integralen beräknas med formeln: (Var a= 4). Då ==.

3.3 Den ursprungliga integralen är lika med summan av de integraler som finns i punkterna 3.1 och 3.2: = ln|x 2 - 6X+25|+ .

Svar: =ln|x 2 - 6X+25|+ .

Metoder för att integrera andra rationella funktioner diskuteras i hela kursen för matematisk analys (se t.ex. Pismenny D.T. Föreläsningsanteckningar i högre matematik, del 1 - M.: Airis-press, 2006.).

1. Integrering av några irrationella funktioner.

Låt oss överväga att hitta obestämda integraler av följande typer av irrationella funktioner: och ( a,b,c – konst). För att hitta dem kommer vi att använda metoden att isolera en hel kvadrat i ett irrationellt uttryck. Sedan kan integralerna i fråga reduceras till följande former: ,

Låt oss titta på att hitta integraler av några irrationella funktioner med hjälp av specifika exempel.

Exempel 20.4. Hitta integralen.

Lösning. Låt oss försöka isolera hela kvadraten i nämnaren . För denna 2 X representera det som dubbelt så mycket som produkten 2∙1∙ X. Sedan till uttrycket X 2 +2X man ska lägga till kvadraten på enheten ( X 2 + 2X + 1 = (x + 1) 2) och subtrahera 1. Vi får en kedja av transformationer:

Låt oss beräkna den resulterande integralen med hjälp av substitutionsmetoden. Låt oss sätta x + 1 = Och, Sedan . Låt oss ersätta och, dx , Var A=4. Vi förstår det . Låt oss ersätta istället Och uttryck x+ 1:

Svar: = .

Exempel 20.5. Hitta integralen.

Lösning. Låt oss försöka isolera en komplett kvadrat under rottecknet . För denna 8 X representera det som dubbelt så mycket som produkten 2∙4∙ X. Sedan till uttrycket X 2 -8X ska lägga till kvadraten av fyra ( X 2 - 8X + 16 = (X - 4) 2) och subtrahera det. Vi får en kedja av transformationer:

Låt oss beräkna den resulterande integralen med hjälp av substitutionsmetoden. Låt oss sätta X - 4 = Och, Sedan . Låt oss ersätta och, dx in i den resulterande integralen: = . Låt oss använda tabellintegralen: , Var A=3. Vi förstår det . Låt oss ersätta istället Och uttryck X- 4:

Svar: = .

1. Universell trigonometrisk substitution.

Om du vill hitta den obestämda integralen av en funktion som innehåller sinx Och cosx, som är relaterade endast genom operationerna addition, subtraktion, multiplikation eller division, då kan du använda universell trigonometrisk substitution .

Kärnan i denna substitution är det sinx Och cosx kan uttryckas i termer av tangenten för halvvinkeln enligt följande: , . Sedan, om vi inför substitutionen, då sinx Och cosx kommer att uttryckas genom t på följande sätt: , . Det återstår att uttrycka X genom t och hitta dx.

Om då. Vi hittar dx: = .

Så för att tillämpa en universell substitution räcker det att utse sinx Och cosx genom t(formler är markerade i en ram), och dx skriv som . Som ett resultat, under integraltecknet, bör du få en rationell funktion, vars integration övervägdes i punkt 1. Vanligtvis är metoden för att använda universell substitution mycket besvärlig, men det leder alltid till resultatet.

Låt oss överväga ett exempel på att använda den universella trigonometriska substitutionen.

Exempel 20.6. Hitta integralen.

Lösning. Låt oss tillämpa en universell ersättning, sedan , , dx=. Därför = = = = = ., alltså är tagna ").

Det finns många integraler som kallas " outtaget ". Sådana integraler uttrycks inte genom de elementära funktioner som vi känner till. Till exempel är det omöjligt att ta integralen, eftersom det inte finns någon elementär funktion vars derivata skulle vara lika med Poisson-integralen och används flitigt i sannolikhetsteorin.

Det finns andra viktiga "icke-integrerbara" integraler: - integrallogaritm (används i talteori) och - Fresnel-integraler (används i fysik). Detaljerade värdetabeller har sammanställts för dem för olika värden av argumentet. X.

Kontrollfrågor:

Liknande artiklar