Hur man expanderar en kvadratisk trinomial. Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Denna online-kalkylator är utformad för att faktorisera en funktion.

Faktorisera till exempel: x 2 /3-3x+12. Låt oss skriva det som x^2/3-3*x+12. Du kan också använda denna tjänst, där alla beräkningar sparas i Word-format.

Till exempel, dekomponera i termer. Låt oss skriva det som (1-x^2)/(x^3+x) . Klicka på Visa steg för att se lösningens framsteg. Om du behöver få resultatet i Word-format, använd den här tjänsten.

Notera: talet "pi" (π) skrivs som pi; kvadratrot som sqrt , till exempel sqrt(3) , tangent tg skrivs tan . För att se svaret, se Alternativ.

Om ett enkelt uttryck ges, till exempel 8*d+12*c*d, betyder faktorisering av uttrycket att uttrycket representeras i form av faktorer. För att göra detta måste du hitta gemensamma faktorer. Låt oss skriva detta uttryck som: 4*d*(2+3*c) .
Presentera produkten i form av två binomialer: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Här behöver du redan hitta flera vanliga faktorer: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Vi tar ut (x+7z) och får: (x+7z)(x + 3y) .

se även Division av polynom med ett hörn (alla steg för division med en kolumn visas)

Användbart när man studerar reglerna för faktorisering kommer att vara förkortade multiplikationsformler, med hjälp av vilken det blir tydligt hur man öppnar parentes med en fyrkant:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoriseringsmetoder

Efter att ha lärt sig några tekniker faktorisering Följande klassificering av lösningar kan göras:

Använda förkortade multiplikationsformler.
Att hitta en gemensam faktor.

Att faktorisera kvadratiska trinomial är en av skoluppgifterna som alla står inför förr eller senare. Hur man gör det? Vad är formeln för att faktorisera ett kvadratiskt trinomium? Låt oss ta reda på det steg för steg med hjälp av exempel.

Allmän formel

Faktoriseringen av kvadratiska trinomial utförs genom att lösa andragradsekvation. Detta är ett enkelt problem som kan lösas med flera metoder - genom att hitta diskriminanten, med hjälp av Vietas sats, finns det också en grafisk lösning. De två första metoderna studeras på gymnasiet.

Den allmänna formeln ser ut så här:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritm för att slutföra uppgiften

För att faktorisera kvadratiska trinomialer behöver du känna till Vitas sats, ha ett lösningsprogram till hands, kunna hitta en lösning grafiskt eller leta efter rötter till en andragradsekvation med hjälp av diskriminantformeln. Om ett kvadratiskt trinomium ges och det måste faktoriseras, är algoritmen följande:

1) Jämställ det ursprungliga uttrycket med noll för att få en ekvation.

2) Ge liknande termer (om nödvändigt).

3) Hitta rötterna till någon på känt sätt. Den grafiska metoden används bäst om man i förväg vet att rötterna är heltal och små tal. Man måste komma ihåg att antalet rötter är lika med den maximala graden av ekvationen, det vill säga att andragradsekvationen har två rötter.

4) Ersätt värdet X till uttryck (1).

5) Skriv ner faktoriseringen av kvadratiska trinomial.

Exempel

Övning låter dig äntligen förstå hur denna uppgift utförs. Följande exempel illustrerar faktoriseringen av ett kvadratiskt trinomial:

det är nödvändigt att utöka uttrycket:

Låt oss ta till vår algoritm:

1) x 2 -17x+32=0

2) liknande villkor reduceras

3) med hjälp av Vietas formel är det svårt att hitta rötter till detta exempel, så det är bättre att använda uttrycket för diskriminanten:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Låt oss ersätta rötterna vi hittade i den grundläggande formeln för nedbrytning:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Då blir svaret så här:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Låt oss kontrollera om lösningarna som hittas av diskriminanten motsvarar Vieta-formlerna:

14,845 . 2,155=32

För dessa rötter tillämpas Vietas sats, de hittades korrekt, vilket betyder att faktoriseringen vi fick också är korrekt.

Låt oss expandera på samma sätt 12x 2 + 7x-6.

x 1 = -7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

I det tidigare fallet var lösningarna icke-heltal, utan reella tal, som är lätta att hitta om du har en miniräknare framför dig. Låt oss nu titta på mer komplext exempel, där rötterna kommer att vara komplexa: faktor x 2 + 4x + 9. Med Vietas formel kan rötterna inte hittas, och diskriminanten är negativ. Rötterna kommer att ligga på det komplexa planet.

D=-20

Utifrån detta får vi de rötter som intresserar oss -4+2i*5 1/2 och -4-2i * 5 1/2 sedan (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Vi får den önskade nedbrytningen genom att ersätta rötterna i den allmänna formeln.

Ett annat exempel: du måste faktorisera uttrycket 23x 2 -14x+7.

Vi har ekvationen 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Detta betyder att rötterna är 14+21.166i och 14-21.166i. Svaret blir:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Låt oss ge ett exempel som kan lösas utan hjälp av en diskriminant.

Låt oss säga att vi behöver expandera andragradsekvationen x 2 -32x+255. Självklart kan det också lösas med en diskriminant, men i det här fallet går det snabbare att hitta rötterna.

x 1 =15

x 2 =17

Betyder x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Låt oss hitta summan och produkten av rötterna till andragradsekvationen. Med hjälp av formler (59.8) för rötterna till ovanstående ekvation får vi

(den första likheten är uppenbar, den andra erhålls efter en enkel beräkning, som läsaren kommer att utföra självständigt; det är bekvämt att använda formeln för att multiplicera summan av två tal med deras skillnad).

Följande har bevisats

Vietas sats. Summan av rötterna till ovanstående kvadratiska ekvation är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, och deras produkt är lika med den fria termen.

I fallet med en oreducerad andragradsekvation bör man ersätta uttrycken för formel (60.1) med formler (60.1) och ta formen

Exempel 1. Komponera en andragradsekvation med dess rötter:

Lösning, a) Hitta ekvationen har formen

Exempel 2. Hitta summan av kvadraterna av ekvationens rötter utan att lösa själva ekvationen.

Lösning. Summan och produkten av rötterna är kända. Låt oss representera summan av kvadratrötter i formen

och vi får

Från Vietas formler är det lätt att få fram formeln

uttrycker regeln för faktorisering av ett kvadratiskt trinomium.

Låt oss verkligen skriva formler (60.2) i formuläret

Nu har vi

vilket är vad vi behövde få.

Ovanstående härledning av Vietas formler är bekant för läsaren från en algebrakurs gymnasium. En annan slutsats kan ges med hjälp av Bezouts teorem och faktorisering av polynomet (punkterna 51, 52).

Låt rötterna till ekvationen sedan, enligt den allmänna regeln (52.2), trinomialet på vänster sida av ekvationen faktoriseras:

Genom att öppna fästena på höger sida av denna identiska jämlikhet får vi

och att jämföra koefficienterna vid samma potenser kommer att ge oss Vieta-formeln (60.1).

Fördelen med denna härledning är att den kan appliceras på ekvationer av högre grader för att få uttryck för ekvationens koefficienter i termer av dess rötter (utan att hitta själva rötterna!). Till exempel om rötterna till den givna kubikekvationen

kärnan är att vi enligt jämlikhet (52.2) finner

(i vårt fall, genom att öppna parentesen på höger sida av jämlikheten och samla in koefficienterna i olika grader, får vi

Att expandera polynom för att få en produkt kan ibland verka förvirrande. Men det är inte så svårt om du förstår processen steg för steg. Artikeln beskriver i detalj hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium.

Många människor förstår inte hur man faktorisera ett kvadratiskt trinomium, och varför detta görs. Till en början kan det verka som en meningslös övning. Men i matematik görs ingenting för ingenting. Omvandlingen är nödvändig för att förenkla uttrycket och beräkningen.

Ett polynom av formen – ax²+bx+c, kallas ett kvadratiskt trinomium. Termen "a" måste vara negativ eller positiv. I praktiken kallas detta uttryck för en andragradsekvation. Därför säger de det ibland annorlunda: hur man utökar en andragradsekvation.

Intressant! Ett polynom kallas en kvadrat på grund av dess största grad, kvadraten. Och en trinomial - på grund av de 3 komponenterna.

Några andra typer av polynom:

linjär binomial (6x+8);
kubiskt kvadrinomial (x³+4x²-2x+9).

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Först är uttrycket lika med noll, sedan måste du hitta värdena för rötterna x1 och x2. Det kanske inte finns några rötter, det kan finnas en eller två rötter. Förekomsten av rötter bestäms av diskriminanten. Du måste kunna dess formel utantill: D=b²-4ac.

Om resultatet D är negativt finns det inga rötter. Om det är positivt, finns det två rötter. Om resultatet är noll är roten ett. Rötterna beräknas också med hjälp av formeln.

Om resultatet är noll vid beräkning av diskriminanten kan du använda någon av formlerna. I praktiken är formeln helt enkelt förkortad: -b / 2a.

Formlerna för olika diskriminerande värden är olika.

Om D är positivt:

Om D är noll:

Miniräknare online

Det finns en online-kalkylator på Internet. Den kan användas för att utföra faktorisering. Vissa resurser ger möjlighet att se lösningen steg för steg. Sådana tjänster hjälper till att bättre förstå ämnet, men du måste försöka förstå det väl.

Användbar video: Factoring av ett kvadratiskt trinomium

Exempel

Vi inbjuder dig att titta enkla exempel, hur man faktorisera en andragradsekvation.

Exempel 1

Detta visar tydligt att resultatet är två x eftersom D är positivt. De måste ersättas i formeln. Om rötterna visar sig vara negativa ändras tecknet i formeln till det motsatta.

Vi känner till formeln för faktorisering av ett kvadratiskt trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi sätter värdena inom parentes: (x+3)(x+2/3). Det finns inget tal före en term i en potens. Det betyder att det finns en där, den går ner.

Exempel 2

Detta exempel visar tydligt hur man löser en ekvation som har en rot.

Vi ersätter det resulterande värdet:

Exempel 3

Givet: 5x²+3x+7

Låt oss först beräkna diskriminanten, som i tidigare fall.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanten är negativ, vilket betyder att det inte finns några rötter.

Efter att ha mottagit resultatet bör du öppna fästena och kontrollera resultatet. Det ursprungliga trinomialet ska visas.

Alternativ lösning

Vissa människor kunde aldrig bli vänner med diskriminatorn. Det finns ett annat sätt att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. För enkelhetens skull visas metoden med ett exempel.

Givet: x²+3x-10

Vi vet att vi borde få 2 parenteser: (_)(_). När uttrycket ser ut så här: x²+bx+c sätter vi i början av varje parentes x: (x_)(x_). De återstående två siffrorna är produkten som ger "c", dvs i detta fall -10. Det enda sättet att ta reda på vilka siffror dessa är är genom urval. De ersatta talen måste motsvara den återstående termen.

Till exempel, multiplicera följande tal ger -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nej.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nej.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nej.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passar.

Det betyder att omvandlingen av uttrycket x2+3x-10 ser ut så här: (x-2)(x+5).

Viktig! Du bör vara försiktig så att du inte förväxlar tecknen.

Expansion av ett komplext trinomium

Om "a" är större än ett börjar svårigheterna. Men allt är inte så svårt som det verkar.

För att faktorisera måste du först se om något kan faktoriseras.

Till exempel, givet uttrycket: 3x²+9x-30. Här tas siffran 3 ur parentes:

3(x²+3x-10). Resultatet är det redan välkända trinomialet. Svaret ser ut så här: 3(x-2)(x+5)

Hur bryts ner om termen som finns i kvadraten är negativ? I det här fallet tas siffran -1 ut från parentes. Till exempel: -x²-10x-8. Uttrycket kommer då att se ut så här:

Systemet skiljer sig lite från det tidigare. Det finns bara några nya saker. Låt oss säga att uttrycket är givet: 2x²+7x+3. Svaret skrivs också inom 2 parenteser som måste fyllas i (_)(_). I 2:a parentes skrivs x, och i 1:a vad som är kvar. Det ser ut så här: (2x_)(x_). Annars upprepas det tidigare schemat.

Siffran 3 ges av siffrorna:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Vi löser ekvationer genom att ersätta dessa tal. Det sista alternativet är lämpligt. Det betyder att omvandlingen av uttrycket 2x²+7x+3 ser ut så här: (2x+1)(x+3).

Andra fall

Det är inte alltid möjligt att konvertera ett uttryck. Med den andra metoden krävs inte att lösa ekvationen. Men möjligheten att omvandla termer till en produkt kontrolleras endast genom diskriminanten.

Det är värt att öva på att lösa andragradsekvationer så att det inte finns några svårigheter när man använder formlerna.

Användbar video: faktorisering av ett trinomial

Slutsats

Du kan använda den på vilket sätt som helst. Men det är bättre att träna båda tills de blir automatiska. Det är också nödvändigt att lära sig hur man löser andragradsekvationer och faktorpolynom för dem som planerar att koppla ihop sina liv med matematik. Alla följande matematiska ämnen bygger på detta.

I kontakt med

För att faktorisera är det nödvändigt att förenkla uttrycken. Detta är nödvändigt för att det ska kunna reduceras ytterligare. Utvidgningen av ett polynom är meningsfullt när dess grad inte är lägre än två. Ett polynom med första graden kallas linjärt.

Artikeln kommer att täcka alla begrepp om nedbrytning, teoretisk grund och metoder för att faktorisera ett polynom.

Teori

Sats 1

När något polynom med grad n, med formen P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, representeras som en produkt med en konstant faktor med den högsta graden a n och n linjära faktorer (x - x i), i = 1, 2, ..., n, sedan P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , där x i, i = 1, 2, …, n är rötterna till polynomet.

Satsen är avsedd för rötter av komplex typ x i, i = 1, 2, …, n och för komplexa koefficienter a k, k = 0, 1, 2, …, n. Detta är grunden för all nedbrytning.

När koefficienter av formen a k, k = 0, 1, 2, …, n är reella tal, då komplexa rötter, vilket kommer att förekomma i konjugerade par. Till exempel, rötter x 1 och x 2 relaterade till ett polynom av formen P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 betraktas som komplext konjugat, då är de andra rötterna reella, varav vi får fram att polynomet har formen P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, där x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Kommentar

Rötterna till ett polynom kan upprepas. Låt oss betrakta beviset för algebrasatsen, en konsekvens av Bezouts sats.

Grundsats för algebra

Sats 2

Varje polynom med grad n har minst en rot.

Bezouts teorem

Efter att ha dividerat ett polynom av formen P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 på (x - s), då får vi resten, som är lika med polynomet i punkten s, då får vi

Pnx = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , där Q n - 1 (x) är ett polynom med grad n - 1.

En konsekvens av Bezouts teorem

När roten av polynomet P n (x) anses vara s, då P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Denna följd är tillräcklig när den används för att beskriva lösningen.

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Ett kvadratiskt trinomium av formen a x 2 + b x + c kan faktoriseras till linjära faktorer. då får vi att a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , där x 1 och x 2 är rötter (komplexa eller reella).

Detta visar att expansionen i sig minskar till att lösa andragradsekvationen i efterhand.

Exempel 1

Faktorisera det kvadratiska trinomialet.

Lösning

Det är nödvändigt att hitta rötterna till ekvationen 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. För att göra detta måste du hitta värdet på diskriminanten med hjälp av formeln, då får vi D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Härifrån har vi det

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Av detta får vi att 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

För att utföra kontrollen måste du öppna parenteserna. Då får vi ett uttryck av formen:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Efter kontroll kommer vi fram till det ursprungliga uttrycket. Det vill säga, vi kan dra slutsatsen att nedbrytningen utfördes korrekt.

Exempel 2

Faktorisera det kvadratiska trinomialet av formen 3 x 2 - 7 x - 11 .

Lösning

Vi finner att det är nödvändigt att beräkna den resulterande andragradsekvationen av formen 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

För att hitta rötterna måste du bestämma värdet på diskriminanten. Det förstår vi

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Av detta får vi att 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Exempel 3

Faktorisera polynomet 2 x 2 + 1.

Lösning

Nu måste vi lösa andragradsekvationen 2 x 2 + 1 = 0 och hitta dess rötter. Det förstår vi

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Dessa rötter kallas komplext konjugat, vilket innebär att själva expansionen kan avbildas som 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exempel 4

Bryt ner det kvadratiska trinomiet x 2 + 1 3 x + 1 .

Lösning

Först måste du lösa en andragradsekvation av formen x 2 + 1 3 x + 1 = 0 och hitta dess rötter.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Efter att ha fått rötterna skriver vi

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Kommentar

Om diskriminantvärdet är negativt kommer polynomen att förbli andra ordningens polynom. Av detta följer att vi inte kommer att utöka dem till linjära faktorer.

Metoder för att faktorisera ett polynom med högre grad än två

Vid nedbrytning antas det universell metod. De flesta av alla fall är baserade på en följd av Bezouts sats. För att göra detta måste du välja värdet på roten x 1 och minska dess grad genom att dividera med ett polynom med 1 genom att dividera med (x - x 1). Det resulterande polynomet måste hitta roten x 2, och sökprocessen är cyklisk tills vi får en fullständig expansion.

Om roten inte hittas, används andra metoder för faktorisering: gruppering, ytterligare termer. Detta ämne handlar om att lösa ekvationer med högre grader och heltalskoefficienter.

Att ta den gemensamma faktorn ur parentes

Betrakta fallet när den fria termen är lika med noll, då blir formen av polynomet P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Det kan ses att roten till ett sådant polynom kommer att vara lika med x 1 = 0, då kan polynomet representeras som uttrycket P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Denna metod anses ta den gemensamma faktorn ur parentes.

Exempel 5

Faktorisera tredjegradspolynomet 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Lösning

Vi ser att x 1 = 0 är roten till det givna polynomet, då kan vi ta bort x från parenteserna i hela uttrycket. Vi får:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Låt oss gå vidare till att hitta rötterna till kvadrattrinomialet 4 x 2 + 8 x - 1. Låt oss hitta diskriminanten och rötterna:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Sedan följer det

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Till att börja med, låt oss ta hänsyn till en nedbrytningsmetod som innehåller heltalskoefficienter av formen P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, där koefficienten för högsta graden är 1.

När ett polynom har heltalsrötter betraktas de som divisorer av den fria termen.

Exempel 6

Dekomponera uttrycket f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Lösning

Låt oss överväga om det finns fullständiga rötter. Det är nödvändigt att skriva ned divisorerna för numret - 18. Vi får det ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Det följer att detta polynom har heltalsrötter. Du kan kontrollera med Horners schema. Det är mycket bekvämt och låter dig snabbt få expansionskoefficienterna för ett polynom:

Det följer att x = 2 och x = - 3 är rötterna till det ursprungliga polynomet, som kan representeras som en produkt av formen:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Vi fortsätter till expansionen av ett kvadratiskt trinomium av formen x 2 + 2 x + 3.

Eftersom diskriminanten är negativ betyder det riktiga rötter Nej.

Svar: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kommentar

Det är tillåtet att använda rotval och division av ett polynom med ett polynom istället för Horners schema. Låt oss gå vidare till att överväga expansionen av ett polynom som innehåller heltalskoefficienter av formen P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , varav den högsta är lika med en.

Detta fall inträffar för rationella bråk.

Exempel 7

Faktorisera f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Lösning

Det är nödvändigt att ersätta variabeln y = 2 x, du bör gå vidare till ett polynom med koefficienter lika med 1 i högsta grad. Du måste börja med att multiplicera uttrycket med 4. Det förstår vi

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

När den resulterande funktionen av formen g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 har heltalsrötter, är deras placering bland divisorerna för den fria termen. Inlägget kommer att se ut så här:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Låt oss gå vidare till att beräkna funktionen g (y) vid dessa punkter för att få noll som resultat. Det förstår vi

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Vi finner att y = - 5 är roten till en ekvation av formen y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, vilket betyder att x = y 2 = - 5 2 är roten till den ursprungliga funktionen.

Exempel 8

Det är nödvändigt att dela med en kolumn 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 med x + 5 2.

Lösning

Låt oss skriva ner det och få:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Att kontrollera divisorerna kommer att ta mycket tid, så det är mer lönsamt att faktorisera den resulterande kvadratiska trinomialen av formen x 2 + 7 x + 3. Genom att likställa med noll finner vi diskriminanten.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Det följer att

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Konstgjorda tekniker för att faktorisera ett polynom

Rationella rötter är inte inneboende i alla polynom. För att göra detta måste du använda på speciella sätt att hitta faktorer. Men alla polynom kan inte expanderas eller representeras som en produkt.

Grupperingsmetod

Det finns fall då du kan gruppera termerna för ett polynom för att hitta en gemensam faktor och placera den inom parentes.

Exempel 9

Faktorisera polynomet x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Lösning

Eftersom koefficienterna är heltal, då kan rötterna förmodligen också vara heltal. För att kontrollera, ta värdena 1, - 1, 2 och - 2 för att beräkna värdet på polynomet vid dessa punkter. Det förstår vi

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Detta visar att det inte finns några rötter, det är nödvändigt att använda en annan metod för expansion och lösning.

Det är nödvändigt att gruppera:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Efter att ha grupperat det ursprungliga polynomet måste du representera det som produkten av två kvadratiska trinomial. För att göra detta måste vi faktorisera. det får vi

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Kommentar

Enkelheten med att gruppera betyder inte att det är lätt att välja termer. Det finns ingen specifik lösningsmetod, så det är nödvändigt att använda speciella satser och regler.

Exempel 10

Faktorisera polynomet x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Lösning

Det givna polynomet har inga heltalsrötter. Termerna bör grupperas. Det förstår vi

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Efter faktorisering får vi det

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Använda förkortade multiplikationsformler och Newtons binomial för att faktorisera ett polynom

Utseendet gör ofta inte alltid klart vilken metod som ska användas vid nedbrytning. Efter att transformationerna är gjorda kan man bygga en linje som består av Pascals triangel, annars kallas de för Newtons binomial.

Exempel 11

Faktorisera polynomet x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Lösning

Det är nödvändigt att konvertera uttrycket till formen

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sekvensen av koefficienter för summan inom parentes indikeras av uttrycket x + 1 4 .

Det betyder att vi har x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Efter att ha tillämpat skillnaden mellan rutor får vi

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Tänk på uttrycket som står i den andra parentesen. Det är tydligt att det inte finns några riddare där, så vi bör tillämpa formeln för skillnaden mellan kvadrater igen. Vi får ett uttryck för formen

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exempel 12

Faktorisera x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Lösning

Låt oss börja omvandla uttrycket. Det förstår vi

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Det är nödvändigt att tillämpa formeln för förkortad multiplikation av skillnaden mellan kuber. Vi får:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3